2022春九年級數(shù)學(xué)下冊第24章圓整合提升密碼滬科版

專訓(xùn)1圓中常見的計算題型

名師點金：與圓有關(guān)的計算主要涉及圓與其他幾何圖形結(jié)合，利用圓周角定理求角

度，利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形并結(jié)合勾股定理，已知弦長、弦心距、半徑三個量中的

任意兩個量時，可求出第三個量，利用弧長、扇形面積公式計算弧長、扇形面積等.

邂邈圣有關(guān)角度的計算

1.如圖,。:［是AABC的內(nèi)切圓，D,E,F為三個切點.若NDEF=52°,則NA的度數(shù)

為（)

A.76°B.68°C.52°

（第2題）

2.如圖，有一圓經(jīng)過4ABC的三個頂點，且弦BC的中垂線與R相交于D點.若/B=

74°,ZC=46°,則前所對圓心角的度數(shù)為（）

A.23°B.28°C.30°D.37°

3.（中考?婁底）如圖，在。。中，AB,CD是直徑，BE是切線，B為切點，連接AD,

BC,BD.

(1)求證：ZXABD0ACDB；

⑵若/DBE=37°,求/ADC的度數(shù).

題鷲2半徑、弦長的計算

4.（中考?南京）如圖，在。0中，CD是直徑，弦ABLCD,垂足為E,連接BC,若AB

=2-72cm,ZBCD=22°30',則。0的半徑為.

1

c

D

5.如圖，AB為。。的直徑，延長AB至點D,使BD=OB,DC切。0于點C,點B是諦的

中點，弦CF交AB于點E.若。。的半徑為2,則CF=.

6.如圖，在。0中，直徑AB與弦AC的夾角為30°,過點C作。0的切線交AB的延長

線于點D,0D=30c血求直徑AB的長.

（第6題）

MS；面積的計算

7.（中考?麗水）如圖，在AABC中，AB=AC,以AB為直徑的。0分別與BC,AC交于點

D,E,過點D作。。的切線DF,交AC于點F.

（1）求證：DF±AC；

（2）若。。的半徑為4,ZCDF=22.5°,求陰影部分的面積.

（第7題）

專訓(xùn)2圓中常用的作輔助線的方法

2

名師點金：在解決有關(guān)圓的計算或證明題時，往往需要添加輔助線，根據(jù)題目特點選

擇恰當?shù)妮o助線至關(guān)重要.圓中常用的輔助線作法有：作半徑，巧用同圓的半徑相等；連

接圓上兩點，巧用同弧所對的圓周角相等；作直徑，巧用直徑所對的圓周角是直角；證切

線時“連半徑，證垂直”以及“作垂直，證半徑”等.

作半徑,巧用同圓的半徑相等

1.如圖，兩正方形彼此相鄰，且大正方形ABCD的頂點A,D在半圓。上，頂點B,C

在半圓。的直徑上；小正方形BEFG的頂點F在半圓0上，E點在半圓。的直徑上，點G在

大正方形的邊AB上.若小正方形的邊長為4cm,求該半圓的半徑.

/送Z連接圓上兩點，巧用同弧所對的圓周角相等

2.如圖，圓內(nèi)接三角形ABC的外角/ACM的平分線與圓交于D點，DPLAC,垂足是P,

DH_LBM,垂足為H,求證：AP=BH.

（第2題）

;噪霰金作直徑，巧用直徑所對的圓周角是直角

3.如圖，。。的半徑為R,弦AB,CD互相垂直，連接AD,BC.

⑴求證:AD2+BC2=4R2；

⑵若弦AD,BC的長是方程6x+5=0的兩個根（AD〉BC）,求。0的半徑及點0到AD

的距離.

（第3題）

洛輸*證切線時箍助線作法的應(yīng)用

4.如圖，ZkABC內(nèi)接于。0,CA=CB,CD〃AB且與0A的延長線交于點D.判斷CD與。0

3

的位置關(guān)系，并說明理由.【導(dǎo)學(xué)號：31782105]

c

（第4題）

逶Q遇弦加弦心距或半徑

5.如圖，在半徑為5的。0中,AB,CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P,且AB=CD=

8,則OP的長為（）

A.3B.4C.372D.4乖

（第5題）

（第6題）

6.（中考?貴港）如圖，AB是。0的弦，0HLAB于點H,點P是優(yōu)弧上一點，若AB=

2季,OH=1,則/APB=.

::亥磁營遇直徑巧作直.徑所對的圓周角

7.如圖，在AABC中，AB=BC=2,以AB為直徑的。。分別交BC,AC于點D,E,且點

D是BC的中點.

（1）求證：AABC為等邊三角形.

⑵求DE的長.

4

（第7題）

定法Z遇切線巧作過切點的半徑

8.如圖，00是放AABC的外接圓,ZABC=90°點P是圓外一點，PA切00于點A,

且PA=PB.

（1）求證：PB是。。的切線；

（2）已知PA=4,ZACB=60°,求。0的半徑.【導(dǎo)學(xué)號：31782106】

（第8題）

:凌遙遇巧添輔助線計算陰影部分的面積

9.（中考?自貢）如圖，點B,C,D都在。。上，過點C作AC〃BD交0B的延長線于點

A,連接CD,且/CDB=/0BD=30°,DB=6，5cm.

（1）求證：AC是。。的切線；

⑵求由弦CD,BD與R所圍成的陰影部分的面積（結(jié)果保留北）.【導(dǎo)學(xué)號：31782107]

（第9題）

專訓(xùn)3圓的實際應(yīng)用

名師點金：與圓有關(guān)的知識在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用，從實際生活中抽象出數(shù)學(xué)

問題，并運用圓的相關(guān)知識解決這些問題，可以達到學(xué)以致用的目的.

測彝淄康七利用垂徑定理解決臺風(fēng)問題

1.如圖，臺風(fēng)中心位于點P,并沿東北方向PQ移動，已知臺風(fēng)移動的速度為30

km/h,受影響區(qū)域的半徑為200km,B市位于點P北偏東75°的方向上，距離P點320km

處.

（1）試說明臺風(fēng)是否會影響B(tài)市；

⑵若B市受臺風(fēng)的影響，求臺風(fēng)影響B(tài)市的時間.

5

Q

北八

B

P

（第1題）

趣蕤資盟利用圓周角知識解決足球射門問題（轉(zhuǎn)化思想）

2.如圖，在“世界杯”足球比賽中，隊員甲帶球向?qū)Ψ角蜷TPQ進攻，當他帶球沖到A

點時，同伴隊員乙已經(jīng)助攻沖到B點，現(xiàn)有兩種射門方式：一是由隊員甲直接射門；二是

隊員甲將球迅速傳給隊員乙，由隊員乙射門.

從射門角度考慮，你認為選擇哪種射門方式較好？為什么？

（第2題）

翔蕤潘凝至利用直線?j圓的位置關(guān)系解決范圍問題

3.已知A,B兩地相距1km.要在A,B兩地之間修建一條筆直的水渠（即圖中的線段

AB）,經(jīng)測量在A地的北偏東60°方向，B地的北偏西45°方向的C處有一個以C為圓心，

350勿為半徑的圓形公園，則修建的這條水渠會不會穿過公園？為什么？

北

4＞東

C

AB

（第3題）

明青逋度￡利用圓錐側(cè)面展開圖解決材料最省問題

4.如圖，某工廠要選一塊矩形鐵皮加工成一個底面半徑為20cm,高為40明物的圓

錐形漏斗，要求只能有一條接縫（接縫忽略不計），請問：選長、寬分別為多少厘米的矩形

鐵皮，才能使所用材料最??？

6

(第4題)

專訓(xùn)4與圓有關(guān)的動態(tài)問題

名師點金：對于與圓有關(guān)的運動情形下的幾何問題，在探究求值問題時，通常應(yīng)對運

動過程中所有可能出現(xiàn)的不同情形進行分析，如果符合某些條件的點、線等幾何圖形不唯

一，要注意分類討論，在探究確定結(jié)論成立情況下的已知條件時，可以把確定結(jié)論當作已

知用.

.利用圓探究運動中形成的特殊幾何圖形問題

1.如圖，AB是半圓。的直徑，BC是弦，點P從點A開始，沿AB向點B以1cWs的速

度移動，若AB長為10an,點、0到BC的距離為4cm.

(1)求弦BC的長；

(2)經(jīng)過幾秒4BPC是等腰三角形？(PB不能為底邊)

(第1題)

2.如圖，在平面直角坐標系中，以坐標原點0為圓心，2為半徑畫。0,P是。。上一

動點，且P在第一象限內(nèi)，過點P作。0的切線與x軸相交于點A,與y軸相交于點B.

(1)點P在運動時，線段AB的長度也在發(fā)生變化，請寫出線段AB長度的最小值，并說

明理由；

(2)在。。上是否存在一點Q,使得以Q,0,A,P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存

在，請求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由.

(第2題)

潮簇通度利用同探究運動中的特殊位置關(guān)系問題

3.如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,ZABC=90°,AB=12cm,AD=8cm,BC=22

cm,AB為。0的直徑，動點P從點A開始沿AD邊向點D以1s的速度運動，動點Q從點

C開始沿CB邊向點B以2cWs的速度運動，P,Q分別從點A,C同時出發(fā).當其中一動點

7

到達終點時，另一個動點也隨之停止運動.設(shè)運動時間為ts.當t為何值時，PQ與。。相

切？

(第3題)

邈娓演整亞利用圓探究運動中的面積問題

4.如圖，在。0中，AB為。。的直徑，AC是弦，0C=4,Z0AC=60°.

(1)求/AOC的度數(shù)；

(2)如圖，一動點M從A點出發(fā)，在。0上按逆時針方向運動，當SAMAO=SACAO時，求動

點M所經(jīng)過的弧長.【導(dǎo)學(xué)號：31782108]

(第4題)

專訓(xùn)5圓與學(xué)科內(nèi)的綜合應(yīng)用

名師點金：圓的知識是初中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容，也是歷年中考命題的熱點，在中考中常

常與三角函數(shù)、相似、二次函數(shù)等結(jié)合，作為壓軸題出現(xiàn).

遨源走圓與三角函數(shù)的綜合

1.(中考?遂寧)如圖，AB為。。的直徑，直線CD切。。于點D,AMLCD于點M,BN±CD

于點N.

(1)求證：ZADC=ZABD；

(2)求證：AD2=AM-AB；

[83

(3)若AM==,sinZABD=T，求線段BN的長.【導(dǎo)學(xué)號：31782109]

55

8

(第1題)

虐邂Z圓與相似的綜合

2.如圖，AtaABC內(nèi)接于。0,/ACB=90°,點P在弧AB上移動，P,C分別位于AB

的異側(cè)(P不與A,B重合)，APCD也為直角三角形，ZPCD=90°,且心ZiPCD的斜邊PD

經(jīng)過點B,BA,PC相交于點E.

BF

⑴當BA平分NPBC時，求示的值；

(2)已知AC=1,BC=2,求△PCD面積的最大值.【導(dǎo)學(xué)號：31782110]

(第2題)

懣溪受圓與一次函數(shù)的綜合

3.如圖，在平面直角坐標系中，OA與x軸相交于C(—2,0),D(-8,0)兩點，與y

軸相切于點B(0,4).

(1)求經(jīng)過B,C,D三點的拋物線的函數(shù)表達式.

(2)設(shè)拋物線的頂點為E,證明：直線CE與。A相切.

(3)在x軸下方的拋物線上，是否存在一點F,使△BDF面積最大，最大值是多少？并求

出點F的坐標.【導(dǎo)學(xué)號：31782111】

(第3題)

專訓(xùn)6：全章熱門考點整合應(yīng)用

名師點金：圓的知識是初中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容，也是歷年中考命題的熱點.本章題型廣

泛，主要考查旋轉(zhuǎn)、圓的概念和基本性質(zhì)、圓周角定理及其推論、直線與圓的位置關(guān)系、

9

切線的性質(zhì)和判定、正多邊形與圓的計算和證明等，通常以這些知識為載體，與函數(shù)、方

程等知識綜合考查.全章熱門考點可概括為：三個概念、三個定理、三個關(guān)系、兩個圓與

三角形、三個公式、三個技巧、兩種思想.

第皂工二個概念

概念1:旋轉(zhuǎn)

1.如圖，將一個鈍角三角形ABC（其中/ABC=120°）繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)得

△ABC”使得點C落在AB的延長線上的點C處，連接AAi.

（1）求出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；

（2）求證：ZAiAC=ZCi.

概念2：中心對稱和中心對稱圖形

2.下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

ABCD

概念3：圓的相關(guān)概念

3.下列說法正確的是（）

A.直徑是弦，弦也是直徑

B.半圓是弧，弧是半圓

C.無論過圓內(nèi)哪一點，只能作一條直徑

D.在同圓或等圓中，直徑的長度是半徑的2倍

灌Q二個定理

定理1：垂徑定理

4.（中考?北京）如圖，AB是。0的直徑，過點B作。0的切線BM,弦CD〃BM,交AB

于點F,且靠=R，連接AC,AD,延長AD交BM于點E.

（1）求證：4ACD是等邊三角形；

⑵連接0E,若DE=2,求0E的長.

10

（第4題）

定理2：圓心角、弦、弧間的關(guān)系定理

5.如圖，AB是。。的直徑，點C在。。上，ZA0C=40°,D是R的中點，求NACD的

度數(shù).

定理3：圓周角定理

6.如圖，已知AB是。0的弦，0B=2,ZB=30°,C是弦AB上任意一點（不與點A,B

重合），連接CO并延長CO交。0于點D,連接AD.

（1）弦長AB等于（結(jié)果保留根號）.

（2）當ND=20。時，求NB0D的度數(shù).

（3）當AC的長度為多少時，以點A,C,D為頂點的三角形與以點B,C,0為頂點的三角

形相似？

（第6題）

遂蠢1三個關(guān)系

關(guān)系1：點與圓的位置關(guān)系

7.如圖，有兩條公路OM,ON相交成30°角，沿公路0M方向離兩條公路的交叉處。點

80小的A處有一所希望小學(xué)，當拖拉機沿0N方向行駛時，距拖拉機50小范圍內(nèi)會受到噪

音影響，已知有兩臺相距30⑷的拖拉機正沿ON方向行駛，它們的速度均為5勿/s,則這兩

臺拖拉機沿ON方向行駛時給小學(xué)帶來噪音影響的時間是多少？

11

N

M

/OA(小學(xué))

(第7題)

關(guān)系2：直線與圓的位置關(guān)系

8.如圖，已知0為原點，點A的坐標為(4,3),OA的半徑為2.過A作直線1平行于

x軸，交y軸于點B,點P在直線1上運動.

(1)當點P在。A上時，請你直接寫出它的坐標；

(2)設(shè)點P的橫坐標為12,試判斷直線0P與。A的位置關(guān)系，并說明理由.

(第8題)

關(guān)系3：正多邊形和圓的位置關(guān)系

9.如圖，已知。。的內(nèi)接正十邊形ABCD…，AD分別交OB,0C于M,N.求證:

⑴MN〃BC；

(2)MN+BC=0B.

(第9題)

迷Q兩個圓與三角形

圓與三角形1：三角形的外接圓

10.(中考?哈爾濱)如圖，。。是AABC的外接圓，弦BD交AC于點E,連接CD,且AE

=DE,BC=CE.

(1)求/ACB的度數(shù)；

(2)過點0作0F_LAC于點F,延長FO交BE于點G,DE=3,EG=2,求AB的長.

12

（第10題）

圓與三角形2：三角形的內(nèi)切圓

11.如圖，若4ABC的三邊長分別為AB=9,BC=5,CA=6,AABC的內(nèi)切圓。0切

AB,

（第11題）

BC,AC于點D,E,F,則AF的長為（）

A.5B.3

C.4.5D.4

MS三個公式

公式1：弧長公式

12.如圖，已知正六邊形ABCDEF是邊長為2c0的螺母，點P是FA延長線上的點，在

A,P之間拉一條長為12陽的無伸縮性細線，一端固定在點A,握住另一端點P拉直細線，

把它全部緊緊纏繞在螺母上（纏繞時螺母不動），則點P運動的路徑長為（）

A.13ncmB.14歷cm

C.15acmD.16〃cm

（第13題）

公式2：扇形面積公式

13.設(shè)計一個商標圖案，如圖，在矩形ABCD中，若AB=2BC,且AB=8cm,以點A為

圓心，AD長為半徑作半圓，則商標圖案（陰影部分）的面積等于（）

A.（4〃+8）cnfB.（4〃+16）cm

C.（3〃+8）cmD.（3〃+16）cm

公式3：圓錐的側(cè)面積和全面積公式

13

14.在手工課上，王紅制成了一頂圓錐形紙帽，已知紙帽底面圓的半徑為10館，母線

長為50cm,則制作一頂這樣的紙帽所需紙板的面積至少為（）

A.250〃cmB.500ncm

C.750noffD.1000〃cm

15.已知圓錐底面圓的半徑為2,母線長是4,則它的全面積為（）

44%B.8￡C.12D.16

速蠹⑥：三個技巧

技巧1：作中心對稱圖形探究線段之間的關(guān)系

16.（探究題）如圖，在四邊形ABCD中，AB〃DC,E為BC邊的中點，ZBAE=ZEAF,AF

與DC的延長線相交于點F.

（1）作出4ABE關(guān)于點E成中心對稱的圖形；

（2）探究線段AB與AF,CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

技巧2：作同弧所對的圓周角（特別的：直徑所對的圓周角）

17.如圖，直線PQ與。。相交于點A,B,BC是。0的直徑，BD平分NCBQ交。0于點

D,過點D作DE_LPQ,垂足為E.連接AD,已知BC=10,BE=2,求sz力/BAD的值.

（第17題）

技巧3：作半徑（特別的：垂直于弦的半徑、過切點的半徑）

18.如圖，。。的半徑為4,B是。。外一點，連接0B,且0B=6.過點B作。0的切線

BD,切點為D,延長BO交。。于點A,過點A作切線BD的垂線，垂足為C.

⑴求證:AD平分NBAC.

⑵求AC的長.

14

(第18題)

Mi；兩種思想

思想1：分類討論思想

19.已知在半徑為1的。。中，弦AC=[i,弦AB=:，則/CAB=

思想2：方程思想

20.如圖，在應(yīng)Z\ABC中，/ABC=90°,。。切BC于點B,切AC于點D,交AB于點

E.若BC=BE,AE=2,求AD的長.

(第20題)

答案

專訓(xùn)1

1.A

2.B點撥：?.?有一圓經(jīng)過4ABC的三個頂點，且弦BC的中垂線與正相交于D點，

.?.公所對的圓心角的度數(shù)=2/C=2X46°=92°,贏所對的圓心角的度數(shù)=2NB=

2X74°=148°=而所對的圓心角的度數(shù)十記所對的圓心角的度數(shù)=輪所對的圓心角的度

數(shù)+曲所對的圓心角的度數(shù)=矩所對的圓心角的度數(shù)+“所對的圓心角的度數(shù)+而所對的

圓心角的度數(shù)，，好所對的圓心角的度數(shù)=；(148°-92°)=28°.故選區(qū)

3.(1)證明：：AB,CD是直徑，AZADB=ZCBD=90°.

[AB=CD,

在TFfAABD和7?tACDB中，

[BD=DB,

15

TFtAABD^TFtACDBW.

⑵解:：BE是切線，.-.AB±BE.AZABE=906.

VZDBE=37°,AZABD=53°.

VOD=OA,AZ0DA=ZBAD=90°-53°=37°,

即/ADC的度數(shù)為37°.

4.2an點撥：連接OB,VZBCD=22°30z,/BOD=2/BCD=45。.VAB±CD,

.?.BE=AE=；AB='|x21^=:（加，ABOE為等腰直角三角形，.?.0B=^BE=2an,故答

案為2cm.

5.273

6.解：連接OC.：/A=30°,；./C0D=60°.

：DC切。0于C,.,.Z0CD=90°..?./D=30°.

1

V0D=30cm,0C=-0D=15cm.

.??AB=20C=30cm.

（第7題）

7.（1）證明：如圖，連接0D,

V0B=0D,JNABC=ZODB.

???AB=AC,NABC=ZACB.

ZODB=ZACB.0D//AC.

TDF是。0的切線，???DF_LOD.

ADFXAC.

⑵解:如圖，連接0E,

VDF±AC,NCDF=22.5°,

???NABC=NACB=67.5°,

???NBAC=45°.

VOA=OE,???NA0E=90°.

???。0的半徑為4,**?S扇形AOE=4n,SAAOE_8.

S陰影=S扇形AOE-SAAOE=4幾—8.

16

專訓(xùn)2

（第1題）

1.解：連接OA,OF,如圖.設(shè)OA=OF=rcm,AB=acm.

在上SkOAB中，r2=(|j+a2,

在我△OEF中，r2=42+[^4+|j,

22

.*.^-+a2=16+16+4a+^-,解得ai=8,%=一4（舍去）.

.,.1=（引+8°=80,；.巧=4乖，n=—44（舍去），即該半圓的半徑為4mcm.

點撥：在有關(guān)圓的計算題中，求角度或邊長時，常連接半徑構(gòu)造等腰三角形或直角三

角形，利用特殊三角形的性質(zhì)來解決問題.

2.證明：連接AD,BD."/ZDAC,NDBC是前所對的圓周角.

-,.ZDAC=ZDBC.

：CD平分/ACM,DP±AC,DHXCM,.*.DP=DH.

VDAP=ZDBH,

在AADP和△BDH中，＜/DPA=/DHB=90°,

DP=DH,

.".△ADP^ABDH,；.AP=BH.

點撥：本題通過作輔助線構(gòu)造圓周角，然后利用“同弧所對的圓周角相等”得到/DAC

=ZDBC,為證兩三角形全等創(chuàng)造了條件.

3.（1）證明：過點D作。0的直徑DE,連接AE,EC,AC.

：DE是。。的直徑，.,.ZECD=ZEAD=90°.

又YCDLAB,；.EC〃AB,

-?.ZBAC=ZACE.

.\BC=AE..,.BC=AE.

17

在AzTXAED中，AD2+AE2=DE2,

.?.AD2+BC2=4R2.

(2)解：過點。作OFLAD于點F.

弦AD,BC的長是方程X2-6X+5=0的兩個根(AD>BC),

；.AD=5,BC=1.

由⑴知,AD2+BC2=4R2,.,.52+l2=4R2,；.R=亨.

VZEAD=90°,OF±AD,；.OF〃EA.

又：0為DE的中點，OF=1AE=|BC=1,即點0到AD的距離為精

點撥：本題作出直徑DE,利用“直徑所對的圓周角是直角”構(gòu)造了兩個直角三角形,

給解題帶來了方便.

4.解：CD與。0相切，理由如下：如圖，作直徑CE,連接AE.

（第4題）

?；CE是直徑，.*.ZEAC=90o.

.\ZE+ZACE=90°.

VCA=CB,ZB=ZCAB.

；AB〃CD,

ZACD=ZCAB.

VZB=ZE,AZACD=ZE,

AZACE+ZACD=90°,即OC_LDC.又OC為。0的半徑，；.CD與。0相切.

5.C6.60°

(第7題)

7.(1)證明：連接AD,：AB是。。的直徑，

.\ZADB=90°.:點D是BC的中點，，AD是線段BC的垂直平分線,

.\AB=AC.

VAB=BC,；.AB=BC=AC,

/.△ABC為等邊三角形.

⑵解:連接BE.

18

：AB是直徑，；./八￡8=90°,.*.BE±AC,

「△ABC是等邊三角形，；.AE=EC,即E為AC的中點.

是BC的中點，故DE為aABC的中位線.

11

/.DE=~AB=-X2=1.

8.(1)證明：連接OB,VOA=OB,.\ZOAB=ZOBA.

,/PA=PB,；.ZPAB=ZPBA.

ZOAB+ZPAB=ZOBA+ZPBA,即ZPAO=ZPBO.

又：PA是。0的切線，...NPA0=90°.

AZPBO=90°.；.OB_LPB.

又；0B是。。的半徑，；.PB是。。的切線.

⑵解:連接OP,

；PA=PB,...點P在線段AB的垂直平分線上.

?；OA=OB,.?.點0在線段AB的垂直平分線上.

/.0P為線段AB的垂直平分線，

又；BC_LAB,，PO〃BC.

.\ZA0P=ZACB=60°..,.Z0PA=30°.

在以ZkAPO中，AO2+PA2=PO2,BPA02+3=(2A0)2.

又：A0>0,

.?.A0=l.二00的半徑為1.

9.⑴證明:如圖，連接CO,交DB于點E,.?.N0=2NCDB=60°.

又；/0BE=30°,.?./BE0=180°-60°-30°=90°.

VAC/7BD,AZAC0=ZBE0=90°,即OC_LAC.

又：點C在。。上，AC是。。的切線.

⑵解：：OEJ_DB,；.EB=；DB=3mcm.

在AzTXEOB中，：/0BE=30°,.*.OE=1oB.

19

VEB=3A/3cm,由勾股定理可求得0B=6cm.

又???ND=NDBO,DE=BE,NCED=NOEB,

△CDE=AOBE,?*.SACDE—SAOBE,

?602/2\

S陰影=S扇形ocB=0公八"?6=6刀'ycm).

360

專訓(xùn)3

1.解：(1)如圖，過B作BH±PQ于H,在TFfABHP中，由條件易知：BP=320km,

ZBPQ=30°..\BH=|BP=160AK200"加....臺風(fēng)會影響B(tài)市.

⑵如圖，以B為圓心，200碗為半徑作圓，交PQ于R,2兩點，連接BPi,由垂徑定

理知PIP2=2PIH.

在心Z\BHPI中，BPi=200km,BH=160km,

/.PIH=^2002-1602=120(k/n).

.,.PIP2=2PIH=240km.

240

/.臺風(fēng)影響B(tài)市的時間為元=8(A).

點撥：本題在圖形中畫出圓，可以非常直觀地構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，然后利用垂徑定理解決

生活中的實際問題.

2.解：選擇射門方式二較好，理由如下：設(shè)AQ與圓的交點為C,連接PC,如圖所示.

"?ZPCQ是APAC的外角，ZPCQ>ZA.又：ZPCQ=ZB,

???/B>/A..?.在B點射門比在A點射門好....選擇射門方式二較好.

點撥：本題運用轉(zhuǎn)化思想,將射門角度大小的問題，建模轉(zhuǎn)化到圓中，根據(jù)圓周角的

相關(guān)知識來解決實際問題.

20

3.解：修建的這條水渠不會穿過公園.

理由：過點C作CDLAB,垂足為D.

VZCBA=45°,.\ZBCD=45°,CD=BD.

設(shè)CD=xkm,則BD=xkm.

易知NCAB=30°,.,.AC=2xkm,(2x)2—X2=A/3Xkm.

/x+x=l,解得x=^2J

即CD="^—~km心0.366km=3667>350m,

也就是說，以點C為圓心，3500為半徑的圓與AB相離.

即修建的這條水渠不會穿過公園.

4.解：?..圓錐形漏斗的底面半徑為20cm,高為40明cm,

圓錐的母線長為四2。2+(4咪)2=60(cffl).

設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為n°,則有“：r°=2]X20,解得n=120.

loU

方案一：如圖①，扇形的半徑為60cm,矩形的寬為60cm,易求得矩形的長為60^3

cm.

此時矩形的面積為60義62=3600^3M.

方案二：如圖②，扇形與矩形的兩邊相切，有一邊重合，易求得矩形的寬為60面，長

為30+60=90(°血，此時矩形的面積為90X60=5400(cm).

?；360端>5400,.?.方案二所用材料最省，即選長為90c0，寬為60口的矩形鐵皮，

才能使所用材料最省.

專訓(xùn)4

1.解：⑴作0D_LBC于D.

由垂徑定理知，點D是BC的中點，即BD=1BC,；(?=%8=5CH,0D=4cm,由勾股

定理得，BD=^/0B2—0D2=3cm,BC=2BD=6cm.

21

（2）設(shè)經(jīng)過ts,4BPC是等腰三角形.

①當PC為底邊時，有BP=BC,即10—1=6,解得t=4；

②當BC為底邊時，有PC=PB,此時P點與0點重合，t=5.

經(jīng)過4s或5s^BPC是等腰三角形.

2.解：（1）線段AB長度的最小值為4.

理由如下：連接OP.

TAB切。0于P,A0PXAB.

取AB的中點C,則AB=20C,

當OC=OP時，0C最短，即AB最短，此時AB=4.

（2）存在.假設(shè)存在符合條件的點Q.

如圖①，設(shè)四邊形AP0Q為平行四邊形，

VZAP0=90°,四邊形AP0Q為矩形.又；0P=0Q,

四邊形AP0Q為正方形，

??.0Q=QA..,.ZQ0A=45°,

在以Z^QA中，根據(jù)0Q=2,ZA0Q=45°,

得Q點的坐標為（啦，一心）.

如圖②，設(shè)四邊形APQ0為平行四邊形，連接0P,

V0Q/7PA,ZAP0=90°,.".ZP0Q=90°.

又；0P=0Q,.,.ZPQ0=45°,

；PQ〃OA,；.PQJ_y軸.

設(shè)PQ交y軸于點H,

在以△OHQ中，根據(jù)0Q=2,ZHQ0=45°,

得Q點的坐標為（一地，書）.

符合條件的點Q的坐標為（啦，一木）或（一乖,72）.

22

3.解：如圖，設(shè)PQ與。。相切于點H,過點P作PELBC,垂足為E.

?.?在四邊形ABCD中,AD//BC,ZABC=90°,

/.PE=AB.由題意可知：AP=BE=tcm,CQ=2tcm,

/.BQ=BC—CQ=(22—2t)cm,EQ=BQ—BE=22—2t—1=(22—3t)cm.

：AB為。0的直徑，ZABC=ZDAB=90°,

AAD,BC為。。的切線..\AP=PH,HQ=BQ.

/.PQ=PH+HQ=AP+BQ=t+22-2t=(22-t)cm.

在以ZiPEQ中，PE2+EQ2=PQ2,

/.122+(22—3t)2=(22-t)2,即

2

t—llt+18=0,解得ti=2,t2=9.

,.,P在AD邊運動的時間為,=：=8(s),

而t=9〉8,；.t=9(舍去).

.?.當t=2s時，PQ與。0相切.

4.解：⑴：在△ACO中,Z0AC=60°,OC=OA,

AAC0是等邊三角形.

.\ZA0C=60°.

(第4題)

⑵如圖，①作點C關(guān)于直徑AB的對稱點岫,連接AM”0應(yīng)

易得SZ\MIAO=SACAO,/A0MI=60°,

,4"4

??AMi=10八X60-T".

loUo

當點M運動到Ml時，SAMAO—SACAO,

,,4

此時動點M經(jīng)過的弧長為§

②過點Mi作MM2〃AB交。。于點M2,連接AM2,0M2,易得SZ\M2Ao=S?

.\Z0MIM2=ZA0MI=60°.

XV0MI=0M2,AZMIOM2=6O°,AZA0M2=120°.

…4"8

??AM2-1onX120—~兀.

loU0

8

.??當點M運動到M2時，SAMAO=SACAO,此時動點M經(jīng)過的弧長為鼻

O

③過點C作CM3〃AB交。。于點岫，連接AM3,0M3,易得3Ao=SMAO,ZA0M3=120.

23

…4"16

???AM2M3=訴*240=77".

loUo

16

，當點M運動到M3時，SAMAO=SACAO,此時動點M經(jīng)過的弧長為k".

o

④當點M運動到C時，M與C重合，SAMAO=SACAO,

此時動點M經(jīng)過的弧長為普X300=日

ioU0

綜上所述，當S^MA0=S與A0時，動點M所經(jīng)過的弧長為或或?"或言"?

<JO?JJ

專訓(xùn)5

(第1題)

1.(1)證明：如圖，連接0D,

?.?直線CD切。0于點D,.-.ZCD0=90°.VAB為00的直徑，AZADB=90°，：.Z1

+Z2=Z2+Z3=90°,.\Z1=Z3.V0B=0D,AZ3=Z4,AZADC=ZABD.

⑵證明：：AM_LCD,.*.ZAMD=ZADB=90o.VZ1=Z4,AADM^AABD,，瞿=

AD

AD

AAD2=AM?AB.

/…3318

⑶解：*.*smNABD==,smA\—~.VAM=—,，AD=6,.*.AB=10,BD=

555

^/AB2-AD2=8.VBN±CD,???NBND=90°,?,?NDBN+NBDN=N1+NBDN=9O°,AZDBN

394_______Q9

=N1,/.smNDBN=F，ADN=—,ABN=^/BD2-DN2=—

500

2.解：⑴連接PA,???BA平分NPBC，???NPBA=NCBA=NACP.

ZACP+ZPCB=ZBCD+ZPCB=90°,ZACP=ZBCD.AZBCD=ZCBA=

NPBA.???AB〃CD.

???NPBA=ND????NBCD=ND，.\BC=BD.

又,.?NPCD=90°,易證得PB=BC=BD.

又???AB〃CD，APE=EC.

24

，BE是ZXPCD的中位線.

?BE_1

,,而=5，

(2)?.?NPCD=NACB=90。，

NCAB=NCPD,AABC^APDC.

PCAC1112

.*