2022-2023學(xué)年人教A版選擇性必修第二冊(cè) 4數(shù)列的概念

4.1數(shù)列的概念（2）-B提高練

一、選擇題

1+.

1.在數(shù)列｛〃/中，4=-2,。〃+1—[c，則%021—()

[~an

11

A.-2B.一一C.——D.3

32

【答案】A

.1_1

【詳解】???4—-2,an+l=",.?a、=—,=一,&=3,a5=—2

l—a“32

，該數(shù)列是周期數(shù)列，周期T=4.又2021=505x4+1,，/（⑶=4=一2,故選：A.

2.已知數(shù)列{4},它的前〃項(xiàng)和S>,=（"+1）2,則“6的值為（）

A.13B.14C.15D.16

【答案】A

【詳解】4=S6—Ss=49—36=13,故選：A

3.下列給出的圖形中，星星的個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則該數(shù)列的一個(gè)遞推公式可以是（）

A.an+i=an+〃,neN*B.an=an_x+n,n^N\n>2

C.%+i=%+(〃+l),〃￡N*,〃N2D.an-an_x+(n-l),neA^*,n>2

【答案】B

【詳解】結(jié)合圖象易知，4=1,。2=3=%+2,。3=6=%+3,。4=1°=。3+4.

4.數(shù)列｛a.｝的q=l,a=(〃,a“),Z?=(a“+i，〃+l),且aJ_b，則%(?=()

100100

A.——B.----C.100D.-100

9999

【答案】D

gn

【詳解】因?yàn)椤╛LZ?,所以〃％+i+=。，即---=------,

%〃+1

a.1a2_2/_3的9二99

所以丁一5

%3'%4“10010°

所以」l-4-iX上C4-nx二Ct-ox

^1^2^^3^^4

a_1

所以x又4=1,所以400=TOO.故選：D

“l(fā)oo10°

2a”,0Wa.<|

3

5.（多選題）若數(shù)列｛氏｝滿足八,q=《，則數(shù)列｛4｝中的項(xiàng)的值可能為（)

c，1，

2%~y-<an<1

1246

A.-B.-C.一D.-

5555

【答案】ABC

2an,0<an<^

3

【詳解】數(shù)列｛%｝滿足4+1q=g,依次取〃=1,2,3,4,…代入計(jì)算得,

2?！?1，5<?！?lt;1

1243

a2=2（\—1=—,〃3=2。2=（，。4=2。3=1，%=2。4-1=1=4，因此繼續(xù)下去會(huì)循環(huán)，數(shù)

1234

列｛4｝是周期為4的周期數(shù)列，所有可能取值為：丁丁丁丁故選：ABC.

6.（多選題）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1,1,2,3,

5,其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列｛斯｝

稱為“斐波那契數(shù)列”，記S,為數(shù)列｛a,,｝的前“項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（）

A.<28=34B.§8=54C.$2020=02022—1D.。1+。3+。5+…+。2021="2022

【答案】BCD

【詳解】對(duì)于A,可知數(shù)列的前8項(xiàng)為1,1,2,3,5,8,13,21,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,S&=1+1+2+3+5+8+13+21=54,故B正確；對(duì)于C,可得%=。用—

則％+%+/+%++a“=q+（g—％）+（%—%）+（%一/）++（%+i一%-J

即S"——。2+々"+1_”"+2—1，■?$2020_。2022—1，故C正確;

對(duì)于D,由%=%+1-?！癬1("22)可得，

%+%+%++。2021=%+(%一。2)+(。6一%)++(%022一4020)=%022，故D正確.

二、填空題

7.已知數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和為S“，且S“=1+4,〃eN*，則4=

5,7?—1

【答案】zzeN*

2H-1,H>2

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛〃/的前〃項(xiàng)和為且S〃=1+4,〃￡N*

2

當(dāng)〃22時(shí)，an-Sn-Sn_x=+4-(n-l)-4=2n-l；

r5,AZ—1

又％=3]=1-+4=5不滿足上式，所以,neN*?

2n-l,n>2

[n+l.n=2k

8.在數(shù)列｛4｝中，an=\，^am_1am=am+lf則機(jī)=_________.

3,n=2K+1

【答案】8

【詳解】當(dāng)加為偶數(shù)時(shí)，由冊(cè)_14=。",+1得3"1*（和+1）=3"出，解得m=8符合;

2

當(dāng)〃7為奇數(shù)時(shí)，由=(+1得(m—l+l)x3"'=(m+l+l),即3"=1+—,

m

2

令必=3%,%=1+—，在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖像，如圖所示:

x

22

由圖可知兩個(gè)函數(shù)圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程3'"=1+—只有一個(gè)根，且31=1+—,所以由

m1

2

3"=1+—得租=1,由根=。祖+1可知加22,所以根=1不滿足題意.綜上，m=8.

m

9.已知數(shù)列｛與｝的通項(xiàng)公式為4=；^^,前幾項(xiàng)和為S“，則5〃取得最小值時(shí)〃的值為

2n—17

【答案】8

Qin

［詳解］令20,解得〃W3或.??當(dāng)時(shí)，??>0,S〃單調(diào)遞增,

2“—172

當(dāng)時(shí)，??<0,S.單調(diào)遞減，當(dāng)“28時(shí)，4〉0,S“單調(diào)遞增，所以S〃取得最小值時(shí)”

的值為8.

10.被人們常常津津樂道的兔子數(shù)列是指這樣的一個(gè)事例：一對(duì)幼兔正常情況下一年后可長(zhǎng)成成兔，

再過一年后可正常繁殖出一對(duì)新幼兔，新幼兔又如上成長(zhǎng)，若不考慮其他意外因素，按此規(guī)律繁殖，

則每年的兔子總對(duì)數(shù)可構(gòu)成一奇妙的數(shù)列，兔子數(shù)列具有許多有趣的數(shù)學(xué)性質(zhì)，該數(shù)列在西方又被

稱為斐波拉契數(shù)列，它最初記載于意大利數(shù)學(xué)家斐波拉契在1202年所著的《算盤全書》.現(xiàn)有一兔

子數(shù)列｛￡｝：耳=耳=1，工=工.1+￡.2(”〉2),若將數(shù)列｛可｝的每一項(xiàng)除以2所得的余數(shù)按

原來項(xiàng)的順序構(gòu)成新的數(shù)列｛??｝,則數(shù)列｛。“｝的前2020項(xiàng)和為.

【答案】1347

【詳解】由題意可得｛￡｝=｛1,1,2,3,5,8,13,21,34,…｝,所以數(shù)列｛4｝=｛1,1,0,1』,0,1,1,0,…｝,

所以數(shù)列｛4｝是一個(gè)周期為3的周期數(shù)列，而2020除以3商673余1,所以數(shù)列｛q,｝的前2020項(xiàng)

和為2x673+1=1347.

三、解答題

11.在數(shù)列｛斯｝中,ai=2,斯+i=a〃+ln(l+。求斯.

【詳解】由題意，得斯+1“=1心出，

n

71

.(n>2),

即「M2=ln懸

.:當(dāng)ri>2時(shí),〃i=ln(臺(tái)?翳?…?|)=ln.：斯=2+lnn(n>2).

當(dāng)n=l時(shí),〃i=2+ln1=2,符合上式，

?：〃〃=2+ln〃(幾￡N*).

2