2021-2022學(xué)年數(shù)學(xué)蘇教版必修第二冊學(xué)案：第9章9 . 3 向量基本定理及坐標表示

9.3向量基本定理及坐標表示

9.3.1平面向量基本定理

課程

理解平面向量基本定理及其意義.

標準

》基礎(chǔ)認知-自主學(xué)習(xí)《

【概念認知】

1.平面向量基本定理

ei,e2是同一平面內(nèi)兩個丕共線的向量，a是這一平面內(nèi)的任二

條件

向量

結(jié)論有且只有一對實數(shù)兀，入2,使a=Qei+皿

有關(guān)

若由，e2不共線,我們把e1，e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量

概念

的一組基底

2.正交分解

對于分解a=Xiei+X2e2，當ei,e2所在直線互相垂直時，這種分解也

稱為向量a的正交分解.

【自我小測】

1.若?,ez}是平面a內(nèi)的一組基底，則下列四組向量能作為平面a

的一組基底的是()

A.{ei-e2,62-ei}B.,2ei+ez,ei+/e2>

C.{202-3ei,6ei-4e2)D.{ei+e2，ei-e2}

選D.對于選項A,ei-e2=-?-ei),所以(ei-e2)II?-ei),故該組

向量不能作為該平面的基底；對于選項B,2e,+e2=2&+1e2],所

以(2ei+e2)II(e.+1e2],故該組向量不能作為該平面的基底；對于選

項C,2e2-3ei=-1(6ei-4e?),所以(2e2-3ei)II(6ei-4e2),故該組

向量不能作為該平面的基底；對于選項D,顯然ei+e2與ei-e2不共

線，故該組向量能作為該平面的基底.

_____1?

2.已知平面內(nèi)不共線的四點O,A,B,C；兩足qOA+qOt,

則A6|:|Bt|=()

A.1:3B.3:1C.1:2D.2:1

選D.因為3=jOA+|Ot，所以;Ofe-jOA=|OC-|

06,即:=ISt,也就是◎=2Bt,所以Afe|:|Bt|=

2:1,

3.如圖，在正方形ABCD中，設(shè)Afe=a,At)=b,Bt)=c,則以

a,b為基底時,At可表示為以a,c為基底時，At可

表示為.

以a,b為基底時，由平行四邊形法則得At=a+b以a,c為基底

時，將Bt)平移，使B與A重合，再由三角形法則或平行四邊形法

則得At=2a+c.

答案：a+b2a+c

4.已知向量ei,e2不共線，實數(shù)x,y滿足(3x-4y)ej+(2x-3y)e2=

6ei+3e2,貝[Jx-y=.

由平面向量基本定理，

13x-4y=6,fx=6,

得所以所以x-y=3.

[2x-3y=3,1y=3,

答案：3

5.在平行四邊形ABCD中，演

⑴如圖1,如果E,F分別是BC,DC的中點，試用a,b分別表示的,

⑵如圖2,如果。是AC與BD的交點，G是DO的中點，試用a,b

表示At).

(l)Bt7=Bt+C?=A￡)+1Ct)

f1f1

=AD-2AB=-2a+b.

Dt=Dt+Cfc=ATfe-2At)=a-b.

(2)Bt)=At)-Afe=b-a,

因為。是BD的中點，G是DO的中點，

、3,3

所以Bt；=4Bt)=4(b-a),

一一一一313

所以At；=Afi+B(J=a+1(b-a)=a+1b.

份學(xué)情診斷.課時測評《

【基礎(chǔ)全面練】

一、單選題

1.{ei,ez}為基底向量，已知向量期=ei-ke2,C&=2ei-e2,Ct)

=3e「3e2,若A,B,D三點共線，則k的值是()

A.2B.-3C.-2D.3

選A.根據(jù)題意得Afe=ei-ke2,Bt)=Ct)-=3ei-3e2-2ei+

e2=ei-2e2,因為A,B,D三點共線，

所以Aft=A,Bt)，即ei-ke2=X(ei-2ei),

[1二A,,

所以所以k=2.

[-k=-2X,

2.在^OAB中，P為線段AB上的一點,OP=xOA+yO6,且聯(lián)

=2PX，則()

2112

A.x=^/y=3B.x=g,y=3

1331

C-x=4,y=4D.x=^,y

選A.因為B?=2PA，所以BO+0P=2P0+

一21

20A,即30=20A+3,所以g=wOA+wOBk,

21

即anx=g,y=3.

3.如圖，在平行四邊形ABCD中，E,F分別是BC,CD的中點，

DE交AF于點H,記晶，Bt分別為a,b,則Atl=()

選B.設(shè)Aft=XAf1,Dft=pDfi.

因為F為CD的中點，所以4=1(At+At)).

yyy

所以Afi=2(At+At))=2(期+2Bt)=]◎+

XBC.AH=AD+DH=AL)+|iDE=AL)+|i(AE-AD)

=(1-++；)=|iA^+(1-2)Bt.

根據(jù)平面向量基本定理有g(shù)=|i,X=1-.

,24

解得P=5，入二弓?

24

因此有Afi=5a+5b.

4.如圖所示，在正方形ABCD中，E為AB的中點，F(xiàn)為CE的中點,

則◎=()

3113

A-醺+-B◎+-

44At)4-4At)

31

1期-

c-+D+-

2At)42At)

選D根據(jù)題意得：Af=1(At+At),

又At=Afe+At),At=；Afe,

所以Af=1(A6+At)+；同=|A6+；At).

5.如圖，在等腰梯形ABCD中，DC=gAB,BC=CD=DA,DE±AC

于點E,則優(yōu)=()

DC

'E

--------------

A.；Afe-；AtB.gAfe+；At

1f1f1f1f

C.2Afi-4AtD.2+[At

選A.因為CD=DA,DE±AC，所以E是AC的中點，所以優(yōu)=|

DA+]Dt

=；（DC+CA）+；Dt=Dt-；At,

XS^DCIIAB,DC=|AB,,

1

所以優(yōu)=1Afe2-

6.如圖所示，平面內(nèi)的兩條直線OPi和0P2將平面分割成四個部分

I,□,HI,IV（不包括邊界）,若6=aOP；+bOp-,且點P落在第

I部分，則實數(shù)a,b滿足（）

A.a>0,b>0B.a>0,b<0

C.a<0,b>0D.a<0,b<0

選c.當點P落在第I部分時，OP按向量OP；與亞分解時，一個與

OP；反向，一個與網(wǎng)同向，故a<0,b>0.

二、填空題

7.如圖所示，在6x4的方格中，每個小正方形的邊長為1,點O,A,

B,C均為格點（格點是指每個小正方形的頂點），則Ot=

設(shè)水平向右和豎直向上的單位向量為ei和e2,則|ei|=|e2|=1,ei-e2=

0,

由題圖可知，Ot=3e)+2e2,=6ei-3e2,Ot?AHfe=(3ei+

2e2)-(6ei-3ei)=18ei2+3ei-e2-6ez2=12.

答案：12

4

8.已知A,B,D三點共線，且對任意一點C，有Ct)=gCA+XCfi,

貝U入二.

因為A,B,D三點共線，

所以存在實數(shù)t,使At)=tAS,

則Ct)-CA=t(Cfi-CA),

即Ct)=CA+t(CT&-CA)=(1-t)CA+,

「t-4

1-1-a,1

所以彳3即入

t=X,

答案：*

9.如圖，已知E,F分別是矩形ABCD的邊BC,CD的中點，EF

與AC交于點G，若?=a,At)=b，用a,b表示At)=

E?=.

1111

+蛇++b++b+13

=EGa2-4-Br)a2-4-

At)4a=4

3.

a+4b.

fi11

E?=EC+Cf=2b-2a-

答案：(a+(b|b-1a

10.已知向量ei,e?不共線，實數(shù)x,y滿足(x-2)ei+(y-l)e2=5ei

+2e2,貝!Jx二,y=.

因為向量ei,e2不共線，所以根據(jù)平面向量基本定理可得x-2=5,

y-1=2,解得x=7,y=3.

答案：73

三、解答題

11.如圖所示，在^ABC中，D,F分別是BC,AC的中點，=

2

gAt),Afe=a,At=b.

⑴用a,b表示At),A￡,@；

⑵求證：B,E,F三點共線.

(1)如圖所示,延長AD到點G，使AO=2At),

A

二C

、、、；/

\?zz

X

連接BG,CG，得至I」平行四邊形ABGC加AG=a+b,At)=；&

=2(a+b)qAt)=2(a+b),Af=/At=/b=At

-Afe=T(a+b)-a=(b-2a),=At7-=Jb-a=J(b

?JD乙乙

-2a).

2

⑵由⑴知，此一麻，所以此，跳共線，又時,駐有公共

點B,所以B,E,F三點共線.

12.在^ABC中，At)=；0,過點D作DE〃BC,與邊AC相

交于點E,△ABC的中線AM與DE相交于點N,如圖所示.設(shè)期

a,At=b,試用基底｛a,b｝表示訊.

A

BMC

【思路導(dǎo)引】設(shè)加二入B的，硒=piA^I,

根據(jù)At)，m，■不共線，列方程組求X,|i.

因為M為BC的中點，所以可=|Bt=1(At-)=|(b-

a),A1C1==a+；(b-a)=；(a+b).因為DN〃BM,AN

與AM共線，

所以存在實數(shù)入，|i,使得面=＞邱1=1X(b-a).冰=1

14a+b)=2a+2、

11入、入

因為硒=At)=4a+1Mb-a)=丘-a+/b,

flj

4-2-2，

所以根據(jù)平面向量基本定理，得\

&_且

12一2，

所以入=|i=；，所以m=|(b-a)=-1a+|b.

【綜合突破練】

一、選擇題

1.若點O是平行四邊形ABCD兩對角線的交點，期=4ei,Bt=

6e?,則3e2-2ei=()

A.AOB.COC.BOD.DO

1111

-=--=-一

選C.3e2-2ei=222At)22Bt)一

BO.

2.如圖，在平行四邊形ABCD中，AE=；AB,CF=；CD,G為

EF的中點，則皿=()

DF

A.2IAffe-2IAft)B.2IAft)-2IAffe

C.At)D.At)-Afe

選A.在平行四邊形ABCD中，

AE=|AB,CF=|CD,G為EF的中點，

21212

Dti=Dt7+Ft)=gDt+]莊=gATfe+2(FO+Dt)=q

A6+；(-|A^+A￡-At)]

--At)J=；ATfe-；At).

--碎+-

一3AB+2

3.已知非零向量OA,3不共線，且2m=xOA+yO6，若以

=入期（九￡R）,則x,y滿足的關(guān)系式是（）

A.x+y-2=0B.2x+y-1=0

C.x+2y-2=0D.2x+y-2=0

選A.由PA=,

得OA-0^=-OA),

即OP=(1+X)OA-xofi.

又20^=xOA+y(Jfe,

fx=2+2X,

所以

[y=-2入，

消去入得x+y=2.

畿【加固訓(xùn)練】

設(shè)a,b為平面內(nèi)所有向量的一組基底，已知向量期=a-kb,C6

=2a+b,Ct)=32-1)若人/62三點共線則實數(shù)卜的值等于()

A.2B.-2C.10D.-10

選A.At)=ATfe++Ct)=(a-kb)+(-2a-b)+(3a-b)=2a-

(k+2)b.因為A,B,D三點共線，所以存在實數(shù)X使得AS=入At),

即a-kb二九[2a-(k+2)b]=2Xa-X(k+2)b.因為a,b為基底向量,

_E=l,1

所以V解得九=5,k=2.

[k(k+2)=k,'

4.(多選)設(shè)O是平行四邊形ABCD兩對角線的交點,給出下列向量

組，其中可作為這個平行四邊形所在平面的基底的是()

A.At)與ASB.DA與

C.CA與DtD.OD與3

選AC.對于A,At)與電不共線；對于B,DA=-Bt,則DA與

Bt共線；對于C,CA與反不共線；對于D,Ot)=-OS，則3

與3共線.由平面向量基底的概念知A、C中的向量組可以作為平

面的基底.

畿【加固訓(xùn)練】

若點D,E,F分另!]為^ABC的邊BC,CA,AB的中點,且0=

a,Bt=b,則下列結(jié)論正確的是()

-1-11

A.DA=a-2bB.此=-/a+]b

C.Cf=-^a-bD.Dt7=；a+；b

選BC.因為點D為邊BC的中點，

所以At)=A6+Bt)=A6+；=a+；b,

所以DA=-a-；b；因為點E為邊CA的中點，所以3=1

（BA+Bt）=-/a+/b；

因為點F為邊AB的中點,

1

所以B=C6+朧=-Bt2-

=-a-b；因為At=Afi+=a+b,

所以足=-1At=-1a-1b.

二、填空題

5.如圖所示，已知點G是^ABC的重心，過點G作直線分別交AB,

AC兩邊于M,N兩點,SATvl=xAfe,=yAt,貝U3x+y的

最小值為.

BC

因為G是^ABC的重心，

所以At；=|At+|Afe,

又=xAfe,=yAt,

所以AOA^l+微點,

因為M,G,N三點共線,

所以！+2=1，

fli}1x工4c/T

所以3x+y=(3x+y)氏+句=l+w+亍+3x>3+2、^=

4+2小

3?

當且僅苦4，

3+SJ3+1

即x=-，y=%—時，等號成立，故3x+y的最小值為

yJ

4+2小

4+2仍

里i=i奈-?---3--

6在平行四邊形ABCD中E和F分別是邊CD和BC的中點若At

=XAfc+iiAt7,其中九，p￡R,則九+p=.

設(shè)碰=a,At)=b,則At=；a+b,A?=a+

1b.又因為At=a+b,

2?

所以At(Afi+At7),即九=|i=g.

,、4

所以入+|i=Q.

4

答案：Q

7.如圖，在平行四邊形OPQR中，S是對角線的交點，若6=2ei,

Oft=3e2,以ei,ez為基底，表示時與