數(shù)學(xué)-人教A版（新教材）-必修第一冊(cè)-教學(xué)設(shè)計(jì)1：4.3.2　對(duì)數(shù)的運(yùn)算第四章　指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)-教學(xué)設(shè)計(jì)

4.3.2對(duì)數(shù)的運(yùn)算課程標(biāo)準(zhǔn)：把握積、商、冪的對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，理解其推導(dǎo)過程和成立的條件．把握換底公式并能用換底公式進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)．教學(xué)重點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、換底公式．教學(xué)難點(diǎn)：機(jī)敏運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)和換底公式.學(xué)問導(dǎo)學(xué)學(xué)問點(diǎn)一對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)假如a>0且a≠1，M>0，N>0，那么，(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．學(xué)問點(diǎn)二換底公式(1)對(duì)數(shù)的換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0)．(2)三個(gè)較為常用的推論①logab·logbc·logca＝1(a>0，b>0，c>0，且均不為1)；②logab＝eq\f(1,logba)(a>0，b>0，且均不為1)；③logambn＝eq\f(n,m)logab(a>0，b>0，且均不為1，m≠0)．新知拓展(1)推廣：loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(Nk＞0，k∈N*)．(2)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)推導(dǎo)的基本方法：利用對(duì)數(shù)的定義將對(duì)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為指數(shù)問題，再利用冪的運(yùn)算性質(zhì)，進(jìn)行轉(zhuǎn)化變形，然后把它還原為對(duì)數(shù)問題．(3)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的實(shí)質(zhì)就是把積、商、冪的對(duì)數(shù)運(yùn)算分別轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)的加、減、乘運(yùn)算，使用時(shí)要留意公式的適用條件．(4)只有當(dāng)式子中全部的對(duì)數(shù)都有意義時(shí)，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)才能成立，留意下列式子不成立：loga(MN)＝logaM·logaN，loga(M±N)＝logaM±logaN，logaeq\f(M,N)＝eq\f(logaM,logaN)，logaMn＝(logaM)n.(5)逆向運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可以將幾個(gè)對(duì)數(shù)式化為一個(gè)對(duì)數(shù)式，有利于化簡(jiǎn)，如：lg5＋lg2＝lg10＝1.評(píng)價(jià)自測(cè)1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩個(gè)正數(shù)的積、商的對(duì)數(shù)可以化為它們對(duì)數(shù)的和、差．()(2)loga(xy)＝logax·logay.()(3)log2(－5)2＝2log2(－5)．()(4)由換底公式可得logab＝eq\f(log－2b,log－2a).()【答案】(1)√(2)×(3)×(4)×2．做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上)(1)log325－log35＝________.(2)lg8＋lg53＝________.(3)若lg5＝a，lg7＝b，用a，b表示log75＝________.【答案】(1)log35(2)3(3)eq\f(a,b)核心素養(yǎng)形成題型一對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用例1若a>0，且a≠1，x>y>0，n∈N*，則下列各式：①logax·logay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；③loga(xy)＝logax·logay；④eq\f(logax,logay)＝logaeq\f(x,y)；⑤(logax)n＝logaxn；⑥logax＝－logaeq\f(1,x)；⑦eq\f(logax,n)＝logaeq\r(n,x)；⑧l(xiāng)ogaeq\f(x－y,x＋y)＝－logaeq\f(x＋y,x－y).其中式子成立的個(gè)數(shù)為()A．3B．4C．5D．6【解析】對(duì)于①，取x＝4，y＝2，a＝2，則log24·log22＝2×1＝2，而log2(4＋2)＝log26≠2，∴l(xiāng)ogax·logay＝loga(x＋y)不成立；對(duì)于②，取x＝8，y＝4，a＝2，則log28－log24＝1≠log2(8－4)＝2，∴l(xiāng)ogax－logay＝loga(x－y)不成立；對(duì)于③，取x＝4，y＝2，a＝2，則log2(4×2)＝log28＝3，而log24·log22＝2×1＝2≠3，∴l(xiāng)oga(xy)＝logax·logay不成立；對(duì)于④，取x＝4，y＝2，a＝2，則eq\f(log24,log22)＝2≠log2eq\f(4,2)＝1，∴eq\f(logax,logay)＝logaeq\f(x,y)不成立；對(duì)于⑤，取x＝4，a＝2，n＝3，則(log24)3＝8≠log243＝6，∴(logax)n＝logaxn不成立；⑥成立，由于－logaeq\f(1,x)＝－logax－1＝loga(x－1)－1＝logax；⑦成立，由于logaeq\r(n,x)＝logaxeq\s\up15(eq\f(1,n))＝eq\f(1,n)logax；⑧成立，由于logaeq\f(x－y,x＋y)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,x－y)))－1＝－logaeq\f(x＋y,x－y).【答案】A例2化簡(jiǎn)：(1)4lg2＋3lg5－lgeq\f(1,5)；(2)eq\f(lg\r(27)＋lg8－3lg\r(10),lg1.2)；(3)2log32－log3eq\f(32,9)＋log38－5log53；(4)log2eq\r(8＋4\r(3))＋log2eq\r(8－4\r(3)).解：(1)原式＝lgeq\f(24×53,\f(1,5))＝lg104＝4.＝eq\f(\f(3,2)lg3＋2lg2－1,lg3＋2lg2－1)＝eq\f(3,2).(3)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝5log32－(5log32－2)－3＝－1.(4)原式＝log2(eq\r(8＋4\r(3))·eq\r(8－4\r(3)))＝log24＝2.金版點(diǎn)睛對(duì)數(shù)式化簡(jiǎn)與求值的原則和方法(1)基本原則對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)求值一般是正用或逆用公式，對(duì)真數(shù)進(jìn)行處理，選哪種策略化簡(jiǎn)，取決于問題的實(shí)際狀況，一般本著便于真數(shù)化簡(jiǎn)的原則進(jìn)行．(2)兩種常用的方法①“收”，將同底的兩對(duì)數(shù)的和(差)收成積(商)的對(duì)數(shù)；②“拆”，將積(商)的對(duì)數(shù)拆成同底的兩對(duì)數(shù)的和(差)．(3)要留意一些常見的結(jié)論，如lg2＋lg5＝1，lgeq\f(1,a)＝－lga等．跟蹤訓(xùn)練1計(jì)算：(1)lg25＋eq\f(2,3)lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2；(2)log535－2log5eq\f(7,3)＋log57－log51.8；(3)log2eq\r(\f(7,48))＋log212－eq\f(1,2)log242－1.解：(1)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.(2)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5eq\f(9,5)＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2.(3)原式＝log2eq\f(\r(7),\r(48))＋log212－log2eq\r(42)－log22＝log2eq\f(\r(7)×12,\r(48)×\r(42)×2)＝log2eq\f(1,2\r(2))＝log22eq\s\up15(－eq\f(3,2))＝－eq\f(3,2).題型二換底公式的應(yīng)用例3計(jì)算：(1)(log43＋log83)eq\f(lg2,lg3)；(2)(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)．解：(1)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,lg4)＋\f(lg3,lg8)))eq\f(lg2,lg3)＝eq\f(lg3,2lg2)·eq\f(lg2,lg3)＋eq\f(lg3,3lg2)·eq\f(lg2,lg3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).(2)解法一：原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log253＋\f(log225,log24)＋\f(log25,log28)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log52＋\f(log54,log525)＋\f(log58,log5125)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3log25＋\f(2log25,2log22)＋\f(log25,3log22)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log52＋\f(2log52,2log55)＋\f(3log52,3log55)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋1＋\f(1,3)))log25·3log52＝13log25·eq\f(log22,log25)＝13.解法二：原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg125,lg2)＋\f(lg25,lg4)＋\f(lg5,lg8)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg5)＋\f(lg4,lg25)＋\f(lg8,lg125)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3lg5,lg2)＋\f(2lg5,2lg2)＋\f(lg5,3lg2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg5)＋\f(2lg2,2lg5)＋\f(3lg2,3lg5)))＝eq\f(13lg5,3lg2)·eq\f(3lg2,lg5)＝13.解法三：原式＝(log253＋log2252＋log2351)(log52＋log5222＋log5323)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3log25＋log25＋\f(1,3)log25))(log52＋log52＋log52)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋1＋\f(1,3)))log25·3log52＝eq\f(13,3)×3＝13.金版點(diǎn)睛換底公式在求值中的應(yīng)用利用對(duì)數(shù)的換底公式能夠?qū)⒉煌椎膶?duì)數(shù)化為常用對(duì)數(shù)或自然對(duì)數(shù)或同底的對(duì)數(shù)，即可用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)來解決對(duì)數(shù)的求值問題，同時(shí)要留意換底公式的逆用和變形應(yīng)用．跟蹤訓(xùn)練2計(jì)算：(1)log23×log34×log45×log56×log67×log78；(2)eq\f(log5\r(2)×log79,log5\f(1,3)×log7\r(3,4))＋log2(eq\r(3＋\r(5))－eq\r(3－\r(5)))．解：(1)原式＝eq\f(lg3,lg2)×eq\f(lg4,lg3)×eq\f(lg5,lg4)×eq\f(lg6,lg5)×eq\f(lg7,lg6)×eq\f(lg8,lg7)＝eq\f(lg8,lg2)＝eq\f(3lg2,lg2)＝3.題型三對(duì)數(shù)式的條件求值問題例4已知log189＝a,18b＝5，試用a，b表示log3645.解：解法一：∵18b＝5，∴l(xiāng)og185＝b，又log189＝a，∴l(xiāng)og3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log189×5,log18\f(182,9))＝eq\f(log189＋log185,2log1818－log189)＝eq\f(a＋b,2－a).解法二：∵log189＝eq\f(lg9,lg18)＝a，∴l(xiāng)g9＝alg18，同理得lg5＝blg18，∴l(xiāng)og3645＝eq\f(lg45,lg36)＝eq\f(lg9×5,lg\f(182,9))＝eq\f(lg9＋lg5,2lg18－lg9)＝eq\f(alg18＋blg18,2lg18－alg18)＝eq\f(a＋b,2－a).解法三：∵log189＝a，∴l(xiāng)og18eq\f(18,2)＝1－log182＝a，∴l(xiāng)og182＝1－a.∵18b＝5，∴l(xiāng)og185＝b，∴l(xiāng)og3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log189＋log185,1＋log182)＝eq\f(a＋b,2－a).解法四：∵log189＝a，∴18a＝9.又18b＝5，∴45＝5×9＝18b·18a＝18a＋b.令log3645＝x，則36x＝45＝18a＋b，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,3)×\f(18,3)))x＝18a＋b,182x＝9x·18a＋b.∵18a＝9，∴182x＝(18a)x·18a＋b＝18ax·18a＋b＝18ax＋a＋b.∴2x＝ax＋a＋b，∴x＝eq\f(a＋b,2－a)，即log3645＝eq\f(a＋b,2－a).金版點(diǎn)睛指數(shù)式與對(duì)數(shù)式之間的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵對(duì)數(shù)式的證明和對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)的基本思路是全都的，就是依據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式對(duì)對(duì)數(shù)式化簡(jiǎn)，此題奇妙引入幫助量，順當(dāng)完成指數(shù)與對(duì)數(shù)之間的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．帶有附加條件的代數(shù)式求值問題，需要對(duì)已知條件和所求式子進(jìn)行化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化，原則是化為同底的對(duì)數(shù)，以便利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．要整體把握對(duì)數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，機(jī)敏運(yùn)用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化．跟蹤訓(xùn)練3已知a，b，c是不等于1的正數(shù)，且ax＝by＝cz，eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝0，求abc的值．解：解法一：設(shè)ax＝by＝cz＝t，∴x＝logat，y＝logbt，z＝logct，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝eq\f(1,logat)＋eq\f(1,logbt)＋eq\f(1,logct)＝logta＋logtb＋logtc＝logt(abc)＝0，∴abc＝t0＝1，即abc＝1.解法二：∵a，b，c是不等于1的正數(shù)，且ax＝by＝cz，∴令ax＝by＝cz＝t>0，∴x＝eq\f(lgt,lga)，y＝eq\f(lgt,lgb)，z＝eq\f(lgt,lgc)，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝eq\f(lga,lgt)＋eq\f(lgb,lgt)＋eq\f(lgc,lgt)＝eq\f(lga＋lgb＋lgc,lgt).∵eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝0，且lgt≠0，∴l(xiāng)ga＋lg