“去方程化”的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題教學(xué)探究

摘要分?jǐn)?shù)應(yīng)用題是小學(xué)數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，現(xiàn)有教材中大量借助方程處理分?jǐn)?shù)中的復(fù)雜數(shù)量關(guān)系。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》將方程內(nèi)容從小學(xué)移出后，亟需形成“去方程化”的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題教學(xué)變革。分析現(xiàn)有教材的變遷、對比國外教材，可以發(fā)現(xiàn)方程并不是分?jǐn)?shù)應(yīng)用題教學(xué)的必要條件。在不借助方程時，首先通過“量”和“率”的分類討論，把握分?jǐn)?shù)應(yīng)用題和整數(shù)應(yīng)用題的遷移聯(lián)系；進(jìn)一步通過構(gòu)建數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)，明晰分?jǐn)?shù)問題中加減乘除列式的算術(shù)意義；最后通過比、分?jǐn)?shù)、除法之間的大單元聯(lián)系，實現(xiàn)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的整體教學(xué)。關(guān)鍵詞小學(xué)數(shù)學(xué)；分?jǐn)?shù)應(yīng)用題；方程；“去方程化”在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中，方程是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。因此，現(xiàn)有教材編排中把方程作為解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的重要方式，并取得一定成效。而《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《2022年版課標(biāo)》）將方程內(nèi)容從小學(xué)調(diào)整到初中學(xué)段。史寧中教授解釋了調(diào)整的原因：在小學(xué)階段沒有涉及到方程的本質(zhì)，也沒有感知方程的必要性。方程作為解決問題的重要方式，調(diào)整出小學(xué)階段后，影響較大的是應(yīng)用題的教學(xué)，其中以分?jǐn)?shù)應(yīng)用題尤甚。不借助方程，如何突破這一教學(xué)難點(diǎn)？本文依托人教版、北師大版、青島版數(shù)學(xué)教材中的部分題目，將原有的方程思路調(diào)整為算術(shù)思路，著重討論“去方程化”的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題教學(xué)方式，為新課標(biāo)修訂后的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題教學(xué)提供參考。一、方程在分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中的教學(xué)現(xiàn)狀1.現(xiàn)有教材中的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題教學(xué)充分發(fā)揮了方程的優(yōu)勢現(xiàn)有教材編排中分?jǐn)?shù)加減法問題、正向思維為主的分?jǐn)?shù)乘法問題以算術(shù)列式為主，逆向思維為主的分?jǐn)?shù)除法問題以列方程為主。以人教版教材“分?jǐn)?shù)除法”單元為例，單位“1”未知的例題出現(xiàn)了4次，只有1次采用了算術(shù)列式，其余均采用方程列式。而北師大版教材和青島版教材中，對單位“1”未知的分?jǐn)?shù)除法問題全部采用方程列式。正是因為這些優(yōu)勢，把方程引入小學(xué)，實現(xiàn)算術(shù)思維到代數(shù)思維的過渡，一度被看作是新課改的重要成果，也在一定程度上降低了分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的難度。上海楊浦區(qū)曾做過對比分析，對63所學(xué)校9574名學(xué)生進(jìn)行解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題能力測試，平均成績達(dá)88.8分，高于使用老教材的對照學(xué)校10分以上[1]。2.國外教材中的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題教學(xué)并未將方程作為必要條件然而，列方程解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題并不是所有版本教材的共識。如美國加州版數(shù)學(xué)教材中的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題例題并沒有出現(xiàn)列方程思路，而是綜合運(yùn)用多種問題解決方法，如分析法、作圖法和轉(zhuǎn)換法等。其實，美國的數(shù)學(xué)教材在四年級便引導(dǎo)學(xué)生“用字母、計算符號去表示代數(shù)式和方程”[2]，但在五、六年級教材中方程并沒有成為解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的思路。加州版教材主要通過情境設(shè)計簡化數(shù)量關(guān)系的分析過程，通過輔助圖示直觀理解，通過螺旋式編排對同一種題型反復(fù)學(xué)習(xí)以降低難度。這些措施是分?jǐn)?shù)教學(xué)的重要思路，也說明方程不是分?jǐn)?shù)應(yīng)用題教學(xué)的必要條件。3.課堂中的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題教學(xué)堅持方程和算術(shù)并重方程在國內(nèi)小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的編排方式曾多次調(diào)整，方程概念從無到有，方程解法也不斷發(fā)生變化。早期曾借助四則運(yùn)算關(guān)系解方程，自從2001年課改后，教學(xué)中開始運(yùn)用天平的平衡原理和等式性質(zhì)解方程，其優(yōu)點(diǎn)是直觀形象，符合小學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)[3]，但缺點(diǎn)是解方程步驟比較繁瑣。正因為方程概念和解法在小學(xué)一直不夠完善，在解決問題時，一線教師并不完全依賴方程，而是算術(shù)方法和方程并重。在課改之初的2008年，洪婷對“執(zhí)教分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時，你更喜歡什么方法？”這一問題的調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，算術(shù)方法仍然有很大的受眾，其中一線教師喜歡方程思路的占比49.6%，喜歡算術(shù)方法的占比50.4%[4]。2011年后，隨著現(xiàn)行教材的使用，方程解題思路受歡迎程度增加，但算術(shù)方法仍在不斷探究，比如一線教學(xué)中廣泛通過單位“1”的分析來辨別是用分?jǐn)?shù)乘法還是分?jǐn)?shù)除法[5]。所以，目前的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題教學(xué)中，教材雖推崇方程思路，一線教師也往往補(bǔ)充算術(shù)思路以供學(xué)生參考。整體來看，方程調(diào)整出小學(xué)階段后，對學(xué)生而言，需要直面分?jǐn)?shù)問題中的逆向數(shù)量關(guān)系；對教師而言，需要著重建構(gòu)分?jǐn)?shù)除法的數(shù)量關(guān)系模型，以便形成算術(shù)列式基礎(chǔ)，這是《2022年版課標(biāo)》出臺后分?jǐn)?shù)應(yīng)用題教學(xué)面臨的重要挑戰(zhàn)。二、分?jǐn)?shù)應(yīng)用題學(xué)習(xí)中的主要障礙學(xué)生在運(yùn)用分?jǐn)?shù)解決問題時往往會遇到諸多障礙，主要包括理解題意時的閱讀障礙、知識關(guān)聯(lián)時的遷移障礙、分析數(shù)量關(guān)系時的結(jié)構(gòu)障礙、具體求解中的計算障礙等。無論是否引入方程，這些障礙都會在一定程度上存在。1.閱讀障礙：分?jǐn)?shù)在生活中所見不多2.遷移障礙：整數(shù)應(yīng)用題的經(jīng)驗無法直接遷移數(shù)的擴(kuò)充是一個不斷遷移的過程，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生把握整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)之間的遷移聯(lián)系，在“原數(shù)”的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)“新數(shù)”，提高認(rèn)知效率。整數(shù)應(yīng)用題中的思維方式對小數(shù)應(yīng)用題以正遷移為主，而對分?jǐn)?shù)應(yīng)用題學(xué)習(xí)卻是正遷移和負(fù)遷移并存。在理解不到位時，前期形成的思維定勢對分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)易造成認(rèn)知混淆。分?jǐn)?shù)表示一個“量”時，整數(shù)應(yīng)用題的前期經(jīng)驗遷移比較順利；分?jǐn)?shù)表示一個“率”時，原先整數(shù)中的解題經(jīng)驗難以直接遷移。對這一類問題，教師在教學(xué)中需要重點(diǎn)分析。3.結(jié)構(gòu)障礙：數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)復(fù)雜運(yùn)用算術(shù)方法解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，最大的障礙在于學(xué)生難以厘清其中的數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)。主要表現(xiàn)為以下三點(diǎn)：（3）“量”和“率”的對應(yīng)關(guān)系。例如：①一條路走現(xiàn)行教材中，方程介入之所以能夠降低難度，主要體現(xiàn)在這一層面。如上所述，方程可以實現(xiàn)分?jǐn)?shù)乘法和除法問題的溝通與轉(zhuǎn)換，不需要專門學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法關(guān)系結(jié)構(gòu)，也不需要提前建立“量”和“率”的對應(yīng)關(guān)系。4.計算障礙：分?jǐn)?shù)運(yùn)算的復(fù)雜性在數(shù)的擴(kuò)充中，小數(shù)和整數(shù)都是十進(jìn)制位值計數(shù)法，整數(shù)計算經(jīng)驗容易遷移到小數(shù)，而分?jǐn)?shù)計算時，通分、約分以及分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算方式發(fā)生明顯變化。分?jǐn)?shù)運(yùn)算從加減推進(jìn)到乘除，運(yùn)算越來越復(fù)雜，逐漸變得“觀而難直”[7]。在分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，分?jǐn)?shù)除法的數(shù)量關(guān)系最難理解，同時計算難度也是最大的。這是因為在小學(xué)算術(shù)專題中，分?jǐn)?shù)除法是對最復(fù)雜的數(shù)作最難的運(yùn)算[8]。在計算層面，方程介入并不能降低分?jǐn)?shù)運(yùn)算的復(fù)雜性，相反小學(xué)解方程步驟的繁瑣反而會增加計算難度。對以上四類障礙，閱讀障礙客觀存在，但教材編排時已進(jìn)行了情境化處理；計算障礙在方程調(diào)整出小學(xué)后反而會降低難度。因此，《2022年版課標(biāo)》實施中需要著重解決的是遷移障礙和數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)障礙，即整體把握分?jǐn)?shù)應(yīng)用題與整數(shù)應(yīng)用題的遷移聯(lián)系，厘清分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)，為算術(shù)列式作基礎(chǔ)。三、“去方程化”的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題教學(xué)策略1.分類討論的角度：辨析分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中的“量”和“率”在“量”和“率”的分類討論中初步解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中的遷移障礙，即表示“量”的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題遷移順利，理解起來并不復(fù)雜；表示“率”的分?jǐn)?shù)問題，原先的關(guān)系模型難以直接應(yīng)用，教學(xué)中要重新分析其關(guān)系結(jié)構(gòu)。從量綱的角度，表示“量”和“率”的分?jǐn)?shù)其外在形式容易區(qū)分，是一種天然的分類方式。由外在形式延伸到內(nèi)在意義，學(xué)生在思考分?jǐn)?shù)問題時便會有不同的分析傾向和理解角度，在分類中提高理解效率。2.數(shù)量關(guān)系模型角度：明晰分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)分?jǐn)?shù)問題的難點(diǎn)主要是指作為“率”的分?jǐn)?shù)，在處理這類分?jǐn)?shù)時，不借助現(xiàn)有的方程體系，分?jǐn)?shù)加減乘除的算術(shù)意義如何理解呢？分?jǐn)?shù)表示“率”時有兩種關(guān)系：部分量和整體量之間的分率關(guān)系；兩個不同量之間的分率（比率）關(guān)系。我們可以立足分?jǐn)?shù)概念，從最基本的數(shù)量關(guān)系式入手，明晰其數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)。（1）明晰部分和整體之間的分率關(guān)系結(jié)構(gòu)。教材往往從部分與整體的角度引入分?jǐn)?shù)意義，通過分蛋糕、分圖形等平均分活動表征部分在整體中的大小，以此認(rèn)識作為“量”的分?jǐn)?shù)。同時，進(jìn)一步借助這些實物圖形，直觀呈現(xiàn)部分量在整體中占據(jù)的份額，即部分和整體之間的分率關(guān)系。對這類分?jǐn)?shù)，其基本數(shù)量關(guān)系式為：部分÷整體=對應(yīng)的分率。以其為基礎(chǔ)可演繹出兩個變式，分別作為分?jǐn)?shù)乘法和分?jǐn)?shù)除法的數(shù)量關(guān)系式：①整體×對應(yīng)的分率=部分，即知道整體求部分用分?jǐn)?shù)乘法；②部分÷對應(yīng)的分率=整體，即知道部分求整體用分?jǐn)?shù)除法。（2）明晰兩個量之間的分率（比率）關(guān)系結(jié)構(gòu)。部分量占據(jù)整體量的份額可進(jìn)一步引申為一個量占據(jù)另一個量的份額。這類問題將引向分?jǐn)?shù)的“比的定義”形式，即作為“率”的分?jǐn)?shù)還能用于分析兩個量之間的分率（比率）關(guān)系，其基本數(shù)量關(guān)系式為：比較量÷標(biāo)準(zhǔn)量=對應(yīng)的分率。以其為基礎(chǔ)演繹出兩個變式，作為分?jǐn)?shù)乘法和分?jǐn)?shù)除法的數(shù)量關(guān)系式：①標(biāo)準(zhǔn)量×對應(yīng)的分率=比較量，把標(biāo)準(zhǔn)量看作單位“1”，即單位“1”已知時用乘法計算；②比較量÷對應(yīng)的分率=標(biāo)準(zhǔn)量，即單位“1”未知時用除法計算。因此，在不引入方程時，可借助基本的數(shù)量關(guān)系式溝通分?jǐn)?shù)乘除法的聯(lián)系。對應(yīng)分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生過程，“部分÷整體=對應(yīng)的分率”“比較量÷標(biāo)準(zhǔn)量=對應(yīng)的分率”是兩種基本關(guān)系，前者的兩個變式處理整體與部分之間的分?jǐn)?shù)乘除關(guān)系；后者的兩個變式處理不同量之間的分?jǐn)?shù)乘除關(guān)系。這樣，從分?jǐn)?shù)的概念意義遞進(jìn)到分?jǐn)?shù)乘除法的算術(shù)意義，形成一種嚴(yán)密的數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)。教學(xué)中，單位“1”的引入可以更好地把握以上兩類關(guān)系模型之間的內(nèi)在聯(lián)系。即無論是整體量還是標(biāo)準(zhǔn)量，本質(zhì)上都可看作單位“1”，單位“1”已知求其他量借助分?jǐn)?shù)乘法，而求單位“1”則借助分?jǐn)?shù)除法。3.幾何直觀角度：把握“量”和“率”的對應(yīng)關(guān)系4.單元整體教學(xué)角度：綜合運(yùn)用分?jǐn)?shù)的多種定義形式分?jǐn)?shù)的多種定義形式對理解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題是一把“雙刃劍”：一方面，學(xué)生需要在多種意義的區(qū)別與轉(zhuǎn)換中經(jīng)歷分?jǐn)?shù)概念的長期建構(gòu)過程，但受學(xué)習(xí)進(jìn)度制約，學(xué)生易出現(xiàn)分?jǐn)?shù)概念理解的片面化，影響分?jǐn)?shù)問題的理解效率；另一方面，以不同形式的分?jǐn)?shù)定義為基礎(chǔ)把握分?jǐn)?shù)概念的不同角度，聯(lián)系分?jǐn)?shù)與除法、分?jǐn)?shù)與比的關(guān)系，可以豐富分?jǐn)?shù)問題的解題思路。以往的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題教學(xué)中，常常只重視份數(shù)定義，忽略其他分?jǐn)?shù)定義的綜合應(yīng)用。2022年版課程方案指出：“改變過于注重以課時為單位的教學(xué)設(shè)計，推進(jìn)單元整體教學(xué)設(shè)計?！盵10]因此，分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的教學(xué)，可以綜合運(yùn)用分?jǐn)?shù)多種定義之間的聯(lián)系，在分?jǐn)?shù)、除法、比的大單元關(guān)聯(lián)中豐富解題方式。當(dāng)分?jǐn)?shù)作為一種比率出現(xiàn)時，基于比的定義理解其中的數(shù)量關(guān)系更為簡單。由于分?jǐn)?shù)乘除法學(xué)習(xí)在前，比的概念在后，教學(xué)中除了運(yùn)用單元整體視角外，還可運(yùn)用通俗的語言，通過分析各個量之間的份數(shù)關(guān)系去理解比率。（2）結(jié)合分?jǐn)?shù)與除法的聯(lián)系，理解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題。分?jǐn)?shù)中商的定義方式溝通了分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，從這個角度看分?jǐn)?shù)所表示的分率關(guān)系是倍數(shù)關(guān)系的拓展，分?jǐn)?shù)問題可以類比早期整數(shù)中“倍”的問題進(jìn)行整體理解。除法單元中，在包含除關(guān)系的基礎(chǔ)上可以擴(kuò)展形成倍的概念，包含除側(cè)重“有幾個幾”的理解過程，也可以引申為較大的數(shù)是較小數(shù)的幾倍，而當(dāng)結(jié)果不能整除時便需要引入分?jǐn)?shù)。和倍一樣，這時的分?jǐn)?shù)也沒有量綱。由此可見，用無量綱性分?jǐn)?shù)分析數(shù)量間的分率（比率）關(guān)系時，“分?jǐn)?shù)倍與整數(shù)倍意義一樣”[11]，分?jǐn)?shù)比整數(shù)更為精確地表征兩個量之間的相除關(guān)系。同時，這一類分?jǐn)?shù)問題和早期的倍數(shù)問題在學(xué)習(xí)時可以類比遷移。以人教版數(shù)學(xué)教材“分?jǐn)?shù)與除法”一節(jié)的例題為例：小新家養(yǎng)鵝7只，養(yǎng)鴨10只，養(yǎng)雞20只，雞的只數(shù)是鴨的多少倍？鵝的只數(shù)是鴨的多少倍？兩個問題都是一種包含除計算模型，只不過整除時是一個“倍”，不能整除時是一個“分率”，雞的只數(shù)是鴨的2綜上所述，雖然