2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)同步練習(xí)-第二章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用復(fù)習(xí)提升

2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)

第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

本章復(fù)習(xí)提升

易混易錯(cuò)練

易錯(cuò)點(diǎn)1混淆"過(guò)某點(diǎn)"與"在某點(diǎn)處”的切線(xiàn)致錯(cuò)

1.(2021浙江精誠(chéng)聯(lián)盟聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=x3+2x-8廁曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(0,-8)處

的切線(xiàn)方程為；若曲線(xiàn)y=f(x)的某一條切線(xiàn)與直線(xiàn)y=-|x+l垂直,

則切點(diǎn)坐標(biāo)為.

2.(2021河北邯鄲大名一中、磁縣一中等聯(lián)考)已知曲線(xiàn)y=ax3+b(a,b為常數(shù))在

x=2處的切線(xiàn)方程為4x-y-4=0.

(1)求a,b的值；

⑵求曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P(2,4)的切線(xiàn)方程.

易錯(cuò)點(diǎn)2對(duì)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則理解不透徹致錯(cuò)

3.(2020湖北武漢武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中)已知(3x-

2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+aix+ao,貝Uao+ai+2a2+3a3+4a4+5a5的值是()

A.15B.-32C.-27D.-17

4.(2022山東新泰一中期末)設(shè)曲線(xiàn)y=eax在點(diǎn)(0,1)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x+2y+l=0

垂直廁a=.

易錯(cuò)點(diǎn)3不能正確理解極值點(diǎn)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系致錯(cuò)

5.函數(shù)f(x)=(x2-l)3+2的極值點(diǎn)是()

A.x=l

B.x=-1或x=l或x=0

C.x=0

D.x=-1或x=l

6.設(shè)x=l與x=2是函數(shù)f(x)=alnx+bx2+x的兩個(gè)極值點(diǎn).

⑴試確定常數(shù)a和b的值；

(2)試判斷x=l,x=2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn),并說(shuō)明理由.

易錯(cuò)點(diǎn)4利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性時(shí)忽視定義域致錯(cuò)

7.已知函數(shù)f(x)=ax---2lnx(aGR).

X

Q)若函數(shù)f(x)在區(qū)間［L+8)上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

易錯(cuò)點(diǎn)5混淆極值與最值致錯(cuò)

8.函數(shù)f(x)=sin2x-x在卜］,2上的最大值為，最小值為.

9.(2022黑龍江雙鴨山期末)已知曲線(xiàn)y=f(x)=，3+ax2+bx+g在點(diǎn)(1,KD)處的切

線(xiàn)的斜率為3,且當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)f(x)取得極值.

⑴求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)求函數(shù)f(x)在。3］上的極值和最小值.

易錯(cuò)點(diǎn)6利用導(dǎo)數(shù)研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)忽視定義域致錯(cuò)

10.(2021安徽江淮十校質(zhì)檢)一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的鐵棒AB欲水平通過(guò)如圖所示的直角

走廊(假設(shè)通過(guò)時(shí)貼著內(nèi)側(cè)的圓弧墻壁)，該走廊由寬度為1m的平行部分和一個(gè)

半徑為2m的四分之一圓弧轉(zhuǎn)角部分(弧CD段,圓心為O)組成.

⑴若AB與力相切于點(diǎn)T,OC±BS于點(diǎn)S,設(shè)NTOS=&試將L表示為0的函數(shù);

(2)求L的最小值，并說(shuō)明此最小值的實(shí)際意義.

B\

S\2m

m

思想方法練

一、分類(lèi)討論思想在利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用

1.(2022廣東茂名五校聯(lián)盟期末)已知f(x)=ax-ln(lnx)+lna.

⑴當(dāng)a弓時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若對(duì)任意x￡[e,+8),f(x)20恒成立，求a的取值范圍.

2.(2020福建福州期末)已知函數(shù)f(x)=cosx+ax2-l.

⑴當(dāng)a吊時(shí),證明:f(x)“；

(2)若f(x)在R上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

二、轉(zhuǎn)化與化歸思想在利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用

3.(2021安徽宿州十三所省重點(diǎn)中學(xué)期末聯(lián)考)設(shè)f(x)(x￡R)是奇函數(shù)f(x)是f(x)

的導(dǎo)函數(shù),f(-2)=。當(dāng)x>0時(shí)M(x)-f(x)>0廁使得f(x)>0成立的x的取值范圍是

()

A.(-2,0)U(0,2)

B.(-°°,-2)U(2,+oo)

C.(-oo,-2)U(0,2)

D.(-2,0)U(2,+oo)

4.(2021豫南九校期末)已知函數(shù)f(x)=lnx-2x，函數(shù)g(x)=-2x2-j+a.

⑴求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對(duì)任意x￡出+8)函數(shù)f(x)2g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

5.(2020河北武邑中學(xué)期末)已知函數(shù)f(x)=excosx-xsinx,g(x)=sinx-&e5其中

e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

⑴若vxie[-po],a乂2￡[。,||,使得不等式的<1)力+9僅2)成立,求實(shí)數(shù)m的取值

范圍;

(2)若x>-l,求證:f(x)-g(x)>0

三、數(shù)形結(jié)合思想在利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用

6.(2021江西景德鎮(zhèn)一中期中)已知函數(shù)依)￡；；：言:4°，方程f(x)=a恰有

兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根XI、X2(X1<X2),則婢+X2的最小值與最大值的和為()

A.2+eB.2

C.6+e3D.4+93

7.已知曲線(xiàn)f(x)=-x3+3x2+9x+a與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍

為.

8.(2022河北名校期末聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=mxlnx,m￡R,且f(x)的最小值為二.

e

(1)求實(shí)數(shù)m的值；

(2)若a￡R,討論關(guān)于x的方程f(x)-ax2=0的解的個(gè)數(shù).

答案與分層梯度式解析

本章復(fù)習(xí)提升

易混易錯(cuò)練

1.答案y=2x-8;(l,-5)n)6(-l,-ll)

解嶄由題意得#&)=我2+￡當(dāng)x=0時(shí),f'(0)=2,所以切線(xiàn)的斜率k=2,

由直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程可求得切線(xiàn)方程為y-(-8)=2(x-0),整理得y=2x-8.

由已知直線(xiàn)的斜率為$可知所求切線(xiàn)的斜率存在且切線(xiàn)斜率k1=5,

由f(x)=3x2+2=5,解得x=±1.當(dāng)x=l時(shí)代入得f(l)=-5;當(dāng)x=-l時(shí)代入得f(-

=.所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(L-5)或(-L-11).

2.解析⑴由y=ax3+b得y'=3ax2,當(dāng)x=2時(shí),y'=3ax22=4,解得a=g,

將x=2代入直線(xiàn)方程得y=4,將(2,4)代入曲線(xiàn)方程，解得b三.

(2)由Q)知y=*3+］則y，=x4

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(xo,yo),則切線(xiàn)的斜率1＜二%

則所求切線(xiàn)方程為y-4=^(x-2),

因?yàn)榍悬c(diǎn)(xo,yo)既在切線(xiàn)上,也在曲線(xiàn)上，

所以yo-4"(xo-2),①

yoW",②

聯(lián)立①②消去yo,

整理可得說(shuō)-3%o+4=O,

即焉-2%o-XQ+4=0,

(Xo-2)-(Xo+2)(Xo-2)=0,

即(xo-2)2(xo+l)=O,所以窗：j或9：丁

即切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4)或(-1,1°),°

所以切線(xiàn)方程為y=4x-4或y=x+2.

易錯(cuò)警示

求曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程時(shí)，要看清題目是"求曲線(xiàn)在某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程"，還是

〃求曲線(xiàn)過(guò)某點(diǎn)的切線(xiàn)方程"，前者的切線(xiàn)有且只有一條，該點(diǎn)恰好為切點(diǎn);而后者

可能有一條,也可能有多條，該點(diǎn)可能是切點(diǎn)，也可能不是切點(diǎn).

3.P令x=0,可得(-可5=ao,即ao=-32,將(3x-

2戶(hù)=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+aix+ao兩邊求導(dǎo)，

注得3x5x(3x-2)4=5a5X4+4a4X3+3a3X2+2a2X+ai,

令x=L可得15=ai+2a2+3a3+4a4+5a5,

所以ao+ai+2a2+3a3+4a4+5a5=-32+15=-17.

故選D.

易錯(cuò)警示

對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，一是要注意正確劃分內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù),二是要注意對(duì)

這兩個(gè)函數(shù)分別求導(dǎo)，再將結(jié)果相乘.

4.答案2

解析由y=eax可得y'=eax?(ax)'=aeax,

由直線(xiàn)x+2y+l=0的斜率為與得切線(xiàn)的斜率為2,即當(dāng)x=0時(shí),y'=a=2.

5.C由題意得,f'(x)=6x(x-l)2(x+l)2,

令f(x)=0,得x=0或x=±1.當(dāng)x<0atf'(x)<0,

當(dāng)x>0時(shí),f'(x)",所以f(x)的極值點(diǎn)為x=0.

故選C.

易錯(cuò)警示

函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0只是函數(shù)在該點(diǎn)處取得極值的必要不充分條件,

因此要注意檢驗(yàn)導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)左、右兩側(cè)附近的導(dǎo)數(shù)是否異號(hào)，若異號(hào)，則該點(diǎn)是

極值點(diǎn)，若不異號(hào),則該點(diǎn)不是極值點(diǎn).

6.解析(l)e.f(x)=alnx+bx2+x,

.?.f'(x)=j+2bx+l.

由題意可知,f'(l)=f'(2)=0,

2

:常二:解得a=~3

b=-l

(2)x=l是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn),x=2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)理由如下:

由⑴知f(x)=-|lnx-jx2+x,xe(0,+oo),

則f1(x)=-fx-i-jx+1G(0,+oo).

當(dāng)xwQl)時(shí),f(x)<0;當(dāng)xw(l,2)時(shí)f(x)>0;當(dāng)xe(2,+oo)0tf'(x)<0,

.?.x=l是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)x=2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn).

7.解析⑴由題意得,f'(x);a+土|=/(x>0).

①當(dāng)a40時(shí),f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.

②當(dāng)a>0時(shí)，令g(x)=ax2-2x+a,

??,函數(shù)f(x)在區(qū)間［L+8)上是單調(diào)函數(shù)，

.?.g(x)>0在區(qū)間［L+8)上恒成立，

?.a2含在區(qū)間［1,+8)上恒成立.

令U（x）=含,x￡[L+8）.

???u(x)=W4+=L當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取等號(hào)〃?.aNL

七2居

???當(dāng)a>l時(shí)，函數(shù)f(x)在［L+8)上單調(diào)遞增.

???實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-8,0］U［l,+oo).

(2)由(1)可知，①當(dāng)a<0時(shí),f'(x)<0,函數(shù)f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

②當(dāng)a>l時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

③當(dāng)0<a<l時(shí)而ax2-2x+a=0,

解得x=口號(hào)或x=嗎三

???函數(shù)f(x)在(0,匕”抓*,+8)上單調(diào)遞墻在(匕耳,*)上單調(diào)遞減

易錯(cuò)警示

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,要先求函數(shù)的定義域D,再求導(dǎo)數(shù)f'(x),進(jìn)而

解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)得到解集P,定義域與不等式解集的交集DAP才是

函數(shù)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間.

8.答案荊

解析由已知得,f'(x)=2cos2x-l.

令f(x)=0,得2cos2x-l=0,

解得x=q或x=/

因?yàn)閒。考力f(-加G+3停)=4f0)嗎所以函數(shù)f(x)在卜羽上的最大值和

最小值分別為*3

9.解析(l)f'(x)=x2+2ax+b,

結(jié)合題意可得循;煞山三

r_11

解得:丁

故f(x)-白2+白+最

(2)由⑴知f(x)=x2*x+理

令f'(x)>0,解得x>3或x<|,

令f1(x)<0,解得?<x<3,

故f(x)在［o,|)上單調(diào)遞增，在(|同上單調(diào)遞減，

故f(x)在［0,3］上有極大值，無(wú)極小值，且f(x)極大值=f(|)=爵,

又f(o)W，f⑶韋35

故f(x)的最小值曷.

易錯(cuò)警示

兼函數(shù)的最大(小)值時(shí)，要將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較，其中

最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.函數(shù)沒(méi)有極小值時(shí)不一定沒(méi)有最小值,

解題時(shí)要正確理解極值與最值.

10.解析⑴如圖，過(guò)T作TM_LOC于M,過(guò)B作BG_LTM于G,過(guò)A作

AE_LOC,交OC的反向延長(zhǎng)線(xiàn)于E,過(guò)T作TN_LAE于N,

A

易得OM=2cos0,BG=3-2cos0,zBTG=zTOS=e,BT=^?,

sing

同理AN=3-2sin0,AT=^^.

cos6

貝”_BT+AT.3—2cos8+3—2sin6_3(sin0+cos0)-2

八sin。cos。sinJcosd'\12/,

(2)-^x=sin0+cos0廁x=V^sin(e+J

?.-0G(o,g,.-.xe(l,V2].

易得sin0cos0二字，

.」=邕=翳,xwQ/L

?九'二端善xRLa],顯然LVO恒成立〃」二翳在(1的上單調(diào)遞減

?

??當(dāng)x=/時(shí)，函數(shù)取得最小值，且Lmin=6V2-4.

L的最小值的實(shí)際意義:在拐彎時(shí),鐵棒的長(zhǎng)度不能超過(guò)(6或-4)m,否則鐵棒無(wú)法通

過(guò)，也就是說(shuō)能夠通過(guò)這個(gè)直角走廊的鐵棒的最大長(zhǎng)度為(6/-4)m.

易錯(cuò)警示

求與實(shí)際問(wèn)題有關(guān)的最值時(shí)，要注意函數(shù)的定義域必須使實(shí)際問(wèn)題有意義.例

如,長(zhǎng)度、寬度應(yīng)大于0,銷(xiāo)售價(jià)格一般要高于進(jìn)價(jià)(特價(jià)商品除外)等.

思想方法練

L解析⑴當(dāng)a=|Htf(x)=1x-ln(lnx)-l,f(x)的定義域?yàn)?L+河，

_1_1_xlnx-e,XG(l,+oo),

exlnxexlnx

設(shè)m(x)=xlnx-e,xe(l,+oo),

則m'(x)=lnx+l>0,

???m(xj在(L+8)上單調(diào)遞增，

,.,m(e)=0,/.^il<x<e時(shí),m(x)<0廁f'(x)<0,

當(dāng)x>e時(shí),m(x)>0廁f'(x)>0,

「.f(x)在(Le)上單調(diào)遞減，在(e,+8)上單調(diào)遞增.

⑵由題意可得a>0.

(axlnxl,xe[e,+oo).

f'、x/)=ax-ln-x=xlnx

令v(x)=axlnx-l,xG[e,+oo),

貝Uv'(x)=a(lnx+l)>0,

.?.v(x)=axlnx-1為[e,+8)上的增函數(shù)，

/.v(x)>v(e)=ae-l.

結(jié)合a>0及ae-1的正負(fù)對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論.

①當(dāng)a邛寸,vxw?+8),v(x)“恒成立,

即f'(x)20恒成立，且僅在有限個(gè)點(diǎn)處取等號(hào)，

「.f(x)在[e,+8)上單調(diào)遞增而f(e)=ae+lna>0,

/.^x>e0tf(x)>f(e)>0.

???當(dāng)a耳時(shí),對(duì)任意x￡[e,+8),f(x)“恒成立.

②當(dāng)0<己<用寸、佗)=^6-1<0,易知v(e》=W-l>0,.?與xo￡(e,e》使得v(xo)=O,

,」v(x)為[e,+8)上的增函數(shù),

???當(dāng)x￡[e,xo)時(shí),v(x)<0,即f'(x)<0,

???當(dāng)x曰e,xo)時(shí),f(x)單調(diào)遞減

.,.當(dāng)xe[e,xo)H^,f(x)<f(e)=ae+lna<0,

這與對(duì)任意xe[e,+oo),f(x)之0恒成立矛盾，

.?.0<a<杯符合題意.

綜上,a的取值范圍是t,+8).

2.解析⑴證明:當(dāng)a=|Htf(x)=cosx+*-L所以f(x)的定義域?yàn)镽,且f(-

x)=f(x),

故f(x)為偶函數(shù).

當(dāng)x>0當(dāng)f'(x)=-sinx+x,

記g(x)=f'(x)=-sinx+x,所以g'(x)=-cosx+l.

因?yàn)間〈x)20,所以g(x)在[0,+8)上單調(diào)遞增,

即f'(x)在[0,+8)上單調(diào)遞增,

^f'(x)>f'(O)=O,

所以f(x)在。+8)上單調(diào)遞增，所以f(x)>f(0)=0,

因?yàn)閒(x)為偶函數(shù),所以當(dāng)xGRf(x)>0.

(2)由于x2的系數(shù)含參,因止匕需對(duì)a與0的關(guān)系分類(lèi)討論.

①當(dāng)a=0gjf(x)=cosx-1,

令cosx-l=O解得x=2kn(keZ),

所以函數(shù)f(x)有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.

②當(dāng)a<0時(shí),f(x)=cosx+ax2-lwax2w0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，故a<0符合

是頁(yè)

③茵為f(-x)=f(x),且f(x)的定義域?yàn)镽,

所以f(x)是偶函數(shù)，

又因?yàn)閒(0)=0,所以x=0是f(x)的零點(diǎn).

豈a>0時(shí),f'(x)=-sinx+2ax,

記h(x)=f'(x)=-sinx+2ax,

則h'(x)=-cosx+2a.

由于cosxwELl],因此需討論2a與1的大小.

(i)若a4則h'(x)=-cosx+2a>-cosx+l>0,

故h(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

故當(dāng)x>0時(shí),h(x)>h(O)=O,即f1(x)>0,

故f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，故f(x)>f(O)=0.

所以f(x)在(0,+網(wǎng)上沒(méi)有零點(diǎn).

因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(x)在R上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

(ii)若0<a4則當(dāng)x￡(0,2<]時(shí)存在xi￡(o,g,使得cosxi=2a,且當(dāng)0<x<xi

時(shí),h(x)單調(diào)遞減，故h(x)<h(O)=O,

即當(dāng)x￡(0,xi)時(shí),f'(x)<0,

故f(x)在(0,xi)上單調(diào)遞減f(xi)<f(O)=O.

又f(2ir)=cos2TT+a(2TT)2-1=4an2>0,

所以f(xi)f(2m<o,

由零點(diǎn)存在定理知f(x)在(XL2TI)上有零點(diǎn)又因?yàn)閤=o是f(x)的零點(diǎn)所以0<a<|

不符合題意.

綜上所述,a的取值范圍是(-8,0)u，,+8).

思想方法

利用分類(lèi)討論思想解題的一般步驟為⑴確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn);(2)恰當(dāng)分類(lèi);(3)逐類(lèi)

討論;(4)歸納結(jié)論.在本章中,求單調(diào)區(qū)間、參數(shù)的取值范圍、極值、最值以及解

決恒成立或有解的問(wèn)題時(shí)，往往需要用到分類(lèi)討論思想.

3.P令F(x)=竽，貝UF'(x)=^J^.

構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,從而使新函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)向已知條件,/xf,(x)-f(x)>0,/靠攏.

當(dāng)x>0時(shí),xF(x)-Rx)>0,所以

所以F(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

又f(x)是奇函數(shù)且f(-2)=0,

所以K2)=-f(-2)=0廁F⑵=0,

因?yàn)镕(-x)=色二§二午=F(x),且F(x)的定義域?yàn)?-8,0)U(0,+8),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

所以函數(shù)F(x)為偶函數(shù)，所以F(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，且F(-2)=0.

利用函數(shù)的奇偶性進(jìn)行轉(zhuǎn)化狷到函數(shù)月刈在(e劭上的單調(diào)性.

所以當(dāng)三①時(shí)承X)>如的解集為己+8)；

當(dāng)x<0時(shí),f(x)>0的解集為(-2,0).

綜上所述,f(x)>0的解集為(-2,0)U(2,+oo).

故選D.

4.解析⑴易知函數(shù)f(x)=lnx-2x2的定義域?yàn)椤?8),f(x)W-4x=亨二空卻警

由x>0得l+2x>0,

當(dāng)乂￡線(xiàn))時(shí)才僅>0做)單調(diào)遞增,

當(dāng)XW&+8)時(shí),f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,》單調(diào)遞減區(qū)間是&+8).

(2)對(duì)任意xw[g函數(shù)f(x)*g(x)恒成立,

即對(duì)任意x￡||,+8),不等式a<lnx+?恒成立，

所以對(duì)任意XG[|,+8)后<fInx+.

'X，min

分離參數(shù)，將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.

令h(x)=lnx+5則《岡三《二,

當(dāng)x%時(shí)h(x)<0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)xRL+8)時(shí)h(x)>0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=l時(shí),h(x)取得極小值，也是最小值，且h(x)min=h(l)=ln1+1=1,所以

aWh(X)min—1.

所以a的取值范圍是(-81].

思想方法

轉(zhuǎn)化與化歸思想在利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問(wèn)題中常見(jiàn)的應(yīng)用有將含參數(shù)的問(wèn)題

轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的問(wèn)題，將單調(diào)性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式問(wèn)題，將不等式及方程問(wèn)題轉(zhuǎn)

化為最大(小)值問(wèn)題等.

5.解析⑴由題意得,f(Xi)max4[m+g(X2)]max,

將雙變量不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較兩個(gè)函數(shù)最值的大小問(wèn)題.

f'(x)=ex(cosx-sinx)-(sinx+xcosx)

=(ex-x)cosx-(ex+l)sinx,

當(dāng)x目一列時(shí),f(x)>0,故f(x)在卜別上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=0時(shí),f(X)max=f(0)=l.

易得g1(x)=cosx-&ex,令t(x)=g1(x),

則t'(x)=-sinx-/e5當(dāng)xe[o,|H^,t'(x)<O,

所以9'(刈在[0用上單調(diào)遞減，

^mg1(x)<g1(0)=l-V2<0,

故g(x)在[0用上單調(diào)遞減,

因此當(dāng)x=0時(shí),g(x)max=g(0)二-&.

所以lwm-&,所以m>V2+l.

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是歐+1,+8).

(2)證明:當(dāng)x>-l時(shí)，要證f(x)-g(x)>0,只需證excosx-xsinx-sinx+V2ex>0,

即證ex(cosx+V2)>(x+l)sinx,

由于cosX+V2>0,X+l>0,

所以只需證高>蕓?

通過(guò)分析，將所證不等式一步步轉(zhuǎn)化為易于研究單調(diào)性的兩個(gè)函數(shù)的大小關(guān)系.

令h(x)=*>-l),

貝Uh'(X)=e，(x+l)[=三.

'/(%+1)(%+1)

當(dāng)x￡(-L0)時(shí),h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xw(0,+8)時(shí),h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增.

所以當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí),h(x)取得極小值，也是最小值，且最小值為1.

解法一:令女二六為廁kcosx+V2k=sinx,

即sinx-kcosx=&k,即sin(x-(p)=^L(tancp=k),所以尚Lwl,即-Iwkwl,所以

J1+/Jl+/

kmax=I；

又當(dāng)x=0時(shí),k=O<l=h(O),

當(dāng)xwO時(shí),h(x)>l”,

所以$).>(￡高，即—

\ATXZmmXLOiA-rv￡.?max

將兩函數(shù)的大小關(guān)系酹化為兩函數(shù)最值間的關(guān)系.

解法二:令W(x);E方則(p(x)可看成是點(diǎn)A(cosx,sinx)與點(diǎn)連線(xiàn)的斜

率匕

所以直線(xiàn)AB的方程為y=k1(x+M

由于點(diǎn)A在圓x2+y2=l上，

所以直線(xiàn)AB與圓x2+y2=l相交或相切，

當(dāng)直線(xiàn)AB與圓x2+y2=1相切且切點(diǎn)在第二象限時(shí)，直線(xiàn)AB的斜率k'取得最大

值，且最大值為1.

又當(dāng)x=0時(shí),(p(O)=O<l=h(O),

當(dāng)XWO時(shí),h(X)>12匕所以h(X)min>(P(X)max,

即告

x+1cosx+V2

綜上所述，當(dāng)X>-1時(shí),f(x)-g(x)>0成立.

解法三:令(p(x)=%，

則。(X)二志等，

令q)'(x)=O可得x=^+2kn或x=^+2kn(keN),

易知當(dāng)x二與+2kTT(k￡N)時(shí),(p(x)取得最大值，且最大值為1,

又當(dāng)x=0時(shí),q)(O)=O<l=h(O),

當(dāng)xwO時(shí),h(x)>l±q(x),

所以h(X)min>(p(X)max,即條》意^.

綜上所述，當(dāng)X>-1時(shí),f(X)-g(x)>0成立.

6.C作出函數(shù)y=f(x)的圖象，如圖所示

由圖象可知，當(dāng)-3wawl時(shí)，直線(xiàn)y=a與函數(shù)y=f(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)的⑶、

(X2,a),

作出函數(shù)f(x)的圖象，數(shù)形結(jié)合，直觀(guān)得到a的取值范圍及Xi,X2滿(mǎn)足的關(guān)系式，從

而利用導(dǎo)數(shù)SB：…

又X】W所以k2玄:則

則/+X2=ea-a+L令g(x)=ex-x+l,-3<x<l,

則g'(x)=ex-l,-3<x<l.

當(dāng)-3wx<0時(shí),g'(x)<0,

當(dāng)0<x<