2020年高中數(shù)學(xué)必修第一冊：函數(shù)的單調(diào)性 教學(xué)設(shè)計（北師大版）

第二章函數(shù)

第2.3節(jié)函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)設(shè)計

教材分析

本小節(jié)是函數(shù)性質(zhì)之一單調(diào)性，揭示了函數(shù)圖像的趨勢，表示了自變量和因變量之間的關(guān)系，

是數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)，與函數(shù)的奇偶性呈并列的關(guān)系，他倆從不同側(cè)面研究函數(shù)性質(zhì)。在函

數(shù)性質(zhì)中具有舉足輕重的地位。本節(jié)利用圖像觀察推導(dǎo)單調(diào)性判斷方法，該方法再次體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)

合的主要思想。

教學(xué)目標與核心素養(yǎng)

一.教學(xué)目標

1、理解函數(shù)單調(diào)性的概念，會根據(jù)函數(shù)的圖像判斷函數(shù)的單調(diào)性；

2、能夠根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在某一區(qū)間上的單調(diào)性。

二.核心素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性概念的概述

2.邏輯推理:本節(jié)課的教學(xué)，使學(xué)生能理性的描述生活中的增長、遞減的現(xiàn)象；通過生活實例感受函

數(shù)單調(diào)性的意義，培養(yǎng)學(xué)生的識圖能力和數(shù)形語言轉(zhuǎn)化的能力。

3.數(shù)學(xué)運算：判斷函數(shù)的單調(diào)性及證明

4.直觀想象：通過對函數(shù)單調(diào)性定義的探究，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、歸

納、抽象思維能力。

5.數(shù)學(xué)建模:本節(jié)課的教學(xué)，啟發(fā)學(xué)生養(yǎng)成細心觀察，認真分析，嚴謹論證的良好習(xí)慣；通過問題鏈

的引入，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，學(xué)生通過積極參與教學(xué)活動，獲得成功的體驗，鍛煉克服困難

的意志，建立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。

教學(xué)重難點

教學(xué)重點

函數(shù)單調(diào)性的概念、判斷及證明

教學(xué)難點

歸納抽象函數(shù)單調(diào)性的定義以及根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性

課前準備

PPT

教學(xué)過程

1.知識引入

函數(shù)是刻畫變量關(guān)系的.研究函數(shù)y=f(x)時最關(guān)心的問題是：當自變量x變化時，函數(shù)值f(x)

隨之怎樣變化.我們知道，一次函數(shù)y=kx+b,當k<0時，在R上y值隨x值的增大而減小；當k>0

時，在R上y值隨x值的增大而增大.一元二次函數(shù)和反比例函數(shù)也有類似的性質(zhì).可見，用增大或減

小來刻畫函數(shù)在一個區(qū)間的變化是非常重要的.

如下圖分析:

圖2-9是函數(shù)f(x)(%c[—6,9])的圖象，直觀上可以看出，對于區(qū)間[-6,-5],[-2,1],[3,4.5],[7,8],

每個區(qū)間上函數(shù)值f(x)都隨x值的增大而增大；對于區(qū)間[-5,-2],[1,3],[4.5,7],[8,9],每個區(qū)間上

函數(shù)值/㈤都隨x值的增大而減小.

思考：圖2-9中，怎樣用數(shù)學(xué)的符號語言表達函數(shù)值f(x)在區(qū)間卜6,-5]上隨x值

的增大而增大呢？

2.函數(shù)的單調(diào)性定義概述

一般地，在函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)的一個區(qū)間A上，如果對于任意的不，weA,當xi<X2時，都

有f(xi)<f(X2),那么就稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間A上是增函數(shù)或遞增的;如果對于任意的國,％2wA,當x'X2

時，都有f(xi)>f(X2),那么就稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間A上是減函數(shù)或遞減的.

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間A上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間A上是單調(diào)函數(shù)，

或稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間A上具有單調(diào)性.此時，區(qū)間A為函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

備注：1.概念中應(yīng)該注意問題：任意的4%eA(不能寫成“存在X，WWA”)

2.在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的.

知識擴充：

在函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)的一個區(qū)間A上,如果對于任意的石cA且％Ax2

(1)若因沙昭才區(qū)0>。或八百)-?(々)>0,則函數(shù)稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間A上是

不一々

增函數(shù)或遞增

(2)若畋"⑸底勾金或""1)一"％)<0,則函數(shù)稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間A上

石一々

是減函數(shù)或遞減

例1設(shè)/(x)=L(x<0)畫出f(x+3)(x<-3)的圖像，并通過圖像直觀判斷

X

它的單調(diào)性。

解：依題意知/(x+3)=—L(x<—3),其圖像可由/(x)=L(x<0)的圖像向左

x+3x

平移3個單位長度得到(圖2-10)。該函數(shù)在區(qū)間(-8,-3)上是減函數(shù)

例2根據(jù)函數(shù)圖像直觀判斷y=|x-l|

解：函數(shù)y=|x-l|可以表示為V一(

畫出該函數(shù)的圖像(如2-11),由圖象可知該函數(shù)在區(qū)間(YO,-1]上是減函數(shù)，在區(qū)間

[1,+QO)上是增函數(shù)

例3判斷函數(shù)f(x)=-3x+2的單調(diào)性,并給出證明.

解畫出函數(shù)f(x)=-3x+2的圖象(如圖2-12).由圖象可以看出，函數(shù)f(x)=-3x+2在定義域R上可

能是減函數(shù).下面用定義證明這一單調(diào)性.

任取為，形€火,且X1VX2,則Xi-X2<0,

所以：f(xi)-f(x2)=(-3xi+2)-(-3x2+2)=-3(xi-x2)>0

即：f(xi)>f(x2)

函數(shù)f(x)=-3x+2在定義域R上是減函數(shù).

例4判斷函數(shù)于(x)=G的單調(diào)性,并給出證明.

解畫出函數(shù)/'(為二石的圖象(如圖2-13).由圖象可以看出，函數(shù)/(x)=?在定義域

［0,+oo)上可能是增函數(shù).

由4'+J^>0,可知f(xi)-f(x2)<0,BPf(xi)<f(x2).

由定義可知，函數(shù)/(X)=石在定義域［0,+8)上是增函數(shù).

例5

試用定義證明：函數(shù)/(x)=X+,在區(qū)間(0,1］上是減函數(shù)，在區(qū)間工+00)上是增函數(shù)

X

證明在區(qū)間(0,1］上任取?,&，且工1〈了2.

—(Z1一72)(1

=(?-72)(?1211)

—

因為0<11<￡241，所以-T1T2<0,0<TIZ2<1.

(?-H2)(?l2-1)、八

即/(?)—/(&)〉0.

這表明函數(shù)/(])=z+；在區(qū)間(0,1]上是減函數(shù).

同理可證，函數(shù)/(])=在區(qū)間[1,+8)上是增函數(shù).

一.知識擴充：

證明函數(shù)在一個區(qū)間上的單調(diào)性證明方法：

1.取；2作差；3.定號；4下結(jié)論

2.若函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間A上都為增函數(shù)(或減函數(shù))，則f(x)+g(x)在區(qū)間A上也為

增函數(shù)(或減函數(shù))

3.若函數(shù)f(x)在區(qū)間A上都為增函數(shù)，g(x)在區(qū)間A上都為減函數(shù)，則f(x)-g(x)在區(qū)間A

上也為增函數(shù)

4.若函數(shù)f(x)在區(qū)間A上都為減函數(shù)，g(x)在區(qū)間A上都為增函數(shù)，則f(x)-g(x)在區(qū)間A

上也為減函數(shù)

二.易錯點：1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間A,B都為增函數(shù)(或減函數(shù))，則可以寫成函數(shù)f(x)在區(qū)間A

和B上為增函數(shù)(或減函數(shù))【不能寫成f(x)在區(qū)間A。5上為增函數(shù)(或減函數(shù))】

2.函數(shù)在整個定義域上是減函數(shù)？【答案：否，因為定義域不連續(xù)】

x

【題型歸類】

1.根據(jù)函數(shù)圖像，直觀分析函數(shù)的單調(diào)性

1.如圖是函數(shù)＞=/(無)的圖象，則函數(shù)/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間是()

y

1\2x

A.(-1,0)B.(1,+oo)

C.(-1,0)u(1,+oo)D.(-1,0(1,+8)

答案：D

【解析】解：若函數(shù)單調(diào)遞減，則對應(yīng)圖象為下降的,

由圖象知，函數(shù)在(-1,0),(1,+oo)上分別下降,

則對應(yīng)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,0),(1,+oo),

故選：D.

2

2.已知函數(shù)/(x)=.3-x,[-1,2]

x-3,xE(2,5]

(I)畫出/(x)的圖象;

(II)寫出了(X)的單調(diào)遞增區(qū)間.

2

【解析[解：(I)函數(shù)/G)=.3-x,x€[-1,2]

x-3,xE(2,5]

的圖象如右:

(11)/(無)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-1,0],[2,5].

2.證明：函數(shù)在定義域的單調(diào)性及區(qū)間最值

例：已矢口函數(shù)f

(I)證明/(X)在[1,+00)上是增函數(shù);

（II）求/（X）在［1,4］上的最大值及最小值.

【解答】（1）證明：在“，+00）上任取尤1，尤2，且修<尤2

f（x^-f（X2）=x

X1x2

'."Xi<X2-'"Xi-X2<0

"."Xl［1,+co）,［1,+co）".X\X2-l>0

（Xi）-f（%2）<0即/（無1）</（X2）

故/（x）在［1,+oo）上是增函數(shù)

CID解：由