2023-2024學(xué)年福建省寧德市九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案

2023-2024學(xué)年福建省寧德市九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及

答案

一、單選題（共40分）

1.關(guān)于X的一元二次方程（"—3）*-2*+1=°有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則整數(shù)A的最大值

是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】若一元二次方程有兩不等實(shí)數(shù)根，則根的判別式△=6?一4〃c>0,建立關(guān)于我的

不等式，求出發(fā)的取值范圍.還要注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0.

【詳解】解：???關(guān)于》的一元二次方程住一3）%2-2%+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

/.A=（-2）2-4（）t-3）xl>0.且左-3/0,

解得：％<4且左。3,

整數(shù)女的最大值是2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：（1）△〉（）=方

程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=（）0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△<0=A<0方

程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.理解和掌握一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

2.點(diǎn)（3m+4，x）,（2/n-l,必）是拋物線y=f2+2x上位于對(duì)稱(chēng)軸異側(cè)的兩點(diǎn)，且

V>%，則用的取值范圍是（）

,11

A.-\<m<——B.m<——

55

C.m>-1D.-\<m<-2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸為：》=-3,分類(lèi)討論3m+4和2〃?一1在對(duì)稱(chēng)軸的左右兩側(cè)，再根

據(jù)%>%，即可求出的值.

b

【詳解】解：?.?對(duì)稱(chēng)軸為：x=-一

2a

,對(duì)稱(chēng)軸x=]

①當(dāng)3根+4在x=l的左側(cè)，即3機(jī)+4<1,解得根<-1

2m—\>1,解得機(jī)>1

???加無(wú)解

②當(dāng)3帆+4在x=l的右側(cè)，即3m+4>1,解得m>一1

2m—1<1,解得根vl

2

'/y=-（3根+4）2+2（3m+4）；y2=-（2m-l）+2（2m-l）

V弘>必

?*--5m2-26m-5>0

5/n2+26m+5<0

（5/n+l）（m+5）<（）

u1

-5<m<——

5

，機(jī)的取值范圍是：-1<根<一:.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).

3.定義：如果一個(gè)三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半，那么稱(chēng)三角形為智慧三角

形”.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊0A=3,0C=4,點(diǎn)M（2,0）,在邊

AB存在點(diǎn)P,使得aCMP為“智慧三角形”，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）

A.(3,1)或(3,3)B.(3,g)或(3,3)

C.(3,；)或(3,1)D.(3,g)或(3,1)或(3,3)

【答案】D

【解析】

【分析】由題意可知，“智慧三角形”是直角三角形，NCPM=90°或NCMP=90°,設(shè)P(3,

a),則AP=a,BP=4七；分兩種情況：①若NCPM=90°,②若NCMP=90°,根據(jù)勾股定

理分別求出CP?、MP\CM2,并根據(jù)圖形列出關(guān)于a的方程，解得a的值，則可得答案.

【詳解】解：由題意可知，“智慧三角形”是直角三角形，NCPM=90°或/CMP=90°,

.,.設(shè)P(3,a),則AP=a,BP=4-a；

①若/CPM=90。，在RtaBCP中，由勾股定理得:

Cp2=Bp2+Bd=(4-a)2+9,

在RtAMPA中，由勾股定理得：

MP2=MA2+AP2=l+a2,

在Rt^MPC中，由勾股定理得：

CM2=MP2+CP2=l+a2+(4-a)2+9=2a2-Sa+26,

又?；CM?=0M?+=4+16=20,

.\2a2-8a+26=20,

(a-3)(a-1)=0,

解得：a=3或a=l,

：.P(3,3)或(3,1)；

②若NCMP=90°,在RtZ\BCP中，由勾股定理得:

CP2=BP2+BC2=(4-a)2+9,

在RtAMPA中，由勾股定理得：

MP2=MA2+AP2=l+a2,

VCM2=0M2+0C2=20,

在Rt^MCP中，由勾股定理得：

CM2+MP2=CP2,

.".20+l+a2=(4n)2+9,

解得：a=g.

，P(3,g).

綜上，P(3,T)或(3,1)或(3,3).

故選：I).

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)及勾股定理在幾何圖形坐標(biāo)計(jì)算中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)

討論并根據(jù)題意正確地列式是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，在AABC中，AB<AC,將二ABC以點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到VADE，點(diǎn)。

在3C邊上，DE交AC于點(diǎn)、F.下列結(jié)論：①AAFEADFC：②。A平分NBDE；

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，進(jìn)而逐項(xiàng)分析判斷即可求解.

【詳解】解：???將二ABC以點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到VADE,

A^ADE^ABC，

:"E=NC,

■,ZAFE^ZDFC,

■■■^AFE4DFC,故①正確；

ADE^_ABC，

.'.AB=AD'

:.ZABD=ZADB，

,ZADE=ZABC,

:.ZADB=ZADE,

???DA平分ABDE，故②正確；

LADE”ABC,

:.NBAC=NDAE,

ZBAD^ZCAE,

AAFEADFC,

NCAE=NCDF,

4CDF=4BAD,

故③正確

故選D

【點(diǎn)睛】本題考查了性質(zhì)的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，相似三角形的性質(zhì)判定與性質(zhì)，全等三角形

的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，在四邊形ABCD中，/DAB=NCBA=90°,E為邊AB的黃金分割點(diǎn)（AE>BE）,AD

=AE,BC=BE.AC,DE將四邊形分為四個(gè)部分，它們的面積分別用S”S2,S3,S,表示，則

下列判斷正確的是（）

A.S]=4S?B.S,I=3S2C.SI=S3D.S3=S《

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)AB=a.求出aADE,ZSABC的面積（用a表示），可得結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)AB=a.

:E是AB的黃金分割點(diǎn),AE>EB,

J5-1A/5

.?.AD=AE=Va,BEr=BC=a(1-->-/-5---1)、=-3--—----a,

222

?Q1/布—1X23-亞2Q13—>/53—>/52

..SAADE=—?(--------a)=------a,b&w=-xax------a=-------a,

224224

SAADE=SZSABC>

即Si+S產(chǎn)S2+S3,

Si—Ss>

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查黃金分割，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題.

6.如圖，在YA8CD中，D,C,E三點(diǎn)在一條直線上，AB=6,BC=8,CE=2,則Cf

的長(zhǎng)為（）

A.1.5B.1.6C.1.7D.1.8

【答案】B

【解析】

［分析】設(shè)對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)0作于M,利用平行四邊形性質(zhì)得B0=D0,

得MC=MD,然后利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出CF的長(zhǎng).

詳解】解：設(shè)對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)0,

?在YA8CD中，

：.BO=OD,CD=AB=6,

過(guò)點(diǎn)0作3c于M（如圖）,

OM//CF,

?_C_E___C_F_

"EM~OM'

2_CF

/.------=-----，

2+34

.-.CF=1.6.

故選B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比

例性質(zhì)、中位線的性質(zhì).熟練運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)、會(huì)添輔助線、構(gòu)造相似三角形是解決此題的關(guān)

鍵.

7.如圖，點(diǎn)D是等腰Rt_ABC斜邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為邊作等腰斜邊

AE交BC于F,則圖中相似三角形共有（）對(duì).

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】

【分析】依據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，ZBAC=ZADE=90°,ZB=ZC=ZE=ZDAE=45°,再根

據(jù)“有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”，即可找到相似三角形.

【詳解】:△ABC和4ADE是等腰直角三角形

AZBAC=ZADE=90°,ZB=ZC=ZE=ZDAE=45°

則△ABCS^DAE

又?.,/AFB=NDFE,ZB=ZE=45°

/.△ABF^ADEF

VZADF=ZADB,ZB=ZDAE=45°

AABD^AFAD

同理，得△FCASAFAD

AABD^AFCA

綜上所述，圖中相似三角形共有5對(duì),

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定以及等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，關(guān)鍵是掌握

有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.

8.如圖，在邊長(zhǎng)為4的等邊AABC中，點(diǎn)D是AB邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，沿過(guò)點(diǎn)D的直線折疊/A,

使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，折痕交AC于點(diǎn)E,當(dāng)=1時(shí)，則AD的長(zhǎng)是（）

1315

B.—C.2D.

7

【答案】B

【解析】

【分析】由等邊三角形即軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)證明一可得孕=竺,，設(shè)

CFFECE

3x3

AD=x,而5/=1,則CE=3,代入數(shù)據(jù)求解EF=——,CE=——，再利用AC0

4-x4-x

建立方程即可.

【詳解】解：?.?等邊三角形ABC,

AB=BC=AC=4,ZA=ZB=ZC=60°,

由折疊可得：=DF,AE=FE,/.DFE=ZA=60°,

；NDFE+ZEFC=NB+ZBDF,

：.ZEFC=ZBDF,

ABDFs^CFE,

.BDDFBF

"~CF~~FE~~CE'

設(shè)AD=x，而B(niǎo)F=1,則CF=3,

4-x_x

3EFCE

EF—,CE=-

4-x4-x

CE+EF=CE+AE=AC,

33x3+3x

----------1----------=-----------=4,

4-x4-x4-x

解得：x=一,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，即AD=一.

77

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，證明

BDFs.CFE是解本題的關(guān)鍵.

9.如圖，一根長(zhǎng)10米的鋼管斜靠在墻OM上，它的底端與墻角0相距6米，當(dāng)鋼管的頂

端A下滑x米時(shí)，底端B隨之向右滑行y米,能反映y隨x變化的圖像大致是（)

【答案】A

【解析】

【分析】在中，利用勾股定理求出AO的長(zhǎng)，進(jìn)而表示出A點(diǎn)下滑時(shí)AO與08的

長(zhǎng)，確定出y與x的關(guān)系式，即可做出判斷.

【詳解】在Rt^ABO中，AB=10米，08=6米，

根據(jù)勾股定理得：AO=VAB2-OB2=8(米)，

若A下滑x米，49=(8-幻米，

根據(jù)勾股定理得：OB=71O2-(8-X)2=6+y，

整理得：y="100_(8r)2—6，

當(dāng)尤=()時(shí)，y=0；當(dāng)x=8時(shí)，y=4,且不是直線變化的，

觀察四個(gè)選項(xiàng)，只有選項(xiàng)A符合題意，

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖像，解決本題的關(guān)鍵是讀懂圖意，列出y與x的函數(shù)

解析式.

10.如圖，在AABC中，DE//BC.若AD=2，AB=AE=3,^CE=()

A.1.5B.1.6C.1.7D.1.8

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，代入求出即可.

【詳解】解：DE//BC,

,ADAE

,茄一區(qū)‘

AD=2,=AE=3,

.23

"3^2-EC(

EC=1.5,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，熟練掌握

平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵.

二、填空題(共24分)

11.如圖，O。的直徑CD=20cm,弦A6=16cm,ABLCD,垂足為M,則CM的長(zhǎng)

【答案】4cm

【解析】

【分析】連接。4,先根據(jù)的直徑Cr>=20cm求出半徑。4的長(zhǎng)，再根據(jù)垂徑定理求

出AM的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，即可求解.

【詳解】解：連接。4,如圖所示：

,/O的直徑GD=20an,

OA=lOc/w，

弦AB=16cm,AB±CD,

AM=—AB='x16=8an,

22

在RtAAOM中，由勾股定理得：OM=y/OA^-AM2=7102-82=6cm?

，CM=OC-OM=10-6=4cm.

故答案為：4cm

【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理及勾股定理等知識(shí)；根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角

形，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵.

12.如圖，一貨輪從A處觀測(cè)到燈塔B位于它的東北方向，貨輪繼續(xù)向北航行40五海里到

達(dá)。處，觀測(cè)到燈塔位在它的北偏東75°,求此時(shí)貨輪到燈塔的距離8C=

N

B

C

【答案】80海里

【解析】

【分析】過(guò)點(diǎn)C作COLAB于點(diǎn)。，根據(jù)鄰角互補(bǔ)可知NAC5=105°,進(jìn)而得到

ZB=30°,/4CD=45。，從而根據(jù)30°直角三角形和45°直角三角形性質(zhì)可得3C的長(zhǎng)

度.

【詳解】如圖所示：過(guò)點(diǎn)。作8，/由于點(diǎn)Q,

：AC=40海里，ZA=45°,Zl=75°,

ZAC0M5。，ZDCB=60°,

/.NB=30°,

5

???DC=^Csin45°=4072x—=40（海里）

2

.??3828=40x2=80（海里）.

答：此時(shí)貨輪到燈塔的距離為80海里.

故答案為80海里.

【點(diǎn)睛】本題考查了30°直角三角形，45。直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形，方位角的相

關(guān)知識(shí)，巧運(yùn)用解直角三角形是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，E是aABC的中線AD上一點(diǎn)，CE的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F,若AF=2,ED=3AE,則

AB的長(zhǎng)為

【解析】

【分析】取BF的中點(diǎn)H,連接DH,取AD的中點(diǎn)Q,取AH的中點(diǎn)P,連接PQ,可得到DH為

△3CF的中位線，PQ是，的中位線，然后利用三角形的中位線定理，即可求解.

【詳解】解：如圖，取BF的中點(diǎn)H,連接DH,取AD的中點(diǎn)Q,取AH的中點(diǎn)P,連接PQ,

?.DH為△BC尸的中位線，

*.BH=FH,

；ED=3AE,

-.AD=4AE,

；AD的中點(diǎn)Q,

\AQ=2AE,即E為AQ的中點(diǎn),

/AH的中點(diǎn)P,

:PQ是4W的中位線，

\PH=AP,

?」＞Q〃DH,

?.PQ〃EF,

?.AP=2AF,

/AH的中點(diǎn)P,

AF=2,

APH=AP=4,PF=2,

???BH二FH=PH+PF=6

AAB=BH+FH+AF=14

故答案為：14.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的中位線定理，作適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造三角形的中位線是解

題的關(guān)鍵.

k

14.如圖，四邊形ABOC為菱形，NBOC=60。，反比例函數(shù)y=-(x<0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)

x

B,交AC邊于點(diǎn)P,若△8OP的面積為46，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為.

【答案】(-6,273)

【解析】

【分析】過(guò)點(diǎn)8作根據(jù)四邊形四邊形A8OC為菱形，得出S菱形AB。一

設(shè)BO=CO=a,根據(jù)△80P的面積為4百，求得。=4,即可求解.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)8作8E_LCO,

?.?四邊形ABOC為菱形,

AC//BO,

?,SPOB=3S菱形A8OC，

?,S菱形ABOC~COxBE=4y/3,

設(shè)BO=CO=a,

?：ZBOC=60°,

.叩^3

??BE=——a>

2

/.—a2=46,

4

解得：a=4,

???OE=-OB=ZBE=2>5,

2

***AB=CO=4，

A(-6,26).

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何圖形，菱形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì),

勾股定理，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.已知二次函數(shù)y=ar?+bx+c(a>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,y)(m-3,n),(-1,0),

(3,y2)>(7-m,n).則下列四個(gè)結(jié)論①yi>yz;②5a+c=0；③方程ax，bx+c=0的解為

x,--1,X2=5；④對(duì)于任意實(shí)數(shù)t,總有at'+bt+c》-3a中，正確結(jié)論是(填寫(xiě)序

號(hào)).

【答案】①②③

【解析】

【分析】利用拋物線的對(duì)稱(chēng)性可求得拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，利用對(duì)稱(chēng)軸方程可得a,b的關(guān)系，

用待定系數(shù)法將(-1,0)代入，可得c與a的關(guān)系，利用配方法可求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),

由此可畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，利用圖象可判定①正確；將a,b關(guān)系式代入a-b+c=0可得

②正確；令y=0解方程即可判定③正確：利用函數(shù)的最小值可判定④不正確.

【詳解】解：

拋物線y=ax2+bx+c開(kāi)口向上.

?.,二次函數(shù)y=ax、bx+c(a>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(m-3,n),(7-m,n),

拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=------------=2.

.*.b=-4a.

'??二次函數(shù)y=ax?+bx+c(a>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,0),

/.a-b+c=0.

a—(-*4Q)+c=0.

5a+c=0.

/.c=-5a.

???二次函數(shù)的解析式為：y=ax2-4ax-5a.

Vy=ax2-4ax-5a=a(x-2)2-9a,

，它的大致圖象如圖1：

由圖象可知：yi>y2,

???①的說(shuō)法正確；

Va-b+c=0,b=-4a,

；?5a+c=0.

???②的說(shuō)法正確；

令y=0,則ax2+bx+c=0.

?b---4a“c=-5a,

/.ax2-4ax-5a=0.

Va>0,

即x2-4x-5=0.

解得：Xi=-1,X2=5,

；?方程ax2+bx+c=0的解為Xi=-1,X2=5.

???③的說(shuō)法正確；

Vy=ax2-4ax-5a=a(x-2)2-9a,a>0,

???當(dāng)x=2時(shí)，y有最小值為-9a,

，對(duì)于任意實(shí)數(shù)t,總有at，bt+cN-9a.

???④的說(shuō)法不正確.

綜上，正確結(jié)論是：①②③,

故答案：①②③.

圖1

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，待定系數(shù)法，數(shù)形結(jié)合法，配方法，二次函

數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，利用已知條件畫(huà)出函數(shù)的大致圖象是解題的關(guān)鍵

16.如圖6c=6,E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AD在線段AE上，于E,AD=2,

DE=3，則AB+CD的最小值是

【答案】10

【解析】

【分析】設(shè)BE=x,則CE=6-x,利用勾股定理可得

AB+CD=7%2+52+7（X-6）2+32,再構(gòu)建坐標(biāo)系內(nèi)三點(diǎn)：F（x,O）,“（0,5）,/（6,—3）,

且0<x<6,先求解EH+77的最小值，從而可得答案.

【詳解】解：設(shè)=則CE=6-x,

AD=2,DE=3,

/.AB=VX2+52,CD=J(x-6『+32,

；?AB+CD=y/x2+52+J(九一6)2+32,

如圖，構(gòu)建如下坐標(biāo)系與格點(diǎn)，

F（x,0）,H（0,5）,Z（6,-3）,且0<x<6,

/.HF2=yJx2+52,Fl2=6）2+（0+3）2=6）-32,

.?.當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),

HF+FI=y/x?+5?+《(x—6)2+3?最小,最小值為線段印的長(zhǎng)度，

此時(shí)HI=^62+(-3-5)2=762+82=1(),

AB+CD=y/x2+52+{(X-6Y+32的最小值為：10.

故答案為：1().

【點(diǎn)睛】本題考查的是坐標(biāo)與圖形，勾股定理的應(yīng)用，熟練的運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短構(gòu)建直

角三角形，再利用勾股定理解題是關(guān)鍵.

三、解答題(共86分)

3

17.如圖，y=--與)，=履+力的圖像交于4(一1,機(jī))，8(〃,一1)兩點(diǎn).

3

(2)直接寫(xiě)出版+〃>一一的x取值范圍是

X

（3）求AAOB的面積.

【答案】（1）3,3,-1,2

（2）》<-1或0<x<3

(3)4

【解析】

【分析】⑴先把A(-8(〃,—1)分別代入反比例函數(shù)解析式可求出機(jī)、〃，利用待

定系數(shù)法求直線AB的解析式，即可得到k、b的值；

(2)根據(jù)兩個(gè)函數(shù)圖像交于點(diǎn)4(-1,加)，8(〃,-1)兩點(diǎn)，觀察圖像即可求得不等式

丘+〃>一之的解集；

x

(3)根據(jù)(1)中直線A8的解析式，求出該直線與V軸的交點(diǎn)。的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角

形面積公式，利用SAAOB=SAAOC+S&BOC進(jìn)行計(jì)算即可.

【小問(wèn)1詳解】

解：?.?丁=一三與產(chǎn)依的圖像交于A(-I，M，B(〃,一I)兩點(diǎn)，

mx—1)=—3,(—1)x〃——3,

解得：m=3,〃=3,

.?.A(-1,3),8(3,-1),

-k+b=3

"3k+b=-1

k=-\

解得：C.

b=2

???直線A3的解析式為：y=-x+2

故答案：3,3,-1，2.

【小問(wèn)2詳解】

由(1)可知：>=一1與丁=一尤+2的圖像交于A(-l,3),B(3,T)兩點(diǎn)，

京+〃>一3的x取值范圍是：x<—1或0<x<3.

X

故答案為：XV—1或0<x<3.

【小問(wèn)3詳解】

設(shè)直線A3與y軸的交于點(diǎn)C，

當(dāng)x=0時(shí)，y=-0+2=2,

C(0,2),

?*S&AOB-S^AOC+S&BOC一耳

AA08的面積為4.

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題:求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo),

把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)：方程組無(wú)解，則兩者無(wú)

交點(diǎn).也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用圖像求不等式的解集，利用等積法求三角形

的面積.確定兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

18.隨著正定旅游業(yè)的快速發(fā)展，外來(lái)游客對(duì)住宿的需求明顯增大，某賓館擁有的床位數(shù)不

斷增加.

(1)該賓館床位數(shù)從2016年底的200個(gè)增長(zhǎng)到2018年底的288個(gè)，求該賓館這兩年(從

2016年底到2018年底)擁有的床位數(shù)的年平均增長(zhǎng)率；

(2)根據(jù)市場(chǎng)表現(xiàn)發(fā)現(xiàn)每床每日收費(fèi)40元，288張床可全部租出，若每床每日收費(fèi)提高10

元，則租出床位減少20張.若想平均每天獲利14880元，同時(shí)又減輕游客的經(jīng)濟(jì)負(fù)擔(dān)每張

床位應(yīng)定價(jià)多少元？

【答案】(1)20%;(2)60元.

【解析】

【分析】(1)設(shè)該賓館這兩年床位的年平均增長(zhǎng)率為x,根據(jù)該賓館2016年底及2018年底

的床位數(shù)，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)每張床位定價(jià)m元，根據(jù)總價(jià)=單價(jià)X數(shù)量，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解

之取其較小值即可得出結(jié)論.

【詳解】解：(1)設(shè)該賓館這兩年床位的年平均增長(zhǎng)率為X,

依題意,得:200(1+x)2=288,

解得：x,=02=20%,x2=-2.2(舍去).

答：該賓館這兩年床位的年平均增長(zhǎng)率為20%.

(2)設(shè)每張床位定價(jià)m元，

m—40

依題意，得：m(288-20-------)=14880,

10

整理,得：m2-184m+7440=0,

解得曲=60,m2=124.

:為了減輕游客的經(jīng)濟(jì)負(fù)擔(dān)，

.'.m2—124(舍去).

答：每張床位應(yīng)定價(jià)60元.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的

關(guān)鍵.

19.如圖，已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=3cm,BC=6cm,某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿AB

方向以Icm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D沿DA方向以2cm/s的速度向點(diǎn)

A勻速運(yùn)動(dòng).

(1)經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，AAMN的面積等于矩形ABCD面積的2？

9

(2)是否存在時(shí)刻t,使A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與4ACD相似？若存在，求t的值；若不

【解析】

【分析】(1)設(shè)經(jīng)過(guò)x秒后，根據(jù)AWN的面積等于矩形ABC。面積的：，得出方程解方

程即可；(2)假設(shè)經(jīng)過(guò)f秒時(shí)，以AM,N為頂點(diǎn)的三角形與&ACD相似，分兩種情況

討論，然后利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得出方程，解方程即可.

【詳解】解：(1)設(shè)經(jīng)過(guò)X秒后，_4WN的面積等于矩形A8CO面積的",

則有：—(6—2x)x=—x3x6,即A?—3X+2=0，

解方程，得玉=1，X2=2.

經(jīng)檢驗(yàn)，可知罰=1，9=2符合題意，所以經(jīng)過(guò)1秒或2秒后，.4VW的面積等于矩形

ABCO面積的

9

(2)假設(shè)經(jīng)過(guò)/秒時(shí)，以AM,N為頂點(diǎn)的三角形與,ACD相似，

由矩形A8CD,可得NCD4=NM4N=90，

AMDCAMDA

因此有----=——或——=——，

ANDAANDC

即」一=3①，或」一=9②，

6-2/66-213

解①，得，=三3；解②，得，=1一2，

25

312312

經(jīng)檢驗(yàn)，f=三或，=一都符合題意，所以動(dòng)點(diǎn)M,N同時(shí)出發(fā)后，經(jīng)過(guò)一秒或一秒時(shí)，

2525

以AM,N為頂點(diǎn)的三角形與，ACD相似.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，一元二次方程的應(yīng)用，相似三角形的性質(zhì)，以及分類(lèi)討論

的數(shù)學(xué)思想，分類(lèi)討論是解答本題的關(guān)鍵.

20.已知關(guān)于x的方程(x—3)(x—2)—/=0.

(1)求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

(2)當(dāng)p=2時(shí)，為，4是該方程的根，求-4%+々的值.

【答案】(1)見(jiàn)解析；

(2)X：-4$+々的值為3.

【解析】

【分析】(1)首先求出方程的根的判別式，然后得出根的判別式為非負(fù)數(shù)，得出答案；

(2)將〃=2代入方程，化為一般形式后利用方程的解和根與系數(shù)的關(guān)系可求得

X；-5XI+2=0,玉+々=5,x;=5X]-2,然后帶入化簡(jiǎn)求值及可.

【小問(wèn)1詳解】

(1)證明：方程可變形為x2—5x+6—p2=o,

A=(-5)2-4xlx^6-p2)

=4p2+1

p2>0

4P2+1>0

即△>(),

所以，這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

【小問(wèn)2詳解】

當(dāng)p=2時(shí)，

原方程為/一5%+2=0

「百，巧是該方程的根

X：—5玉+2=0,芯+々=5,

X；=5$一2,

X；-4x(+x2

=5x,-2-4玉+x2

=芯+/-2

=5-2

=3.

【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系；靈活運(yùn)用根的判別式判斷方程的解、和

根與系數(shù)的關(guān)系求解是解題的關(guān)鍵.

21.如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,將矩形紙片折疊，使點(diǎn)C與A重合.

A.----------------------.D

RC

（1）請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出折痕EF,折痕交AD于E,交BC于F,折痕用實(shí)線表示，因計(jì)算需要另

外添加的輔助線用虛線表示（保留必要的作圖痕跡）；

（2）求出折痕EF的長(zhǎng)度.

【答案】（1）EF即為所求;

、15

（2）—cm

2

【解析】

【分析】（1）利用直尺和圓規(guī)作出AC的垂直平分線即可得折痕；

（2）利用勾股定理列式求出AC,根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得ACLEF,OC=|AC,然后利用ZkCOF

與ACBA相似邊成比例求出OF,再求出AAOE和aCOF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可

得OE=OF,從而求出折痕的長(zhǎng).

【小問(wèn)1詳解】

,AC=\IAB2+BC2=府+82=10cm

,??折疊后點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，

AC±EF,0C=1AC=1xiO=5cm

VZB=ZC0F=90°，ZACB=ZOCF

.,.△COF^ACBA

OFPC

則

AB一BC

OF5

~6~8

解得0F=""cm

4

???矩形對(duì)邊AD〃BC,

???NOAE二NOCF,

在AAOE和ACOF中，

ZOAE=ZOCF

＜OA=OC

ZAOE=NCOF

：.AAOE^ACOF（ASA）,

15

OE=OF=—cm

4

，折痕EF=OE+OF=——cm

2

【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，全等

三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是證明△AOEgACOF

22.已知拋物線丁=一站+法+。經(jīng)過(guò)4（—1,0）,B（3,0）,

（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)：

（2）當(dāng)owxw3時(shí)，直接寫(xiě)出y最小值=，y最大值=

（3）點(diǎn)P是拋物線上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，若SaAo=3,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】（1）拋物線的解析式為：y=-x?+2x+3,頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（14）

（2）0；4

⑶（2,3）

【解析】

【分析】（1）將點(diǎn)A與點(diǎn)5的坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可求出b與c的值；

（2）根據(jù)（1）中拋物線的解析式，先求出該圖像與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)，并確定該圖像

的最值，根據(jù)圖像即可求出當(dāng)0KXW3時(shí)，y的取值范圍，從而得出答案；

（3）過(guò)點(diǎn)尸作~D_L無(wú)軸于點(diǎn)。，設(shè)P（m,"）（（）＜相＜3）,根據(jù)⑵中所得點(diǎn)C的坐標(biāo)，

然后根據(jù)三角形面積公式和梯形面積公式，利用S3=S悌形co”+5小m一黑海進(jìn)行計(jì)

算即可.

【小問(wèn)1詳解】

解：?.?拋物線y=—f+fec+c經(jīng)過(guò)A(-1,O),8(3,0),

.-\-b+c=Q

-,\-9+3b+c=0'

\h=2

解得：〈，

[c=3

，拋物線的解析式為：丁=-爐+2]+3,

化成頂點(diǎn)式為：y=-(x-l)2+4,

.??頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(14).

???拋物線的解析式為：y=-x2+2x+3,頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(1,4).

【小問(wèn)2詳解】

由(1)知：y———x~+2x+3=—(x—1)~+4,

?.?二次項(xiàng)系數(shù)—1<0,

，圖像開(kāi)口向下，當(dāng)x=l時(shí)，可取得最大值為4，

當(dāng)%=0時(shí)，y--02+2x0+3=3,

AC(0,3),且3<4,

...當(dāng)0KXW3時(shí)，y的取值范圍為：0<yV4,

...當(dāng)o?xv3時(shí)，y最小值=°，y鍛大值=4.

故答案為：0；4.

【小問(wèn)3詳解】

過(guò)點(diǎn)P作PD±x軸于點(diǎn)D，設(shè)尸(根,〃)，

?..點(diǎn)P是拋物線上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，

0<<3,n=—m2+2m+3，

VA(-l,0),3(3,0),C(0,3),S?CP=3,

AO=1?CO-3>OD=m,AD—AO+OD-m+1,PD=n=-m2+2m+3-

S梯形co。尸+S&AOC-S&ADP-S&ACP=3,

叩：-(PD+CO)-OD+-AOCO——ADPD=3,

22

耳(一)TT+2/??+3+3^'/n+—xlx3-)(—m~+2m+3)=3,

整理得：m2+m-6=0>

解得：叫=2,牝=-3(不合題意，舍去),

.,.當(dāng)m=2時(shí)，“=-22+2x2+3=3，

.?.點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2,3).

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，考查待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)圖像的性質(zhì),

解方程，等積法求面積等知識(shí).理解和掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

23.點(diǎn)P是正方形ABCO所在平面內(nèi)一點(diǎn)，連接CP,將線段CP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,

得線段CQ，連接8ROQ.

(1)如圖①，當(dāng)P在C。邊上時(shí)，直接寫(xiě)出B尸與。。之間的關(guān)系是

(2)如圖②，當(dāng)P在正方形內(nèi)部時(shí)，BP與。。之間有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)射線交OQ于E,若四邊形PCQE是正方形，BC=2,CP=1,直接寫(xiě)出

BE=

【答案】(1)BP=DQ,BP1DQ,理由見(jiàn)解析

(2)BP=DQ*BPLDQ,理由見(jiàn)解析

(3)BE的值為6+1或6-1.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)SAS證明△BCP也△OCQ,再利用全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論.

(2)結(jié)論：3P=OQ,BP_L￡>Q,如圖，延長(zhǎng)3P交。。于T,交0c于0.證明

BC咤DCQ(SAS),推出BP=DQ,NCBP=NCDQ,可得結(jié)論.

(3)分兩種情形：如圖3-1中，當(dāng)點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3-2中，當(dāng)點(diǎn)E在線段5P

上時(shí)，利用勾股定理求出3P，可得結(jié)論.

【小問(wèn)1詳解】

證明：如圖①中，延長(zhǎng)BP交OQ于K,

圖①

?.?四邊形ABCO是正方形，

CB=CD,/BCD=NDCQ=90°,

在△BCP和-OCQ中，

BC=DC

<NBCP=NDCQ,

CP=CQ

；..BCg二DCQ（SAS）.

：.BP=DQ,NPBC=ZQDC,

：.NKBC+ZQ=ZQDC+NQ=90°,

ZBKQ=90°,BPrDQ.

【小問(wèn)2詳解】

結(jié)論：BP=DQ,BP1.DQ.

理由：如圖，延長(zhǎng)族交Q。于丁,交OC于。.

圖②

?.?四邊形A3C。是正方形,

：.CB=CD,/BCD=90°

NBCD=/PCQ=90。，

：.NBCP=NDCQ,

BC=DC

在/\BCP和~DCQ中，，NBCP=NDCQ，

CP=CQ

,BCW.DCQ（SAS）,

BP=DQ,NPBC=4QDC,

?：ZBOC=ZDOT,

ZBCO=ZDTO=90°,

：.BP1DQ.

【小問(wèn)3詳解】

如圖3-1中，當(dāng)點(diǎn)E在BP的延長(zhǎng)線上時(shí),

圖3-1

?.?四邊形CPEQ是正方形,

，ZCPE=NCPB=90°,CP=PE=1,

BP=yjB^-CP2=V3,B,P,E三點(diǎn)共線,

BE=BP+PE=s/3+l.

如圖3-2中，當(dāng)點(diǎn)E在線段BP上時(shí),

圖3-2

同法可得=—產(chǎn)后=6—1，

綜上所述，滿(mǎn)足條件的的值為6+1或百-1.

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定

理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，

屬于中考?？碱}型.

24.【基礎(chǔ)鞏固】

(1)如圖1,在..ABC中，。為A3上一點(diǎn)，ZACD=NB.求證：AC2=ADAB.

(2)【嘗試應(yīng)用】如圖2,在平行四邊形ABCO中，E為BC上一點(diǎn)、,E為CO延長(zhǎng)線上

一點(diǎn)，ZBFE=ZA,若BF=6,BE=4,求AO的長(zhǎng).

(3)【拓展提高】如圖3,在菱形ABC。中，E是AB上一點(diǎn)，尸是ABC內(nèi)一點(diǎn)，

EF〃AC,AC=2EF,ZEDF=-ZBAD,則線段￡>￡與線段EE之間的數(shù)量關(guān)系

2

為,并說(shuō)明理由.

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)A￡>的長(zhǎng)為9

(3)段DE與線段上廠之間的數(shù)量關(guān)系為。E=,理由見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)直接利用兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等證明八486△/由c即可得到結(jié)論：

BFBE

(2)首先說(shuō)明BFEsBCF,得——=—,求出的長(zhǎng)，再利用平行四邊形的性質(zhì)

BCBF

可得AO的長(zhǎng)；

(3)延長(zhǎng)。C、EF交于G,利用兩組對(duì)邊分別平行可得四邊形AEGC是平行四邊形，得

EDEF

EG=AC=2EF,ZG^ZACD,在利用_￡￡小'SEG。，得一=——，代入化簡(jiǎn)即

EGED

可.

【小問(wèn)1詳解】

證明：ZACD=NB,ZA=ZA,

AACD^AABC,

ACAD

'AB-AC'

：.AC2=ADAB^

【小問(wèn)2詳解】

解：四邊形ABC。是平行四邊形,

:.ZA=ZC,BC=AD,

ZBFE=ZA，

:.NBFE=NC,

ZFEB=ZCBF,

ABFEsABCF,

BFBE

,BC-BF'

BF?=BCxBE，

BF=6,BE=4,

:.BC=9,

.-.AD=BC=9；

【小問(wèn)3詳解】

解：如圖所示，延長(zhǎng)。C、EF交于G,

D

四邊形ABC。是菱形，

/.DC//AB,ZACD=L/BAD,

2

--EF^AC,

???四邊形AEGC是平行四邊形，

.-.EG=AC=2EF,ZG=ZACD,

ZEDF=-ZBAD,

2

NG=/EDF,

,NDEF=ZDEF，

:._EDFs_EGD，

ED_EF

"~EG~~ED'

:.ED?