貴州省卓越聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

貴州省學(xué)校卓越聯(lián)盟發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目2024年上半年期中考試高二數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的考生號(hào)、姓名、考點(diǎn)學(xué)校、考場(chǎng)號(hào)及座位號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.若曲線在處的切線方程為，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)幾何意義得答案.【詳解】曲線y=fx在處的切線方程為則運(yùn)用導(dǎo)數(shù)幾何意義，知道.故選：D.2.高二某班級(jí)4名同學(xué)要參加足球、籃球、乒乓球比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，其中甲同學(xué)不能報(bào)名足球，乙、丙、丁三位同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目都不相同，則不同的報(bào)名種數(shù)有（）A.54 B.12 C.8 D.81【答案】B【解析】【分析】直接由分步計(jì)數(shù)原理求解即可．【詳解】由甲同學(xué)不能報(bào)名足球，可得甲有2種報(bào)名方式，乙、丙、丁三位同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目都不相同，可得乙有3種報(bào)名方式，丙有2種報(bào)名方式，丁只有1種報(bào)名方式，共分步計(jì)數(shù)原理可得共有種．故選：B．3.高爾頓（釘）板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間隔相等的圓柱形鐵釘，并且每一-排鐵釘數(shù)目都比上一排多一個(gè)，一排中各個(gè)鐵釘恰好對(duì)準(zhǔn)上面一排兩相鄰鐵釘?shù)恼醒耄畯娜肟谔幏湃胍粋€(gè)直徑略小于兩顆鐵釘間隔的小球，當(dāng)小球從兩釘之間的間隙下落時(shí)，由于碰到下一排鐵釘，它將以相等的可能性向左或向右落下，接著小球再通過兩鐵釘?shù)拈g隙，又碰到下一排鐵釘如此繼續(xù)下去，在最底層的5個(gè)出口處各放置一個(gè)容器接住小球．理論上，小球落入2號(hào)容器的概率是多少（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可知，若要小球落入2號(hào)容器，則需要在通過的四層中有三層向左，一層向右，再利用獨(dú)立事件的概率乘法公式求解．【詳解】設(shè)事件表示“小球落入2號(hào)容器”，若要小球落入2號(hào)容器，則需要在通過的四層中有三層向左，一層向右，所以．故選：B．4.在的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是（）A. B. C.240 D.60【答案】C【解析】【分析】運(yùn)用二項(xiàng)式定理，結(jié)合組合數(shù)公式求解即可.【詳解】，要得到含項(xiàng)，只需要找出展開式，即可.二項(xiàng)式的展開式中含的項(xiàng)為，沒有含的項(xiàng).故含項(xiàng)為，含項(xiàng)的系數(shù)是240.故選：C.5.由數(shù)字0，1，2，3，4，5可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字，并且比400000大的偶數(shù)？（）A.120種 B.144種 C.48種 D.24種【答案】A【解析】【分析】分最高位是5和最高位是4兩種情況，結(jié)合排列組合知識(shí)求解．【詳解】若最高位是5，則個(gè)位可以是0或2或4，其它位任意排列，共有種，若最高位是4，則個(gè)位可以是0或2，其它位任意排列，共有種，所以比400000大的偶數(shù)的排列方法一共有種．故選：A．6.用半徑為1的圓形鐵皮剪出一個(gè)圓心角為的扇形，制成一個(gè)圓錐形容器，當(dāng)容器的容積最大時(shí)，（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，體積為，求出，表示出體積表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，得到結(jié)果．【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，體積為，那么，因此，可得．令，即，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，取得極大值，并且這個(gè)極大值是最大值，把代入，得，由，得．故選：B．7.乒乓球，被稱為中國(guó)的“國(guó)球”.某次比賽采用三局兩勝制，當(dāng)參賽選手甲、乙兩位中有一位贏得兩局比賽時(shí)，就由該選手晉級(jí)而比賽結(jié)束.每局比賽都要分出勝負(fù)，且每局比賽的勝負(fù)不受之前比賽結(jié)果影響.假設(shè)甲在任一局贏球的概率為，有選手晉級(jí)所需要的比賽局?jǐn)?shù)的期望值記為，則下列說法中正確的是（）A.打滿三局結(jié)束比賽的概率為 B.的常數(shù)項(xiàng)為4C.函數(shù)在上單調(diào)遞增 D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)實(shí)際比賽局?jǐn)?shù)為，先計(jì)算出可能取值的概率，即可判斷A選項(xiàng)；進(jìn)而求出期望值，即可判斷BCD選項(xiàng).【詳解】設(shè)實(shí)際比賽局?jǐn)?shù)為，則的可能取值為，所以，，因此三局結(jié)束比賽的概率為，則A不正確；故，由知常數(shù)項(xiàng)為2，故B不正確；由，故D不正確；由二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，C正確.故選：C.8.已知函數(shù)，若，則的最小值為（）A. B.3 C.2 D.【答案】A【解析】【分析】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，又可得，從而可得，代入式子，綜合基本不等式可解.【詳解】，求導(dǎo)f'(即在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，則，則，所以.，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào).故選：A.二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.2024年3月3日，由中國(guó)田徑協(xié)會(huì)技術(shù)認(rèn)證，貴州省體育局、黔西南州人民政府共同主辦的“加油奔跑·興義真好”2024萬峰林馬拉松賽鳴槍開跑.近2萬名選手穿行城市間，奔跑峰林中，盡享“萬峰成林處、陽光黔西南”的山水畫卷.本次馬拉松共設(shè)置了4個(gè)服務(wù)站點(diǎn)（真實(shí)數(shù)據(jù)是16個(gè)，本題設(shè)置為4個(gè)），某參賽運(yùn)動(dòng)員在第1個(gè)服務(wù)點(diǎn)停留的概率為，在其他服務(wù)點(diǎn)停留的概率均為．用隨機(jī)變量X表示該運(yùn)動(dòng)員會(huì)停留的服務(wù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則下列正確的是（）A. B.C.一次都不停留的概率為 D.至多停留一次的概率為【答案】BC【解析】【分析】運(yùn)用相互獨(dú)立事件概率乘法公式，結(jié)合組合數(shù)公式逐個(gè)計(jì)算即可【詳解】的所有可能為.，，，.則選項(xiàng)中，錯(cuò)誤，正確.故選：BC10.過點(diǎn)且與曲線相切的直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)幾何意義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，點(diǎn)斜式可解.【詳解】求導(dǎo)得，設(shè)切點(diǎn)為，則，切線方程為，又切線過點(diǎn)，所以，整理得，解得或.當(dāng)時(shí)，，切線方程為.當(dāng)時(shí)，，切線方程為.故選：BC.11.已知函數(shù)，，，則下列說法中正確的是（）A.函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)．B.若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)．C.，且，都有．D.，，使得成立，則實(shí)數(shù)．【答案】BD【解析】【分析】先分別求出函數(shù)和的單調(diào)性，對(duì)于A，直接解和時(shí)的最小值即可判斷得解；對(duì)于B，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)的最小值和值的正負(fù)分布情況即可得解；對(duì)于C，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解；對(duì)于D，先由條件得到，再根據(jù)單調(diào)性確定并求解即可得解.【詳解】由題意，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；定義域?yàn)椋?，故?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.對(duì)于A，令，故函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，故沒有零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，時(shí)，，時(shí)，，故有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)，故B正確；對(duì)于C，在上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，成立，則，所以，即，故D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：恒成立和有解問題通常轉(zhuǎn)化成最值問題來求解，解決本題可先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，從而可求出函數(shù)值正負(fù)分布情況和最值，進(jìn)而可依次求解各選項(xiàng).三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.若，則______．【答案】【解析】【分析】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的加法和乘法運(yùn)算法則求解即可.【詳解】，故答案為：.13.每年農(nóng)歷五月初五為端午節(jié)，又稱端陽節(jié)；端午節(jié)是為了紀(jì)念楚國(guó)愛國(guó)詩(shī)人屈原而設(shè)立的傳統(tǒng)節(jié)日.端午節(jié)對(duì)于中華民族的文化傳承具有重要意義，也成為了中華文化與世界文化交流的窗口.更有吃粽子，賽龍舟，掛菖蒲?蒿草?艾葉，薰蒼術(shù)?白芷，喝雄黃酒的習(xí)俗.2023年6月22日是我國(guó)的傳統(tǒng)節(jié)日“端午節(jié)”.這天，楠楠的媽媽煮了9個(gè)粽子，其中4個(gè)臘肉餡，5個(gè)豆沙餡.楠楠想嘗下粽子的味道，第一次嘗了一個(gè)粽子覺得味道好吃，接著第二次又嘗了一個(gè)粽子，則楠楠第一次和第二次嘗的都是臘肉餡的概率為__________.【答案】【解析】【分析】直接由古典概型概率公式即可求解.【詳解】由古典概型概率計(jì)算公式可知，所求即為.故答案為：.14.2024年3月5日至11日，第十四屆全國(guó)人民代表大會(huì)第二次會(huì)議勝利召開.此次大會(huì)是高舉旗幟、真抓實(shí)干、團(tuán)結(jié)奮進(jìn)的大會(huì)，全國(guó)人大代表不負(fù)人民重托、認(rèn)真履職盡責(zé)，凝聚起扎實(shí)推進(jìn)中國(guó)式現(xiàn)代化的磅礴力量.某村小校黨支部包含甲、乙、丙、丁的10位黨員開展“學(xué)習(xí)貫徹2024年全國(guó)兩會(huì)精神”圓桌會(huì)議，根據(jù)會(huì)議要求：甲、乙必須相鄰，甲、丙、丁不能相鄰.則不同的座位安排有______種（用數(shù)字作答）.【答案】43200【解析】【分析】甲和乙必須相鄰，采用捆綁法，甲和丙不能相鄰，采用插空法，結(jié)合圓排列，再根據(jù)分步乘法原理計(jì)算即可.【詳解】甲和乙必須相鄰，采用捆綁法，將其看作一個(gè)整體，與除丙丁外其他6人排成一圈，共有種排列.甲和丙，丁不能相鄰，采用插空法，甲和乙與除了丙丁外的其他6人排成一圈后形成7個(gè)空，但甲與丙丁不能相鄰，故丙丁只有6個(gè)空位可選，有種選擇，根據(jù)分步乘法原理可知，不同的排法總數(shù)為.故答案為：43200.四、解答題（本大題共5小題，共77分）15.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行勞動(dòng)技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次（無并列名次）．甲、乙兩名同學(xué)去詢問成績(jī)，請(qǐng)你根據(jù)下面老師的回答分析，分別求5人的名次排列可能有多少種不同情況？（1）老師對(duì)甲說：“很遺憾，你沒有得到第一名”，對(duì)乙說：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的．”（2）老師說：“你們都沒有得到第一名，你們也都不是最后一名，并且你們的名次相鄰．”【答案】（1）78（2）24【解析】【分析】（1）利用間接法，結(jié)合排列組合知識(shí)求解；（2）甲、乙兩人名次為2，3或3，4，，再用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解.【小問1詳解】由題意得，甲的名次不是第一，乙的名次不是第五，所以5人的名次不同的排列情況有（種）．【小問2詳解】由題意得，甲、乙兩人名次為2，3或3，4，所以5人的名次不同的排列情況有（種）．16.已知（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）729【解析】【分析】（1）先求出，再將改為后令即可得答案；（2）設(shè)，通過計(jì)算可得答案.【小問1詳解】令得，再將改為，則再令，得，所以；【小問2詳解】設(shè)，則.17.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2），都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）極小值0；無極大值．（2）．【解析】【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，構(gòu)建新函數(shù)gx=f'x，對(duì)求導(dǎo)，可判斷f'x單調(diào)性，根據(jù)題意知，可判斷（2）設(shè)新函數(shù)，可轉(zhuǎn)化為恒成立，即小于最小值，在構(gòu)新的函數(shù)tx=x-lnxx>0，，對(duì)求導(dǎo)，即可判斷單調(diào)性，以及最小值點(diǎn)，即可求解【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，定義域．，．令gx=f所以f'x在又因．可知當(dāng)時(shí)，f'x<0；時(shí)，f得時(shí)取極小值f1=0；無極大值．【小問2詳解】根據(jù)題意知當(dāng)時(shí)，都有fx>0?，令，顯然hx在上單調(diào)遞增．則hx-所以，令txt'當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，可得，所以，即a的取值范圍．18.設(shè)是不等式的解集，整數(shù)．（1）設(shè)“使得成立的有序數(shù)組”為事件，“使得成立的有序數(shù)組”為事件．寫出事件A包含的樣本點(diǎn)．（2）設(shè)，寫出隨機(jī)變量X的分布列，求．【答案】（1）答案見解析（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）由一元二次不等式求解，即可求解，（2）由古典概型概率公式求解概率，即可得分布列，進(jìn)而求解.【小問1詳解】由，解得．故整數(shù)m，且A包含事件為，，，，．整數(shù)m，且B包含的事件為、、、、、．【小問2詳解】由于m的所有不同取值為，1，0，1，2，3故的所有不同取值為0，1，4，9．，，，．故X的分布列為：X0149P19.定義運(yùn)算：，已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)的最大值為0，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：；（3）證明：．【答案】（1）1（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后，分類討論單調(diào)性，進(jìn)而得到最值，求出a的值即可；（2）條件等價(jià)于有兩個(gè)不等的正根，結(jié)合判別式非負(fù)，以及韋達(dá)定理求出a的范圍，要證，即證，令求導(dǎo)確定函數(shù)φx的單調(diào)性，證明結(jié)論．（3）