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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)集合,,若集合中有且僅有2個(gè)元素,則實(shí)數(shù)的取值范圍為A. B.C. D.2.對(duì)于函數(shù),若滿(mǎn)足,則稱(chēng)為函數(shù)的一對(duì)“線(xiàn)性對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”.若實(shí)數(shù)與和與為函數(shù)的兩對(duì)“線(xiàn)性對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”,則的最大值為()A. B. C. D.3.已知平面向量,,滿(mǎn)足:,,則的最小值為()A.5 B.6 C.7 D.84.命題:的否定為A. B.C. D.5.已知,,,若,則()A. B. C. D.6.在平面直角坐標(biāo)系中,銳角頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊為x軸正半軸,終邊與單位圓交于點(diǎn),則()A. B. C. D.7.設(shè),,,則、、的大小關(guān)系為()A. B. C. D.8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的的值是()A.8 B.32 C.64 D.1289.如圖,正三棱柱各條棱的長(zhǎng)度均相等,為的中點(diǎn),分別是線(xiàn)段和線(xiàn)段的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn)),且滿(mǎn)足,當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí),下列結(jié)論中不正確的是A.在內(nèi)總存在與平面平行的線(xiàn)段B.平面平面C.三棱錐的體積為定值D.可能為直角三角形10.已知函數(shù)在上都存在導(dǎo)函數(shù),對(duì)于任意的實(shí)數(shù)都有,當(dāng)時(shí),,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.11.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,,則的最小值為()A. B. C. D.12.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),且滿(mǎn)足,若在中,,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在直三棱柱內(nèi)有一個(gè)與其各面都相切的球O1,同時(shí)在三棱柱外有一個(gè)外接球.若,,,則球的表面積為_(kāi)_____.14.能說(shuō)明“在數(shù)列中,若對(duì)于任意的,,則為遞增數(shù)列”為假命題的一個(gè)等差數(shù)列是______.(寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式)15.已知各棱長(zhǎng)都相等的直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱(chēng)為直棱柱)所有頂點(diǎn)都在球的表面上.若球的表面積為則該三棱柱的側(cè)面積為_(kāi)__________.16.已知,則__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知{an}是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列,且滿(mǎn)足a3a5=45,a2+a6=1.(I)求{an}的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)若數(shù)列{bn}滿(mǎn)足:…,求{bn}的前n項(xiàng)和.18.(12分)傳染病的流行必須具備的三個(gè)基本環(huán)節(jié)是:傳染源、傳播途徑和人群易感性.三個(gè)環(huán)節(jié)必須同時(shí)存在,方能構(gòu)成傳染病流行.呼吸道飛沫和密切接觸傳播是新冠狀病毒的主要傳播途徑,為了有效防控新冠狀病毒的流行,人們出行都應(yīng)該佩戴口罩.某地區(qū)已經(jīng)出現(xiàn)了新冠狀病毒的感染病人,為了掌握該地區(qū)居民的防控意識(shí)和防控情況,用分層抽樣的方法從全體居民中抽出一個(gè)容量為100的樣本,統(tǒng)計(jì)樣本中每個(gè)人出行是否會(huì)佩戴口罩的情況,得到下面列聯(lián)表:戴口罩不戴口罩青年人5010中老年人2020(1)能否有的把握認(rèn)為是否會(huì)佩戴口罩出行的行為與年齡有關(guān)?(2)用樣本估計(jì)總體,若從該地區(qū)出行不戴口罩的居民中隨機(jī)抽取5人,求恰好有2人是青年人的概率.附:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82819.(12分)如圖,點(diǎn)為圓:上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)分別作軸,軸的垂線(xiàn),垂足分別為,,連接延長(zhǎng)至點(diǎn),使得,點(diǎn)的軌跡記為曲線(xiàn).(1)求曲線(xiàn)的方程;(2)若點(diǎn),分別位于軸與軸的正半軸上,直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交于,兩點(diǎn),且,試問(wèn)在曲線(xiàn)上是否存在點(diǎn),使得四邊形為平行四邊形,若存在,求出直線(xiàn)方程;若不存在,說(shuō)明理由.20.(12分)已知拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2,(1)求的值與拋物線(xiàn)的方程;(2)拋物線(xiàn)上第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè),拋物線(xiàn)上第四象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),滿(mǎn)足,求直線(xiàn)的斜率范圍.21.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)改革開(kāi)放年,我國(guó)經(jīng)濟(jì)取得飛速發(fā)展,城市汽車(chē)保有量在不斷增加,人們的交通安全意識(shí)也需要不斷加強(qiáng).為了解某城市不同性別駕駛員的交通安全意識(shí),某小組利用假期進(jìn)行一次全市駕駛員交通安全意識(shí)調(diào)查.隨機(jī)抽取男女駕駛員各人,進(jìn)行問(wèn)卷測(cè)評(píng),所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如圖所示在分以上為交通安全意識(shí)強(qiáng).求的值,并估計(jì)該城市駕駛員交通安全意識(shí)強(qiáng)的概率;已知交通安全意識(shí)強(qiáng)的樣本中男女比例為,完成下列列聯(lián)表,并判斷有多大把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性別有關(guān);安全意識(shí)強(qiáng)安全意識(shí)不強(qiáng)合計(jì)男性女性合計(jì)用分層抽樣的方式從得分在分以下的樣本中抽取人,再?gòu)娜酥须S機(jī)選取人對(duì)未來(lái)一年內(nèi)的交通違章情況進(jìn)行跟蹤調(diào)查,求至少有人得分低于分的概率.附:其中
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】
由題意知且,結(jié)合數(shù)軸即可求得的取值范圍.【詳解】由題意知,,則,故,又,則,所以,所以本題答案為B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的關(guān)系及運(yùn)算,以及借助數(shù)軸解決有關(guān)問(wèn)題,其中確定中的元素是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.2.D【解析】
根據(jù)已知有,可得,只需求出的最小值,根據(jù),利用基本不等式,得到的最小值,即可得出結(jié)論.【詳解】依題意知,與為函數(shù)的“線(xiàn)性對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”,所以,故(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)).又與為函數(shù)的“線(xiàn)性對(duì)稱(chēng)點(diǎn),所以,所以,從而的最大值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題以新定義為背景,考查指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算和圖像性質(zhì)、基本不等式,理解新定義含義,正確求出的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.3.B【解析】
建立平面直角坐標(biāo)系,將已知條件轉(zhuǎn)化為所設(shè)未知量的關(guān)系式,再將的最小值轉(zhuǎn)化為用該關(guān)系式表達(dá)的算式,利用基本不等式求得最小值.【詳解】建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示,設(shè),,且,由于,所以..所以,即..當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值,此時(shí)由得,當(dāng)時(shí),有最小值為,即,,解得.所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有最小值為.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量的位置關(guān)系、向量的模,考查基本不等式的運(yùn)用,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于難題.4.C【解析】
命題為全稱(chēng)命題,它的否定為特稱(chēng)命題,將全稱(chēng)量詞改為存在量詞,并將結(jié)論否定,可知命題的否定為,故選C.5.B【解析】
由平行求出參數(shù),再由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算.【詳解】由,得,則,,,所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查向量平行的坐標(biāo)表示,考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算是解題關(guān)鍵.6.A【解析】
根據(jù)單位圓以及角度范圍,可得,然后根據(jù)三角函數(shù)定義,可得,最后根據(jù)兩角和的正弦公式,二倍角公式,簡(jiǎn)單計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:,又為銳角所以,根據(jù)三角函數(shù)的定義:所以由所以故選:A【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義以及兩角和正弦公式,還考查二倍角的正弦、余弦公式,難點(diǎn)在于公式的計(jì)算,識(shí)記公式,簡(jiǎn)單計(jì)算,屬基礎(chǔ)題.7.D【解析】
因?yàn)?,,所以且在上單調(diào)遞減,且所以,所以,又因?yàn)?,,所以,所?故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查利用指對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較指對(duì)數(shù)的大小,難度一般.除了可以直接利用單調(diào)性比較大小,還可以根據(jù)中間值“”比較大小.8.C【解析】
根據(jù)給定的程序框圖,逐次計(jì)算,結(jié)合判斷條件,即可求解.【詳解】由題意,執(zhí)行上述程序框圖,可得第1次循環(huán),滿(mǎn)足判斷條件,;第2次循環(huán),滿(mǎn)足判斷條件,;第3次循環(huán),滿(mǎn)足判斷條件,;第4次循環(huán),滿(mǎn)足判斷條件,;不滿(mǎn)足判斷條件,輸出.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計(jì)算與輸出,其中解答中認(rèn)真審題,逐次計(jì)算,結(jié)合判斷條件求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.9.D【解析】
A項(xiàng)用平行于平面ABC的平面與平面MDN相交,則交線(xiàn)與平面ABC平行;B項(xiàng)利用線(xiàn)面垂直的判定定理;C項(xiàng)三棱錐與三棱錐體積相等,三棱錐的底面積是定值,高也是定值,則體積是定值;D項(xiàng)用反證法說(shuō)明三角形DMN不可能是直角三角形.【詳解】A項(xiàng),用平行于平面ABC的平面截平面MND,則交線(xiàn)平行于平面ABC,故正確;B項(xiàng),如圖:當(dāng)M、N分別在BB1、CC1上運(yùn)動(dòng)時(shí),若滿(mǎn)足BM=CN,則線(xiàn)段MN必過(guò)正方形BCC1B1的中心O,由DO垂直于平面BCC1B1可得平面平面,故正確;C項(xiàng),當(dāng)M、N分別在BB1、CC1上運(yùn)動(dòng)時(shí),△A1DM的面積不變,N到平面A1DM的距離不變,所以棱錐N-A1DM的體積不變,即三棱錐A1-DMN的體積為定值,故正確;D項(xiàng),若△DMN為直角三角形,則必是以∠MDN為直角的直角三角形,但MN的最大值為BC1,而此時(shí)DM,DN的長(zhǎng)大于BB1,所以△DMN不可能為直角三角形,故錯(cuò)誤.故選D【點(diǎn)睛】本題考查了命題真假判斷、棱柱的結(jié)構(gòu)特征、空間想象力和思維能力,意在考查對(duì)線(xiàn)面、面面平行、垂直的判定和性質(zhì)的應(yīng)用,是中檔題.10.B【解析】
先構(gòu)造函數(shù),再利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性化簡(jiǎn)不等式,解得結(jié)果.【詳解】令,則當(dāng)時(shí),,又,所以為偶函數(shù),從而等價(jià)于,因此選B.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性求解不等式,考查綜合分析求解能力,屬中檔題.11.C【解析】
根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,判斷出最小時(shí)的值,由此求得的最小值.【詳解】依題意,解得,所以.由解得,所以前項(xiàng)和中,前項(xiàng)的和最小,且.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式的基本量計(jì)算,考查等差數(shù)列前項(xiàng)和最值的求法,屬于基礎(chǔ)題.12.D【解析】
根據(jù)的結(jié)構(gòu)形式,設(shè),求導(dǎo),則,在上是增函數(shù),再根據(jù)在中,,得到,,利用余弦函數(shù)的單調(diào)性,得到,再利用的單調(diào)性求解.【詳解】設(shè),所以,因?yàn)楫?dāng)時(shí),,即,所以,在上是增函數(shù),在中,因?yàn)?,所以,,因?yàn)?,且,所以,即,所以,即故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
先求出球O1的半徑,再求出球的半徑,即得球的表面積.【詳解】解:,,,,設(shè)球O1的半徑為,由題得,所以棱柱的側(cè)棱為.由題得棱柱外接球的直徑為,所以外接球的半徑為,所以球的表面積為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的內(nèi)切球和外接球問(wèn)題,考查球的表面積的計(jì)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平,屬于中檔題.14.答案不唯一,如【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得到滿(mǎn)足條件的數(shù)列.【詳解】由題意知,不妨設(shè),則,很明顯為遞減數(shù)列,說(shuō)明原命題是假命題.所以,答案不唯一,符合條件即可.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)等差數(shù)列的概念和性質(zhì)的理解,關(guān)鍵是假設(shè)出一個(gè)遞減的數(shù)列,還需檢驗(yàn)是否滿(mǎn)足命題中的條件,屬基礎(chǔ)題.15.【解析】
只要算出直三棱柱的棱長(zhǎng)即可,在中,利用即可得到關(guān)于x的方程,解方程即可解決.【詳解】由已知,,解得,如圖所示,設(shè)底面等邊三角形中心為,直三棱柱的棱長(zhǎng)為x,則,,故,即,解得,故三棱柱的側(cè)面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查特殊柱體的外接球問(wèn)題,考查學(xué)生的空間想象能力,是一道中檔題.16.【解析】
首先利用,將其兩邊同時(shí)平方,利用同角三角函數(shù)關(guān)系式以及倍角公式得到,從而求得,利用誘導(dǎo)公式求得,得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?,即,所以,故答案?【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有同角三角函數(shù)關(guān)系式,倍角公式,誘導(dǎo)公式,屬于簡(jiǎn)單題目.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(I);(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為,則依題設(shè).由,可得.由,得,可得.所以.可得.(Ⅱ)設(shè),則.即,可得,且.所以,可知.所以,所以數(shù)列是首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列.所以前項(xiàng)和.考點(diǎn):等差數(shù)列通項(xiàng)公式、用數(shù)列前項(xiàng)和求數(shù)列通項(xiàng)公式.18.(1)有的把握認(rèn)為是否戴口罩出行的行為與年齡有關(guān).(2)【解析】
(1)根據(jù)列聯(lián)表和獨(dú)立性檢驗(yàn)的公式計(jì)算出觀(guān)測(cè)值,從而由參考數(shù)據(jù)作出判斷.(2)因?yàn)闃颖局谐鲂胁淮骺谡值木用裼?0人,其中年輕人有10人,用樣本估計(jì)總體,則出行不戴口罩的年輕人的概率為,是老年人的概率為.根據(jù)獨(dú)立重復(fù)事件的概率公式即可求得結(jié)果.【詳解】(1)由題意可知,有的把握認(rèn)為是否戴口罩出行的行為與年齡有關(guān).(2)由樣本估計(jì)總體,出行不戴口罩的年輕人的概率為,是老年人的概率為.人未戴口罩,恰有2人是青年人的概率.【點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)及獨(dú)立重復(fù)事件的概率求法,難度一般.19.(1)(2)不存在;詳見(jiàn)解析【解析】
(1)設(shè),,,通過(guò),即為的中點(diǎn),轉(zhuǎn)化求解,點(diǎn)的軌跡的方程.(2)設(shè)直線(xiàn)的方程為,先根據(jù),可得,①,再根據(jù)韋達(dá)定理,點(diǎn)在橢圓上可得,②,將①代入②可得,該方程無(wú)解,問(wèn)題得以解決【詳解】(1)設(shè),,則,,由題意知,所以為中點(diǎn),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得,即,又點(diǎn)在圓:上,故滿(mǎn)足,得.曲線(xiàn)的方程.(2)由題意知直線(xiàn)的斜率存在且不為零,設(shè)直線(xiàn)的方程為,因?yàn)?,故,即①,?lián)立,消去得:,設(shè),,,,,因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?,故,點(diǎn)在橢圓上,故,整理得②,將①代入②,得,該方程無(wú)解,故這樣的直線(xiàn)不存在.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法、滿(mǎn)足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與直線(xiàn)方程的求法,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,是中檔題.20.(1)1;(2)【解析】
(1)根據(jù)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2,利用拋物線(xiàn)的定義得,再根據(jù)點(diǎn)在拋物線(xiàn)上有,列方程組求解,(2)設(shè),根據(jù),再由,求得,當(dāng),即時(shí),直線(xiàn)斜率不存在;當(dāng)時(shí),,令,利用導(dǎo)數(shù)求解,【詳解】(1)因?yàn)辄c(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2,即點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為2,得,又,解得,所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為(2)設(shè),由由,則當(dāng),即時(shí),直線(xiàn)斜率不存在;當(dāng)時(shí),令,所以在上分別遞減則【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線(xiàn)定義及方程的應(yīng)用,還考查了分類(lèi)討論的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題,21.(1)當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;(2).【解析】
(1)對(duì)a分三種情況討論求出函數(shù)的單調(diào)性;(2)對(duì)a分三種情況,先求出每一種情況下函數(shù)f(x)
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