遼寧省沈陽市重點(diǎn)聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題含解析

PAGE20-遼寧省沈陽市重點(diǎn)聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題（含解析）第I卷（選擇題60分）一、單項(xiàng)選擇題：（本大題共8小題：每小題5分，共40分）1.設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿意，則=（）A.-1+2i B.-1-2i C.1-2i D.1+2i【答案】A【解析】【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，然后利用共軛復(fù)數(shù)的概念得答案．【詳解】由，得z＝，∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．2.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用配角得，再利用兩角差的余弦公式，即可得答案；【詳解】，，，，，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的余弦公式，考查運(yùn)算求解實(shí)力，求解時(shí)留意角的配湊.3.一個(gè)圓錐的母線長為，母線與軸的夾角為，則該圓錐側(cè)面綻開圖的圓心角大小為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用已知條件得究竟面圓的半徑，再利用求圓心角的公式代入即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)半徑為，由母線長為，母線與軸的夾角為，得：，則底面圓的周長為：，所以該圓錐側(cè)面綻開圖的圓心角大小為：.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧長公式.屬于較易題.4.函數(shù)其中的圖象如圖所示，為了得到圖象，則只需將的圖象()A.向右平移個(gè)長度單位 B.向左平移個(gè)長度單位C.向右平移個(gè)長度單位 D.向左平移個(gè)長度單位【答案】D【解析】【分析】由題意，三角函數(shù)的圖象，分別求得的值，得到函數(shù)，再根圖象的變換，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，三角函數(shù)的圖象可知，且，即又由，解得，即，又由，解得，即，又由，所以，即，又函數(shù)向左平移個(gè)長度單位，即可得到，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式，以及三角函數(shù)的圖象變換的應(yīng)用，其中解答中依據(jù)函數(shù)的圖象，正確求解函數(shù)的解析式，合理利用三角函數(shù)的圖象變換求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．5.正四面體的棱長為4，則它的外接球的表面積為（）A.12π B.24π C.48π D.96π【答案】B【解析】【分析】求出外接球半徑后可得表面積．【詳解】如圖正四面體棱長為4，平面于，則是中心，，平面，平面，則，，設(shè)外接球球心為，則在，則為外接半徑，由得，解得，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查球的表面積，解題關(guān)鍵是駕馭正四面體的性質(zhì)，駕馭正四面體與外接球的關(guān)系，求出球的半徑．6.在等腰梯形中，，，.將等腰梯形繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】推斷旋轉(zhuǎn)后的幾何體的形態(tài)，然后求幾何體的體積.【詳解】由題意可知旋轉(zhuǎn)后的幾何體如圖：將等腰梯形繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為圓柱的體積減去兩個(gè)相同圓錐的體積.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了求旋轉(zhuǎn)體的體積以及柱體、錐體的體積公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.7.在中，角，B，所對邊分別為，，，已知，，為使此三角形有兩個(gè)，則滿意的條件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】為使此三角形有兩個(gè)，只需滿意bsinA＜a＜b，即可求a范圍．【詳解】為使此三角形有兩個(gè)，即bsinA＜a＜b，∴2×＜a＜2，解得：3＜a＜2，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形解的狀況，考查特別角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題．8.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡已知可得,進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式化簡所求即可計(jì)算得解.【詳解】，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式、倍角公式的綜合運(yùn)用，考查邏輯推理實(shí)力、運(yùn)算求解實(shí)力，求解時(shí)留意視察角的特點(diǎn)，再進(jìn)行配湊.二、多項(xiàng)選擇題：（本大題共4小題：每小題5分，共20分，漏選得3分，錯(cuò)選0分）9.下面關(guān)于敘述中正確的是（）A.關(guān)于點(diǎn)對稱 B.關(guān)于直線對稱C.在區(qū)間上單調(diào) D.為函數(shù)的零點(diǎn)【答案】ACD【解析】【分析】對于選項(xiàng)A：干脆代入即可推斷；對于選項(xiàng)B：代入檢驗(yàn)是否為最值即可推斷；對于選項(xiàng)C：求出單調(diào)增區(qū)間即可推斷；對于選項(xiàng)D：干脆代入即可推斷.【詳解】對于選項(xiàng)A：，選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B：，不是最值，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：，則的單調(diào)遞增區(qū)間為，又，則選項(xiàng)C正確.對于選項(xiàng)D：，則選項(xiàng)D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì)，主要對函數(shù)的對稱軸，對稱中心，單調(diào)性以及零點(diǎn)進(jìn)行了考查.屬于中檔題.10.設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個(gè)不同的平面，下列命題中真命題的是（）A.若，，，，則；B.若，，則；C.若，，，則；D.若，，則.【答案】AD【解析】【分析】考慮、相交，運(yùn)用線面平行的性質(zhì)定理，推得，即可推斷A；由線面垂直和面面垂直的性質(zhì)定理，以及線面的位置關(guān)系，可推斷B；由線面垂直和面面垂直的性質(zhì)定理，以及線線的位置關(guān)系可推斷C；由線面垂直和面面垂直的判定定理，即可推斷D．【詳解】、是兩條不同的直線，、是兩個(gè)不同的平面，若，，，，，則，正確．反之若，由，，由線面平行的性質(zhì)定理可得，同樣由，，由線面平行的性質(zhì)定理可得，則，這與沖突，故A正確；若，，由線面垂直和面面垂直的性質(zhì)定理，以及線面的位置關(guān)系可得或，故B錯(cuò)誤；若，，可得或，又，則，平行或相交或異面，故C錯(cuò)誤；若，，可得，又，則，故D正確．故選：AD【點(diǎn)睛】本題考查空間線線、線面和面面的位置關(guān)系，主要是平行、垂直的判定和性質(zhì)的運(yùn)用，考查空間想象實(shí)力和推理實(shí)力，屬于中檔題．11.正三棱錐底面邊長為3，側(cè)棱長為，則下列敘述正確的是（）A.正三棱錐高為3. B.正三棱錐的斜高為C.正三棱錐的體積為 D.正三棱錐側(cè)面積為【答案】AB【解析】【分析】依據(jù)題意畫出圖象，取的中心為，連接，先得出面，再求出，可得正三棱錐高；利用三角形的面積公式求出的面積，利用體積公式求出正三棱錐的體積；作交于，求出正三棱錐的斜高；再利用面積公式求正三棱錐側(cè)面積即可.【詳解】取的中心為，連接，由題意得：面，又等邊三角形，則，所以正三棱錐高為：，，所以正三棱錐的體積為：，作交于，又，則正三棱錐的斜高為，所以正三棱錐的側(cè)面積為：.故選：AB.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求正三棱錐的高，斜高，側(cè)面積和體積的問題.屬于中檔題.12.己知函數(shù)，，下列結(jié)論正確的是（）A.的圖象關(guān)于直線軸對稱 B.在區(qū)間上單調(diào)遞減C.的圖象關(guān)于直線軸對稱 D.的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】，畫出其圖象，然后逐一推斷即可.【詳解】，其圖象如下所示：由圖可知，圖象關(guān)于直線對稱，故A錯(cuò)誤，C正確；在區(qū)間上單調(diào)遞減，故B正確；的最大值為，的最小值為，故D正確故選：BCD【點(diǎn)睛】本題考查的是三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，考查了學(xué)生對基礎(chǔ)學(xué)問的駕馭狀況，屬于中檔題.第Ⅱ卷（非選擇題90分）三、填空題：（本大題共4小題：每小題5分，共20分）13.函數(shù)的對稱中心為__________________．【答案】【解析】【分析】本題可以依據(jù)正切函數(shù)的對稱中心來推導(dǎo)出函數(shù)的對稱中心．【詳解】正切函數(shù)的對稱中心橫坐標(biāo)為，所以函數(shù)的對稱中心橫坐標(biāo)為，化簡得故對稱中心為．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，考查正切函數(shù)的對稱中心，考查計(jì)算實(shí)力，正切函數(shù)的對稱中心為14.已知復(fù)數(shù)z滿意等式，則的最大值為______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)是以為圓心，半徑為的圓，作出圖形，數(shù)形結(jié)合即可求出的最大值為圓心到點(diǎn)的距離加．【詳解】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)是以為圓心，半徑為的圓，如圖所示：則的最大值為圓心到點(diǎn)的距離加，即．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，復(fù)數(shù)的模的求法，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15.使不等式－2sinx≥0成立的x的取值集合是____________.【答案】【解析】【分析】不等式變形為，然后由正弦函數(shù)性質(zhì)可得．【詳解】原不等式可化為，∴．．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查解三角不等式，把不等式化為或后，可結(jié)合三角函數(shù)圖象、性質(zhì)得出結(jié)論．16.設(shè)函數(shù)為定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上的全部零點(diǎn)的和為__________.【答案】【解析】【分析】推導(dǎo)出函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，然后作出函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的圖象，利用對稱性可求得函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)之和.【詳解】由于函數(shù)為定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則，，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，作出函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的圖象，如下圖所示：由圖象可知，函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的圖象共有個(gè)交點(diǎn)，且有對關(guān)于直線對稱，因此，函數(shù)在區(qū)間上的全部零點(diǎn)的和為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)之和求解，解題時(shí)要結(jié)合圖形得出函數(shù)圖象的對稱性，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.四、解答題：(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)17.已知.（1）若，求向量在向量方向的投影的數(shù)量.（2）若，且，求向量的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）或．【解析】【分析】（1）由題可知，，再由可得，依據(jù)投影的概念求出即得解；（2）設(shè)，依據(jù)以及可列兩個(gè)方程，即可解出．【詳解】（1）因?yàn)?，所以．由綻開得，，即，解得，故向量在向量方向的投影的數(shù)量為．（2）因?yàn)?，所以，設(shè)，則，解得或，故向量的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面數(shù)量積的運(yùn)算，投影的計(jì)算，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．18.已知角終邊上一點(diǎn)坐標(biāo)，.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）由正切函數(shù)定義求出，，，用誘導(dǎo)公式化簡后可得；（2）用兩角和的正切公式計(jì)算；（3）用兩角和的正弦、余弦公式變形后代入的值即得．【詳解】（1）∵終邊過點(diǎn)，∴，，，；（2）；（3）．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，考查兩角和的正切、正弦、余弦公式，同角間的三角函數(shù)關(guān)系，解題關(guān)鍵是駕馭三角函數(shù)的公式，依據(jù)不同的條件選用相應(yīng)公式計(jì)算．19.如圖在四棱錐中，面ABCD，底面ABCD為菱形，且∠ABC=60°，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為PD上一點(diǎn).（1）求證：BD⊥平面PAC；（2）求證：平面PAB⊥平面FAE；【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）證明與垂直，由線面垂直的判定定理得證；（2）先證明與平面垂直，即可得證面面垂直．【詳解】（1）∵是菱形，∴，又面ABCD，面ABCD，∴，而，面，面，∴BD⊥平面PAC；（2）∵是菱形，，∴是等邊三角形，又為中點(diǎn)，∴，而，∴，又面ABCD，面ABCD，∴，而，面，面，∴⊥平面PAB，又平面，∴平面PAB⊥平面FAE．【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直和面面垂直的證明，駕馭線面垂直與面面垂直的判定定理是解題關(guān)鍵．20.如圖已知四棱錐A-BCC1B1底面為矩形，側(cè)面ABC為等邊三角形，且矩形BCC1B1與三角形ABC所在的平面相互垂直，BC=4，BB1=2，D為AC的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)D到平面ABC1的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接，交于，連接，利用已知條件可得，由線面平行的判定定理即可得證；（2）先利用面面垂直得面，再利用求距離即可.【詳解】（1）證明：連接，交于，連接，由矩形可知為的中點(diǎn)，又D為AC的中點(diǎn)，則，平面，平面，所以平面；（2）由題意得：面面，又面，面面，所以面，則，又，所以，又，則的高為，所以，又，則，設(shè)點(diǎn)D到平面ABC1的距離為，則，故，所以點(diǎn)D到平面ABC1的距離為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行的判定定理以及利用等體積法求點(diǎn)到面的距離.屬于中檔題.21.△ABC的內(nèi)角的對邊分別為,已知△ABC的面積為(1)求;(2)若求△ABC的周長.【答案】(1)(2).【解析】試題分析：（1）由三角形面積公式建立等式，再利用正弦定理將邊化成角，從而得出的值；（2）由和計(jì)算出，從而求出角，依據(jù)題設(shè)和余弦定理可以求出和的值，從而求出的周長為.試題解析：（1）由題設(shè)得，即.由正弦定理得.故.（2）由題設(shè)及（1）得，即.所以，故.由題設(shè)得，即.由余弦定理得，即，得.故的周長為.點(diǎn)睛:在處理解三角形問題時(shí)，要留意抓住題目所給的條件，當(dāng)題設(shè)中給定三角形的面積，可以運(yùn)用面積公式建立等式，再將全部邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，有時(shí)需將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系；解三角形問題常見的一種考題是“已知一條邊的長度和它所對的角，求面積或周長的取值范圍”或者“已知一條邊的長度和它所對的角，再有另外一個(gè)條件，求面積或周長的值”，這類問題的通法思路是：全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，如，從而求出范圍，或利用余弦定理以及基本不等式求范圍；求詳細(xì)的值干脆利用余弦定理和給定條件即可.22.已知向量，