2022屆湖北省孝感一中、應(yīng)城一中等五校高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若向量，，則與共線的向量可以是（）A． B． C． D．2．已知的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為8，則實(shí)數(shù)（）A．2 B．-2 C．-3 D．33．已知，則（）A． B． C． D．4．年初，湖北出現(xiàn)由新型冠狀病毒引發(fā)的肺炎.為防止病毒蔓延，各級(jí)政府相繼啟動(dòng)重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件一級(jí)響應(yīng)，全國(guó)人心抗擊疫情.下圖表示月日至月日我國(guó)新型冠狀病毒肺炎單日新增治愈和新增確診病例數(shù)，則下列中表述錯(cuò)誤的是（）A．月下旬新增確診人數(shù)呈波動(dòng)下降趨勢(shì)B．隨著全國(guó)醫(yī)療救治力度逐漸加大，月下旬單日治愈人數(shù)超過(guò)確診人數(shù)C．月日至月日新增確診人數(shù)波動(dòng)最大D．我國(guó)新型冠狀病毒肺炎累計(jì)確診人數(shù)在月日左右達(dá)到峰值5．若sin(α+3π2A．-12 B．-136．已知三棱錐的外接球半徑為2，且球心為線段的中點(diǎn)，則三棱錐的體積的最大值為（）A． B． C． D．7．“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)平臺(tái)是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳習(xí)近平新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員?面向全社會(huì)的優(yōu)質(zhì)平臺(tái)，現(xiàn)日益成為老百姓了解國(guó)家動(dòng)態(tài)?緊跟時(shí)代脈搏的熱門?該款軟件主要設(shè)有“閱讀文章”?“視聽(tīng)學(xué)習(xí)”兩個(gè)學(xué)習(xí)模塊和“每日答題”?“每周答題”?“專項(xiàng)答題”?“挑戰(zhàn)答題”四個(gè)答題模塊?某人在學(xué)習(xí)過(guò)程中，“閱讀文章”不能放首位，四個(gè)答題板塊中有且僅有三個(gè)答題板塊相鄰的學(xué)習(xí)方法有（）A．60 B．192 C．240 D．4328．若（是虛數(shù)單位），則的值為（）A．3 B．5 C． D．9．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是①函數(shù)的最小正周期為；②函數(shù)的圖象是軸對(duì)稱圖形；③函數(shù)的極大值為；④函數(shù)的最小值為．A．①③ B．②④C．②③ D．②③④10．下列說(shuō)法正確的是（）A．“若，則”的否命題是“若，則”B．“若，則”的逆命題為真命題C．，使成立D．“若，則”是真命題11．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位，），則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．三棱柱中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷：一次購(gòu)買水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%．①當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為__________．14．某校為了解家長(zhǎng)對(duì)學(xué)校食堂的滿意情況，分別從高一、高二年級(jí)隨機(jī)抽取了20位家長(zhǎng)的滿意度評(píng)分，其頻數(shù)分布表如下：滿意度評(píng)分分組合計(jì)高一1366420高二2655220根據(jù)評(píng)分，將家長(zhǎng)的滿意度從低到高分為三個(gè)等級(jí)：滿意度評(píng)分評(píng)分70分70評(píng)分90評(píng)分90分滿意度等級(jí)不滿意滿意非常滿意假設(shè)兩個(gè)年級(jí)家長(zhǎng)的評(píng)價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.現(xiàn)從高一、高二年級(jí)各隨機(jī)抽取1名家長(zhǎng)，記事件：“高一家長(zhǎng)的滿意度等級(jí)高于高二家長(zhǎng)的滿意度等級(jí)”，則事件發(fā)生的概率為__________.15．《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》一章給出了弧田面積的計(jì)算公式．如圖所示，弧田是由圓弧AB和其所對(duì)弦AB圍成的圖形，若弧田的弧AB長(zhǎng)為4π，弧所在的圓的半徑為6，則弧田的弦AB長(zhǎng)是__________，弧田的面積是__________．16．戊戌年結(jié)束，己亥年伊始，小康，小梁，小譚，小楊，小劉，小林六人分成四組，其中兩個(gè)組各2人，另兩個(gè)組各1人，分別奔赴四所不同的學(xué)校參加演講，則不同的分配方案有_________種（用數(shù)字作答），三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）本小題滿分14分）已知曲線的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），求直線被曲線截得的線段的長(zhǎng)度18．（12分）已知橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)在軸上，線段與橢圓的交點(diǎn)在第一象限，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相切，且直線交軸于.設(shè)過(guò)點(diǎn)且平行于直線的直線交軸于點(diǎn).（Ⅰ）當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；（Ⅱ）記的面積為，的面積為，求的最小值.19．（12分）已知函數(shù)，設(shè)為的導(dǎo)數(shù)，．（1）求，；（2）猜想的表達(dá)式，并證明你的結(jié)論．20．（12分）已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，離心率，其右焦點(diǎn)為.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)作夾角為的兩條直線分別交橢圓于和，求的取值范圍.21．（12分）已知拋物線，焦點(diǎn)為，直線交拋物線于兩點(diǎn)，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，如圖所示，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)恰好是的中點(diǎn)，且.（1）求拋物線的方程；（2）點(diǎn)是原點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別是，當(dāng)直線的縱截距為1時(shí)，有數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知存在正整數(shù)使得，求m的值.22．（10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程是.（1）寫出的極坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)、的極坐標(biāo)分別為和，直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，射線與曲線相交于點(diǎn)，射線與曲線相交于點(diǎn)，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【解析】

先利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求出向量,然后利用向量平行的條件判斷即可.【詳解】故選B【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量平行的判定,屬于基礎(chǔ)題,在解題中要注意橫坐標(biāo)與橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng),縱坐標(biāo)與縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng),切不可錯(cuò)位.2．A【解析】

先求的展開式，再分類分析中用哪一項(xiàng)與相乘，將所有結(jié)果為常數(shù)的相加，即為展開式的常數(shù)項(xiàng)，從而求出的值.【詳解】展開式的通項(xiàng)為，當(dāng)取2時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為，當(dāng)取時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為由題知，則.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的展開式中的系數(shù)問(wèn)題，其中對(duì)所取的項(xiàng)要進(jìn)行分類討論，屬于基礎(chǔ)題.3．D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)?shù)讛?shù)大于零小于1時(shí)單調(diào)遞減，對(duì)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可得到正確答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以是減函數(shù)，又因?yàn)?，所以，，所以，，所以A,B兩項(xiàng)均錯(cuò)；又，所以，所以C錯(cuò)；對(duì)于D，，所以，故選D.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查的是應(yīng)用不等式的性質(zhì)和指對(duì)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，兩個(gè)式子比較大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性質(zhì)得到大小關(guān)系，有時(shí)可以代入一些特殊的數(shù)據(jù)得到具體值，進(jìn)而得到大小關(guān)系.4．D【解析】

根據(jù)新增確診曲線的走勢(shì)可判斷A選項(xiàng)的正誤；根據(jù)新增確診曲線與新增治愈曲線的位置關(guān)系可判斷B選項(xiàng)的正誤；根據(jù)月日至月日新增確診曲線的走勢(shì)可判斷C選項(xiàng)的正誤；根據(jù)新增確診人數(shù)的變化可判斷D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由圖象可知，月下旬新增確診人數(shù)呈波動(dòng)下降趨勢(shì)，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由圖象可知，隨著全國(guó)醫(yī)療救治力度逐漸加大，月下旬單日治愈人數(shù)超過(guò)確診人數(shù)，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由圖象可知，月日至月日新增確診人數(shù)波動(dòng)最大，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，在月日及以前，我國(guó)新型冠狀病毒肺炎新增確診人數(shù)大于新增治愈人數(shù)，我國(guó)新型冠狀病毒肺炎累計(jì)確診人數(shù)不在月日左右達(dá)到峰值，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)圖表的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.5．B【解析】

由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和倍角公式化簡(jiǎn)即可.【詳解】因?yàn)閟inα+3π2=3故選B【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和倍角公式，靈活掌握公式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.6．C【解析】

由題可推斷出和都是直角三角形，設(shè)球心為，要使三棱錐的體積最大，則需滿足，結(jié)合幾何關(guān)系和圖形即可求解【詳解】先畫出圖形，由球心到各點(diǎn)距離相等可得，，故是直角三角形，設(shè)，則有，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值4，要使三棱錐體積最大，則需使高，此時(shí)，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查由三棱錐外接球半徑，半徑與球心位置求解錐體體積最值問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題7．C【解析】

四個(gè)答題板塊中選三個(gè)捆綁在一起，和另外一個(gè)答題板塊用插入法．注意按“閱讀文章”分類．【詳解】四個(gè)答題板塊中選三個(gè)捆綁在一起，和另外一個(gè)答題板塊用插入法，由于“閱讀文章”不能放首位，因此不同的方法數(shù)為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用，考查捆綁法和插入法求解排列問(wèn)題．對(duì)相鄰問(wèn)題用捆綁法，不相鄰問(wèn)題用插入法是解決這類問(wèn)題的常用方法．8．D【解析】

直接利用復(fù)數(shù)的模的求法的運(yùn)算法則求解即可.【詳解】（是虛數(shù)單位）可得解得本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算法則的應(yīng)用，復(fù)數(shù)的模的求法，考查計(jì)算能力.9．D【解析】

因?yàn)椋寓俨徽_；因?yàn)椋?，，所以，所以函?shù)的圖象是軸對(duì)稱圖形，②正確；易知函數(shù)的最小正周期為，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以只需研究函數(shù)在上的極大值與最小值即可．當(dāng)時(shí)，，且，令，得，可知函數(shù)在處取得極大值為，③正確；因?yàn)?，所以，所以函?shù)的最小值為，④正確．故選D．10．D【解析】選項(xiàng)A，否命題為“若，則”，故A不正確．選項(xiàng)B，逆命題為“若，則”，為假命題，故B不正確．選項(xiàng)C，由題意知對(duì)，都有，故C不正確．選項(xiàng)D，命題的逆否命題“若，則”為真命題，故“若，則”是真命題，所以D正確．選D．11．B【解析】

分別比較復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部與0的大小關(guān)系，可判斷出在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.【詳解】因?yàn)闀r(shí)，所以，，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.12．B【解析】

設(shè)，，，根據(jù)向量線性運(yùn)算法則可表示出和；分別求解出和，，根據(jù)向量夾角的求解方法求得，即可得所求角的余弦值.【詳解】設(shè)棱長(zhǎng)為1，，，由題意得：，，，又即異面直線與所成角的余弦值為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的求解，關(guān)鍵是能夠通過(guò)向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角的求解問(wèn)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．130.15.【解析】

由題意可得顧客需要支付的費(fèi)用，然后分類討論，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問(wèn)題可得的最大值.【詳解】(1),顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各一盒,需要支付元.(2)設(shè)顧客一次購(gòu)買水果的促銷前總價(jià)為元,元時(shí),李明得到的金額為,符合要求.元時(shí),有恒成立,即,即元.所以的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的概念與性質(zhì)?數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)?數(shù)學(xué)式子變形與運(yùn)算求解能力,以實(shí)際生活為背景，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，考查學(xué)生身邊的數(shù)學(xué)，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).14．0.42【解析】

高一家長(zhǎng)的滿意度等級(jí)高于高二家長(zhǎng)的滿意度等級(jí)有三種情況，分別求出三種情況的概率，再利用加法公式即可.【詳解】由已知，高一家長(zhǎng)滿意等級(jí)為不滿意的概率為，滿意的概率為，非常滿意的概率為，高二家長(zhǎng)滿意等級(jí)為不滿意的概率為，滿意的概率為，非常滿意的概率為，高一家長(zhǎng)的滿意度等級(jí)高于高二家長(zhǎng)的滿意度等級(jí)有三種情況：1.高一家長(zhǎng)滿意，高二家長(zhǎng)不滿意，其概率為；2.高一家長(zhǎng)非常滿意，高二家長(zhǎng)不滿意，其概率為；3.高一家長(zhǎng)非常滿意，高二家長(zhǎng)滿意，其概率為.由加法公式，知事件發(fā)生的概率為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件的概率，涉及到概率的加法公式，是一道中檔題.15．612π﹣9【解析】

過(guò)作，交于，先求得圓心角的弧度數(shù)，然后解解三角形求得的長(zhǎng).利用扇形面積減去三角形的面積，求得弧田的面積.【詳解】∵如圖，弧田的弧AB長(zhǎng)為4π，弧所在的圓的半徑為6，過(guò)作，交于，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，垂直平分.∴α＝∠AOB＝＝，可得∠AOD＝，OA＝6，∴AB＝2AD＝2OAsin＝2×＝6，∴弧田的面積S＝S扇形OAB﹣S△OAB＝4π×6﹣＝12π﹣9．故答案為：6，12π﹣9．【點(diǎn)睛】本小題主要考查弓形弦長(zhǎng)和弓形面積的計(jì)算，考查中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化，屬于中檔題.16．1080【解析】

按照先分組，再分配的分式，先將六人分成四組，其中兩個(gè)組各2人，另兩個(gè)組各1人有種，再分別奔赴四所不同的學(xué)校參加演講有種，然后用分步計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】將六人分成四組，其中兩個(gè)組各2人，另兩個(gè)組各1人有種，再分別奔赴四所不同的學(xué)校參加演講有種，則不同的分配方案有種.故答案為：1080【點(diǎn)睛】本題主要考查分組分配問(wèn)題，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．【解析】解：解：將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為，即，它表示以為圓心，2為半徑圓，………4分直線方程的普通方程為，………8分圓C的圓心到直線l的距離，……………10分故直線被曲線截得的線段長(zhǎng)度為．……………14分18．（Ⅰ）直線的方程為（Ⅱ）【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示點(diǎn)B，并代入橢圓方程解得，從而求出直線的方程；（2）設(shè)直線的方程為：，表示點(diǎn)，然后聯(lián)立方程，利用相切得出，然后求出切點(diǎn)，再設(shè)出設(shè)直線的方程，求出點(diǎn)，利用兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線的方程，從而求出，最后利用以上已求點(diǎn)的坐標(biāo)表示面積，根據(jù)基本不等式求最值即可.【詳解】解：（Ⅰ）由橢圓，可得：由題意：設(shè)點(diǎn)，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，可得：代入橢圓方程，可得：所以：所以.故直線的方程為.（Ⅱ）由題意，直線的斜率存在且不為0，故設(shè)直線的方程為：令，得：，所以：.聯(lián)立：，消，整理得：.因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以.即.設(shè)，則，，所以.又直線直線，所以設(shè)直線的方程為：.令，得，所以：.因?yàn)?，所以直線的方程為：.令，得，所以：.所以.又因?yàn)?.所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立）所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查直線方程以及求橢圓中的最值問(wèn)題，最值問(wèn)題一般是把目標(biāo)式求出，結(jié)合目標(biāo)式特點(diǎn)選用合適的方法求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，本題利用了基本不等式求最小值的方法，運(yùn)算量較大，屬于難題.19．,；，證明見(jiàn)解析【解析】

對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),并通過(guò)三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化求得的表達(dá)式,對(duì)函數(shù)再進(jìn)行求導(dǎo)并通過(guò)三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化求得的表達(dá)式;根據(jù)中，的表達(dá)式進(jìn)行歸納猜想,再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.【詳解】（1），其中，[，其中，（2）猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時(shí)，成立，②假設(shè)時(shí)，猜想成立即當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，猜想成立由①②對(duì)成立【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、三角恒等變換、歸納與猜想和數(shù)學(xué)歸納法;考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力;熟練掌握用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明的步驟是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.20．（1）；（2）.【解析】

（1）由已知短軸長(zhǎng)求出，離心率求出關(guān)系，結(jié)合，即可求解；（2）當(dāng)直線的斜率都存在時(shí)，不妨設(shè)直線的方程為，直線與橢圓方程聯(lián)立，利用相交弦長(zhǎng)公式求出，斜率為，求出，得到關(guān)于的表達(dá)式，根據(jù)表達(dá)式的特點(diǎn)用“”判別式法求出范圍，當(dāng)有一斜率不存在時(shí)，另一條斜率為，根據(jù)弦長(zhǎng)公式，求出，即