2023新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的概念練習(xí)新人教A版必修第一冊

4.2指數(shù)函數(shù)

4.2.1指數(shù)函數(shù)的概念

知識對點(diǎn)練

知識點(diǎn)一指數(shù)函數(shù)的概念

1.以X為自變量的四個(gè)函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的為()

A.y=(n—1)"B.y=(1—n)x

C.y=3A+1D.y=x

答案A

解析由指數(shù)函數(shù)的定義可知只有選項(xiàng)A為指數(shù)函數(shù).故選A.

2.函數(shù)〃入)=(2d-3)/是指數(shù)函數(shù)，則3=()

3

A.8B.~

C.4D.2

答案D

解析???函數(shù)F(x)=(2a—3)H是指數(shù)函數(shù)，

25-3=1,

：.\「：.a=2.

W>0且

3.若尸(另一48+3/是指數(shù)函數(shù)，則有()

A.a=l或7B.a=l

C.a=7D.a>0且dWl

答案C

解析由指數(shù)函數(shù)的定義得切，解得a=7.

、2關(guān)1,

4.若函數(shù)尸(2/-6a+5)a*是指數(shù)函數(shù)，則a的值為.

答案2

2/-63+5=]

解析由指數(shù)函數(shù)的定義可得二‘解得a=2.

|a>0,aWl,

5.已知函數(shù)/■(x)=(2a—l)’是指數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

答案七，1)U(1,+oo)

[2a—1>0,i

解析因?yàn)楹瘮?shù)/?(入)=(2d-1)’是指數(shù)函數(shù)，所以一解得a,且dWl,所

[2a—1^1,/

以實(shí)數(shù)a的取值范圍是由1卜(1,+8).

知識點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)的解析式

6.已知函數(shù)/Xx)=a'是指數(shù)函數(shù)，若/"(2)=3,則/"(4)的值為()

A.9B.3-73C.2-72D.0

答案A

解析設(shè)f(x)=a'(a〉O且a#l),因?yàn)镕(2)=3,所以3=3,所以a=?所以f{x}

=(、「)'，所以f⑷=(4"=9.故選A.

7.若函數(shù)f(x)為指數(shù)函數(shù)，且/'(3)=8,則/'(x)的解析式為()

A.f(x)=xB.f(x)=2X

C.D.f{x}=x

答案B

解析設(shè)f(x)="(d>0且aHl),因?yàn)?'(3)=8,即3=8,所以己=2,所以f(x)=2：

故選B.

8.若函數(shù)f(x)=(1a-3)H是指數(shù)函數(shù)，則/目的值為()

A.2B.2-72C.-272D.-2

答案B

’1

(\\聲一3=1,

解析因?yàn)楹瘮?shù)/?(x)=|ja—3ja'是指數(shù)函數(shù)，所以有,解得a=8,所

?〉0且@彳1,

以f(x)=8',所以0=8=m=2近故選B.

9.若函數(shù)f(x)是指數(shù)函數(shù)，且/'(2)=2,則f(x)=.

答案(裂),

解析因?yàn)閒(x)為指數(shù)函數(shù)，可設(shè)f(x)=a'(a>0且aWl),由題意得/1(2)=a?=2,所

以a=M，所以/■(x)=(蛆)*.

10.若函數(shù)/'(X)是指數(shù)函數(shù)，且f(—2)=+，則(一5)=.

1

1

案

答_

0

0

解析設(shè)f(x)=■設(shè)>0且aWl),?"(—2)=白，Aa~2=T^t，a=4,f(x)=4\

1616

_3

7H卜2=1.

11.若函數(shù)f(x)是指數(shù)函數(shù)，且f(—2)=1,那么/'⑷?/X2)=.

答案64

解析設(shè)f(x)=a，(a>0且a*l),因?yàn)?'(—2)=；,所以解得a=2,所以/'(x)

=2',則f(4)?A2)=2'X22=64.

fx+2，KO,

12.已知函數(shù)/Xx)滿足/'(*)=L、則/'(一7.5)的值為.

(2X,x》0,一

答案小

解析由題意得A-7.5)=A-5.5)=A-3.5)=X-1.5)=A0.5)=205=^2.

知識點(diǎn)三指數(shù)增長型和指數(shù)衰減型函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

13.某地為了保持水土資源，實(shí)行退耕還林，如果2015年退耕8萬公頃，以后每年比上

一年增加10%,那么2020年需退耕()

A.8X1.1萬公頃B.8XL1萬公頃

C.8X1」萬公頃1).8X1.1'萬公頃

答案B

解析根據(jù)題意，2015年退耕8萬公頃，記為忿“5=8萬公頃，以后每年比上一年增加

10%,即是上一年的1+1O%=1.1倍，則2020年需退耕為檢020=8XLF萬公頃.故選B.

14.全球變暖使某地冬季冰雪覆蓋面積在最近50年內(nèi)減少了5%,已知2018年該地的冬

季冰雪覆蓋面積為如如果按此速度，從2018年起，經(jīng)過x年后，該地冬季冰雪覆蓋面積y

與x的函數(shù)關(guān)系式是()

XX

5050

A.y=0.95mB.y=(l-0.05)加

C.y=0.95;,0-vz?D.y—(1—0.OS'0-1)^

答案A

解析設(shè)該地冬季冰雪覆蓋面積年平均減少率為a,,??最近50年內(nèi)覆蓋面積減少了5%,

1

50

???(1一/5KA°=1—5%,解得己=1-0.95.，從2018年起，經(jīng)過x年后，該地冬季冰雪覆蓋

X

r(Jso

面積y=Hl—|50_'=0.95m.

LU-0.95J]

15.隨著我國經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，2014年年底某偏遠(yuǎn)地區(qū)農(nóng)民人均年收入為3000元，預(yù)

計(jì)該地區(qū)今后農(nóng)民的人均年收入將以每年6%的平均增長率增長，那么2021年年底該地區(qū)的

農(nóng)民人均年收入為()

A.3000XL06X7元B.3000XI.06’元

C.3000X1.06X8701).3000X1.068元

答案B

解析設(shè)經(jīng)過x年，該地區(qū)農(nóng)民人均年收入為y元，則依題意有y=3000X(l+6%)*=

3000X1.06\因?yàn)閺?014年年底到2021年年底經(jīng)過了7年，故x=7,所以2021年年底該

地區(qū)的農(nóng)民人均年收入為3000X1.067元.

16.已知某種產(chǎn)品的生產(chǎn)成本每年降低25%.若該產(chǎn)品2017年年底的生產(chǎn)成本為6400元

/件，那么2020年年底的生產(chǎn)成本為元/件.

答案2700

解析由題意得,2020年年底的生產(chǎn)成本為6400X(1-25階3=6400X(|)=2700元/件.

17.春天來了，某池塘中的荷花枝繁葉茂，已知每一天荷葉覆蓋水面面積是前一天的2

倍，若荷葉20天可以完全長滿池塘水面，當(dāng)荷葉剛好覆蓋水面面積一半時(shí)，荷葉已生長了

天.

答案19

解析假設(shè)第一天荷葉覆蓋水面面積為1,則荷葉覆蓋水面面積y與生長時(shí)間的函數(shù)關(guān)

系為尸21,當(dāng)x=20時(shí)，長滿水面，所以生長19天時(shí)，荷葉布滿水面一半.

18.某化工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場要求，雜質(zhì)含量不能超過0.1%,若初始溶液含雜質(zhì)

2%,每過濾一次可使雜質(zhì)含量減少!

(1)寫出雜質(zhì)含量y與過濾次數(shù)〃的函數(shù)關(guān)系式；

(2)過濾7次后的雜質(zhì)含量是多少？過濾8次后的雜質(zhì)含量是多少？至少應(yīng)過濾幾次才能

使產(chǎn)品達(dá)到市場要求？

2/1A12

解⑴過濾1次后的雜質(zhì)含量為訴X1—7=77><T;

100\37503

過濾2次后的雜質(zhì)含量為(總義|卜(1—?=七><(1)；

過濾3次后的雜質(zhì)含量為島X朗義(1一步系修｝

過濾n次后的雜質(zhì)含量為白義僑("6NO.

故y與〃的函數(shù)關(guān)系式為尸水。(向*).

⑵由⑴知當(dāng)"=7時(shí)'y/xQ)=54675,loo。，

T,=8時(shí)，尸而又=164025<1000'

所以至少應(yīng)過濾8次才能使產(chǎn)品達(dá)到市場要求.

易錯(cuò)點(diǎn)忽視底數(shù)的取值條件

若函數(shù)尸(/一4a+4)a*是指數(shù)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值.

易錯(cuò)分析解答本題易忽視對底數(shù)a的約束條件而致誤.

正解???函數(shù)y=(a2—4a+4)a”是指數(shù)函數(shù)，

一-4a+4=l

由指數(shù)函數(shù)的定義，得

a>0且,

fa=l或a=3,

Jl,???a=3.

L〉0且a關(guān)1,

一、單項(xiàng)選擇題

1.函數(shù)尸(6才一a)H是指數(shù)函數(shù)，則a的值是()

111

A.—~B.-C.-D.2

答案B

k>0,

解析由題意得收一a=l,得a=；,故選B.

2.若函數(shù)f(x)是指數(shù)函數(shù)，且*2)=81,則(一9的值為()

A.±|B.±3C.|D.3

答案C

解析由題意，得/、(x)=a*(a>0,a#l),F(2)=，=81,解得a=9或a=—9(舍去),

/.f(x)=9',2^-9，=g.

3.若函數(shù)尸（加2一0一1）4是指數(shù)函數(shù)，則應(yīng)等于（）

f1

A.-1或2B.-1C.2D.-

答案C

m—m一1—1,

解析由題意得…口解得勿=2.故選C.

〔勿>0且而ri,

4.某股民購買一公司股票10萬元，在連續(xù)十個(gè)交易日內(nèi)，前5個(gè)交易日，平均每天上

漲5%,后5個(gè)交易日內(nèi)，平均每天下跌4.9%,則股民的股票盈虧情況（不計(jì)其他成本，精確

到元）為（）

A.賺723元B.賺145元

C.虧145元I）.虧723元

答案D

解析由題意得10X（1+5酚嘆（1-4.9%）5Pl0X0.99277=9.9277；100000-99277=

723,故股民虧723元，故選D.

5.某種細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，…，現(xiàn)有2個(gè)這樣的細(xì)胞，

分裂x次后得到細(xì)胞的個(gè)數(shù)y與x的函數(shù)關(guān)系式是（）

A.y=2xB.y=2x~'

C.y=2"D.y=2"'

答案D

解析分裂一次后由2個(gè)變成2X2=2,個(gè)，分裂兩次后為4X2=2,個(gè)，…，所以分裂x

次后為2f個(gè)，故選D.

6.調(diào)查表明，酒后駕駛是導(dǎo)致交通事故的主要原因，交通法規(guī)規(guī)定：駕駛員在駕駛機(jī)動

車時(shí)血液中酒精含量不得超過0.2mg/mL.如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量將迅速上

升到0.8mg/mL,在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小時(shí)50%的速度減少，則他至少要經(jīng)

過小時(shí)后才可以駕駛機(jī)動車.（）

A.1B.2C.3D.4

答案B

解析設(shè)〃個(gè)小時(shí)后才可以駕駛機(jī)動車，由題意得0.8（1—50%）"=0.2,解得〃=2.故選

B.

7.下列函數(shù)關(guān)系中，可以看作是指數(shù)型函數(shù)尸癡（代R,a>0且a#1）的模型的是（）

A.豎直向上發(fā)射的信號彈，從發(fā)射開始到信號彈到達(dá)最高點(diǎn)，信號彈的高度與時(shí)間的關(guān)

系（不計(jì)空氣阻力）

B.我國人口年自然增長率為1%時(shí)，我國人口總數(shù)與年份的關(guān)系

C.如果某人ts內(nèi)騎車行進(jìn)了1km,那么此人騎車的平均速度u與時(shí)間r的函數(shù)關(guān)系

D.信件的郵資與其重量間的函數(shù)關(guān)系

答案B

解析A中的函數(shù)模型是二次函數(shù)；B中的函數(shù)模型是指數(shù)型函數(shù)；C中的函數(shù)模型是反

比例函數(shù)；D中的函數(shù)模型是一次函數(shù).故選B.

8.如表給出函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù)，由此可判斷它最可能的函數(shù)模型為

()

X-2-10123

11

141664

y而4

A.一次函數(shù)模型B.二次函數(shù)模型

C.指數(shù)函數(shù)模型D.基函數(shù)模型

答案C

解析由于變量可以取0,故函數(shù)模型不可能是基函數(shù)模型；取點(diǎn)(0,1),(1,4),(2,16),

\b—\,

設(shè)一次函數(shù)為y=Ax+6(左產(chǎn)0),貝時(shí)解得b—1,〃=3,...尸3x+l,當(dāng)x=2

[k-\-6=4,

時(shí)，y=7,故不可能是一次函數(shù)模型；設(shè)二次函數(shù)為y=aV+bx+c(aW0),則

c—1,

?a+6+c=4,

.4a+26+c=16,

%=1,

a」g.3

工、2'即]x+i,當(dāng)x=-1時(shí)，y=7,故不可能是二次函數(shù)模

3

fa=4,

型；設(shè)指數(shù)函數(shù)為y=a'(a>0且aWl),則,,;.a=4,.?.指數(shù)函數(shù)為y=4'，滿足

[a=16,

題意.故選C.

二、多項(xiàng)選擇題

9.以x為自變量的四個(gè)函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的為()

A.尸(4+1)*B./=(1-^2)''

C.y=3'+,D.尸/

答案AD

解析由指數(shù)函數(shù)的定義可知A,D是指數(shù)函數(shù).

10.如圖所示是某池塘中的浮萍蔓延的面積Mm?)與時(shí)間乂月)的關(guān)系：尸a'，下列敘

述正確的是()

A.這個(gè)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為2

B.第5個(gè)月時(shí)，浮萍的面積會超過30m2

C.浮萍從4m?蔓延到12需要經(jīng)過1.5個(gè)月

D.浮萍每個(gè)月增加的面積都相等

答案AB

解析；(1,2)在y=a'上，.?.2=3,a=2,故A正確；浮萍蔓延的面積和時(shí)間的函數(shù)關(guān)

系式為尸2'，當(dāng)t=5時(shí)，y=32>30,故B正確；當(dāng)y=4時(shí)，t=2,經(jīng)過1.5個(gè)月后浮萍

蔓延的面積為2*<12,故C不正確；由圖可知，1月到2月浮萍蔓延面積增加2mI2月到3

月浮萍蔓延面積增加4nI，,故D不正確.故選AB.

11.若函數(shù)y=(4-4a+b)a”是指數(shù)函數(shù)，則8可能的取值為()

A.1B.4C.5D.6

答案ABC

解析因?yàn)楹瘮?shù)y=(a?—4a+6)a"是指數(shù)函數(shù)，所以a〉0,a￥l,a2—4a+Z?=l,即以a

為未知數(shù)的方程才一4a+6—1=0至少有一個(gè)不為1的正實(shí)數(shù)根.對于A,若6=1,則才一

4a=0,解得a=0或a=4,故A成立；對于B,若6=4,則a?—4a+3=0,解得a=l或a

=3,故B成立；對于C,若b=5,則a-4a+4=0,解得a=2,故C成立；對于D,若A

=6,則才一4a+5=0,此方程無解，故D不成立.故選ABC.

12.若/'(x)為指數(shù)函數(shù)，已知集合4={x|f(x)=4},集合8={x|f—9x—10W0},如

果4n駐。，則/Xx)的解析式可能為()

A.f(x)=(啦)"B.f(x)=(/)'+l

d-f(x)=G)

C.f(x)=2'

答案AC

解析；f(x)為指數(shù)函數(shù)，，由指數(shù)函數(shù)的定義可知B錯(cuò)誤；?.?8={X|V-9L10W0}

={x|-1W啟10},對于A,當(dāng)/、(x)=4時(shí)，即(/),=4,此時(shí)x=4,符合題意，正確；對

于C,當(dāng)/1(x)=4時(shí)即2'=4,此時(shí)x=2,符合題意，正確；對于D,當(dāng)/Xx)=4時(shí)，即得,

=4,此時(shí)x=-2,不符合題意，錯(cuò)誤.故選AC.

三、填空題

2

13.己知函數(shù)f(x)=r~~;+3(a>0且aWl),若/'(1)=4,則f(—1)=_______.

a—1

答案0

2

解析VA1)=4,???f(l)=—r+3=4,???a=3,

a—\

22

：.f(x)=^—r+3,???/'(—1)=尹一7+3=0.

o-1o—1

14.若函數(shù)f(x)是指數(shù)函數(shù)且f(2)=16,則f(x)=,(一，=.

答案4"|

解析設(shè)f(x)=a'(a>0,且a^l),依題意有成=16,得a=4,

故f(x)—4X,(一9=4

15.已知函數(shù)/Xx)是指數(shù)函數(shù)，若/Xx)過點(diǎn)(一2,4),則/1"(-1))=.

答案4

解析由題意，設(shè)F(x)=a%a〉0且af1),A-2)=a*4,解得a=；,則f(x)=0

f(—1)=(J)T=2,F(2)=&)=[,/./(A—D)=1.

16.一種產(chǎn)品的成本原來是a元，在今后加年內(nèi)，計(jì)劃使成本平均每年比上一年降低庚,

則成本y隨經(jīng)過的年數(shù)”變化的函數(shù)關(guān)系為.

答案y=a(l—"O'(x6N”,且xW加)

解析由成本經(jīng)過x年降低到y(tǒng)元，得

y=a(l—庚)”(xWN”,且xW/z?).

四、解答題

17.判斷下列函數(shù)是否是指數(shù)函數(shù)：

}_

~3

⑴y=2"(xeN*)；(2)尸x；⑶尸(-3),；

(4)尸一3"；(5)尸("-3)'；⑹尸2「

解(1)不是.該函數(shù)的定義域不是R，這個(gè)函數(shù)可稱為正整數(shù)指數(shù)函數(shù).

]_

3

(2)不是.函數(shù)y=x中的自變量x在底數(shù)位置上，不在指數(shù)位置上，故不是指數(shù)函數(shù).

(3)不是.函數(shù)y=(-3)'的底數(shù)為一3〈0