福建省龍巖市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試題

龍巖市2023~2024學(xué)年第一學(xué)期期末高二教學(xué)質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試題（考試時間：120分鐘滿分：150分）注意事項：1.考生將自己的姓名、準(zhǔn)考證號及所有的答案均填寫在答題卡上.2.答題要求見答題卡上的“填涂樣例”和“注意事項”.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求.請把答案填涂在答題卡上.1.計算（）A.34 B.35 C.36 D.37【答案】A【解析】【分析】直接由組合數(shù)公式計算即可.【詳解】由題意.故選：A.2.已知方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓的焦點位置可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，即可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為表示焦點在軸上的橢圓，則，解得.故選：B.3.已知直線l法向量為，且經(jīng)過點，則原點O到l的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由直線點法式得直線方程，結(jié)合點到直線的距離公式即可求解.【詳解】設(shè)點為直線上一點，則，所以，即直線的方程為，所以原點O到l的距離為.故選：C.4.南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最上層（即第一層）有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…，設(shè)“三角垛”從第一層到第n層的各層的球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意，根據(jù)等差數(shù)列求和公式，寫出通項公式，可得答案.【詳解】由題意可得：，，，，，對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：D.5.某學(xué)校高二（1）班上午安排語文、數(shù)學(xué)、英語、體育、物理門課，要求第一節(jié)不安排體育，語文和數(shù)學(xué)必須相鄰，則不同的排課方法共有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】B【解析】【分析】先考慮第一節(jié)安排體育課，語文和數(shù)學(xué)必須相鄰的排法種數(shù)，接下來考慮語文和數(shù)學(xué)必須相鄰的情形，求出兩種情況下不同的排課方法種數(shù)，結(jié)合間接法可得結(jié)果.【詳解】先考慮第一節(jié)安排體育課，語文和數(shù)學(xué)必須相鄰，則將數(shù)學(xué)與語文捆綁，形成一個大元素，將這個大元素與英語、物理課進(jìn)行排序，共有種排法；接下來只考慮語文和數(shù)學(xué)必須相鄰的情形，只需將數(shù)學(xué)與語文捆綁，形成一個大元素，將這個大元素與其余門課進(jìn)行排序，共有種排法.由間接法可知，不同的排法種數(shù)為種.故選：B.6.已知O為坐標(biāo)原點，P是直線上一動點，Q是圓上一動點，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先畫出圖形，找出點關(guān)于直線的對稱點，結(jié)合三角形三邊關(guān)系即可求解.【詳解】如圖所示：設(shè)點與點關(guān)于直線對稱，則，解得，即，所以，其中分別為圓圓心和半徑，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)分別與重合，其中分別為線段與直線和圓的交點，綜上所述，的最小值為.故選：C.7.已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，是其前項和，且,，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列的基本性質(zhì)可得出，結(jié)合以及等差數(shù)列的通項公式可判斷AB選項，利用等差數(shù)列的求和公式可判斷C選項，推導(dǎo)出，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可判斷D選項.【詳解】因為數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，是其前項和，且，，則，所以，，所以，，A對；，則，B錯；，C對；因為，則，又因為，所以，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，當(dāng)時，；當(dāng)時，.綜上所述，，D錯.故選：C.8.已知是雙曲線的左、右焦點，經(jīng)過點的直線與雙曲線C的左右兩支分別交于A，B兩點，若，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義可得，取的中點，連接，由面積可得，利用余弦定理結(jié)合雙曲線離心率分析求解.【詳解】由題意可知：，可得，取的中點，連接，可知，因為，可得，則，可得，在中，由余弦定理可得，即，整理得，所以雙曲線C的離心率為.故選：D.【點睛】方法點睛：求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e的值．二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，分選對的得2分，有選錯的得0分.請把答案填涂在答題卡上.9.已知二項式的展開式，則（）A.常數(shù)項是 B.系數(shù)為有理數(shù)的項共有4項C.第5項和第6項的二項式系數(shù)相等 D.奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為256【答案】ACD【解析】【分析】首先得二項式展開通項，由此即可逐一判斷每一選項.【詳解】由題意二項式的展開式通項為，對于A，令，得，所以常數(shù)項是，故A正確；對于B，當(dāng)且僅當(dāng)時，這些項的系數(shù)為有理數(shù)，即系數(shù)為有理數(shù)的項共有5項，故B錯誤；對于C，第5項和第6項的二項式系數(shù)滿足，故C正確；對于D，奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為，故D正確.故選：ACD.10.已知經(jīng)過點且斜率為k的直線l與圓交于不同的兩點M，N，線段的中點為P，則（）A. B.當(dāng)時，直線l平分圓CC.當(dāng)時， D.點P的軌跡方程為【答案】AB【解析】【分析】A選項，求出圓心和半徑，由點到直線距離公式得到不等式，求出答案；B選項，當(dāng)時，，故在直線上，得到B正確；C選項，由垂徑定理得到弦長；D選項，聯(lián)立與，根據(jù)得到，設(shè)，由得到軌跡方程，注意取值范圍.【詳解】A選項，變形為，即圓心為，半徑為2，設(shè)直線，則圓心到直線的距離，即，解得，A正確；B選項，當(dāng)時，，由于，故在直線上，故當(dāng)時，直線l平分圓C，B正確；C選項，當(dāng)時，，故圓心到直線的距離，故，C錯誤；D選項，由A選項知，，聯(lián)立與得，，由得，且，故，令，則，由于，故在上單調(diào)遞增，故，則,由幾何關(guān)系知，設(shè)，故，變形得到，故點P的軌跡方程為，且，D錯誤.故選：AB11.已知直線l與拋物線交于、兩點，且與軸交于點，為坐標(biāo)原點，直線、斜率之積為，則（）A.當(dāng)時，B.當(dāng)時，線段中點的軌跡方程為C.當(dāng)時，以為直徑的圓與軸相切D.當(dāng)時，的最小值為【答案】AC【解析】【分析】設(shè)點、、，由題意可得，，設(shè)直線的方程為，將該直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用斜率公式和韋達(dá)定理推導(dǎo)出，利用基本不等式可判斷AD選項，求出點的軌跡方程，可判斷B選項；利用直線與圓的位置關(guān)系可判斷C選項.【詳解】設(shè)點、、，由題意可得，，若直線與軸垂直，則該直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，，所以，，對于AB選項，當(dāng)時，則，即點，滿足，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)或時，等號成立，A對，設(shè)點，則，，化簡可得，B錯；對于CD選項，當(dāng)時，則，則為拋物線的焦點，，則線段的中點為，，故以線段為直徑的圓與軸相切，C對，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)或，D錯.故選：AC.12.已知數(shù)列各項均為負(fù)數(shù)，其前項和滿足，則（）A.數(shù)列的第項小于 B.數(shù)列不可能是等比數(shù)列C.數(shù)列為遞增數(shù)列 D.數(shù)列中存在大于項【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意，由數(shù)列前項和與通項的關(guān)系求出和的值，可判斷選項A，利用反證法判斷選項B和D，分析的符號，即可判斷選項C.【詳解】由題知，因為，所以當(dāng)時，，可得，當(dāng)時，，可得，又，且，所以，A錯誤；對于B，假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，設(shè)其公比為，由于，即，變形可得，必有，與等比數(shù)列定義矛盾，B正確；對于C，當(dāng)時，可得，必有即，則是遞增數(shù)列，C正確；對于D，假設(shè)數(shù)列中不存在大于的項，即對于，有，則，所以有，變形得，與假設(shè)矛盾，故D正確.故選：BCD第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分（其中16題第一空2分，第二空3分）.13.編號不同的四個球放入四個不同的盒子中，恰有一個空盒的不同放法有______種.（用數(shù)字回答）【答案】144【解析】【分析】首先把四個小球分成2、1、1三組，然后再從四個盒子中選出三個盒子放入三組小球，即可求解.【詳解】首先把四個小球分成2、1、1三組，共有種不同的分法，然后再從四個盒子中選出三個盒子放入三組小球，共有種放法.故答案為：144.14.已知圓與圓外離，則實數(shù)a的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】由題意表示出兩圓的圓心半徑，進(jìn)一步結(jié)合兩圓外離列出不等式即可求解.【詳解】由題意圓與圓的圓心、半徑依次分別為，因為兩圓外離，所以圓心距滿足，解得，即實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.15.已知橢圓的離心率為，、是左、右焦點，為橢圓的下頂點，連接并延長交橢圓于點，則直線的斜率為______.【答案】##【解析】【分析】由已知可得出，，求出直線的方程，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出點的坐標(biāo)，再利用斜率公式可求得直線的斜率.詳解】由已知可得，則，，橢圓的方程可化為，即，易知點、、，直線的方程為，可得，聯(lián)立可得，即點，所以，.故答案為：.16.已知數(shù)列各項均為，在其第項和第項之間插入個，得到新數(shù)列，記新數(shù)列的前項和為，則______，______.【答案】①.②.【解析】【分析】將數(shù)列各項排成三角數(shù)陣，確定的位置，可得出的值，確定數(shù)列的前項中，項的值為、的項數(shù)，即可求得的值.【詳解】由題意，將數(shù)列各項按如下數(shù)陣排列：其中第行有項，則該數(shù)陣中第行最后一項對應(yīng)數(shù)列中的對應(yīng)的第項，因為，且，所以，位于數(shù)陣的第行第項，故，數(shù)列的前項中，項的值為的共項，項的值為的項共項，因此，.故答案為：；.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查數(shù)列求和與求某項的問題，解題的關(guān)鍵就是確定各項的位置，以及數(shù)列中各項的值，對于這種有規(guī)律性的數(shù)列問題，可以將其轉(zhuǎn)化為三角數(shù)陣，確定相應(yīng)項的位置即可.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在①各項系數(shù)之和為；②常數(shù)項為；③各項系數(shù)的絕對值之和為1536這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并解答問題.在的展開式中，.（1）求n；（2）證明：能被6整除.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由所選條件，利用展開式系數(shù)與系數(shù)和的性質(zhì)，列方程求n；（2），利用二項式定理，證明數(shù)據(jù)是6的倍數(shù).【小問1詳解】選條件①各項系數(shù)之和為，取，則，解得；選條件②常數(shù)項為，由，則常數(shù)項為，解得；選條件③各項系數(shù)的絕對值之和為1536，即的各項系數(shù)之和為1536，取，則，解得.【小問2詳解】，所以能被6整除.18.在數(shù)列中，，且分別是等差數(shù)列的第1，3項.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）記，求的前n項和.【答案】（1）,（2）【解析】【分析】（1）由等比數(shù)列的定義、等差數(shù)列基本量的計算即可得解；（2）由裂項法求和結(jié)合對分類討論即可求解.【小問1詳解】由題意得，所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，又因為，解得，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以.【小問2詳解】由題意，若，則，若，則，所以的前n項和.19.已知圓M的圓心在直線上，并且與直線相切于點.（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與圓M相交于A，B兩點，，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)切線性質(zhì)以及垂直關(guān)系分析可知圓M的圓心在直線上，進(jìn)而可求圓心和半徑，即可得結(jié)果；（2）聯(lián)立方程，根據(jù)弦長公式求得，可知結(jié)合韋達(dá)定理運算求解.【小問1詳解】設(shè)與直線垂直的直線方程為，代入點可得，解得，可知圓M的圓心在直線上，聯(lián)立方程，解得，即圓M的圓心，半徑，所以圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】設(shè)，聯(lián)立方程，消去y得，則，因為，解得，此時，即符合題意，設(shè)的傾斜角為，則，故，所以.20.拋物線具有光學(xué)性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知點為拋物線的焦點，為坐標(biāo)原點，點在拋物線上，且其縱坐標(biāo)為，滿足.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知平行于軸的光線從點射入，經(jīng)過拋物線上的點反射后，再經(jīng)過拋物線上另一點，最后沿方向射出，若射線平分，求實數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出點的坐標(biāo)，根據(jù)可得出關(guān)于的等式，即可解出的值，由此可得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求出點的坐標(biāo)，可得出直線的方程，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出點的坐標(biāo)，設(shè)直線的傾斜角為，分析可得出，，由結(jié)合二倍角的正切公式求出的值，結(jié)合可得出實數(shù)的值.【小問1詳解】解：由題意可知，拋物線的焦點為，將代入拋物線方程可得，即點，由可得，解得，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】解：由題意可知，直線的方程為，由可得，即點，則，直線的方程為，聯(lián)立可得，即點，設(shè)直線的傾斜角為，則，由題意可知，，且為銳角，，可得，所以，，因為，可得，解得.21.已知函數(shù)滿足，數(shù)列滿足：.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列滿足，其前項和為，若對任意恒成立，求實數(shù)取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用倒序相加法可求得；（2）利用錯位相減法求出，由已知條件結(jié)合參變量分離法可得出，利用對勾函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值，即可得出實數(shù)的取