高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)梯級(jí)練七十一離散型隨機(jī)變量的分布列均值與方差課時(shí)作業(yè)理含解析新人教A版

一輪復(fù)習(xí)精品資料(高中)PAGE1-課時(shí)作業(yè)梯級(jí)練七十一離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差一、選擇題(每小題5分，共20分)1．(2020·重慶模擬)已知隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝mk(k＝1，2，3，4，5)，則實(shí)數(shù)m＝()A．eq\f(1,5)B．eq\f(1,10)C．eq\f(1,15)D．eq\f(1,20)〖解析〗選C.因?yàn)殡S機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝mk(k＝1，2，3，4，5)，所以m＋2m＋3m＋4m＋5m＝1，解得實(shí)數(shù)m＝eq\f(1,15).2．(2021·贛州模擬)隨機(jī)變量ξ的分布列如表，且滿足E(ξ)＝2，則E(aξ＋b)的值為()ξ123PabcA.0B．1C．2D．無(wú)法確定，與a，b有關(guān)〖解析〗選B.因?yàn)镋(ξ)＝2，所以由隨機(jī)變量ξ的分布列得到：a＋2b＋3c＝2，又a＋b＋c＝1，解得a＝c，所以2a＋b＝1，所以E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b＝2a＋b＝1.3．有6個(gè)大小相同的黑球，編號(hào)為1，2，3，4，5，6，還有4個(gè)同樣大小的白球，編號(hào)為7，8，9，10，現(xiàn)從中任取4個(gè)球，有如下幾種變量：①X表示取出的最大號(hào)碼；②Y表示取出的最小號(hào)碼；③取出一個(gè)黑球記2分，取出一個(gè)白球記1分，ξ表示取出的4個(gè)球的總得分；④η表示取出的黑球個(gè)數(shù)，這四種變量中服從超幾何分布的是()A．①② B．③④C．①②④ D．①②③④〖解析〗選B.超幾何分布取出某個(gè)對(duì)象的結(jié)果數(shù)不定，也就是說超幾何分布的隨機(jī)變量為試驗(yàn)次數(shù)，即指某事件發(fā)生n次的試驗(yàn)次數(shù)，由此可知③④服從超幾何分布．4．若X是離散型隨機(jī)變量，P(X＝x1)＝eq\f(2,3)，P(X＝x2)＝eq\f(1,3)，且x1＜x2，又已知E(X)＝eq\f(4,3)，D(X)＝eq\f(2,9)，則x1＋x2的值為()A．eq\f(5,3)B．eq\f(7,3)C．3D．eq\f(11,3)〖解析〗選C.x1，x2滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x1＋\f(1,3)x2＝\f(4,3)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(4,3)))\s\up12(2)×\f(2,3)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(4,3)))\s\up12(2)×\f(1,3)＝\f(2,9)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,x2＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(5,3)，,x2＝\f(2,3)．))因?yàn)閤1＜x2，所以x1＝1，x2＝2，所以x1＋x2＝3.二、填空題(每小題5分，共15分)5．在擲一枚圖釘?shù)碾S機(jī)試驗(yàn)中，令x＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，針尖向上,0，針尖向下)).若隨機(jī)變量X的分布列如下：X01P0.3p則E(X)＝________．〖解析〗由隨機(jī)變量X的分布列得：p＝1－0.3＝0.7，所以E(X)＝0×0.3＋1×0.7＝0.7.〖答案〗0.76．在15個(gè)村莊中有7個(gè)村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個(gè)村莊，用X表示這10個(gè)村莊中交通不方便的村莊數(shù)，則P(X＝4)＝________．(用數(shù)字表示)〖解析〗由題意P(X＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(7))×Ceq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(8)),Ceq\o\al(\s\up1(10),\s\do1(15)))＝eq\f(140,429).〖答案〗eq\f(140,429)7．某公司有5萬(wàn)元資金用于投資開發(fā)項(xiàng)目，如果成功，一年后可獲利12%；如果失敗，一年后將喪失全部資金的50%，表中是過去200例類似項(xiàng)目開發(fā)的實(shí)施結(jié)果：投資成功投資失敗192例8例則估計(jì)該公司一年后可獲收益的均值是______元．〖解析〗由題意知，一年后獲利6000元的概率為0.96，獲利－25000元的概率為0.04，故一年后收益的均值是6000×0.96＋(－25000)×0.04＝4760(元).〖答案〗4760三、解答題8．(15分)(2021·西安模擬)甲、乙兩公司在A、B兩地同時(shí)生產(chǎn)某種大型產(chǎn)品(這兩個(gè)公司每天都只能固定生產(chǎn)10件產(chǎn)品)，在產(chǎn)品發(fā)貨給客戶使用之前需要對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果按等級(jí)分為特等品，一等品，二等品，報(bào)廢品．只有特等品和一等品是合格品，且可以直接投入使用，二等品需要加以特別修改才可以投入使用，報(bào)廢品直接報(bào)廢，檢測(cè)員統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩家公司某月30天的生產(chǎn)情況及每件產(chǎn)品盈利虧損情況如表所示：檢測(cè)結(jié)果特等品一等品二等品報(bào)廢品甲公司產(chǎn)品件數(shù)210542016乙公司產(chǎn)品件數(shù)240182814每件特等品每件一等品每件二等品報(bào)廢品甲公司盈2萬(wàn)元盈1萬(wàn)元虧1萬(wàn)元虧2萬(wàn)元乙公司盈1.5萬(wàn)元盈0.8萬(wàn)元虧1萬(wàn)元虧1.2萬(wàn)元(1)分別求甲、乙兩個(gè)公司這30天生產(chǎn)的產(chǎn)品的合格率(用百分?jǐn)?shù)表示).(2)試問甲、乙兩個(gè)公司這30天生產(chǎn)的產(chǎn)品的總利潤(rùn)哪個(gè)更大？說明理由．(3)若從乙公司這30天生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，記抽取二等品的件數(shù)為X，求X的分布列及期望．〖解析〗(1)甲公司這30天生產(chǎn)的產(chǎn)品的合格率為eq\f(210＋54,10×30)＝88%，乙公司這30天生產(chǎn)的產(chǎn)品的合格率為eq\f(240＋18,10×30)＝86%.(2)甲公司這30天生產(chǎn)的產(chǎn)品的總利潤(rùn)更大．理由如下：甲公司這30天生產(chǎn)的產(chǎn)品的總利潤(rùn)為210×2＋54×1＋20×(－1)＋16×(－2)＝422(萬(wàn)元)，乙公司這30天生產(chǎn)的產(chǎn)品的總利潤(rùn)為240×1.5＋18×0.8＋28×(－1)＋14×(－1.2)＝329.6(萬(wàn)元)，因?yàn)?22萬(wàn)＞329.6萬(wàn)，所以甲公司這30天生產(chǎn)的產(chǎn)品的總利潤(rùn)更大，(3)X的可能取值為0，1，2，P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(14)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(42)))＝eq\f(13,123)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(28))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(14)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(42)))＝eq\f(56,123)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(28)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(42)))＝eq\f(18,41)，則X的分布列為：X012Peq\f(13,123)eq\f(56,123)eq\f(18,41)故E(X)＝0×eq\f(13,123)＋1×eq\f(56,123)＋2×eq\f(18,41)＝eq\f(4,3).1．（5分）受轎車在保修期內(nèi)維修費(fèi)等因素的影響，企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車的利潤(rùn)與該轎車首次出現(xiàn)故障的時(shí)間有關(guān)．某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年，現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中各隨機(jī)抽取50輛，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：品牌甲乙首次出現(xiàn)故障的時(shí)間x(年)0＜x≤11＜x≤2x＞20＜x≤2x＞2轎車數(shù)量(輛)2345545每輛利潤(rùn)(萬(wàn)元)1231.82.9將頻率視為概率，則()A．從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機(jī)抽取一輛，其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率為eq\f(1,5)B．若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤(rùn)為X1，則E(X1)＝2.86(萬(wàn)元)C．若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤(rùn)為X2，則E(X2)＝2.99(萬(wàn)元)D．該廠預(yù)計(jì)今后這兩種品牌轎車的銷量相當(dāng)，由于資金限制，只能生產(chǎn)其中一種品牌的轎車．若從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮，應(yīng)生產(chǎn)乙品牌的轎車〖解析〗選B.設(shè)“甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)”為事件A，則P(A)＝eq\f(2＋3,50)＝eq\f(1,10).依題意得，X1的分布列為X1123Peq\f(1,25)eq\f(3,50)eq\f(9,10)E(X1)＝1×eq\f(1,25)＋2×eq\f(3,50)＋3×eq\f(9,10)＝2.86(萬(wàn)元)，X2的分布列為X21.82.9Peq\f(1,10)eq\f(9,10)E(X2)＝1.8×eq\f(1,10)＋2.9×eq\f(9,10)＝2.79(萬(wàn)元).因?yàn)镋(X1)＞E(X2)，所以應(yīng)生產(chǎn)甲品牌轎車．2．（5分）設(shè)p為非負(fù)實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量X的概率分布列為X012Peq\f(1,2)－ppeq\f(1,2)則E(X)的最大值為________，D(X)的最大值為________．〖解析〗E(X)＝0×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－p))＋1×p＋2×eq\f(1,2)＝p＋1，因?yàn)?≤eq\f(1,2)－p≤eq\f(1,2)，0≤p≤eq\f(1,2)，所以1≤p＋1≤eq\f(3,2)，D(X)＝(p＋1)2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－p))＋p2·p＋(p－1)2×eq\f(1,2)＝－p2＋1－p＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(5,4)≤1.〖答案〗eq\f(3,2)13．（5分）設(shè)ξ為隨機(jī)變量，從棱長(zhǎng)為1的正方體的12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時(shí)，ξ＝0；當(dāng)兩條棱平行時(shí)，ξ的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時(shí)，ξ＝2，則隨機(jī)變量ξ的均值是________．〖解析〗ξ可能的取值為0，eq\r(2)，1，2，則P(ξ＝0)＝eq\f(8Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(12)))＝eq\f(4,11)，P(ξ＝eq\r(2))＝eq\f(6,Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(12)))＝eq\f(1,11)，P(ξ＝1)＝eq\f(12,Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(12)))＝eq\f(2,11)，P(ξ＝2)＝eq\f(24,Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(12)))＝eq\f(4,11).所以ξ的分布列為ξ0eq\r(2)12Peq\f(4,11)eq\f(1,11)eq\f(2,11)eq\f(4,11)所以E(ξ)＝0×eq\f(4,11)＋eq\r(2)×eq\f(1,11)＋1×eq\f(2,11)＋2×eq\f(4,11)＝eq\f(10＋\r(2),11).〖答案〗eq\f(10＋\r(2),11)4．（10分）近幾年，我國(guó)鮮切花產(chǎn)業(yè)得到了快速發(fā)展，相關(guān)部門制定了鮮切花產(chǎn)品行業(yè)等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)，統(tǒng)一使用綜合指標(biāo)值FL進(jìn)行衡量．如表所示，某花卉生產(chǎn)基地準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)一套新的生產(chǎn)線．現(xiàn)進(jìn)行設(shè)備試用，分別從新舊兩條生產(chǎn)線加工的產(chǎn)品中選取30個(gè)樣品進(jìn)行等級(jí)評(píng)定，整理成如圖所示的莖葉圖．綜合指標(biāo)FL〖10，19〗〖20，39〗〖40，59〗質(zhì)量等級(jí)三級(jí)二級(jí)一級(jí)(1)根據(jù)莖葉圖比較兩條生產(chǎn)線加工的產(chǎn)品的綜合指標(biāo)值的平均值及分散程度(直接給出結(jié)論即可)；(2)若從等級(jí)為三級(jí)的樣品中隨機(jī)選取3個(gè)進(jìn)行生產(chǎn)流程調(diào)查，其中來(lái)自新生產(chǎn)線的樣品個(gè)數(shù)為X，求X的分布列；(3)根據(jù)該花卉生產(chǎn)基地的生產(chǎn)記錄．原有生產(chǎn)線加工的產(chǎn)品的單件平均利潤(rùn)為4元．產(chǎn)品的銷售率(某等級(jí)產(chǎn)品的銷量與產(chǎn)量的比值)及產(chǎn)品售價(jià)如表：三級(jí)花二級(jí)花一級(jí)花銷售率eq\f(2,5)eq\f(2,3)eq\f(8,9)單件銷售12元16元20元預(yù)計(jì)該新生產(chǎn)線加工的鮮切花單件產(chǎn)品的成本為10元．日產(chǎn)量3000件．因?yàn)轷r切花產(chǎn)品的保鮮特點(diǎn)．未售出的產(chǎn)品統(tǒng)一按原售價(jià)的50%全部處理完．如果僅從單件產(chǎn)品利潤(rùn)的角度考慮．該生產(chǎn)基地是否需要引進(jìn)該新生產(chǎn)線？〖解析〗(1)由莖葉圖得，新生產(chǎn)線綜合指標(biāo)值的平均值高于舊生產(chǎn)線的平均值，舊生產(chǎn)線的綜合指標(biāo)值相對(duì)來(lái)說更為集中．(2)由題意得，等級(jí)為三級(jí)的樣品共有8個(gè)，其中來(lái)自舊生產(chǎn)線的5個(gè)，新生產(chǎn)線的3個(gè)，隨機(jī)變量X可能的取值為0，1，2，3，P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)))＝eq\f(5,28)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)))＝eq\f(15,28)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)))＝eq\f(15,56)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)))＝eq\f(1,56)，則X的分布列為：X0123Peq\f(5,28)eq\f(15,28)eq\f(15,56)eq\f(1,56)(3)由莖葉圖知該新生產(chǎn)線加工的產(chǎn)品為三級(jí)花的概率為P1＝eq\f(3,30)＝eq\f(1,10)，二級(jí)花的概率為P2＝eq\f(16,30)，一級(jí)花的概率P3＝eq\f(11,30)，所以3000件產(chǎn)品中，三級(jí)花、二級(jí)花、一級(jí)花的件數(shù)的估計(jì)值分別為300件，1600件，1100件，三級(jí)花日銷售總利潤(rùn)為300×eq\f(2,5)×2－300×eq\f(3,5)×4＝－480(元)，二級(jí)花日銷售總利潤(rùn)為1600×eq\f(2,3)×6－1600×eq\f(1,3)×2＝eq\f(16000,3)(元)，一級(jí)花日銷售量總利潤(rùn)為1100×eq\f(8,9)×10＝eq\f(88000,9)(元)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－480＋\f(16000,3)＋\f(88000,9)))÷3000≈4.88(元)，所以產(chǎn)品的單件平均利潤(rùn)的估計(jì)值為4.88元，高于4元，綜上，該生產(chǎn)基地需要引進(jìn)新生產(chǎn)線．5．（10分）廠家在產(chǎn)品出廠前，需對(duì)產(chǎn)品做檢驗(yàn)，廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時(shí)，商家按合同規(guī)定也需隨機(jī)抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗(yàn)，以決定是否接收這批產(chǎn)品．(1)若廠家?guī)旆恐?視為數(shù)量足夠多)的每件產(chǎn)品合格的概率為0.7，從中任意取出3件進(jìn)行檢驗(yàn)，求至少有2件是合格品的概率；(2)若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品，其中有4件不合格，按合同規(guī)定商家從這20件產(chǎn)品中任取2件，都進(jìn)行檢驗(yàn)，只有2件都合格時(shí)才接收這批產(chǎn)品，否則拒收．求該商家可能檢驗(yàn)出的不合格產(chǎn)品的件數(shù)ξ的分布列，并求該商家拒收這批產(chǎn)品的概率．〖解析〗(1)“從中任意取出3件進(jìn)行檢驗(yàn)，至少有2件是合格品”記為事件A，其中包含兩個(gè)基本事件“恰有2件合格”和“3件都合格”，所以P(A)＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))×(0.7)2×0.3＋(0.7)3＝0.784.(2)該商家可能檢驗(yàn)出不合格產(chǎn)品數(shù)ξ，ξ可能的取值為0，1，2，P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(16)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(20)))＝eq\f(12,19)，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(16)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(20)))＝eq\f(32,95)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(20)))＝eq\f(3,95)，所以ξ的分布列為ξ012Peq\f(12,19)eq\f(32,95)eq\f(3,95)因?yàn)橹挥?件都合格時(shí)才接收這批產(chǎn)品，故該商家拒收這批產(chǎn)品的對(duì)立事件為商家任取2件產(chǎn)品檢驗(yàn)都合格，記“商家拒收”為事件B，則P(B)＝1－P(ξ＝0)＝eq\f(7,19)，所以該商家拒收這批產(chǎn)品的概率為eq\f(7,19).A，B兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤(rùn)率分別為隨機(jī)變量X1和X2.根據(jù)市場(chǎng)分析，X1和X2的分布列分別為X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3(1)在A，B兩個(gè)項(xiàng)目上各投資100萬(wàn)元，Y1(萬(wàn)元)和Y2(萬(wàn)元)分別表示投資項(xiàng)目A和B所獲得的利潤(rùn)，求方差D(Y1)，D(Y2)；(2)將x(0≤x≤100)萬(wàn)元投資A項(xiàng)目，(100－x)萬(wàn)元投資B項(xiàng)目，f(x)表示投資A項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差與投資B項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x為何值時(shí)，f(x)取到最小值．〖解析〗(1)由題設(shè)可知Y1和Y2的分布列分別為Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4；E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.(2)f(x)＝Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,100)·Y1))＋Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(100－x,100)·Y2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,100)))eq\s\up12(2)D(Y1)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(100－x,100)))eq\s\up12(2)D(Y2)＝eq\f(4,1002)〖x2＋3(100－x)2〗＝eq\f(4,1002)(4x2－600x＋3×1002).所以當(dāng)x＝eq\f(600,2×4)＝75時(shí)，f(x)取得最小值為3.課時(shí)作業(yè)梯級(jí)練七十一離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差一、選擇題(每小題5分，共20分)1．(2020·重慶模擬)已知隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝mk(k＝1，2，3，4，5)，則實(shí)數(shù)m＝()A．eq\f(1,5)B．eq\f(1,10)C．eq\f(1,15)D．eq\f(1,20)〖解析〗選C.因?yàn)殡S機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝mk(k＝1，2，3，4，5)，所以m＋2m＋3m＋4m＋5m＝1，解得實(shí)數(shù)m＝eq\f(1,15).2．(2021·贛州模擬)隨機(jī)變量ξ的分布列如表，且滿足E(ξ)＝2，則E(aξ＋b)的值為()ξ123PabcA.0B．1C．2D．無(wú)法確定，與a，b有關(guān)〖解析〗選B.因?yàn)镋(ξ)＝2，所以由隨機(jī)變量ξ的分布列得到：a＋2b＋3c＝2，又a＋b＋c＝1，解得a＝c，所以2a＋b＝1，所以E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b＝2a＋b＝1.3．有6個(gè)大小相同的黑球，編號(hào)為1，2，3，4，5，6，還有4個(gè)同樣大小的白球，編號(hào)為7，8，9，10，現(xiàn)從中任取4個(gè)球，有如下幾種變量：①X表示取出的最大號(hào)碼；②Y表示取出的最小號(hào)碼；③取出一個(gè)黑球記2分，取出一個(gè)白球記1分，ξ表示取出的4個(gè)球的總得分；④η表示取出的黑球個(gè)數(shù)，這四種變量中服從超幾何分布的是()A．①② B．③④C．①②④ D．①②③④〖解析〗選B.超幾何分布取出某個(gè)對(duì)象的結(jié)果數(shù)不定，也就是說超幾何分布的隨機(jī)變量為試驗(yàn)次數(shù)，即指某事件發(fā)生n次的試驗(yàn)次數(shù)，由此可知③④服從超幾何分布．4．若X是離散型隨機(jī)變量，P(X＝x1)＝eq\f(2,3)，P(X＝x2)＝eq\f(1,3)，且x1＜x2，又已知E(X)＝eq\f(4,3)，D(X)＝eq\f(2,9)，則x1＋x2的值為()A．eq\f(5,3)B．eq\f(7,3)C．3D．eq\f(11,3)〖解析〗選C.x1，x2滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x1＋\f(1,3)x2＝\f(4,3)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(4,3)))\s\up12(2)×\f(2,3)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(4,3)))\s\up12(2)×\f(1,3)＝\f(2,9)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,x2＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(5,3)，,x2＝\f(2,3)．))因?yàn)閤1＜x2，所以x1＝1，x2＝2，所以x1＋x2＝3.二、填空題(每小題5分，共15分)5．在擲一枚圖釘?shù)碾S機(jī)試驗(yàn)中，令x＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，針尖向上,0，針尖向下)).若隨機(jī)變量X的分布列如下：X01P0.3p則E(X)＝________．〖解析〗由隨機(jī)變量X的分布列得：p＝1－0.3＝0.7，所以E(X)＝0×0.3＋1×0.7＝0.7.〖答案〗0.76．在15個(gè)村莊中有7個(gè)村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個(gè)村莊，用X表示這10個(gè)村莊中交通不方便的村莊數(shù)，則P(X＝4)＝________．(用數(shù)字表示)〖解析〗由題意P(X＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(7))×Ceq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(8)),Ceq\o\al(\s\up1(10),\s\do1(15)))＝eq\f(140,429).〖答案〗eq\f(140,429)7．某公司有5萬(wàn)元資金用于投資開發(fā)項(xiàng)目，如果成功，一年后可獲利12%；如果失敗，一年后將喪失全部資金的50%，表中是過去200例類似項(xiàng)目開發(fā)的實(shí)施結(jié)果：投資成功投資失敗192例8例則估計(jì)該公司一年后可獲收益的均值是______元．〖解析〗由題意知，一年后獲利6000元的概率為0.96，獲利－25000元的概率為0.04，故一年后收益的均值是6000×0.96＋(－25000)×0.04＝4760(元).〖答案〗4760三、解答題8．(15分)(2021·西安模擬)甲、乙兩公司在A、B兩地同時(shí)生產(chǎn)某種大型產(chǎn)品(這兩個(gè)公司每天都只能固定生產(chǎn)10件產(chǎn)品)，在產(chǎn)品發(fā)貨給客戶使用之前需要對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果按等級(jí)分為特等品，一等品，二等品，報(bào)廢品．只有特等品和一等品是合格品，且可以直接投入使用，二等品需要加以特別修改才可以投入使用，報(bào)廢品直接報(bào)廢，檢測(cè)員統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩家公司某月30天的生產(chǎn)情況及每件產(chǎn)品盈利虧損情況如表所示：檢測(cè)結(jié)果特等品一等品二等品報(bào)廢品甲公司產(chǎn)品件數(shù)210542016乙公司產(chǎn)品件數(shù)240182814每件特等品每件一等品每件二等品報(bào)廢品甲公司盈2萬(wàn)元盈1萬(wàn)元虧1萬(wàn)元虧2萬(wàn)元乙公司盈1.5萬(wàn)元盈0.8萬(wàn)元虧1萬(wàn)元虧1.2萬(wàn)元(1)分別求甲、乙兩個(gè)公司這30天生產(chǎn)的產(chǎn)品的合格率(用百分?jǐn)?shù)表示).(2)試問甲、乙兩個(gè)公司這30天生產(chǎn)的產(chǎn)品的總利潤(rùn)哪個(gè)更大？說明理由．(3)若從乙公司這30天生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，記抽取二等品的件數(shù)為X，求X的分布列及期望．〖解析〗(1)甲公司這30天生產(chǎn)的產(chǎn)品的合格率為eq\f(210＋54,10×30)＝88%，乙公司這30天生產(chǎn)的產(chǎn)品的合格率為eq\f(240＋18,10×30)＝86%.(2)甲公司這30天生產(chǎn)的產(chǎn)品的總利潤(rùn)更大．理由如下：甲公司這30天生產(chǎn)的產(chǎn)品的總利潤(rùn)為210×2＋54×1＋20×(－1)＋16×(－2)＝422(萬(wàn)元)，乙公司這30天生產(chǎn)的產(chǎn)品的總利潤(rùn)為240×1.5＋18×0.8＋28×(－1)＋14×(－1.2)＝329.6(萬(wàn)元)，因?yàn)?22萬(wàn)＞329.6萬(wàn)，所以甲公司這30天生產(chǎn)的產(chǎn)品的總利潤(rùn)更大，(3)X的可能取值為0，1，2，P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(14)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(42)))＝eq\f(13,123)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(28))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(14)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(42)))＝eq\f(56,123)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(28)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(42)))＝eq\f(18,41)，則X的分布列為：X012Peq\f(13,123)eq\f(56,123)eq\f(18,41)故E(X)＝0×eq\f(13,123)＋1×eq\f(56,123)＋2×eq\f(18,41)＝eq\f(4,3).1．（5分）受轎車在保修期內(nèi)維修費(fèi)等因素的影響，企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車的利潤(rùn)與該轎車首次出現(xiàn)故障的時(shí)間有關(guān)．某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年，現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中各隨機(jī)抽取50輛，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：品牌甲乙首次出現(xiàn)故障的時(shí)間x(年)0＜x≤11＜x≤2x＞20＜x≤2x＞2轎車數(shù)量(輛)2345545每輛利潤(rùn)(萬(wàn)元)1231.82.9將頻率視為概率，則()A．從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機(jī)抽取一輛，其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率為eq\f(1,5)B．若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤(rùn)為X1，則E(X1)＝2.86(萬(wàn)元)C．若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤(rùn)為X2，則E(X2)＝2.99(萬(wàn)元)D．該廠預(yù)計(jì)今后這兩種品牌轎車的銷量相當(dāng)，由于資金限制，只能生產(chǎn)其中一種品牌的轎車．若從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮，應(yīng)生產(chǎn)乙品牌的轎車〖解析〗選B.設(shè)“甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)”為事件A，則P(A)＝eq\f(2＋3,50)＝eq\f(1,10).依題意得，X1的分布列為X1123Peq\f(1,25)eq\f(3,50)eq\f(9,10)E(X1)＝1×eq\f(1,25)＋2×eq\f(3,50)＋3×eq\f(9,10)＝2.86(萬(wàn)元)，X2的分布列為X21.82.9Peq\f(1,10)eq\f(9,10)E(X2)＝1.8×eq\f(1,10)＋2.9×eq\f(9,10)＝2.79(萬(wàn)元).因?yàn)镋(X1)＞E(X2)，所以應(yīng)生產(chǎn)甲品牌轎車．2．（5分）設(shè)p為非負(fù)實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量X的概率分布列為X012Peq\f(1,2)－ppeq\f(1,2)則E(X)的最大值為________，D(X)的最大值為________．〖解析〗E(X)＝0×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－p))＋1×p＋2×eq\f(1,2)＝p＋1，因?yàn)?≤eq\f(1,2)－p≤eq\f(1,2)，0≤p≤eq\f(1,2)，所以1≤p＋1≤eq\f(3,2)，D(X)＝(p＋1)2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－p))＋p2·p＋(p－1)2×eq\f(1,2)＝－p2＋1－p＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(5,4)≤1.〖答案〗eq\f(3,2)13．（5分）設(shè)ξ為隨機(jī)變量，從棱長(zhǎng)為1的正方體的12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時(shí)，ξ＝0；當(dāng)兩條棱平行時(shí)，ξ的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時(shí)，ξ＝2，則隨機(jī)變量ξ的均值是________．〖解析〗ξ可能的取值為0，eq\r(2)，1，2，則P(ξ＝0)＝eq\f(8Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(12)))＝eq\f(4,11)，P(ξ＝eq\r(2))＝eq\f(6,Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(12)))＝eq\f(1,11)，P(ξ＝1)＝eq\f(12,Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(12)))＝eq\f(2,11)，P(ξ＝2)＝eq\f(24,Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(12)))＝eq\f(4,11).所以ξ的分布列為ξ0eq\r(2)12Peq\f(4,11)eq\f(1,11)eq\f(2,11)eq\f(4,11)所以E(ξ)＝0×eq\f(4,11)＋eq\r(2)×eq\f(1,11)＋1×eq\f(2,11)＋2×eq\f(4,11)＝eq\f(10＋\r(2),11).〖答案〗eq\f(10＋\r(2),11)4．（10分）近幾年，我國(guó)鮮切花產(chǎn)業(yè)得到了快速發(fā)展，相關(guān)部門制定了鮮切花產(chǎn)品行業(yè)等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)，統(tǒng)一使用綜合指標(biāo)值FL進(jìn)行衡量．如表所示，某花卉生產(chǎn)基地準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)一套新的生產(chǎn)線．現(xiàn)進(jìn)行設(shè)備試用，分別從新舊兩條生產(chǎn)線加工的產(chǎn)品中選取30個(gè)樣品進(jìn)行等級(jí)評(píng)定，整理成如圖所示的莖葉圖．綜合指標(biāo)FL〖10，19〗〖20，39〗〖40，59〗質(zhì)量等級(jí)三級(jí)二級(jí)一級(jí)(1)根據(jù)莖葉圖比較兩條生產(chǎn)線加工的產(chǎn)品的綜合指標(biāo)值的平均值及分散程度(直接給出結(jié)論即可)；(2)若從等級(jí)為三級(jí)的樣品中隨機(jī)選取3個(gè)進(jìn)行生產(chǎn)流程調(diào)查，其中來(lái)自新生產(chǎn)線的樣品個(gè)數(shù)為X，求X的分布列；(3)根據(jù)該花卉生產(chǎn)基地的生產(chǎn)記錄．原有生產(chǎn)線加工的產(chǎn)品的單件平均利潤(rùn)為4元．產(chǎn)品的銷售率(某等級(jí)產(chǎn)品的銷量與產(chǎn)量的比值)及產(chǎn)品售價(jià)如表：三級(jí)花二級(jí)花一級(jí)花銷售率eq\f(2,5)eq\f(2,3)eq\f(8,9)單件銷售12元16元20元預(yù)計(jì)該新生產(chǎn)線加工的鮮切花單件產(chǎn)品的成本為10元．日產(chǎn)量3000件．因?yàn)轷r切花產(chǎn)品的保鮮特點(diǎn)．未售出的產(chǎn)品統(tǒng)一按原售價(jià)的50%全部處理完．如果僅從單件產(chǎn)品利潤(rùn)的角度考慮．該生產(chǎn)基地是否需要引進(jìn)該新生產(chǎn)線？〖解析〗(1)由莖葉圖得，新生產(chǎn)線綜合指標(biāo)值的平均值高于舊生產(chǎn)線的平均值，舊生產(chǎn)線的綜合指標(biāo)值相對(duì)來(lái)說更為集中．(2)由題意得，等級(jí)為三級(jí)的樣品共有8個(gè)，其中來(lái)自舊生產(chǎn)線的5個(gè)，新生產(chǎn)線的3個(gè)，隨機(jī)變量X可能的取值為0，1，2，3，P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)))＝eq\f(5,28)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)))＝eq\f(15,28)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)))＝eq\f(15,56)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)))＝eq\f(1,56)，則X的分布列為：X0123Peq\f(5,28)eq\f(15,28)eq\f(15,56)eq\f(1,56)(3)由莖葉圖知該新生產(chǎn)線加工的產(chǎn)品為三級(jí)花的概率為P1＝eq\f(3,30)＝eq\f(1,10)，二級(jí)花的概率為P2＝eq\f(16,30)，一級(jí)花的概率P3＝eq\f(11,30)，所以3000件產(chǎn)品中，三級(jí)花、二級(jí)花、一級(jí)花的件數(shù)的估計(jì)值分別為300件，1600件，1100件，三級(jí)花日銷售總利潤(rùn)為300×eq\f(2,5)×2－300×eq\f(3,5)×4＝－480(元)，二級(jí)花日銷售總利潤(rùn)為1600×eq\f(2,3)×6－1600×eq\f(1,3)×2＝eq\f(16000,3)(元)，一級(jí)花日銷售量總利潤(rùn)為1100×eq\f(8,9)×10＝eq\f(88000,9)(元)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－480＋\f(16000,3)＋\f(88000,9)))÷3000≈4.88(元)，所以產(chǎn)品的單件平均利潤(rùn)的估計(jì)值為4.88元，高于4元，綜上，該生產(chǎn)基地需要引進(jìn)新生產(chǎn)線．5．（10分）廠家在產(chǎn)品出廠前，需對(duì)產(chǎn)品做檢驗(yàn)，廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時(shí)，商家按合同規(guī)定也需隨機(jī)抽取一定數(shù)量的產(chǎn)