2024屆廣東省深圳市二模數(shù)學(xué)試題（含答案與解析）

2024年深圳市高三年級第二次調(diào)研考試

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生請務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.用

2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼

處”.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂

黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)

位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按

以上要求作答的答案無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.己知〃為正整數(shù)，且">2”,則（）

A.n=\B.n-2C.n=3D.n>4

2.已知正方體ABC。-A耳GD，過點(diǎn)A且以DB；為法向量的平面為a，則a截該正方體所得截面的形

狀為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

3.對于任意集合下列關(guān)系正確的是（）

AM內(nèi)NN=MUNB.瘠N（M「N）=（MN"）I（%”）

CM甌NN=M\ND.瘠N（/N）=（M⑼（%/）

4.已知a>0,且aHl,則函數(shù)y=log“1x+：）圖象一定經(jīng)過（）

A.一、二象限B.一、三象限C.二、四象限D(zhuǎn).三、四象限

5.已知z=G-,其中i為虛數(shù)單位，則z?(z-l)=()

1+i

A.l+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

6.已知某六名同學(xué)在CMO競賽中獲得前六名(無并列情況)，其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，則這

六名同學(xué)獲得的名次情況可能有()

A72種B.96種C.144種D.288種

22

7.P是橢圓C：=+二=i(a>6>0)上一點(diǎn)，耳、B是C的兩個焦點(diǎn)，P耳—PK=0,點(diǎn)。在

〃一b~

/月尸死的平分線上，。為原點(diǎn)，OQ〃P￡,且|。。|=匕.則。的離心率為()

A.|B.巫C.—D.昱

2332

8.設(shè)函數(shù)/(x)=x+e*,g(x)=x+lnx,若存在玉，x2,使得/(x,)=g(^),則后一引的最小值為

()

1

A.-B.1C.2D.e

e

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知根，〃是異面直線，mua,nu0,那么()

A.當(dāng)機(jī)_!_/?,或〃_Le時，a10

B.當(dāng)m//。,且〃//a時，alI(3

C.當(dāng)c_L用時，mL/3,或〃_La

D.當(dāng)a,夕不平行時，機(jī)與夕不平行，且〃與a不平行

10.已知函數(shù)/(x)=sin(z>x+acos6yx(xeR,?>0)的最大值為2,其部分圖象如圖所示，則()

A.a=g

B.函數(shù)為偶函數(shù)

C.滿足條件的正實(shí)數(shù)。，存在且唯一

D./（X）是周期函數(shù)，且最小正周期為兀

11.設(shè)函數(shù)〃x）=[x]的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，則在同一個直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=/（x）的圖

象與圓（x—ry+（y+r）2=2/（r>0）的公共點(diǎn)個數(shù)可以是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知樣本々，七的平均數(shù)為2,方差為1,則X：,后，后的平均數(shù)為.

13.已知圓錐的內(nèi)切球半徑為1,底面半徑為拉，則該圓錐的表面積為.

注：在圓錐內(nèi)部，且與底面和各母線均有且只有一個公共點(diǎn)的球，稱為圓錐的內(nèi)切球.

14.已知aABC中，tan0=3tanC,雙曲線￡以g,C為焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)A,則E的兩條漸近線的夾角為

22

AC

；tan—+tan—的取值范圍為

22

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15如圖，三棱柱A6C-A￡G中，側(cè)面BgGC,底面ABC,且AB=AC,A.B=A.C.

(1)證明：AAJ?平面ABC；

⑵若例=8C=2,N84C=90°，求平面ABC與平面夾角的余弦值.

16.已知函數(shù)/(x)=(ax+l)e'，/'(x)是/(x)的導(dǎo)函數(shù)，且/'(%)—〃x)=2e”.

(1)若曲線y=/(x)在％=0處的切線為》=依+匕，求鼠匕的值；

(2)在(1)的條件下，證明：f(x)>kx+b.

17.某大型企業(yè)準(zhǔn)備把某一型號的零件交給甲工廠或乙工廠生產(chǎn).經(jīng)過調(diào)研和試生產(chǎn)，質(zhì)檢人員抽樣發(fā)

現(xiàn)：甲工廠試生產(chǎn)的一批零件的合格品率為94%；乙工廠試生產(chǎn)的另一批零件的合格品率為98%；若將這

兩批零件混合放在一起，則合格品率為97%.

(1)從混合放在一起的零件中隨機(jī)抽取3個，用頻率估計概率，記這3個零件中來自甲工廠的個數(shù)為X,

求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)為了爭取獲得該零件的生產(chǎn)訂單，甲工廠提高了生產(chǎn)該零件的質(zhì)量指標(biāo).已知在甲工廠提高質(zhì)量指

標(biāo)的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，大于在甲工廠不提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下，該大型

企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率.設(shè)事件A="甲工廠提高了生產(chǎn)該零件的質(zhì)量指標(biāo)“，事件B="該大型

企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)”、已知0<2(8)<1,證明：尸(A|B)>P(A間.

18.設(shè)拋物線C：x2=2py(p>0),直線/：丁=去+2交C于A,8兩點(diǎn).過原點(diǎn)0作/的垂線，交直

線了=-2于點(diǎn)M.對任意左eR,直線AM,AB,的斜率成等差數(shù)列.

(1)求C方程；

(2)若直線/'/〃，且/'與C相切于點(diǎn)M證明：AAVN的面積不小于2也.

19.無窮數(shù)列外，a2,的定義如下：如果〃是偶數(shù)，就對〃盡可能多次地除以2,直到得出一

個奇數(shù)，這個奇數(shù)就是明;如果〃是奇數(shù)，就對3〃+1盡可能多次地除以2,直到得出一個奇數(shù)，這個奇數(shù)

就是.

(1)寫出這個數(shù)列的前7項(xiàng)；

(2)如果%=加且4=",求"3〃的值；

(3)記％="〃)，〃GN.，求一個正整數(shù)〃，滿足〃<“〃)</(/(〃))<?<?(/(〃))).

2024什

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

I.已知"為正整數(shù)，且〃2>2”,則()

A.n=lB.n=2C.n=3D.H>4

【答案】C

【解析】

2

【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造數(shù)列a“=探討該數(shù)列單調(diào)性即得.

【詳解】令a“=「,〃eN*

(〃+1廠n-+2n+\,/F+2〃+1

當(dāng)時,22<21即a?i<a<a=l,

a?n+nn~+3n+n4

因此當(dāng)n?4時，n2<2".

所以〃為正整數(shù)，且〃2>2",有〃=3.

故選：C

2.已知正方體A3CD-44GR，過點(diǎn)4且以。4,為法向量的平面為a,則a截該正方體所得截面的形

狀為()

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】A

【解析】

【分析】作出輔助線，根據(jù)線面垂直的判定定理得到。平面AC9,故平面a即為平面ACq,得到

截面的形狀.

【詳解】連接AC,A2，CA，3Z),

因?yàn)開L平面ABCD，ACu平面ABCD,

所以8AC,

又四邊形ABC。為正方形，所以8DLAC，

又BB[CBD=B,84,3￡>u平面8BQ,

所以AC_L平面

因?yàn)橛肙u平面BgO,

所以AC_L4。，

同理可證明，4。，

因AD}AC=A,A?,ACu平面ACR,

故8Q_L平面AC?,

故平面a即為平面ACR,

則a截該正方體所得截面的形狀為三角形.

故選：A

3.對于任意集合M,N,下列關(guān)系正確的是()

A.M%NN=M：NB.瘩J“N)=3,NM>(?W.NN)

C.M甌\N瘩N

NN=MD.("N)=(MNM)(?WNN)

【答案】B

【解析】

【分析】利用韋恩圖進(jìn)行判斷即可得到結(jié)果.

對于A：如圖所知，?！盢N為區(qū)域①，所以M23M5N=M,故A錯誤；

對于B：asv(McN)為區(qū)域①和③；(25V加)為區(qū)域③,(2⑺")為區(qū)域①,則

(踏5v")u(MUNN)也為為區(qū)域①和③；兩邊相等，故B正確；

對于C：(55vN)為區(qū)域①，MC^MPNN為區(qū)域①,不等于區(qū)域②(區(qū)域②為McN),故C錯誤;

對于D：ewsv(McN)為區(qū)域①和③；而為區(qū)域③，(QwsvN)為區(qū)域①,所以

(踏DNM)C(MSN)為空集，所以D錯誤；

故選：B.

4.已知a>(),且則函數(shù)y=bg“(x+()的圖象一定經(jīng)過()

A.一、二象限B.一、三象限C.二、四象限D(zhuǎn).三、四象限

【答案】D

【解析】

【分析】由函數(shù)￥=1。8“卜+，|過(0,—1)點(diǎn)，分類可解.

【詳解】當(dāng)x=0時，y=log-=-l,

aa

則當(dāng)0<。<1時，函數(shù)圖象過二、三、四象限；

則當(dāng)a>1時，函數(shù)圖象過一、三、四象限;

所以函數(shù)y=log,,（尤+：］的圖象一定經(jīng)過三、四象限.

故選：D

2一，、

5.已知z=——，其中i為虛數(shù)單位，則z?（z—1）=（）

1+i'7

A.1+iB.|-iC.-1+iD.-1-i

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算可得z=l-i，進(jìn)而W=l+i，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法計算即可求解.

【詳解】由題意知,

1+i(i+i)(l-i)

所以z=1+i>

所以；(z-l)=(l+i)(l-i-l)=l-i.

故選：B

6.已知某六名同學(xué)在CMO競賽中獲得前六名（無并列情況），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，則這

六名同學(xué)獲得的名次情況可能有（）

A.72種B.96種C.144種D.288種

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意分別求出甲是第一，乙是第一的可能情況，再利用分類加法計數(shù)原理計算即可.

【詳解】由題意，丙可能是4,5,6名，有3種情況，

若甲是第一名，則獲得的名次情況可能是C；A：=72種,

若乙是第一名，則獲得的名次情況可能是C；A：=72種,

所以所有符合條件的可能是72+72=144種.

故選：C.

7.P是橢圓C：(a>Z?>0)上一點(diǎn),耳、鳥是。的兩個焦點(diǎn)，/￥；."=(),點(diǎn)。在

的平分線上，。為原點(diǎn)，OQ〃P%且|OQ|="則。的離心率為()

A.yB.3C.如D.B

2332

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)忸￡|=加，|「鳥卜〃，由題意得出△AQP是等腰直角三角形，列方程組得到含。的齊次方

程求解離心率即可.

【詳解】如圖，設(shè)歸耳|=加，|尸段=〃，延長。。交PB于A,

由題意知。?！ㄊ?，。為大居的中點(diǎn)，故A為尸尸2中點(diǎn)，

m+n=2。

故有1加2+〃2m-n=2hm=a+b

=4C，2,化簡得即《

根+〃=2an=a-b

22

2

代入m2+/=4。2得(。+人)2+(〃_〃『-4C,

即3+02=2/,由/=/一心2所以2a2=3C?,

所以T，e=T-

故選：c.

8.設(shè)函數(shù)/(x)=x+e*,g(x)=x+lnx,若存在x2,使得/(%)=8(々)，則k一的最小值為

()

1

A.-B.1C.2D.e

e

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由條件可得/(玉)=/(111%)，即可得到X]=lnw,構(gòu)造函數(shù)〃(x)=lnx-x,求導(dǎo)

得其最值，即可得到結(jié)果.

【詳解】由題意可得/(玉)=8(/)，即為+e*'=/+ln%2，

1lnt2

所以％+e*=e+Inx2,

又/'(x)=l+e'>0,所以/(x)在R上單調(diào)遞增，

即/(玉)=/(歷工2)，所以玉=皿彳2，

V|

且,—%2|=|lnx2—e|=|lruv2—%2|,

令/z(x)=lnx-x,xe(0,+oo),

則//(x)='-1="J~,其中x>0,

XX

令〃'(x)=0,則x=l,

當(dāng)x?O,l)時,〃'(x)>0,則人(力單調(diào)遞增，

當(dāng)xe(l,+e)時，〃'(x)<0,則〃(x)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=l時，/2(x)有極大值，即最大值，

所以〃(%)〈〃⑴=-1,

所以歸一wlmin=W%1/Lin=H=1-

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了函數(shù)同構(gòu)問題以及導(dǎo)數(shù)求最值問題，結(jié)合同構(gòu)函數(shù)，然后構(gòu)造函數(shù)求

導(dǎo)即可得到結(jié)果.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知〃是異面直線，機(jī)ua,nu(3,那么()

A.當(dāng)初_L￡,或〃_L。時，a工B

B.當(dāng)初//￡,且〃//?時，a//￡

C.當(dāng)。_1，時，m±/3,或〃_La

D.當(dāng)a,夕不平行時，切與月不平行，且"與a不平行

【答案】AB

【解析】

【分析】根據(jù)線線、線面和面面之間的基本關(guān)系，結(jié)合選項(xiàng)依次判斷即可.

【詳解】A：當(dāng)機(jī)J?廣，mua時，czI/7；

當(dāng)時，aL/3,故A正確；

B：當(dāng)〃?//￡,〃//a時，又狐"為異面直線，所以a〃夕，故B正確；

C：當(dāng)。_1_尸時，由mua,得根///?或m與4相交；

當(dāng)時，由〃u/7,得“//a或w與a相交，故C錯誤；

D：當(dāng)。，/不平行時，可能機(jī)//尸或機(jī)與夕，〃//a或〃與a相交，故D錯誤.

故選：AB

10.已知函數(shù)/(x)=sins+acos<yx(無eR,<?>())的最大值為2，其部分圖象如圖所示，則()

C.滿足條件的正實(shí)數(shù)0,存在且唯一

D./(x)是周期函數(shù)，且最小正周期為兀

【答案】ACD

【解析】

［分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的最大值及/(o)>0求出〃，由=1求出。的

取值，再根據(jù)周期確定。的值，即可得到函數(shù)解析式，即可判斷.

【詳解】因?yàn)?(x)=sin<yx+acoss：=J^TTsin(5+Q)(其中sin9='，1］、以》9=7與工)，

又/(x)n“x=V<22+1=2，解得a=±^3，

又/(0)=。>0,所以a=百，故A正確；

貝ij/(x)=sincox+V3COScox-2sincox+—\,

Tift)TT57r

結(jié)合圖象可知上四+'=H+2E/EZ,所以G=2+8Z/WZ,

436

2兀兀

?~r?—〉一

又一>一，所以<①2,解得0vgv4,所以0=2,故C正確;

24

69>0

所以/(%)=25由卜》+三)，則/712sin「2(x—巴71

X--+—2sin2x為奇函數(shù)，故B錯誤;

II6J3

/(x)是周期函數(shù)，且最小正周期7=1=兀，故D正確.

故選：ACD

11.設(shè)函數(shù)〃x)=［x］的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，則在同一個直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=/(x)的圖

象與圓(x-r)2+(y+t『=2/(r>0)的公共點(diǎn)個數(shù)可以是()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】ABD

【解析】

【分析】由題意確定圓心坐標(biāo)和半徑，易知該圓過原點(diǎn)，作出函數(shù)/（X）在xe[-3,3）的圖象，結(jié)合圖形分析,

即可求解.

【詳解】由（》-。2+（"。2=2/0＞0）,得該圓心為9T）,半徑為萬，

易知該圓過原點(diǎn)，由/（x）=[x],當(dāng)xw[-3,3）時,

—3,—34x<—2

-2,-2<x<-l

—1,—l^x＜0

得M，作出函數(shù)/3的圖象,如圖,

2,2<x<3

由圖可知，當(dāng)0＜，＜，時，圓與函數(shù)/a）的圖象有2個交點(diǎn)，

2

當(dāng)，=4時，圓與函數(shù)/（*）的圖象有1個交點(diǎn)，

2

當(dāng)時，圓與函數(shù)/（X）的圖象有2個交點(diǎn)，

當(dāng)]＜三￡時，圓與函數(shù)“X）的圖象有4個交點(diǎn)，

根據(jù)圓與函數(shù)/（x）的對稱性，后續(xù)交點(diǎn)情況類比即可.

故選：ABD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于理解取整函數(shù)的定義，利用數(shù)形結(jié)合的思想分析圓與函數(shù)f（x）

圖象交點(diǎn)的個數(shù).

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知樣本X1,x2,七的平均數(shù)為2,方差為1,則X；,后，門的平均數(shù)為

【答案】5

【解析】

【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的定義建立方程組，解之即可求解.

【詳解】由題意知，?+=-+叢=2,所以玉+%+當(dāng)=6，

由a-2)2+32-2)2+(不-2)2=1,得x：+君+4=15,

3

所以片+考+芯=5.

3

故答案為：5

13.已知圓錐的內(nèi)切球半徑為1,底面半徑為正，則該圓錐的表面積為.

注：在圓錐內(nèi)部，且與底面和各母線均有且只有一個公共點(diǎn)的球，稱為圓錐的內(nèi)切球.

【答案】8n

【解析】

【分析】借助過圓錐的軸以及內(nèi)切球球心的截面圖求出圓錐的母線長，即可求出圓錐表面積.

【詳解】由題過圓錐的軸以及內(nèi)切球球心的截面圖如下：

則在三角形S。聲中有"+尸=『，即力2+2=L①，

又由SDOSO]B得r=匕，即/=②，

rI

所以由①②得I=3-\/2,0=4,

所以圓錐的表面積為S=5底+5=兀/+?！?2兀+6兀=8兀.

故答案為：8兀.

14.已知AABC中，tan-=3tan—,雙曲線E以8,。為焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)A,則E的兩條漸近線的夾角為

22

Ar

；tan—Ftan—的取值范圍為

22

(Ji\

【答案】①.y②，+8

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)和三角形內(nèi)心性質(zhì)得到垂足〃的位置，再由tanO=3tanC得到雙曲線中

22

a*,c的關(guān)系，即可得到漸近線的夾角；根據(jù)tanO=3tanC對所求式進(jìn)行化簡，再根據(jù)基本不等式求得范

22

圍即可.

【詳解】如圖所示，設(shè)雙曲線的實(shí)軸長為左，虛軸長為2"焦距為2c.

設(shè).ABC的內(nèi)心為/，過點(diǎn)/向三邊作垂線，垂足分別為

根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)可知，1AP\=\AN|,|BPHBMI,|HCN|,

又因?yàn)殡p曲線E以B,C為焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)A,

所以MG—IA訓(xùn)=2a,即網(wǎng)+|OV|-|4P|-|BP||=||OV|-|BP||=||CM|-|BM||=2a,

因?yàn)閠anO=3tanC,所以8>C,所以|AC|>|A6|,

22

所以點(diǎn)A在雙曲線的左支上，所以|CM|一|6M|=2a.

^\CM\+\BM\=2c,

所以ICM|=c+a,|BM\=c-a,

所以M為雙曲線的左頂點(diǎn).

,BMlr.CMlr

JTT以itin-,tun,1—

2'MB~,2-a2MCC+Q

所以‘一=3—,即￡=2,

aC+Qa

所以2=漸近線的傾斜角為g,

a3

所以兩條漸近線的夾角為

1?-tanB—tan一Cl-3tan2-

又因tan4=tan7t—(B+C)113C

222——tan—,

22B+CBC彳C4tan^42

tantan—+tan—4tan—

22222

AC11C

tan—+tan—=+—tan—

所以224tanC42，

2

-C

而tan-e

2

11CV3

i、?----77—tan—>—

所以4tan￡423.

2

故答案為：y,+<x>

/

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的性質(zhì)和三角形的最值.本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于根據(jù)tanO=3tan￡作

22

出三角形的內(nèi)心，從而根據(jù)內(nèi)心性質(zhì)和雙曲線的定義進(jìn)行求解.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖，三棱柱A8C-A4G中，側(cè)面底面ABC,且A6=AC,=Ac.

(1)證明：?平面A8C；

⑵若"=BC=2,NB4c=90°,求平面4BC與平面48G夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析;

(2)正.

5

【解析】

【分析】(1)取BC的中點(diǎn)M,連結(jié)M4、MAt,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和線面垂直判定定理得平面

AM4,進(jìn)而由AAB】B得B]BABC,再證明用8J.平面ABC即可得證.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解即可；也可用垂面法作出垂直于AB的垂面，從而得出二面角的

平面角再進(jìn)行求解即可.

【小問1詳解】

取BC的中點(diǎn)M,連結(jié)MA..

因?yàn)锳B=AC,A/=A1C,所以BCV,

由于AM,4Mu平面AM4,且AVcAM=",

因此工平面AM4，

因?yàn)?Au平面AM4,所以

又因?yàn)锳,AB、B,所以6避人BC,

因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC,平面BBCCQ平面A3C=3C，且48u平面B4GC，所以48，平面

ABC,

因?yàn)锳AB|B,所以平面ABC

【小問2詳解】

法一：因?yàn)镹B4C=90°,且3C=2,所以AB=AC=&.

以AS,AC,A%所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,

則A（0,0,2）,B（V2,0,0）,C（0,V2,0）,C,（0,72,2）.

所以4A=（點(diǎn),0,-2）,AC=（0,及,一2）,AC；=（0,衣o）.

痔48=0

設(shè)平面ABC的法向量為加=（%,y,Z|）,則，

m-\C=Q

令4=1,則m=（逝,V2,lj,

/、〃?AB=0叵X）—2z）=0

設(shè)平面48G的法向量為萬=（馬,%，22），貝必，可得

\J〃監(jiān)=0[02=0

令Z2=l,貝!]〃=（垃,0,。,

仙詞3_岳

設(shè)平面ABC與平面夾角為。，則cose=

Ml”；x/5Xx/35

所以平面ARC與平面A8G夾角的余弦值為半

法二：將直三棱柱ABC-A4G補(bǔ)成長方體A6OC—.

連接G。，過點(diǎn)C作CP_LG。，垂足為P,再過尸作PQ_L4B,垂足為Q,連接C。,

因?yàn)?D上平面CDD￡,且CPU平面CDD?,

所以BOLCP,

又因?yàn)镃P，G。，由于2D,C|Ou平面ABOG，且BZ)CQ=D,

所以CPJ_平面ABOG，則ACPQ為直角三角形，

由于ABu平面ABOG，所以AB_LCP,

因?yàn)镃P，PQu平面CPQ,且CPPQ=P,所以ABJ_平面C尸Q,

因?yàn)镃Qu平面CPQ,所以CQ_LAB,

則/CQP為平面4BC與平面48G的夾角或補(bǔ)角，

在,.A/C中，由等面積法可得c0=畫，

因?yàn)镻Q=4G=夜，所以cosNCQP=1|=半，

因此平面4BC與平面夾角的余弦值為姮.

16.已知函數(shù)f(x)=(ox+l)e",/'(x)是“X)的導(dǎo)函數(shù)，且/'(x)-/(x)=2e".

⑴若曲線y=/(x)在x=0處的切線為"-+/乙求A,人的值；

(2)在⑴的條件下，證明：f(x)>kx+b.

【答案】(1)k=3,b=l；

(2)證明見解析.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意，求導(dǎo)可得”的值，再由導(dǎo)數(shù)意義可求切線，得到答案；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=(2x+l)e*—3x—1,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g(x)的單調(diào)性從而求出最小值大于0,可得證.

【小問1詳解】

因?yàn)?(%)=(辦+l)e',所以/'(x)=(ax+a+l)e”,

因?yàn)閞(x)—/(x)=2e1所以a=2.

則曲線y=/(x)在點(diǎn)x=0處的切線斜率為f'(Q)=3.

又因?yàn)?0)=1,

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)x=()處的切線方程為，=3x+1,

即得左=3,b=\.

【小問2詳解】

設(shè)函數(shù)g(x)=(2x+l)e，-3x-l,xeR,

則g<x)=(2x+3)e*-3,

設(shè)〃(x)=g1x),則”(x)=e'(2x+5),

所以，當(dāng)%>一|時，〃(x)>0,g'(x)單調(diào)遞增.

又因?yàn)間'(O)=O,

所以，x>0時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

—g<x<0時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.

又當(dāng)g時，g'(x)=(2x+3)e*-3<0,

綜上g(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+。)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=0時，g(x)取得最小值g(0)=0,

即(2x+l)e*-3x-l20,

所以，當(dāng)xeR時,f(x)>3x+l.

17.某大型企業(yè)準(zhǔn)備把某一型號的零件交給甲工廠或乙工廠生產(chǎn).經(jīng)過調(diào)研和試生產(chǎn)，質(zhì)檢人員抽樣發(fā)

現(xiàn)：甲工廠試生產(chǎn)的一批零件的合格品率為94%；乙工廠試生產(chǎn)的另--批零件的合格品率為98%：若將這

兩批零件混合放在一起，則合格品率為97%.

(1)從混合放在一起的零件中隨機(jī)抽取3個，用頻率估計概率，記這3個零件中來自甲工廠的個數(shù)為X,

求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)為了爭取獲得該零件的生產(chǎn)訂單，甲工廠提高了生產(chǎn)該零件的質(zhì)量指標(biāo).已知在甲工廠提高質(zhì)量指

標(biāo)的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，大于在甲工廠不提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下，該大型

企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率.設(shè)事件A="甲工廠提高了生產(chǎn)該零件的質(zhì)量指標(biāo)“，事件8="該大型

企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)”、已知0<P(8)<l,證明：尸(A|B)>尸同月).

【答案】（1）答案見解析

（2）證明見解析.

【解析】

【分析】（1）設(shè)出甲乙兩廠的零件數(shù)，表示事件發(fā)生的概率，由題意知X服從二項(xiàng)分布，寫出分布列和期望

即可.

（2）因?yàn)樵诩坠S提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，大于在甲工廠不提

高質(zhì)量指標(biāo)的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，即P（同A）＞尸（8同，化簡變形即可證

得.

小問1詳解】

設(shè)甲工廠試生產(chǎn)的這批零件有件，乙工廠試生產(chǎn)的這批零件有〃件，

事件M="混合放在一起零件來自甲工廠“，事件N="混合放在一起零件來自乙工廠"，事件C="混合放

在一起的某一零件是合格品”，

則P(N)=—^―,

m+nm+n

P(C)=P(C\M)P(M)+P(C|N)P(N)

JTIn

=94%x------+98%x-------=97%,

m+n〃

計算得3m=〃.

所以P(M)=*一=L.

m+n4

X的可能取值為0,1,2,3,X?

E（X）=3x」=2,

'）44

小=。）=呢閘T—%冏‘磊，

加2）=鳴用/P（X=3）=喘閭

所以，X的分布列為：

X0123

272791

P

64646464

【小問2詳解】因?yàn)樵诩坠S提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，大于在

甲工廠不提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，

所以「伊同〉73.同.

3吧

「⑷P（A）-

因?yàn)槭ˋ）＞0,P（A）＞0,

所以P（AB）P（A）＞P（M）P（A）.

因?yàn)镻（司=1—P（A）,P（AB）=P（B）-P（AB）,

所以P（ABXI—P（A））＞（P（B）—P（AB））P（A）.

即得尸（A3）＞P（A）P（3）,

所以P（AB）-P（AB）P（B）＞P（A）P（5）-P（43）P（B）.

即P(ABXI—P(B))>P(0(P(A)—P(AB)).

又因?yàn)?-P（5）=P⑻，P（A）-P（A5）=P（AB）,

所以P（AB）P⑻＞P（B）P（AB）.

因?yàn)?〈尸（B）＜1,O＜P（B）＜1,

P（4嘰P（碉

所以c/c\＞-------/—\?

P⑻P（B）

即得證?（A忸）＞P（A同.

18.設(shè)拋物線C：x2=2py（p＞0）,直線/：）=而+2交C于4,B兩點(diǎn).過原點(diǎn)。作/的垂線，交直

線y=-2于點(diǎn)M.對任意ZeR,直線AM,AB,的斜率成等差數(shù)列.

（1）求C的方程；

（2）若直線/'/〃，且/'與C相切于點(diǎn)N,證明：AAMN面積不小于2拉.

【答案】（1）x2=4〉；

（2）證明見解析.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意，分左=0與左。0代入計算，聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理代入計算，再

由等差中項(xiàng)的定義列出方程，即可得到結(jié)果；

（2）方法一：聯(lián)立直線/'與拋物線的方程，表示出中點(diǎn)E的坐標(biāo)，再由點(diǎn)M,N,E三點(diǎn)共線可得△AMN

面積為△加面積的;，結(jié)合三角形的面積公式代入計算，即可證明；方法二聯(lián)立直線/,與拋物線的方

程，再由A=0,得〃=—公，點(diǎn)"（2人,公），即可得到直線MN與x軸垂直，再由三角形的面積公式代入

計算，即可證明.

【小問1詳解】

設(shè)點(diǎn)A（X],yJ,3（馬,必），

由題可知，當(dāng)4=（）時，顯然有七“+%8M=0；

當(dāng)我。0時，直線0M的方程為丁=—點(diǎn)M（2Z,—2）.

聯(lián)立直線AB與C的方程得f-2pfcc-4P=0,A=4p，2+i6〃>0,

所以％+々=2，％,入科2=YP，

因?yàn)橹本€AM,AB,8M的斜率成等差數(shù)列,

y.+2%+2,

所以——+———=2k

x1-2kx2-2k

―+4+優(yōu)+4=2k(例+4)(._2.)+(5+4)(內(nèi)―2))=2k

%1-2kx2-2k'-2A:)(x2-2/c)-‘、

化簡得2(42+2)(石+々-4%)=0.

將尤1+x2=2pZ代入上式得2(爐+2)(2p左一4Z)=0,

則〃=2,

所以曲線C的方程為f=4y.

（法一）設(shè)直線/'：y=kx+n,聯(lián)立C的方程，得/一4履一4〃=0.

由A=0,得〃=—女2,點(diǎn)NR%,/）,

設(shè)AB的中點(diǎn)為E,

因51A=2k,21±21=比匕1±1=2女2+2,貝1」點(diǎn)￡（24,2公+2）.

222、,

田％2/+2-2,

因?yàn)?---------=七2，

2

所以點(diǎn)M,N,E三點(diǎn)共線，且點(diǎn)N為ME的中點(diǎn)，

所以△AMN面積為△A8M面積的1.

4

2女2+4

記的面積為S,點(diǎn)M（2Z,-2）到直線A&Ax-y+2=0的距離d=j,J

22

所以S=]|A3|xd=]y/l+kXJ（玉+X2）-4X,X2X2）=伏2+2）5220,

當(dāng)左=（）時，等號成立.所以命題得證.

（法二）設(shè)直線/'：y^kx+n,聯(lián)立C