高考數(shù)學一輪復習 （基礎(chǔ)知識 高頻考點 解題訓練）導數(shù)的應用(一)教學案

第十二節(jié)，導數(shù)的應用(一)

1基礎(chǔ)卻旗要打牢強雙基I固本源I得基礎(chǔ)分I掌握程度

［知識能否憶起］

1.函數(shù)的單調(diào)性

在(a,0內(nèi)可導函數(shù)/<x),f'(x)在(a,6)任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.

/(x)20o/(x)在(a,6)上為增函數(shù).

f(x)WOQf(x)在(a,S)上為減函數(shù).

2.函數(shù)的極值

(1)函數(shù)的極小值：

函數(shù)y=『(x)在點x=a的函數(shù)值/'(a)比它在點x=a附近其它點的函數(shù)值都小，(a)

=0,而且在點x—a附近的左側(cè)f(x)<0,右側(cè)f'(A)>0,則點a叫做函數(shù)尸f(x)的

極小值點，/1(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值.

(2)函數(shù)的極大值：

函數(shù)y=f(x)在點x=A的函數(shù)值f(6)比它在點x=6附近的其他點的函數(shù)值都大,/(6)

=0,而且在點x=b附近的左側(cè)f'(x)>0,右側(cè)f'(A)<0,則點b叫做函數(shù)y=f{x)的

極大值點，『(⑹叫做函數(shù)y=f(x)的極大值.

極小值點，極大值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.

3.函數(shù)的最值

(1)在閉區(qū)間［a,6］上連續(xù)的函數(shù)f(x)在［a,句上必有最大值與最小值.

(2)若函數(shù)f(x)在［a,6］上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值,皿為函數(shù)的最大值；

若函數(shù)f(x)在［a,6］上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值,f(6)為函數(shù)的最小值.

［小題能否全?。?/p>

1.徽材習題改編)若函數(shù)/■(x)=f+aV+3x—9在x=—3時取得極值，則a等于()

A.2B.3

C.4D.5

解析：選D-：f'(x)=3x?+2ax+3,f'(-3)=0,

??<3=5.

2.(2012?遼寧高考)函數(shù)了=上/—Inx的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.(―1,1]B.(0,1]

C.[1,+°°)D.(0,+°0)

解析：選B函數(shù)Inx的定義域為(0,+°°),

乙

jx—x-I~

y'=x—=----------------，令/WO,則可得0<KL

xx

3.(2012?陜西高考)設(shè)函數(shù)Ax)=xe;貝U()

A.x=l為f(x)的極大值點

B.x=l為F(x)的極小值點

C.x=—1為/1(x)的極大值點

D.x=—1為F(x)的極小值點

解析：選D求導得f(x)=e'+xe'=e"(x+l),令F(x)=e'(x+l)=0,解得x=—

L易知x=-1是函數(shù)F(x)的極小值點.

4.函數(shù)f(x)=可+￥—3x—4在[0,2]上的最小值是.

0

解析：ff(x)=/+2x—3,ff(x)=0,[0,2],

、17

得x=l.比較f(0)=-4,Z(l),

o

f(2)=—當可知最小值為一9

*Jo

17

答案：一方

5.已知a>0,函數(shù)f(x)=f—ax在[1,+8)上是單調(diào)增函數(shù),則a的最大值是.

解析：f1(x)=3x°—a在xG[1,+8)上/(x)NO,

則f'(l)》0=>a<3.

答案：3

i.r(x)〉0與/'(x)為增函數(shù)的關(guān)系：f(x)>0能推出f(x)為增函數(shù)，但反之不一

定.如函數(shù)f(x)=才'在(-8,+8)上單調(diào)遞增，但『，(x)》0,所以/(x)〉0是/1(x)為

增函數(shù)的充分

不必要條件.

2.可導函數(shù)的極值點必須是導數(shù)為0的點，但導數(shù)為0的點不一定是極值點，即

f(Xo)=0是可導函數(shù)/'(X)在X=Xo處取得極值的必要不充分條件.例如函數(shù)尸V在x=0

處有V|z=o,但x=0不是極值點.此外，函數(shù)不可導的點也可能是函數(shù)的極值點.

3.可導函數(shù)的極值表示函數(shù)在一點附近的情況，是在局部對函數(shù)值的比較；函數(shù)

的最值是表示函數(shù)在一個區(qū)間上的情況，是對函數(shù)在整個區(qū)間上的函數(shù)值的比較.

Zl高頻考點要iS卷…、…,、、抓考點|學技法|得拔高分|掌握程度

3運用導數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題

占典題導入

［例1］(2012?山東高考改編)已知函數(shù)f(x)=坨畢々"為常數(shù)，e=2.71828…是

e

自然對數(shù)的底數(shù))，曲線y=F(x)在點(1,f(l))處的切線與x軸平行.

(1)求A的值；

(2)求/"(X)的單調(diào)區(qū)間.

［自主解答］⑴由自注=二式

e

/0,/、1—Ax-xlnx.

得f(分=7，(0,+0°),

由于曲線尸廣(X)在(1,/U))處的切線與X軸平行，所以/⑴=0,因此仁1.

(2)由(1)得/(^r)=~^(1—Hnx),(0,+°°),

xe

令力=1—彳一xlnx,(0,+0°),

當(0,1)時,h{x)>0；當x￡(l,+8)時,h{x)<0.

又e">0,所以(0,1)時，f(x)>0；

x￡(l,+8)時，f'(x)〈o.

因此廣(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+8).

&由題悟法

求可導函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法

(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；

(2)求F(x),令/(x)=0,求出它在定義域內(nèi)的一切實數(shù)根；

(3)把函數(shù)f(x)的間斷點(即f(x)的無定義點)的橫坐標和上面的各實數(shù)根按由小到大

的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)/'(x)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間；

(4)確定/(x)在各個開區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)/(x)的符號判定函數(shù)F(x)在每個相應

小開區(qū)間內(nèi)的增減性.

各以題試法

1.已知函數(shù)f(x)=(―￡+ax)e"(x￡R,e為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)當a=2時，求函數(shù)F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)是否存在a使函數(shù)f(x)為R上的單調(diào)遞減函數(shù)，若存在，求出a的取值范圍；若不

存在，請說明理由.

解:⑴當a=2時，f(x)=(―V+2x)e*,

/.f'(x)=(―2x+2)ef+(―/+2x)e"=(—Y+2)e'.

令f(x)>0,即(-f+2)e*>0,

e^>0,—x~+2>0,解得一

函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一第，?.

(2)若函數(shù)/"(X)在R上單調(diào)遞減，

則/■'(x)WO對xdR都成立，

即[—x+(a—2)x+a]e'WO對xGR都成立.

*/e'!>0,'.x—(a—2)x-a20對xGR都成立.

A=(a—2)2+4a^0,即d+dWO,這是不可能的.

故不存在a使函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減.

3運用導數(shù)解決函數(shù)的極值問題

占典題導入

［例2］(2012?江蘇高考)若函數(shù)y=f(x)在x=x。處取得極大值或極小值，則稱劉為

函數(shù)y=f(x)的極值點.已知a,6是實數(shù)，1和一1是函數(shù)/'(x)uf+ax'+^x的兩個極值

點.

⑴求己和6的值；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)的導函數(shù)H(x)=f(x)+2,求g(x)的極值點.

［自主解答］⑴由題設(shè)知尸(x)=3f+2ax+6,且尸(-1)=3—2〃+6=0,

f'(1)=3+2a+6=0,解得3=0,b=~3.

(2)由⑴知f{x)=x—3x.因為f(x)+2=(x—l)2(x+2),所以g'(T)=0的根為荀=

X2=l,照=-2,于是函數(shù)g(x)的極值點只可能是1或一2.

當xV—2時，H(x)V0；當一2VxVl時，g'(x)〉0,故一2是g(x)的極值點.

當一2VxVl或x>l.時，g'(x)>0,故1不是g(x)的極值點.

所以g(x)的極值點為-2.

&由題悟法

求函數(shù)極值的步驟

(1)確定函數(shù)的定義域；

(2)求方程為(x)=0的根；

(3)用方程/(x)=0的根順次將函數(shù)的定義域分成若干個小開區(qū)間，并形成表格；

(4)由1?'(x)=0根的兩側(cè)導數(shù)的符號來判斷/(x)在這個根處取極值的情況.

占以題試法

2.設(shè)/?(x)=2x3+aV+6x+l的導數(shù)為/(x),若函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x

一，對稱，且尸(1)=0.

(1)求實數(shù)a,6的值；

(2)求函數(shù)f(x)的極值.

解：(1)因為/*(x)=2x'+乃/+Z?x+1,

故f'(x)=6x+2ax+b,

從而產(chǎn)(x)=6。+］)+力一看，

即尸尸(x)關(guān)于直線x=一看對稱.

a1

從而由題設(shè)條件知一R=—5,即a=3.

b2

又由于f'(1)=0,即6+2a+6=0,

得b=-12.

(2)由(1)知f(x)=2￡+3由一12了+1,

所以f(x)=6x?+6x—12=6(x—1)(x+2),

令f(x)=0,

即6(x—1)(x+2)=0,

解得x=—2或x=l,

當xe(—8,—2)時，f(x)〉0,

即/<x)在(一8,—2)上單調(diào)遞增；

當xe(—2,1)時，f(x)〈0,

即f(x)在(一2,1)上單調(diào)遞減；

當xe(l,+8)時，f(x)>0,

即f(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增.

從而函數(shù)f(x)在x=—2處取得極大值『(一2)=21,

在x=l處取得極小值/(I)=-6.

3運用導數(shù)解決函數(shù)的最值問題

占典題導入

［例3］己知函數(shù)f(x)=(x—4)e：

⑴求/<x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵求/"(X)在區(qū)間［0,1］上的最小值.

［自主解答］⑴F(而=(x-4+l)e：

令f(x)=0,得x=A—1.

/1(x)與/(x)的情況如下：

(-00,A—1)(4-1,+0°)

Xk-1

/(X)一0+

f(x)-ek-l

所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-8,A-1)；單調(diào)遞增區(qū)間是(4—1,+8).

(2)當A—1W0,即反1時，函數(shù)f(x)在［0,1］上單調(diào)遞增，所以『(x)在區(qū)間［0,1］上

的最小值為『(0)=—左

當0〈在一1<1,即1<衣2時，

由⑴知f(x)在［0,A—1)上單調(diào)遞減，在(A—1,1］上單調(diào)遞增,所以汽x)在區(qū)間［0,口

上的最小值為f(A—1)=-e-；

當次一IF時，即發(fā)22時，函數(shù)f(x)在［0,1］上單調(diào)遞減，所以/U)在區(qū)間［0,1］上的

最小值為Al)=(1—A)e.

>?一題多變

本題條件不變，求/1(*)在區(qū)間上的最大值.

解：當A—1W0,即AW1時，函數(shù)/'(x)在［0,1］上單調(diào)遞增.

所以f(x)在［0,1］上的最大值為AD=(1-A)e.

當0〈"一1〈1,即1〈衣2時，

由(1)知f(知在［0,A—1)上單調(diào)遞減，在儲一1,1］上單調(diào)遞增,所以Hx)在區(qū)間［0,1］

P

上的最大值為f(0)和『(1)較大者.若/"(0)=/(1),所以一次=(1—4)e,即#=「.

e—1

PP

當1〈人一七時函數(shù)f^x］的最大值為f(l)=(1-A)e,當一二三K2時，函數(shù)『(x)的最

大值為f(0)=-A,

當1'1時，即422時，函數(shù)F(x)在［0,1］上單調(diào)遞減.

所以F(x)在［0,1］上的最大值為f(6=-k.

P

綜上所述‘當人』時,Hx)的最大值為/'⑴=(1-A)e.

P

當心』時,f(x)的最大值為/?(())=一4

&由題悟法

求函數(shù)f(x)在［a,6］上的最大值和最小值的步驟

(1)求函數(shù)在(a,6)內(nèi)的極值；

(2)求函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值f(a),；

(3)將函數(shù)f(x)的各極值與f(a),/■(〃比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為

最小值.

備以題試法

3.(2012?重慶高考)已知函數(shù)f(x)=ax'+bx+c在點x=2處取得極值cT6.

(1)求a,6的值；

(2)若f(x)有極大值28,求f(x)在［—3,3］上的最小值.

解：(1)因_f(x)故，(x)=3tax-\~b,

由于廣(x)在點x=2處取得極值c—16,

[⑵+6=0,⑵+6=0,

即化簡得

〔82+26+c=c—16,4a+b=-8,

解得a=l,6=—12.

(2)由⑴知f(<x)=x—12x+c；

f'(x)=3/—12=3(x—2)(x+2).

令f(x)=0,得為=-2,X2=2.

當x￡(—8,—2)時，f(x)>0,故/<x)在(-8,—2)上為增函數(shù)；

當入￡(—2,2)時，f'(x)<0,故廣(x)在(一2,2)上為減函數(shù)；

當x￡(2,+8)時，/(才)>0,故/<x)在(2,+8)上為增函數(shù).

由此可知Hx)在不=—2處取得極大值f(—2)=16+c,F(x)在荀=2處取得極小值A(chǔ)2)

=(7—16.

由題設(shè)條件知16+c=28,得c=12.

此時/*(—3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,

/(2)=—16+c=—4,

因此廣(x)在［—3,3］上的最小值為廣(2)=-4.

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A級全員必做題

1.函數(shù)1?(x)=x+elnx的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.(0,+°0)B.(—8,o)

C.(一8,0)和(0,+°°)D.R

解析：選A函數(shù)定義域為(。，+8),『，(x)=l+》0,故單調(diào)增區(qū)間是(。，+8).

2.(2012?“江南十校”聯(lián)考)已知定義在R上的函數(shù)/'(X),其導?

函數(shù)/(x)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是()/

A.f(6)>f(c)>F("I!\/

B./1(力>f(a)>f(e)—OOp\d/ei

C.f(c)>f(6)>f(a)

D.

解析：選c依題意得，當xd(—8,c)時，f'(x)〉0；

當xe(c,e)時，f'(x)〈0；當xd(e,+8)時，f'(x)〉0.因此，函數(shù)/'(x)在(一8,

c)上是增函數(shù)，在(c,e)上是減函數(shù)，在(e,+8)上是增函數(shù)，又a<b<c,所以

Ac)>f(6)〉f(a).

2

3.(2012?陜西高考)設(shè)函數(shù)f(x)=-+lnx,貝M)

X

A.為F(x)的極大值點

B.■為F(x)的極小值點

C.x=2為F(x)的極大值點

D.x=2為/U)的極小值點

91X—2

解析:選D函數(shù)廣(x)的定義域為(0,+8),/(x)=--2+-=—廠，當x=2時(x)

=0；當￡>2時，f'(x)>0,函數(shù)/<x)為增函數(shù)；當0〈水2時，f(x)<0,函數(shù)〃x)為減函

數(shù)，所以x=2為函數(shù)F(x)的極小值點.

4.(2012?大綱全國卷)已知函數(shù)y=￡—3x+c的圖象與x軸恰有兩個公共點，則c=

()

A.-2或2B.—9或3

C.l1或1D.—3或1

解析：選A設(shè)廣(x)=f—3x+c,對廣(x)求導可得，f'(x)=3x?—3,令/(x)=0,

可得x=±l,易知Hx)在(一8,-1),(1,+8)上單調(diào)遞增，在(一1,1)上單調(diào)遞減.若

廣(1)=1—3+c=0,可得c=2；若f(—1)=—l+3+c=0,可得c=-2.

5.若f(x)="InJ,xe<a<b,貝M)

X

A.f{a)>/(A)B.Fg)=F(6)

C.f(a)〈f(6)D.f(a)f(6)>l

?—v

解析：選Af'(x)=----2--,當x>e時，f'(x)<0,則_f(x)在(e,+8)上為減函數(shù),

x

f(a)>/(Z?).

6.函數(shù)f{x)=/—3x—1,若對于區(qū)間［-3,2］上的任意xi,X2,都有|_f(xi)—f(xj|Wt,

則實數(shù)力的最小值是()

A.20B.18

C.3D.0

解析：選A因為/(x)=33-3=3(x—1)(x+1),令f(x)=0,得*=±1,所以

—1,1為函數(shù)的極值點.又廣(一3)=—19,廣(一1)=1,廣(1)=—3,廣(2)=1,所以在區(qū)間［—

3,2］上Hx)max=［,Hx)min=-19.又由題設(shè)知在區(qū)間［―3,2］上廣(X)max—廣(才)minW方，從而

力220,所以力的最小值是20.

7.已知函數(shù)，才)=￡+必f+(勿+6)x+l既存在極大值又存在極小值，則實數(shù)〃的取值

范圍是.

解析：f'(x)=33+2加￥+勿+6=0有兩個不等實根，即/=4福一12X(勿+6)>0.所以

%>6或正一3.

答案：(一8,—3)U(6,+°°)

8.已知函數(shù)/'(x)=—系+加一4在x=2處取得極值，若力￡則的最小

值為.

解析：求導得一(x)=-3/+2打，由廣(x)在x=2處取得極值知/(2)=0,即一3X4

+2aX2=0,故女=3.由此可得F(x)=—￡+3/—4,f'(x)=—33+6*.由此可得_f(x)在

(—1,0)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增，

所以對勿金［-1,1］時，/1(4min=F(0)=-4.

答案：一4

9.已知函數(shù)尸F(xiàn)(x)=才3+3/+36*+。在*=2處有極值，其圖象在x=l處的切線平

行于直線6x+2p+5=0,則f(x)極大值與極小值之差為.

解析：Vy=3x+6ax+3bf

F3X22+6aX2+3Z?=0p=-l,

［3Xl2+&a+3b=~3=16=0.

y'=3x—&x,令3/—6才=0,則x=0或￡=2.

:?/1(x)極大值一_f(x)極小值=/1(())—/(2)=4.

答案：4

10.已知函數(shù)_f(x)=2^+6111x在￡=1處有極值5.

(1)求a,6的值；

(2)判斷函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性并求出單調(diào)區(qū)間.

解：(1),.?/(x)=2ax-\--.

x

又f(x)在x=l處有極值

1

f1

a-2-

f=32，即<

/=0，2a+6=0.

解得a=，，b=~\.

(2)由(1)可知F(x)=]/—Inx,其定義域是(0,+8),

由f'(x)〈0,得0〈x〈l；

由f(x)>0,得x>l.

所以函數(shù)尸/'(x)的單調(diào)減區(qū)間是(0,1),

單調(diào)增區(qū)間是(1,+8).

13

11.(2012?重慶高考)設(shè)f(x)=aln萬+丁+不￥+1,其中曲線y=_f(x)在點(1,

HD)處的切線垂直于y軸.

(1)求a的值；

(2)求函數(shù)F(x)的極值.

13

解：(1)因f{x}=alnx+~+-x+1,

2x2

..a13

故f(必=一一

XAxA

由于曲線/=".)在點(1,AD)處的切線垂直于p軸，故該切線斜率為0,即F(1)

=0,從而~+|=0,

解得a=-l.

13

(2)由(1)知f{x}=—In才+二+,X+1(x>。)，

11,3

丁m+5

3x~2x~l

~2/

x+X-

=27

令f(x)=0,解得xi=l,丫2=—9(因*2=—\不在定

O\o

義域內(nèi)，舍去.

當xG(0,1)時，f(x)〈0,故f(x)在(0,1)上為減函數(shù):

當XG(1,+8)時，f(x)〉0,故f(x)在(1,+8)上為增函數(shù).

故f(x)在x=l處取得極小值/(I)=3.

12.已知函數(shù)f(x)=x~ax+3x.

(1)若f(x)在Xd[l,+8)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

⑵若x=3是/"(X)的極值點，求f(x)在xd[l,a]上的最大值和最小值.

解:(1)：/(x)=3x°—2ax+3N0在[1,+8)上恒成立，

；.aW|(x+jg=3(當x=l時取最小值).

，a的取值范圍為(一8,3].

(2)'：f(3)=0,即27—6a+3=0,

/.a=5,f{x)=x~5x+3x,xG[l,5],

f1(x)=3f—10x+3.

令f(x)=0,得荀=3,X2=|(舍去).

當l〈x〈3時，f'(x)<0,當3CK5時，f'(x)>0,

即當x=3時，f(x)取極小值f⑶=—9.

又戶1)=—1,f⑸=15,

在[1,5]上的最小值是廣⑶=—9,最大值是『(5)=15.

B級重點選做題

1.設(shè)函數(shù)/(x)=ax2+6x+c(a,b,cGR).若x=—1為函數(shù)/(x)e，的一個極值點,

則下列圖象不可能為尸『(x)的圖象是()

解析：選D因為"(x)e?=F(x)e'+Hx)(e5'="(i)+/(x)]e',且x=-1

為函數(shù)/'(x)e'的一個極值點，所以/U)+F(1)=0；選項D中，f(l)>0,f'(1)>0,不滿

足/⑴+f⑴=0.

2.(2012?沈陽實驗中學檢測)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x),設(shè)其導函數(shù)為/''(x),

當xd(―8,0］時，恒有xf，(x)〈f(—X),令尸(x)=xf(x),則滿足尸(3)>尸(2x—1)的實數(shù)

x的取值范圍是()

A.(-1,2)B.(T,0

C.1,2)D.(-2,1)

解析：選A由6(x)=xf(x),得"(x)=f(x)+xf'(x)=xf'(x)—f(—x)〈0,所以

戶(x)在(一8,0)上單調(diào)遞減，又可證戶(x)為偶函數(shù)，從而網(wǎng)x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

故原不等式可化為一3<2x—1<3,解得一1<K2.

3.(2012?湖北高考)設(shè)函數(shù)f(x)=ax"(l—x)+Rx>0),〃為正整數(shù)，a,6為常數(shù).曲

線尸/'(x)在(1,F(l))處的切線方程為x+y=L

(1)求a,6的值；

(2)求函數(shù)f(x)的最大值.

解：(1)因為/'(1)=6,由點(1,6)在x+y=l上，

可得1+6=1,即6=0.

因為/(x)=a〃/T—a5+l)x",所以F'(1)=一a.