8.1基本立體圖形與8.2立體圖形的直觀圖高一下學期數(shù)學暑假作業(yè)（知識回顧基礎訓練提升訓練培優(yōu)訓練）（人教2019A版專用）

8.1基本立體圖形與8.2立體圖形的直觀圖（人教2019A版專用）目錄目錄【知識回顧】 2【基礎訓練】 5【提升訓練】 19【培優(yōu)訓練】 35知識回顧知識回顧1.空間幾何體(1)空間幾何體的定義空間中的物體都占據(jù)著空間的一部分，如果只考慮這些物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體.(2)多面體、旋轉體多面體由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面；兩個面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點叫做多面體的頂點旋轉體一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內的一條定直線旋轉所形成的曲面叫做旋轉面，封閉的旋轉面圍成的幾何體叫做旋轉體，這條定直線叫做旋轉體的軸2.棱柱的結構特征棱柱有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱記作：棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′底面(底)：兩個互相平行的面?zhèn)让妫浩溆喔髅鎮(zhèn)壤猓合噜弬让娴墓策呿旤c：側面與底面的公共頂點直棱柱：側棱垂直于底面的棱柱斜棱柱：側棱不垂直于底面的棱柱正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱3.棱錐的結構特征棱錐有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐記作：棱錐S－ABCD底面(底)：多邊形面?zhèn)让妫河泄岔旤c的各個三角形面?zhèn)壤猓合噜弬让娴墓策呿旤c：各側面的公共頂點正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐4.棱臺的結構特征棱臺用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的那部分多面體叫做棱臺記作：棱臺ABCD－A′B′C′D′上底面：原棱錐的截面下底面：原棱錐的底面?zhèn)让妫浩溆喔髅鎮(zhèn)壤猓合噜弬让娴墓策呿旤c：側面與上(下)底面的公共頂點5.旋轉體的結構特征旋轉體結構特征圖形表示圓柱以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱.旋轉軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉而成的圓面叫做圓柱的底面；平行于軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓柱的側面；無論旋轉到什么位置，平行于軸的邊都叫做圓柱側面的母線圓柱用表示它的軸的字母表示，如圖中的圓柱記作圓柱O′O圓錐以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓錐圓錐也用表示它的軸的字母表示，如圖中的圓錐記作圓錐SO圓臺用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺圓臺也用表示它的軸的字母表示，如圖中的圓臺記作圓臺O′O球半圓以它的直徑所在直線為旋轉軸，旋轉一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉體叫做球體，簡稱球.半圓的圓心叫做球的球心，連接球心和球面上任意一點的線段叫做球的半徑；連接球面上兩點并且經(jīng)過球心的線段叫做球的直徑球常用表示球心的字母來表示，左圖可表示為球O6.簡單組合體(1)定義：由簡單幾何體組合而成的幾何體叫做簡單組合體.(2)簡單組合體的構成形式：一種是由簡單幾何體拼接而成的；另一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成的.7.水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法(1)直觀圖的概念把空間圖形(平面圖形和立體圖形的統(tǒng)稱)畫在平面內，使得既富有立體感，又能表達出主要部分的位置關系和度量關系的圖形叫做直觀圖.(2)用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟8.空間幾何體的直觀圖的畫法立體圖形直觀圖的畫法步驟(1)畫軸：與平面圖形的直觀圖畫法相比多了一個z軸，直觀圖中與之對應的是z′軸.(2)畫底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示豎直平面，按照平面圖形的畫法，畫底面的直觀圖.(3)畫側棱：已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中平行性和長度都不變.(4)成圖：去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線.基礎基礎訓練一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．（2324高一下·山西·階段練習）在直四棱柱中，四邊形ABCD是矩形，，點E為線段的中點，點G是線段上的一點，點F是底面ABCD內的一點，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2324高一下·安徽蕪湖·期中）如下圖，已知圖2為甲同學用斜二測畫法作出的在平面直角坐標系中正五邊形（見圖1）的直觀圖即五邊形，且保持坐標軸上的單位長度不變，其中各點的作法可能正確的為（

）A． B． C． D．3．（2024高三·全國·專題練習）如圖，在正三棱錐中，，，一只蟲子從點出發(fā)，繞三棱錐的三個側面爬行一周后，又回到點，則蟲子爬行的最短距離是（

）

A． B． C． D．4．（2122高一·全國·課后作業(yè)）一個建筑物上部為四棱錐，下部為長方體，且四棱錐的底面與長方體的上底面尺寸一樣，已知長方體的長、寬、高分別為20m、5m、10m，四棱錐的高為8m，若按1∶1000的比例畫出它的直觀圖，那么直觀圖中，長方體的長、寬、高和棱錐的高應分別為（）A．4cm，1cm，2cm，1，6cm B．4cm，0，5cm，2cm，0，8cmC．4cm，0，5cm，2cm，1，6cm D．2cm，0，25cm，1cm，0，8cm5．（2024·貴州黔南·二模）某學生為制作圓臺形容器，利用如圖所示的半圓環(huán)（其中小圓和大圓的半徑分別是和）鐵皮材料，通過卷曲使得邊與邊對接制成圓臺形容器的側面，則該圓臺的高為（

）A． B． C． D．6．（2324高一下·黑龍江牡丹江·期中）如圖所示，正方形的邊長為，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原平面圖形的周長是（

）A． B． C． D．7．（2024高一下·全國·專題練習）已知某幾何體的直觀圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

A． B．C． D．8．（2223高一下·湖北武漢·期中）如圖，四邊形的斜二測畫法直觀圖為等腰梯形．已知，，則下列說法正確的是（）A． B．C．四邊形的周長為 D．四邊形的面積為二、多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)9．（2223高一下·吉林長春·期中）下列說法正確的是（

）A．棱臺的側面都是等腰梯形B．棱柱的側棱長都相等，但側棱不一定都垂直于底面C．底面半徑為r，母線長為2r的圓錐的軸截面為等邊三角形D．以三角形的一邊所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐10．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，已知等腰三角形，則如圖所示的四個圖形，可能是的直觀圖的是（）

A．

B．

C．

D．

11．（2223高一下·河南信陽·期中）用一個平面去截一個幾何體，得到的截面是一個圓面，則這個幾何體可能是（

）A．圓柱 B．棱柱 C．球 D．圓臺三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上)12．（2324高一下·安徽宿州·期中）現(xiàn)有一塊如圖所示的三棱錐木料，其中，，木工師傅打算過點將木料切成兩部分，則截面周長的最小值為.13．（2324高一下·云南昆明·階段練習）如圖，是的斜二測直觀圖，其中，斜邊，則的面積是.14．（2324高二下·上?！ら_學考試）如圖，在底半徑為2，母線長為4的圓錐中內接一個高為的圓柱，則圓錐過軸的截面面積為，圓柱的底面半徑為．

四、解答題(本大題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)15.(13分)（2024高一·江蘇·專題練習）如圖所示，在中，邊上的高，試用斜二測畫法畫出其直觀圖．

16.(15分)（2324高一下·云南昆明·階段練習）如圖，在邊長為8的正方形中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，沿圖中虛線將3個三角形折起，使點A，B，C重合，重合后記為點P.(1)折起后形成的幾何體是什么幾何體？這個幾何體共有幾個面？(2)每個面的三角形有何特點？每個面的三角形面積為多少？17.(15分)（2324高二上·上?！ふn后作業(yè)）如圖，在一本打開的書封面上有一只螞蟻，在封底有一小塊餅干.螞蟻想爬過書脊到達餅干處.若螞蟻和餅干離書脊的距離分別為4cm和3cm，書脊的長度是20cm，求螞蟻爬行的最短路線和最短距離.

18.(17分)（2324高一下·云南昆明·階段練習）一個圓臺的母線長為13cm，兩底面面積分別為和.求：(1)圓臺的高；(2)截得此圓臺的圓錐的母線長.19.(17分)（2223高一下·全國·課后作業(yè)）已知水平放置的四邊形ABCD按照斜二測畫法畫出的直觀圖如圖所示，其中，，，求DC的長度，參考答案：1．A【分析】將平面沿翻折，使其與平面共面，結合牛吃草理論以及解三角形知識即可列式求解.【詳解】如圖，顯然當F是G在底面ABCD的射影時，才可能最?。畬⑵矫嫜胤?，使其與平面共面，如圖所示，由于，則，則，得，同理，而，顯然當E，G，F(xiàn)三點共線且時，取得最小值，此時．故選：A．2．C【分析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，即可得出結論.【詳解】斜二側畫直觀圖時，平行或與x軸重合的線段長度不變，則長度不變，平行或與y軸重合的線段長度減半，則減掉一半，線段對應線段也會縮小，如圖所示：所以的對應點畫對了,的對應點畫錯了.故選：C.3．A【分析】將三棱錐由展開，根據(jù)勾股定理進行求解即可.【詳解】設過點作截面與、側棱分別交于、兩點，將三棱錐由展開，則，蟲子爬行從點沿側面到棱上的點處，再到棱上的點處，然后回到點的最短距離，由勾股定理可得．蟲子爬行的最短距離．故選：A

4．D【分析】根據(jù)條件所給的比例結合斜二測畫直觀圖的畫法規(guī)則即可求解.【詳解】由比例可知，所畫長方體的長、寬、高和四棱錐的高分別為2cm，0.5cm，1cm和0.8cm，又因為斜二測畫直觀圖的畫法：已知圖形中平行于軸的線段，在直觀圖中平行于，保持長度不變；已知圖形中平行于軸的線段，在直觀圖中平行于軸，長度變?yōu)樵瓉淼囊话?；已知圖形中平行于軸的線段，在直觀圖中平行于軸，保持長度不變.所以該建筑物按的比例畫出它的直觀圖，直觀圖中，長方體的長、寬、高和棱錐的高應分別為2cm，0.25cm，1cm和0.8cm．故選：D.5．C【分析】根據(jù)圓臺的側面展開圖求得，再結合圓臺的結構特征分析求解.【詳解】設圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，母線長為，高為，由題意可得：，解得，所以該圓臺的高為.故選：C.6．A【分析】根據(jù)斜二測畫法畫直觀圖的性質，即平行于軸的線段長度不變，平行于軸的線段的長度減半，結合圖形求得原圖形的各邊長，可得周長．.【詳解】直觀圖正方形的邊長為，，原圖形為平行四邊形，如圖：其中，高，，原圖形的周長.故選：A.7．B【分析】由題中直觀圖可知，該幾何體是一個圓柱去掉了其中一部分，因此要求的幾何體體積為圓柱的體積減去切掉部分的體積.【詳解】由題圖可知，此幾何體為從底面半徑為1，高為4的圓柱的母線的中點處截去了圓柱的后剩余的部分，所以所求幾何體的體積.故選：B.8．D【分析】過作交于點，求出，即可判斷B，再還原平面圖，求出相應的線段長，即可判斷ACD.【詳解】對于B：如圖過作交于點，由等腰梯形且，又，，可得是等腰直角三角形，即，故B錯誤；對于A：還原平面圖如下圖，則，故A錯誤；對于C：過作交于點，則，由勾股定理得，故四邊形的周長為：，即C錯誤；對于D：四邊形的面積為：，即D正確.故選：D.9．BC【分析】A.利用棱臺的結構特征判斷；B.利用棱柱的結構特征判斷；C.利用圓錐的結構特征判斷；D.利用圓錐的結構特征判斷.【詳解】A.棱臺的側棱延長后交于一點，但側面不一定是等腰梯形，如一條側棱垂直于底面，那么會有兩個側面為直角梯形，故錯誤；B.棱柱的側棱長都相等，但側棱不一定都垂直于底面，故正確；C.底面半徑為r，母線長為2r的圓錐的軸截面為等邊三角形，故正確；D.當以直角三角形的直角邊所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐，以直角三角形的斜邊所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是兩個同底的圓錐，故錯誤；故選：BC10．CD【分析】分和兩種情況說明.【詳解】當時，其直觀圖是C；當時，其直觀圖是D.故選：CD.

11．ACD【分析】根據(jù)用一個平面去截旋轉體均可以得到圓面，平面截棱柱得到的截面為一個多邊形，即可求解.【詳解】根據(jù)旋轉體的定義，可知用一個平面去截圓臺、圓柱、球均可以得到圓面，根據(jù)棱柱的定義，可知平面截棱柱得到的截面為一個多邊形，一定不會產(chǎn)生圓面，故選：ACD.12．【分析】將三棱錐側面沿著展開，截面周長的最小值即求從A出發(fā)沿著側面回到A的最短距離.【詳解】將三棱錐側面沿著展開，如圖：則，由余弦定理可得：,則，所以截面周長的最小值為.故答案為：.13．【分析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則復原原圖，確定相關線段長，即可求得答案.【詳解】由題意可知，，斜邊，，∴，由斜二測畫法的規(guī)則可知，在中，，，，∴的面積是，故答案為：14．1【分析】求出圓柱的高，即可求解圓錐過軸的截面面積，通過比例關系求出圓柱的底面半徑即可．【詳解】圓錐的高，圓錐過軸的截面面積為：；

設圓柱的底面半徑，由相似知識可知，解得．故答案為：；1．15．作圖見解析【分析】根據(jù)斜二測畫法的定義和步驟即可求解.【詳解】（1）在中建立如圖①所示的平面直角坐標系，再建立如圖②所示的坐標系，使.(2)在坐標系中，在軸上截??；在軸上截取，使.(3)連接，擦去輔助線，得到，即為的直觀圖(如圖③所示).

16．(1)三棱錐，4個面(2)為等腰三角形，為等腰直角三角形，和均為直角三角形，，，.【分析】（1）根據(jù)棱錐的定義判斷該幾何體的形狀，再判斷該幾何體的面數(shù)，（2）根據(jù)各面的相關數(shù)據(jù)判斷其形狀特征，結合三角形面積公式求各面面積.【詳解】（1）如圖，折起后的幾何體是三棱錐，這個幾何體共有4個面.（2）由已知，，，，所以，，所以為等腰三角形，為等腰直角三角形，和均為直角三角形.，，.17．最短路線見解析，最短距離為【分析】將書展開可，根據(jù)已知結合勾股定理，即可得出答案.【詳解】將書展開可得如圖（螞蟻在處，餅干在處）最短路線為，

由已知可得，，，則.又，由勾股定理可得，所以，.18．(1)12cm(2)cm【分析】（1）易求兩圓的半徑，利用圓臺的軸截面是等腰梯形，再根據(jù)勾股定理即可算出圓臺的高.（2）將等腰梯形的兩腰延長相交得等腰三角形，其腰即為圓錐的母線長，利用相似三角形的知識即可求解.【詳解】（1）圓臺的軸截面是等腰梯形，如圖所示：由已知可得上底半徑，下底半徑，又腰長，所以圓臺的高為.（2）如圖所示，延長交于點S，設截得此圓臺的圓錐母線長為l，則由，可得，解得：，所以截得此圓臺的圓錐的母線長為cm.19．【分析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則將圖形還原后計算即可.【詳解】根據(jù)斜二測畫法，原來的高變成了方向的線段，且長度是原高的一半，故原高為，畫出原圖形如圖所示，過點D作于E，而橫向長度不變，且梯形是直角梯形，所以.提升訓練提升訓練一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．（2324高一下·安徽六安·期中）如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖是直角，其中，則原圖形的面積為（

）A． B． C． D．2．（2324高一下·福建·期中）下列說法正確的是（）A．圓柱的母線長與圓柱的底面圓半徑不可能相等B．直四棱柱是長方體C．將一個等腰梯形繞著它較長的底邊所在的直線旋轉一周，所得的幾何體是一個圓錐D．正棱錐的側面是全等的等腰三角形3．（2024高一下·全國·專題練習）的直觀圖如圖所示，其中軸，軸，且，則的面積為（）A． B．2 C．4 D．4．（2024·山西·三模）某公司在慶典活動中，設計了一款紀念品如圖所示，其底座是頂部有凹槽的圓臺，上面放置一個水晶玻璃球，圓臺上底圓周的所有點都在凹槽面上四槽面上的所有點都在球面上圓臺的上、下底面半徑分別為2cm，4cm，母線長為cm，球的頂端到底座下底面的距離為8cm，則水晶球的半徑為（

）A．cm B．cm C．cm D．cm5．（2324高一下·福建福州·期中）已知圓臺上下底面的圓心分別為，，母線（點位于上底面），且滿足，圓的周長為，一只螞蟻從點出發(fā)沿著圓臺的側面爬行一周到的中點，則螞蟻爬行的最短路程為（

）A． B． C． D．6．（2223高一下·安徽滁州·階段練習）如圖，正方形是用斜二測畫法畫出的水平放置的一個平面四邊形的直觀圖，若，則四邊形周長與面積的數(shù)值之比為（

）

A． B． C． D．7．（2024·貴州貴陽·一模）如圖，這是一座山的示意圖，山大致呈圓錐形，山腳呈圓形，半徑為，山高為是山坡上一點，且．現(xiàn)要建設一條從到的環(huán)山觀光公路，這條公路從出發(fā)后先上坡，后下坡，當公路長度最短時，公路上坡路段長為（

）A． B． C． D．8．（2324高一下·山東泰安·期中）用斜二測畫法畫出的水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的，已知是邊長為的等邊三角形，則頂點到軸的距離是（

）A． B． C． D．二、多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)9．（2024高一下·全國·專題練習）（多選）下列說法不正確的是（）A．棱臺的兩個底面相似B．棱臺的側棱長都相等C．棱錐被平面截成的兩部分是棱錐和棱臺D．棱柱的側棱都相等，側面都是全等的平行四邊形10．（2223高一下·安徽蕪湖·期中）下面關于空間幾何體敘述正確的是（

）A．若梯形面積為，則其斜二測畫法直觀圖面積為B．底面是正多邊形的棱錐是正棱錐C．正四棱柱都是長方體D．直角三角形以其邊所在直線為軸旋轉一周形成的幾何體是圓錐11．（2324高一下·遼寧·期中）圖1中的掃地機器人的外形是按照如下方法設計的：先畫一個正三角形，再以正三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形．德國工程師勒洛首先發(fā)現(xiàn)這個曲邊三角形能夠像圓一樣當作輪子用，故稱其為“勒洛三角形”．將其推廣到空間，如圖2，以正四面體的四個頂點為球心，以正四面休的校長為半徑的四個球的相交部分圍成的幾何體叫做“勒洛四面休”．則下列結論正確的是（

）A．若正三角形的邊長為，則勒洛三角形面積為B．若正三角形的邊長為，則勒洛三角形的面積比正三角形的面積大C．若正四面體的棱長為2，則勒洛四面體能容納的最大球的半徑為D．若正四面體的棱長為2，則勒洛四面體表面上交線的長度小于三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上)12．（2324高一下·山東聊城·階段練習）如圖，在長方體中，是線段上異于的一點，則的最小值為.13．（2324高一下·湖南·期中）如圖，表示水平放置的的直觀圖，在軸上，與軸垂直，且，則的邊上的高為.14．（2324高二下·河南焦作·階段練習）如圖為某水晶工藝品的示意圖，該工藝品是將一個半徑為R的大球放置在底面半徑和高均為R的空心圓柱內構成的，大球與圓柱下底面相切.為增加觀賞效果，設計師想在圓柱與球的空隙處放入若干個大小相等的實心小球，且小球恰好與圓柱底面、圓柱側面及大球都相切，則該工藝品內最多可放入個小球（取，）.四、解答題(本大題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)15.(13分)（2223高一下·全國·課后作業(yè)）如圖，已知扇環(huán)的內弧長為，外弧長為，扇環(huán)的寬為3，將該扇環(huán)卷成圓臺，求該圓臺的高.

16.(15分)（2023高二上·上?！ｎ}練習）（1）畫出如圖所示的幾何體的平面展開圖（畫出其中一種即可）；

（2）如圖，在長方體中，，，，一只螞蟻從點出發(fā)沿表面爬行到點，求螞蟻爬行的最短路線長.

17.(15分)（2223高一·全國·隨堂練習）過年了，佳怡去探望奶奶，到商店買了一盒點心，售貨員為她做了一個如圖①的捆扎，并在角上配了一個花結，使得點心匣很漂亮，佳怡非常高興．售貨員說，這種捆扎方式不僅顯得漂亮，而且比一般的十字捆扎方式（如圖②）用的包裝繩短．你同意這種說法嗎?請說明理由．

18.(17分)（2223高一·全國·課后作業(yè)）如圖，已知點，，,用斜二測畫法作出該水平放置的四邊形的直觀圖，并求出面積.

19.(17分)（2024高一下·全國·專題練習）（1）已知的直觀圖是邊長為a的正三角形.求原三角形的面積；（2）如圖，是水平放置的斜二測畫法的直觀圖，能否判斷的形狀；（3）若（2）中的邊A′C′＝6，B′C′＝4，則AB邊的實際長度是多少？參考答案：1．A【分析】根據(jù)斜二測畫法的性質可得原圖形是一個底邊長為，高為的直角三角形，即可由面積公式求解.【詳解】因為在直觀圖中，，則，所以，所以原圖形是一個底邊長為，高為的直角三角形，故原圖形的面積為．故選：A．2．D【分析】根據(jù)幾何體的定義和性質，即可判斷選項.【詳解】A.圓柱的母線長與圓柱的底面圓半徑可能相等，故A錯誤；B.直四棱柱是底面是四邊形，側棱和底面垂直的棱柱，不一定是長方體，故B錯誤；C.將一個等腰梯形繞著它較長的底邊所在的直線旋轉一周，所得的幾何體是一個組合體，上下是圓錐，中間是圓柱，故C錯誤；D.正棱錐的側面是全等的等腰三角形，故D正確.故選：D3．C【分析】根據(jù)斜二測畫法，將直觀圖還原為原圖，結合三角形的面積公式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，將直觀圖還原為原圖，如圖所示，可得為直角三角形，其中，所以的面積為．故選：C.4．A【分析】根據(jù)圓臺的性質可知圓臺的高位4cm，球的最高點到圓臺上底面的距離為4cm，設球的半徑為cm，結合球的性質分析求解.【詳解】由題意可知：圓臺的高位cm，球的最高點到圓臺上底面的距離為cm，設球的半徑為cm，則，解得cm.故選：A.5．A【分析】首先求出底面圓的半徑，與上底面的半徑，將圓臺的側面沿著母線剪開，展成平面圖形，延長、交于點，連接，設，利用弧長公式及求出與，再在中利用余弦定理求出即可.【詳解】因為圓的周長為，則底面圓的半徑，又，所以上底面半徑為，將圓臺的側面沿著母線剪開，展成平面圖形，延長、交于點，連接，如圖，顯然弧的長為，弧的長為，設，則，，則，又，即，所以，則，，在中由余弦定理，所以螞蟻爬行的最短路程為.故選：A6．A【分析】根據(jù)直觀圖與原圖的關系分析求解即可；【詳解】由圖可知，所以四邊形的面積為；根據(jù)軸不變，軸減半的原則，的坐標為：

四邊形周長為所以四邊形周長與面積的數(shù)值之比為,故選：A.7．D【分析】利用圓錐的側面展開圖，利用兩點間的距離，結合圖象，求最小值．【詳解】依題意，半徑為，山高為，則母線，底面圓周長，則圓錐側面展開圖扇形的圓心角，如圖，是圓錐側面展開圖，顯然，由點向引垂線，垂足為點，此時為點和線段上的點連線的最小值，即點為公路的最高點，段為上坡路段，段為下坡路段，由直角三角形射影定理知，即，解得，所以公路上坡路段長為．故選：D8．A【分析】過點作交軸于點，利用正弦定理求得，再由斜二測畫法規(guī)則即可得到結果.【詳解】過點作交軸于點，如圖所示，在中，，由正弦定理可得，，所以，由斜二測畫法可知，在原平面圖形中，點B到x軸的距離是.故選：A.9．BCD【分析】根據(jù)題意，由棱臺、棱錐、棱柱的定義，依次分析選項，即可得到答案.【詳解】由棱臺是用平行于底面的平面截棱錐而得，知A正確，B，C不正確；棱柱的側棱都相等且互相平行，且側面是平行四邊形，但側面并不一定全等，D不正確.故選：BCD10．AC【分析】根據(jù)斜二測畫法的概念，空間幾何體的概念判斷各選項．【詳解】如圖，，由斜二測畫法，直觀圖面積為，任何平面多邊形都可能切割成圖中類似的直角三角形，通過這些直角三角形面積的和得出平面圖形的面積，即這個規(guī)律對平面上任何圖形都適用．所以時，，故A正確；底面是正多邊形的棱錐，頂點在底面上的射影不一定是底面中心，因此它不一定是正棱錐，故B錯誤；正四棱柱的側面都是長方形，底面是正方形，因此它是長方體，故C正確；直角三角形以其直角邊所在直線為軸旋轉一周形成的幾何體是圓錐，若以斜邊所在直線為軸旋轉一周形成的幾何體是兩個共底的圓錐組合而成，故D錯誤．故選：AC．11．BC【分析】對于A，由圖可知勒洛三角形的面積為個扇形面積減去個正三角形面積，對于B，根據(jù)扇形的面積公式計算判斷，對于C，勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的弧面相切，由于正四面體的棱長為，其可以在棱長為的正方體中截出，從而可求得結果，對于D，由對稱性可知：勒洛四面體表面上交線所在圓的圓心為的中點，然后利用余弦定理求解.【詳解】A選項：由題意可知：，以為圓心的扇形面積是，的面積是，則勒洛三角形的面積為個扇形面積減去個正三角形面積，即，所以A錯誤；B選項：設圓半徑為，如圖，

易得的面積為，陰影部分面積為，B正確；C選項：根據(jù)題意，勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的弧面相切，設點為該球與勒洛四面體的一個切點，為該球球心，

所以，由四面體的性質可知該球球心為正四面體的中心，半徑為，連接，則，，三點共線，此時，為正四面體的外接球的半徑，由于正四面體的棱長為，其可以在棱長為的正方體中截出，所以正四面體的外接球的半徑為棱長的正方體的外接球半徑，即正方體體對角線的一半，所以，則勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑；C正確；D選項，由對稱性可知：勒洛四面體表面上交線所在圓的圓心為的中點，故，又，由余弦定理得：，故，且半徑為，故交線的長度大于，D錯誤；故選：BC12．【分析】將側面沿著旋轉至與平面在同一平面上，則的最小值為，解三角形求出即可.【詳解】將側面沿著旋轉至與平面在同一平面上，連接，如圖所示：由長方體結構特征，易得，由，，所以，由，故答案為：.13．【分析】根據(jù)斜二測畫法，，表示其面積，求出答案.【詳解】設的邊上的高為，由斜二測畫法原理可得，所以，又，所以.故答案為：.14．15【分析】過球心作出圓柱軸截面圖形，由相切可得，再由實心小球的球心在以E為圓心，EF為半徑的圓上，利用解不等式即可.【詳解】過大球球心與圓柱底面圓心的平面截該工藝品所得的平面圖如圖，其中G，F(xiàn)分別是大球與實心小球的球心.設實心小球的半徑為r，由題意，得，整理得.設該工藝品內最多可放入個小球，因為這些實心小球的球心在以E為圓心，EF為半徑的圓上，如圖，由為等腰三角形得，且，得.又，故該工藝品內最多可放入15個小球.故答案為：1515．【分析】根據(jù)圓臺的結構特征結合側面展開圖運算求解.【詳解】根據(jù)題意可知，圓臺的母線長為3，設圓臺的上、下底面圓的半徑分別為r，R，則，，所以，，設圓臺的高為h，作出圓臺的軸截面，如圖所示：

則梯形的上底為2，下底為4，腰為3，高為h，所以，故該圓臺的高為.16．（1）答案見解析（2）【分析】（1）依題意畫出即可；（2）借助勾股定理，分別計算以為軸展開、以為軸展開、以為軸展開所得矩形的對角線的長度，取其中最小即可.【詳解】（1）平面展開圖如圖所示：

（2）沿長方體的一條棱剪開，有三種剪法：①如圖（1），以為軸展開，；②如圖（2），以為軸展開，；③如圖（3），以為軸展開，；

綜合以上，螞蟻爬行的最短路線長：.17．見解析【分析】計算出圖①中的捆扎方式對應的包裝繩與長方體的長寬高的不等式關系后故可判斷售貨員的說法是否正確.【詳解】

設長方體中，，則圖②中的捆扎方式對應的包裝繩的長度為.如圖，在平面中，過作，垂足為，在平面中，過作，垂足為，由題設中圖①中的捆扎方法有，，，故，故，同理，，而，所以，所以，故圖①的捆扎用的包裝繩短，故同意售貨員這種說法.18．圖見解析，【分析】首先根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，畫出四邊形的直觀圖，再結合面積公式，即可計算.【詳解】由斜二測畫法可知，在直觀圖中，，，，，，，，，，所以.

19．（1）（2）能（3）10【分析】首先分析題意，利用面積公式求出原圖形面積，再用斜二測畫法進行求解.【詳解】（1）∵直觀圖的面積S直＝S原，S直＝a2，∴S原＝a2，即原三角形ABC的面積為a2.（2）由斜二測畫法規(guī)則知，故為直角三角形.（3）由已知得在直角中，，故.培優(yōu)訓練培優(yōu)訓練一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．（2324高一下·福建·期中）如圖所示，是一個正方體的表面展開圖，則圖中“九”在正方體中的對面是（

）A．縣 B．市 C．聯(lián) D．考2．（2324高二上·遼寧·階段練習）如圖，某圓柱的軸截面ABCD是邊長為2的正方形，P，Q分別為線段BC，AC上的兩個動點，E為上一點，且，則的最小值為（

）

A．3 B． C． D．3．（2223高一下·河南信陽·期中）若水平放置的四邊形AOBC按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，四邊形為等腰梯形，，則原四邊形AOBC的面積為（

）

A． B． C． D．4．（2324高一下·河北邢臺·期中）如圖，是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，若，且，則原圖形中邊上的高為（

）A． B． C． D．5．（2024·四川·模擬預測）設球的直徑為，球面上三個點，，確定的圓的圓心為，，，則面積的最大值為（

）A．2 B．4 C．6 D．86．（2324高一下·云南昆明·階段練習）如圖，的斜二測畫法的直觀圖是腰長為1的等腰直角三角形，軸經(jīng)過的中點，則（

）A． B．2 C． D．7．（2324高三上·北京西城·期末）如圖，水平地面上有一正六邊形地塊，設計師規(guī)劃在正六邊形的頂點處矗立六根與地面垂直的柱子，用以固定一塊平板式太陽能電池板.若其中三根柱子，，的高度依次為，則另外三根柱子的高度之和為（

）A．47m B．48m C．49m D．50m8．（2223高二上·上海普陀·期末）四面體的所有棱長都為1，棱平面，則四面體上的所有點在平面內的射影構成的圖形面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)9．（2324高一下·重慶渝中·期中）滿足下列條件的四面體存在的是（

）A．1條棱長為，其余5條棱長均為1 B．1條棱長為1，其余5條棱長均為C．2條棱長為，其余4條棱長均為1 D．2條棱長為1，其余4條棱長均為10．（2324高一下·浙江麗水·期中）已知正方體的棱長為2，點P是的中點，點M是正方體內（含表面）的動點，且滿足，下列選項正確的是（

）A．動點M在側面內軌跡的長度是B．三角形在正方體內運動形成幾何體的體積是2C．直線與所成的角為，則的最小值是D．存在某個位置M，使得直線與平面所成的角為11．（2324高一下·浙江·期中）半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美．如圖在一個棱長為4的正方體中，，，……，，過三點可做一截面，類似地，可做8個形狀完全相同的截面．關于截面之間的位于正方體正中間的這個幾何體，下列說法正確的是（

）A．當此半正多面體是由正八邊形與正三角形圍成時，邊長為2B．當此半正多面體是由正方形與正三角形圍成時，表面積是C．當此幾何體為半正多面體時，或D．當此幾何體是半正多面體時，可能由正方形與正六邊形圍成三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上)12．（2324高一下·浙江金華·期中）如圖所示，直觀圖四邊形是一個底角為45°，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是.13．（2024·浙江麗水·二模）已知正四面體的棱長為1，若棱長為的正方體能整體放入正四面體中，則實數(shù)的最大值為.14．（2324高三下·山東菏澤·階段練習）如圖，球內切于圓柱，圓柱的高為，為底面圓的一條直徑，為圓上任意一點，則平面截球所得截面面積最小值為若為球面和圓柱側面交線上的一點，則周長的取值范圍為．

四、解答題(本大題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)15.(13分)（2324高二上·上海寶山·階段練習）畫出圖中水平放置的四邊形的直觀圖，并求出直觀圖中三角形的面積.

16.(15分)（2223高一·全國·課后作業(yè)）如圖，繞BC邊所在的直線旋轉一周，由此形成的空間圖形是由哪些簡單的空間圖形構成的？畫出這個空間圖形的直觀圖.若繞AC邊所在的直線旋轉一周呢？17.(15分)（2024高三·全國·專題練習）正三棱臺中，下底面的邊長為a，側棱與底面成角60°，過AB作截面垂直于，求截面面積.18.(17分)（2122高二上·上海楊浦·期中）設四面體中，有條棱長為，其余條棱長為.(1)時，求的取值范圍；(2)時，求的取值范圍；(3)時，求的取值范圍.19.(17分)（2022高一·浙江溫州·競賽）近些年來，三維掃描技術得到空前發(fā)展，從而催生了數(shù)字幾何這一新興學科.數(shù)字幾何是傳統(tǒng)幾何和計算機科學相結合的產(chǎn)物.數(shù)字幾何中的一個重要概念是曲率，用曲率來刻畫幾何體的彎曲程度.規(guī)定：多面體在頂點處的曲率等于與多面體在該點的所有面角之和的差（多面體的面角是指多面體的面上的多邊形的內角的大小，用弧度制表示），多面體在面上非頂點處的曲率均為零.由此可知，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.例如：正方體在每個頂點有個面角，每個面角是，所以正方體在各頂點的曲率為，故其總曲率為.(1)求四棱錐的總曲率；(2)表面經(jīng)過連續(xù)變形可以變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w稱為簡單多面體.關于簡單多面體有著名歐拉定理：設簡單多面體的頂點數(shù)為，棱數(shù)為，面數(shù)為，則有：.利用此定理試證明：簡單多面體的總曲率是常數(shù).參考答案：1．B【分析】把正方體還原求解.【詳解】解：把正方體還原如下圖：則上面是九，下面是市，左面是縣，右面是聯(lián)，前面是考，后面是區(qū)，故選：B2．C【分析】根據(jù)圓柱的結構特征采用將沿直線BC旋轉到某個位置的方法，將線段和轉化為一條線段的長度問題，結合求解線段長度即得答案.【詳解】如圖，連接EC，將沿直線BC旋轉到的位置，

且在AB的延長線上．則，由于圓柱的軸截面ABCD是邊長為2的正方形，故，，則，當三點共線時取等號，當時，最小，最小值為，即的最小值為，故選：C3．D【分析】根據(jù)圖像，由“斜二測畫法”可得，四邊形水平放置的直觀圖為直角梯形，進而利用相關的面積公式求解即可.【詳解】在直觀圖中，四邊形為等腰梯形，，而，則，由斜二測畫法得原四邊形AOBC是直角梯形，，，如圖.

所以四邊形AOBC的面積為.故選：D.4．D【分析】根據(jù)題意，由三角形面積公式求出的長，結合斜二測畫法可得原圖中的長.【詳解】畫出平面直角坐標系，在軸上取，即，在圖①中，過作軸，交軸于，在軸上取，過點作軸，并使，連接，則即為原來的圖形，如圖②所示：原圖形中，于點，則BD為原圖形中邊上的高，且，在直觀圖③中作于點，則的面積，在直角三角形中，，所以，故原圖形中AC邊上的高為．故選：D．5．B【分析】畫出圖形，即可得到，由正弦定理求出，再由勾股定理得到及，最后由面積公式及基本不等式計算可得.【詳解】如圖所示：為直角三角形，，則，又，所以，在中，由正弦定理可得，又，所以，所以，所以是的中點，由，又，，所以，又，所以，當且僅當時取等號，即面積的最大值為.故選：B6．C【分析】根據(jù)題意，過點，分別作軸和軸的平行線，即可得到的坐標，再由兩點間距離公式，即可得到結果.【詳解】根據(jù)題意，如圖，在直觀圖中，過點，分別作軸和軸的平行線，與軸和軸分別交于點，，由于的直觀圖是腰長為1的等腰直角三角形，則，，則的坐標為，則，，故原圖中，的坐標為，A的坐標為，故，故選：C.7．A【分析】根據(jù)梯形中位線求得，進而求得正確答案.【詳解】依題意可知六點共面，設正六邊形的中心為，連接，平面且平面，依題意可知相交于，連接交于，連接交于，根據(jù)正六邊形的性質可知四邊形是菱形，所以相互平分，則相互平分，根據(jù)梯形中位線有，即，在梯形中，是的中點，則是的中點，所以，同理可得，所以.故選：A【點睛】關鍵點睛：研究空間圖形的結構，關鍵點在于利用空間平行、垂直、中點等知識.在本題中，柱子與地面垂直，柱子之間相互平行.柱子之間高度不相同，則構成了梯形，則可考慮利用中位線來對問題進行求解.8．D【分析】設A、B、C、D在平面內的射影依次為，分別討論在兩側、其中一點在上、在同側時的投影圖形，其中在同側時，時面積最小、平面時面積最大，結合正四面體的幾何性質及投影性質即可求面積.【詳解】四面體的所有棱長都為1，則為正四面體，由正四面體的性質可知,正四面體的側面上的高為，正四面體的高.∵棱平面，設A、B、C、D在平面內的射影依次為，則，i.當在兩側時，構成的圖形即為四邊形，此時，，即，則所求面積即；ii.當在同側或其中一點在上時，構成的圖形即為，在的高上（或在的高上，由對稱性，只研究其中一種即可），其中①當平面時，；②當平面時，；③當時，為CD到面的距離，即.故，則所求面積即.綜上，四面體上的所有點在平面內的射影構成的圖形面積的取值范圍是.故選：D9．BCD【分析】對于選項A和B，作圖，設棱，取其對棱的中點，在中利用三邊關系列式子，求出的范圍，從而判斷四面體是否存在.對于選項C和D，分兩種情況討論，①當長為的兩條棱為相對棱時，取的中點，在中利用三邊關系列式子，求出的范圍；②當長為的兩條棱有公共頂點時，取的中點，在中利用三邊關系列式子，求出的范圍；從而判斷四面體是否存在.【詳解】選項A：設四面體有1條棱長為，5條棱長為1，如圖1，四面體滿足，，取的中點，連接，，則，由三角形的三邊關系知，，所以，即，故A錯誤；選項B：與選項A同理可得，當四面體有1條棱長為，5條棱長為時，因為，所以B正確；選項C：設四面體有2條棱長為，4條棱長為1，分兩種情況：①當長為的兩條棱為相對棱時，如圖2，不妨設為，，取的中點，連接，，則，由三角形的三邊關系知，，所以，解得，不符合題意；②當長為的兩條棱有公共頂點時，如圖3，不妨設，取的中點，連接，，則，，由三角形的三邊關系知，，所以，解得；綜上可知，.因為，所以C正確；選項D：與選項C同理可得，當四面體有2條棱長為，4條棱長為時，，因為，所以D正確.故選：BCD.10．ABC【分析】根據(jù)空間中的線面垂直關系分析可得動點的軌跡為截面，對于A，動點在側面的軌跡為線段；對于B，三角形在正方體內運動形成幾何體為四棱錐，計算四棱錐即可；對于C，直線與直線所成角即為直線與直線所成角，當時，所成角正切值最?。粚τ贒，當與或重合時，直線與平面所成角最大，并與比較即可.【詳解】如圖所示，取中點，連接，取中點，連接.在立方體中，因為，為中點，所以，所以，，，四點共面.又因為平面，且平面，所以，又因為，且平面,，所以平面，又因為平面,所以.因為，且，且均為銳角，所以，又因為平面，且平面，所以，又因為平面，且，所以平面,又因為平面，所以.又因為平面，且，所以平面.又因為，則平面，所以的軌跡為截面.對于A，因為平面，且平面平面，所以動點在平面內的軌跡長度為的長，且，故A正確；對于B，三角形在正方體內運動形成幾何體為四棱錐.且.又因為，所以，，所以四棱錐的體積為，故B正確；對于C，因為，所以直線與直線所成角為，在直角三角形中，當時，，所以，故C正確；對于D，易知與或重合時，直線與平面所成角最大，且為或，因為，所以，所以不存在某個位置，使得直線與平面所成角為，故D錯誤.故選：ABC.【點睛】思路點睛：本題可從以下方面解題.（1）計算出動點的運動軌跡為截面；（2）四棱錐的體積計算，注意拆分；（3）線線角、線面角要結合勾股定理.11．BD【分析】根據(jù)不同的半正多面體，取不同的數(shù)值，畫出幾何圖形，并根據(jù)半正多面體的概念進行計算求解即可.【詳解】由題意得，，，對于A，當此半正多面體是由正八邊形與正三角形圍成時，，，，故A錯誤；對于B，當此半正多面體是由正方形與正三角形圍成時，，所以，表面積為，正確；對于C，D，當時，如下圖所示，此半正多面體是由正方形與正六邊形圍成，此時幾何體也是半正多面體，故C錯誤，D正確.故選：BD.【點睛】關鍵點點睛：本題考查半正多面體的幾何性質.本題關鍵點是根據(jù)取不同的數(shù)值，畫出對應的幾何圖形，并根據(jù)半正多面體的概念進行計算.12．/【分析】由斜二側畫法可知，原圖為直角梯形，上底為1，高為2，下底為，利用梯形面積公式求解即可．【詳解】根據(jù)斜二側畫法可知，原圖形為直角梯形，如圖，其中上底，高，下底為，．故答案為：．13．【分析】根據(jù)正四面體、正方體的結構特征，可得棱長最大的正方體一底面在正四面體的底面正三角形內，正方體中與這個底面相對的正方形為該正方形所在平面截正四面體所得正三角形的內接正方形，再利用正四面體的結構特征計算即得.【詳解】依題意，由正四面體及正方體的幾何特征知，要使放入的正方體最大，則正方體的一個底面在正四面體的一個底面內，令是正的中心，則底面，而，則，不妨令放入的正方體的底面在正四面體在內，則正方體中與這個底面相對的底面正方形所在平面截正四面體所得截面是正三角形，且這個正方形是正的內接正方形，于是，顯然三棱錐是正四面體