考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷3（共203題）

考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷3（共9套）（共203題）考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)函數(shù)f(x)=則下列結(jié)論正確的是()。A、f(x)有間斷點(diǎn)B、f(x)在(-∞，+∞)上連接，但在(-∞，+∞)內(nèi)有不可導(dǎo)的點(diǎn)C、f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)處處可導(dǎo)。但在f’(x)在(-∞，+∞)上不連續(xù)D、f’(x)在(-∞，+∞)上連續(xù)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：本題主要考查分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的連續(xù)性，可導(dǎo)性及導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性問題。f(x)的定義域是(-∞，+∞)，它被分成兩個(gè)子區(qū)間(-∞，0]和(0，+∞)，在(-∞，0]內(nèi)f(x)=x2，因而它在(-∞，0]上連續(xù)，在(-∞，0)內(nèi)導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，且f’-(0)=0；在(0，+∞)內(nèi)f(x)=，因而它在(0，+∞)內(nèi)連續(xù)且導(dǎo)函數(shù)連續(xù)。注意，因而f(x)在(-∞，+∞)連續(xù)，可見A不正確；又因，即f(x)在x=0右導(dǎo)數(shù)f’+(0)存在且等于零，這表明f’(0)存在且等于零，于是，f’(x)在(-∞，+∞)上處處存在，可見B不正確；注意，當(dāng)x＞0時(shí)，f’(x)=，于是不存在，這表明f’(x)在x=0處間斷，可見C正確，D不正確，故選C。2、設(shè)f’(x0)=0，f”(x0)＞0，則必定存在一個(gè)正數(shù)δ，使得()。A、曲線y=f(x)在(x0-δ，x0+δ)是凹的B、曲線y=f(x)在(x0-δ，x0+δ)是凸的C、曲線y=f(x)在(x0-δ，x0)單調(diào)下降，而在(x0，x0+δ)單調(diào)上升D、曲線y=f(x)在(x0-δ，x0)單調(diào)上升，而在(x0，x0+δ)單調(diào)下降標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：f’’(x0)=，由極限的不等式性質(zhì)→δ＞0，當(dāng)xε(x0-δ，x0+δ)且x≠x0時(shí)，＞0→當(dāng)xε(x0-δ，x0)時(shí)，f’(x)＜0；當(dāng)xε(x0，x0+δ)時(shí)，f’(x)＞0，又f(x)在x=x0連續(xù)→f(x)在(x0-δ，x0)單調(diào)下降，在(x0，x0+δ)單調(diào)上升，故應(yīng)選C。3、設(shè)f(x)=(1+x2)x2-1，g(x)=，則x→0時(shí)f(x)是g(x)的()。A、高階無窮小B、低階無窮小C、同階而非等階無窮小D、等階無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：這是考查如下的型極限，由洛必達(dá)法則與等階無窮小替換得其中用了下面的等階無窮小替換：x→0時(shí)(1+x2)x2-1～I(xiàn)n[(1+x2)x2-1+1]=x2In(1+x2)～x4，。故應(yīng)選B。4、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，且f(x)+f(1-x)≠0，則I=()。A、0B、C、D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：該積分不可能直接計(jì)算，需作變量替換得出一個(gè)類似的積分，二者合并后消去f(x)令1-x=t，x=1-t，則所以I=，故選B。5、a=-5是齊次方程組(Ⅰ)有非零解的()。A、充分必要條件B、充分條件，但不是必要條件C、必要條件，但不是充分條件D、既不是必要條件又不是充分條件標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)克拉姆法則，當(dāng)齊次方程組的系數(shù)矩陣式方陣時(shí)，它有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的行列式值為0。于是a=-5是(I)有非零解的充分條件，但不是必要條件。6、n維向量α=(1/2,0,…0,1/2)T，A=E-4ααT，β=(1,1,…1)T，則Aβ的長(zhǎng)度為()。A、B、C、nD、n2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：Aβ=(E-4ααT)β=β-4α(αTβ)=β-4α=(-1，1，…1，-1)T，‖Aβ‖=。7、在區(qū)間(-1，1)上任意投一質(zhì)點(diǎn)，以X表示該質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)，則該質(zhì)點(diǎn)落在(-1，1)中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，則()。A、X與｜X｜相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)｜P｜=1B、X與｜X｜相關(guān)，但｜P｜＜1C、X與｜X｜不相關(guān)，且也不獨(dú)立D、X與｜X｜相互獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：依題設(shè)，X在[-1，1]上服從均勻分布，其概率密度為，由于，故cov(X，｜X｜)=0，從而p=0，X與｜X｜不相關(guān)，于是可排除A和B，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a(0＜a＜1)，有，又，從而，所以X與｜X｜不獨(dú)立，故應(yīng)選C。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)8、若f’(cosx+2)=tan2x+3sin2x，且f(0)=8，則f(x)=_________________________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令t=cosx+2→cosx=t-2，cos2x=(t-2)2，sin2x=1-(t-2)2，tan2x=(t-2)-2-1?！鷉’(t)=(t-2)-2-1+3-3(t-2)2=2+(t-2)-2-3(t-2)2→f(t)=2t-(t-2)-1-(t-2)3+C→f(x)=2x--(x-2)3+C。由，因此。9、已知f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，且，則c=_________________________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：若c=0，=1，若c≠0，則由拉格朗日中值定有f(x)-f(x-1)=f’(ξ)﹒1，其中ξ介于x-1與x之間，當(dāng)x→∞時(shí)，也有ξ→∞，故由已知條件。又根據(jù)題設(shè)條件e3c=e，可知。10、已知當(dāng)x＞0與y＞0時(shí)，則函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(x，y)=(1，1)處的全微分=_________________________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由于，令，則f(u，v)=。從而當(dāng)x＞0，y＞0時(shí)f(x，y)=，求全微分可得，令x=1，y=1就有。11、已知級(jí)數(shù)與反常積分均收斂，則常數(shù)p的取值范圍是_________________________。標(biāo)準(zhǔn)答案：0＜p＜2知識(shí)點(diǎn)解析：由于是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，只要p＞0就符合萊布尼茲判別法的要求，因而收斂。而當(dāng)p≤0時(shí)，該級(jí)數(shù)的通項(xiàng)不趨于零，所以一定發(fā)散。又對(duì)于來說，直接計(jì)算即可知：p＜2時(shí)收斂，p≥2時(shí)發(fā)散。兩者結(jié)合即得上述答案。12、設(shè)實(shí)對(duì)稱要使得A的正，負(fù)慣性指數(shù)分別為2，1，則a滿足的條件是_________________________。標(biāo)準(zhǔn)答案：a＜0或＞4知識(shí)點(diǎn)解析：A的正，負(fù)慣性指數(shù)分別為2和1的充分必要條件是︳A︳＜0(A的對(duì)角線元素有正數(shù)，不可能特征值都負(fù))，求出︳A︳=-a2+4a，得答案。13、設(shè)隨機(jī)變量(X，Y)服從二維正態(tài)分布，其密度函數(shù)為f(x，y)=，則常數(shù)a=_________________________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：方法一：利用二維正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)形式對(duì)指數(shù)式配方，且該正態(tài)分布的相關(guān)系數(shù)p=0，即X，Y獨(dú)立。由于2x2+y2+8x-4y+14=2(x+2)2+(y-2)2+2，從而f(x，y)=。由二維正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)式可知，。故由f(x，y)=。方法二：利用密度函數(shù)的積分等于1來定出常數(shù)是一種常用的方法。根據(jù)泊松積分可得于是有。三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)14、求不定積分。標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一：作變量替換x=tant()，則有。再分部積分得，其中。于是。根據(jù)三角形示意圖，易變量還原得。方法二：為了作分部積分，先求。同樣由三角形示意圖，變量還原得。于是由分部積分得。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)二元可微函數(shù)F(x，y)在直角坐標(biāo)系中可寫成F(x，y)=f(x)+g(y)，其中f(x)，g(y)均為可微函數(shù)，而在極坐標(biāo)系中可寫成F(x，y)=，求二元函數(shù)F(x，y)。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)可知，在極坐標(biāo)系中F(x，y)與θ無關(guān)，于是再由F(x，y)=f(x)+g(y)得。代入①式得-yf’(x)+xg’(y)=0，即=λ(常數(shù))。由f’(x)=λx，g’(y)=λy分別得。因此F(x，y)=f(x)+g(y)=C(x2+y2)+C0，其中C與C0為常數(shù)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)函數(shù)f(x，y)=計(jì)算二重積分，其中D={(x，y)︱x2+(y-1)2≤1}。標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖所示，設(shè)在直線y=1下方的部分記為D1，在y=1上方的部分記為D2，且D2在y軸右側(cè)的部分記為D’2，于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(x)是冪級(jí)數(shù)在(-1，1)內(nèi)的和函數(shù)，求f(x)和f(x)的極值。標(biāo)準(zhǔn)答案：先由逐項(xiàng)求導(dǎo)可得f’(x)的解析式，再由此解析式求f(x)的駐點(diǎn)與f(x)。由于f(x)=+1，xε(-1，1)。根據(jù)冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)，因此有f’(x)因此f(x)由f’(x)的表達(dá)式可知，f(x)在(-1，1)內(nèi)有唯一駐點(diǎn)x=0，且故f(x)在x=0點(diǎn)取得極大值f(0)=1。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、證明推廣的積分中值定理：設(shè)F(x)與G(x)都是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，且G(x)≥0，G(x)≠0，則至少存在一點(diǎn)ξε[a，b]使得標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)F(x)在[a，b]上的最大值與最小值分別是M與m，利用G(x)≥0且G(x)≠0即知當(dāng)xε[a，b]時(shí)，由定積分的性質(zhì)即知，由于G(x)≥0且G(x)≠0，故，從而有。再由F(x)是以m與M分別為其最小值與最大值的區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)即知存在ξε[a，b]使得，即。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)4階矩陣A=(α1，α2，α3，α4)，方程組Ax=β的通解為(1，2，2，1)T+c(1，-2，4，0)T，c為任意。記B=(α3，α2，α1，β-α4)，求方程組Bx=α1-α2的通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：首先AX=β的通解為(1，2，2，1)T+c(1，-2，4，0)T可得到下列訊息：①Ax=0的基礎(chǔ)解系包含1個(gè)解，即4-r(A)=1，得r(A)=3，即r(α1，α2，α3，α4)=3。②(1，2，2，1)T是Ax=β解，即α1+2α2+2α3+α4=β。③(1，-2，4，0)T是Ax=0的解，即α1-2α2+4α3=0。α1，α2，α3線性相關(guān)，r(α1，α2，α3)=2。顯然B(0，-1，1，0)T=α1-α2，即(0，-1，1，0)T是Bx=α1-α2的一個(gè)解。由②，B=(α3，α2，α1，β-α4)=(α3，α2，α1，α1+2α2+2α3)，于是r(B)=r(α3，α2，α1，α1+2α2+2α3)=r(α1，α2，α3)=2。則Bx=0的基礎(chǔ)解系包含解的個(gè)數(shù)為4-r(B)=2個(gè)，α1-2α2+4α3=0說明(4，-2，1，0)T是Bx=0的解；又從B=(α3，α2，α1，α1+2α2+2α3)容易得到B=(-2，-2，-1，1)T=0，說明(-2，-2，-1，1)T也是Bx=0的解，于是(4，-2，1，0)T和(-2，-2，-1，1)T構(gòu)成Bx=0的基礎(chǔ)解系。Bx=α1-α2的通解為：(0，-1，1，0)T+C1(4，-2，1，0)T+C2(-2，-2，-1，1)T，C1，C2任意。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)α1，α2，…，αs都是實(shí)的n維列向量，規(guī)定n階矩陣A=α1α1T+α2α2T+…+αsαsT。(Ⅰ)證明A是實(shí)對(duì)稱矩陣；(Ⅱ)證明A是負(fù)慣性指數(shù)為0；(Ⅲ)設(shè)r(α1，α2，…，αs)=k，求二次型XTAX的規(guī)范性。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)記C=(α1，α2，…，αs)，這是一個(gè)n×s實(shí)矩陣，則根據(jù)矩陣乘法的分塊法則，A=CCT，于是AT=(CCT)T=CCT=A。即A是對(duì)稱矩陣。(Ⅱ)A的負(fù)慣性指數(shù)為0也就是A的特征值都不是負(fù)數(shù)。設(shè)λ是A的一個(gè)特征值，η是屬于λ的一個(gè)特征向量，即Aη=λη,則ηTAη=ληTη，→ηTCCTη=ληTη，即(CTη，CTη)=λ(ηT，η)則λ=(CTη，CTη)/(ηT，η)≥0。(Ⅲ)A的正、負(fù)慣性指數(shù)之和等于A的秩，因?yàn)锳的負(fù)慣性指數(shù)為0，正慣性指數(shù)就為A的秩，由于C是實(shí)矩陣r(A)=r(C)=r(α1，α2，…，αs)=k，于是為A的正慣性指數(shù)為k，二次型XTAX的規(guī)范形為y21+y22+…+y2k。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)X，Y相互獨(dú)立且同服從[0，θ](θ＞0)上的均勻分布，求E[min(X，Y)]，E[max(X，Y)]。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于X，Y相互獨(dú)立，且都服從[0，θ]上的均勻分布，故可得(X，Y)的聯(lián)合密度故E[min(X，Y)]E[max(X，Y)]=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)直到試驗(yàn)取得首次成功為止，設(shè)每次試驗(yàn)的成功率都是p(0＜p＜1)，現(xiàn)進(jìn)行10批試驗(yàn)，其各批試驗(yàn)次數(shù)分別為5，4，8，3，4，7，3，1，2，3。求：(Ⅰ)試驗(yàn)成功率p的矩估計(jì)值；(Ⅱ)試驗(yàn)失敗率q的最大似然估計(jì)值。標(biāo)準(zhǔn)答案：依題意，試驗(yàn)總體X服從參數(shù)為p的幾何分布，即P{X=m}=pqm-1，其中m=1，2，…，q=1-p。根據(jù)數(shù)據(jù)就是從總體X中取出的樣本值，樣本容量n=10。其未知參數(shù)p的矩估計(jì)值與q的最大似然估計(jì)值待求。(Ⅰ)EX=。試驗(yàn)成功率p的矩估計(jì)量，相應(yīng)矩估計(jì)值為。(Ⅱ)最大似然函數(shù)L(x1，…，x10；p)，簡(jiǎn)記為L(zhǎng)，則，，解似然方程，可得。于是試驗(yàn)成功率p的最大似然估計(jì)值，根據(jù)最大似然估計(jì)的不變性，其試驗(yàn)失敗率q的最大似然估計(jì)值為。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、已知f(x)在x=0處二階可導(dǎo)，且f’(0)=f"(0)=2，則=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)反函數(shù)求導(dǎo)法則2、曲線y=的漸近線條數(shù)為()A、1。B、2。C、3。D、4。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?∞，所以x=0是一條垂直漸近線；因?yàn)?∞，所以不存在水平漸近線；則y=x+1是一條斜漸近線；所以y=－x－1是一條斜漸近線。綜上一共有三條漸近線，故選擇(C)。3、下列命題中正確的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：選項(xiàng)(D)，若絕對(duì)收斂，則收斂，因此可得=0，而un2是un的高階無窮小，根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法，低階收斂能推出高階收斂，因此收斂，故選擇(D)。4、設(shè)，其中D={(x，y)｜x2+y2＜1}，則()A、M＜N＜P。B、N＜M＜P。C、M=N＜P。D、M=P＜N。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：M=因?yàn)榉e分區(qū)域D關(guān)于x軸和y軸都對(duì)稱，x3、3xy2是關(guān)于x的奇函數(shù)，3x2y、y3是關(guān)于y的奇函數(shù)，所以根據(jù)對(duì)稱性可得M=0。因?yàn)榉e分區(qū)域D關(guān)于x軸和y軸都對(duì)稱，sinxcosy是關(guān)于x的奇函數(shù)，sinxcosy是關(guān)于y的奇函數(shù)，所以根據(jù)對(duì)稱性可得N=0。因?yàn)榉e分區(qū)域?yàn)镈={(x，y)｜x2+y2＜1}，則有e｜x+y｜－1＞0，即P＞0。故有M=N＜P，選擇(C)。5、設(shè)A為m×n矩陣，B為n×m矩陣，若矩陣AB可逆，則下列說法中正確的是()A、A的行向量組線性無關(guān)，B的行向量組也線性無關(guān)。B、A的行向量組線性無關(guān)，B的列向量組線性無關(guān)。C、A的列向量組線性無關(guān)，B的行向量組線性無關(guān)。D、A的列向量組線性無關(guān)，B的列向量組也線性無關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由于矩陣AB可逆，可知r(AB)=m，而r(A)、r(B)≥r(AB)，且有r(A)，r(B)≤m，可知r(A)=r(B)=m。因此，矩陣A行滿秩，矩陣B列滿秩，即A的行向量組線性無關(guān)，B的列向量組線性無關(guān)，故選(B)。6、設(shè)α1，α2，α3，α4，α5為4維列向量，下列說法中正確的是()A、若α1，α2，α3，α4線性相關(guān)，那么當(dāng)k1，k2，k3，k4不全為0時(shí)，k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0。B、若α1，α2，α3，α4線性相關(guān)，那么當(dāng)k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0時(shí)，k1，k2，k3，k4不全為0。C、若α5不能由α1，α2，α3，α4線性表出，則α1，α2，α3，α4線性相關(guān)。D、若α1，α2，α3，α4線性相關(guān)，則α5不能由α1，α2，α3，α4線性表出。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：(C)選項(xiàng)，反證法。假設(shè)α1，α2，α3，α4線性無關(guān)，因?yàn)棣?，α2，α3，α4，α5必線性相關(guān)(5個(gè)4維列向量必線性相關(guān))，則α5可由α1，α2，α3，α4線性表出，矛盾。從而α1，α2，α3，α4線性相關(guān)。7、設(shè)A，B為隨機(jī)事件，且0＜P(A)＜1，則下列說法正確的是()A、若P(A)=P(AB)，則AB。B、若P(A+B)=P(AB)，則A=B。C、若P(AB)=，則A，B為對(duì)立事件。D、若P(A｜B)=，則A，B相互獨(dú)立。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閮蓚€(gè)事件發(fā)生的概率相等并不意味著兩事件相等，所以(A)(B)(C)不一定成立，而從而可得P(AB)=P(A)P(B)，則A，B相互獨(dú)立。8、設(shè)總體X的概率密度為f(x)=，X1，X2，…，Xn是來自X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，統(tǒng)計(jì)量T=的期望為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由期望的定義和性質(zhì)可得，二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：通過拼湊將所給極限變形并由等價(jià)無窮小代換得10、差分方程yx+1－2yx=3x2的通解為________。標(biāo)準(zhǔn)答案：yx=A.2x－9－6x－3x2，A為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為yx*=A.2x(其中A為任意常數(shù))。非奇特解與右端為同名函數(shù)，因此設(shè)=B0+B1x+B2x2，代入給定方程，有B0+B1(x+1)+B2(x+1)2－2B0－2B1x－2B2x2=3x2，整理得(－B0+B1+B2)+(－B1+2B2)x－B2x2=3x2，比較同次冪的系數(shù)得－B0+B1+B2=0，－B1+2B2=0，－B2=3，故B0=－9，B1=－6，B2=－3。因此，通解為yx=yx*+=A.2x－9－6x－3x2，A為任意常數(shù)。11、設(shè)f(x，y，z)=exyz2是由x+y+z+xyz=0確定的隱函數(shù)，其中z=z(x，y)，則f’x(0，1，－1)=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：z是關(guān)于x，y的函數(shù)，因此f(x，y，z)=exyz2兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)可得，x+y+z+xyz=0兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)可得12、曲線θ=(1≤r≤3)的弧長(zhǎng)為________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2+知識(shí)點(diǎn)解析：曲線的參數(shù)方程為(1≤r≤3)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式，13、設(shè)A，B為三階相似矩陣，且｜2E+A｜=0，λ1=1，λ2=－1為B的兩個(gè)特征值，則行列式｜A+2AB｜=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：18知識(shí)點(diǎn)解析：由｜2E+A｜=(－1)3｜－2E－A｜=0，知｜－2E－A｜=0，λ=－2為A的一個(gè)特征值，由A～B，故A，B有相同特征值。因此B的三個(gè)特征值為λ1=－2，λ2=1，λ3=－1，且存在可逆矩陣P，使得P－1BP=。于是從而｜E+B｜=9，且｜A｜=λ1λ2λ3=2。故｜A+2AB｜=｜A(E+2B)｜=｜A｜.｜E+2B｜=2.9=18。14、相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1和X2均服從正態(tài)分布N(0，)，則D(｜X1－X2｜)=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：1－知識(shí)點(diǎn)解析：隨機(jī)變量X1和X2均服從正態(tài)分布N(0，)，記Z=X1－X2，則Z～N(0，1)，因此有概率密度φ(z)=。D(｜X1－X2)=D(｜Z｜)=E(｜Z｜2)－[E(｜Z｜)]2=E(Z2)－[E(｜Z｜)]2=D(Z)+[E(Z)]2－[E(｜Z｜)]2，其中D(Z)=1，E(Z)=0，三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：利用泰勒公式展開可得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)Q=Q(P)是單調(diào)減少的，收益函數(shù)R=PQ，當(dāng)價(jià)格為P0，對(duì)應(yīng)的需求量為Q0時(shí)，邊際收益R’(Q0)=2，R’(P0)=－150，需求對(duì)價(jià)格的彈性EP滿足｜EP｜=，求P0和Q0。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意，收益既可以看作是價(jià)格的函數(shù)，也可以看作是需求量的函數(shù)。由此，R’(P0)=Q0(1+EP)=－150，R’(Q0)=P0(1+)=2。又因?yàn)樾枨蠛瘮?shù)單調(diào)減少，可得＜0，所以EP＜0，EP=。由此解得P0=6，Q0=300。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、根據(jù)k的不同的取值情況，討論方程x3－3x+k=0實(shí)根的個(gè)數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=x3－3x+k，x∈R，令f’(x)=3x2－3=0，解得駐點(diǎn)x=－1，x=1，函數(shù)的單增區(qū)間為(－∞，－1)，(1，+∞)，單減區(qū)間為[－1，1]，因此該函數(shù)至多有三個(gè)根。因?yàn)楹瘮?shù)f(x)連續(xù)，根據(jù)零點(diǎn)定理，f(－∞)＜0，f(－1)=2+k，f(1)=k－2，f(+∞)＞0。k＜－2時(shí)，f(－1)＜0，f(1)＜0，函數(shù)在(1，+∞)上存在唯一一個(gè)根；－2＜k＜2時(shí)，f(－1)＞0，f(1)＜0，函數(shù)在每個(gè)單調(diào)區(qū)間有一根，共有三個(gè)根；k＞2時(shí)，f(－1)＞0，f(1)＞0，函數(shù)在(－∞，－1)存在唯一一個(gè)根；k=－2時(shí)，f(－1)=0，f(1)＜0，方程在x=－1處和(1，+∞)內(nèi)各有一個(gè)根，共兩個(gè)根；k=2時(shí)，f(－1)＞0，f(1)=0，方程在x=1處和(－∞，－1)內(nèi)各有一個(gè)根，共兩個(gè)根。綜上所述，k<－2或k＞2，方程有且僅有一個(gè)根；－2＜k＜2，方程有三個(gè)根；k=±2，方程有兩個(gè)根。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)上可導(dǎo)，且f(0)=f(1)，證明：存在滿足0＜ξ＜η＜1的ξ，η，使得f’(ξ)+f’(η)=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)上可導(dǎo)，在上分別使用拉格朗日中值定理，可知存在ξ∈，使得由f(0)=f(1)，可知(1)+(2)得，f’(ξ)+f’(η)=0。故存在0＜ξ＜η＜1，使得f(ξ)+f(η)=0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、計(jì)算二重積分，其中D為平面區(qū)域{(x，y)｜x2+y2≤2x，x≥1}。標(biāo)準(zhǔn)答案：二重積分先畫出積分區(qū)域，如圖2所示，為右側(cè)的陰影部分，由于積分區(qū)域關(guān)于x軸對(duì)稱，根據(jù)被積函數(shù)中y的奇偶性，被積函數(shù)是關(guān)于y的奇函數(shù)，所以有選用極坐標(biāo)求二重積分知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、討論線性方程組的解的情況，在線性方程組有無窮多解時(shí)，求其通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：系數(shù)矩陣為A=，增廣矩陣為從而｜A｜=(a+3)(a－1)3。當(dāng)a≠－3且a≠1時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)a=1時(shí)，r(A)=r(A，b)=1，方程組有無窮多解，對(duì)增廣矩陣作初等變換從而所對(duì)應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系為ξ1=(－1，1，0，0)T，ξ2=(－1，0，1，0)T，ξ3=(－1，0，0，1)T，特解為η*=(1，0，0，0)T，則方程通解為x=η*+k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3，k1，k2，k3為任意常數(shù)。當(dāng)a=－3時(shí)，r(A)=r(A，b)=3，方程組有無窮多解．對(duì)增廣矩陣作初等變換從而所對(duì)應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系為ξ=(1，1，1，1)T，特解為η*=(－2，－1，－4，0)T，則方程通解為x=η*+kξ，k為任意常數(shù)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)A是各行元素和均為零的三階矩陣，α，β是線性無關(guān)的三維列向量，并滿足Aα=3β，Aβ=3α。(Ⅰ)證明矩陣A能相似于對(duì)角矩陣；(Ⅱ)若α=(0，－1，1)T，β=(1，0，－1)T，求矩陣A。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)因?yàn)锳的各行元素和為零，從而λ=0為A的一個(gè)特征值，并且γ=(1，1，1)T為A屬于λ=0的特征向量。另一方面，又因?yàn)锳α=3β，Aβ=3α，所以A(α+β)=3(α+β)，A(α－β)=－3(α－β)，λ=3和λ=－3為A的兩個(gè)特征值，并且α+β和α－β為A屬于λ=3，－3的特征向量，可見A有三個(gè)不同的特征值，所以A能相似于對(duì)角矩陣。(Ⅱ)A的三個(gè)特征向量為γ=(1，1，1)T，α+β=(1，－1，0)T，α－β=(－1，－1，2)T，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、已知隨機(jī)變量X的概率密度為fX(x)=當(dāng)X=x(x＞0)時(shí)，Y服從(0，x)上的均勻分布。(Ⅰ)求(X，Y)的聯(lián)合概率密度；(Ⅱ)求關(guān)于Y的邊緣概率密度f(wàn)Y(y)及條件概率密度f(wàn)X｜Y(x｜y)；(Ⅲ)判斷隨機(jī)變量X，Y是否獨(dú)立，并說明理由。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由題知當(dāng)x＞0時(shí)，fY｜X(y｜x)=當(dāng)x≤0時(shí)，f(x，y)=0。(Ⅲ)因?yàn)閒(x，y)≠fX(x).fY(y)，所以X，Y不獨(dú)立。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)X1，X2，…，Xn是來自正態(tài)總體N(μ，σ2)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，樣本矩陣和樣本方差分別為和S2。記T=+kS2，已知統(tǒng)計(jì)量T是μ2的無偏估計(jì)，求k并在μ=0時(shí)計(jì)算D(T)。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意E(T)=μ2，而知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、下列無窮小中階數(shù)最高的是()．A、ex－etanxB、C、ln(1+x)－sinxD、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：ex－etanx=etanx(ex-tanx－1)～x－tanx，2、下列命題正確的是()．A、若f(x)在x0處可導(dǎo)，則一定存在δ>0，在｜x－x0｜＜δ內(nèi)f(x)可導(dǎo)B、若f(x)在x0處連續(xù)，則一定存在δ＞0，在｜x－x0｜＜δ內(nèi)f(x)連續(xù)C、若存在，則f(x)在x0處可導(dǎo)D、若f(x)在x0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，f(x)在x0處連續(xù)，且存在，則f(x)在x0處可導(dǎo)，且標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：得f(x)在x=0處可導(dǎo)(也連續(xù))．對(duì)任意的a≠0，因?yàn)椴淮嬖?，所以f(x)在x=a處不連續(xù)，當(dāng)然也不可導(dǎo)，即x=0是f(x)唯一的連續(xù)點(diǎn)和可導(dǎo)點(diǎn)，A，B不對(duì)；所以f(x)在x=0處不連續(xù)，當(dāng)然也不可導(dǎo)，C不對(duì)；因?yàn)閒(x)在x0處連續(xù)且在x0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，所以由微分中值定理有選D.3、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，g(x)連續(xù)，且則()．A、f(0)為f(x)的極大值B、f(0)為f(x)的極小值C、(0，f(0))為y=f(x)的拐點(diǎn)D、f(0)不是f(x)的極值，(0，f(0))也不是y=f(x)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：顯然得g(0)=0，g＇(0)=－2．故(0，f(0))為y=f(x)的拐點(diǎn)，選C．4、設(shè)f(x)=x3－3x+k只有一個(gè)零點(diǎn)，則k的范圍是()．A、｜k｜＜1B、｜k｜＞1C、｜k｜＞2D、k＜2標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)為三次函數(shù)，至少有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)不單調(diào)，故要使函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，必須極小值大于零或極大值小于零．F＇(x)=3(x2－1)=0，得駐點(diǎn)x=±1，且由圖形可知，x=－1為極大值點(diǎn)，x=1為極小值點(diǎn)．故f(－1)=2+k<0k＜－2，f(1)=－2+k＞0k＞2，選C．5、設(shè)則B等于()．A、P1P2－1AB、AP1P2－1C、P1AP2－1D、P2－1AP1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：選C．6、設(shè)A為3階矩陣，B=(β1，β2，β3)，β1為AX=0的解，β2不是AX=0的解，又r(AB)<min{r(A)，r(B)}，則r(AB)=()．A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)棣?不是AX=0的解，所以AB≠O，從而r(AB)≥1；顯然β1，β2不成比例，則r(B)≥2，由r(AB)7、對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y，若E(XY)=E(X)·E(Y)，則()．A、D(XY)=D(X)·D(Y)B、D(X+Y)=D(X)－D(Y)C、X和Y獨(dú)立D、X和Y不相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)镋(XY)=E(X)E(Y)，所以Cov(X，Y)=E(XY)－E(X)E(Y)=0，于是ρXY=0，即X，Y不相關(guān)，應(yīng)選D．8、設(shè)(X1，X2，…，Xn)(n≥2)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：選D.二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設(shè)f(x)=exsin2x，則f(4)(0)=___________________．標(biāo)準(zhǔn)答案：－24知識(shí)點(diǎn)解析：10、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：11、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)t=0時(shí)，x=1．12、微分方程的通解為______________________________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：13、設(shè)A為三階實(shí)對(duì)稱矩陣，為方程組AX=0的解，為方程組(2E－A)X=0的一個(gè)解，｜E+A｜=0，則A=________________________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：顯然為A的特征向量，其對(duì)應(yīng)的特征值分別為λ1=0，λ2=2，因?yàn)锳為實(shí)對(duì)稱矩陣，所以考ξ1Tξ2=k2－2k+1=0，解得k=1，于是又因?yàn)椋麰+A｜=0，所以λ3=－1為A的特征值，14、設(shè)X1，X2，…，Xm與Y1，Y2，…，Yn分別為來自相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體X與Y的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則D(Z)=_____________________________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2(m+n－2)知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設(shè)f(x)在[0，2]上連續(xù)，在(0，2)內(nèi)三階可導(dǎo)，且f(1)=1，f(2)=6．證明：存在ξ∈(0，2)，使得f"＇(ξ)=9．標(biāo)準(zhǔn)答案：由得f(0)=0，f＇(0)=2．作多項(xiàng)式P(x)=Ax3+Bx2+Cx+D，使得P(0)=0，P＇(0)=2，P(1)=1，P(2)=6，則φ(x)在[0，2]上連續(xù)，在(0，2)內(nèi)可導(dǎo)，且φ(0)=φ(1)=φ(2)=0．因此φ(x)在[0，1]和[1，2]上都滿足羅爾定理的條件，則存在ξ1∈(0，1)，ξ2∈(1，2)，使得φ＇(ξ1)=φ＇(ξ2)=0．又φ＇(0)=0，由羅爾定理，存在η3∈(0，ξ1)，η2∈(ξ1，ξ2)，使得φ"(η1)=φ"(η2)=0，再由羅爾定理，存在ξ∈(η1，η2)(0，2)，使得φ"＇(ξ=0．而φ"＇(x)=f"＇(x)－9，所以f"＇(ξ)=9．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)u=f(x2+y2，xz)，z=z(x，y)由ex+ey=ez確定，其中f二階連續(xù)可偏導(dǎo)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：由ex+ey=ez得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(x)連續(xù)，且f(1)=0，f’(1)=2，求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、求冪級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由得R=+∞，原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?－∞，+∞)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、求微分方程y"+y＇－2y=xex+sin2x的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程為λ2+λ一2=0，特征值為λ1=－2，λ2=1，y"+y＇－2y=0的通解為y=C1e-2x+C2ex．設(shè)y"+y＇－2y=xex，(*)y"+y＇－2y=sin2x．(**)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)B為三階非零矩陣，為BX=0的解向量，且AX=α3有解．(I)求常數(shù)a，b．(Ⅱ)求BX=0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由B為三階非零矩陣得r(B)≥1，從而BX=0的基礎(chǔ)解系最多有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量，于是解得a=3b．由AX=α3有解得r(A)=r(A┆α)，由解得b=5，從而a=15．由α1，α2為BX=0的兩個(gè)線性無關(guān)解得3－r(B)≥2，從而r(B)≤1，再由r(B)≥1得r(B)=1，α1，α2為BX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，故BX=0的通解為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)二次型f(xz，x2，x3)=x12+x22+x32+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3的秩為1，且(0，1，－1)T為二次型的矩陣A的特征向量．(I)求常數(shù)a，b；(Ⅱ)求正交變換X=QY，使二次型XTAX化為標(biāo)準(zhǔn)形．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P{X=k)=p(1－p)k-1(k=1，2，…)，Y在1～k之間等可能取值，求P{Y=3)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令A(yù)k={X=k}(k=1，2，…)，B={Y=3}，P(B｜A1)=P(B｜A2)=0，P(B｜Ak)=(k≥3)，由全概率公式得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)X1，X2，…，Xn(n＞2)相互獨(dú)立且都服從N(0，1)，Yi=Xi－(i=1，2，…，，n)．求(I)D(Yi)(i=1，2，…，n)；(Ⅱ)Cov(Y1，Yn)；(Ⅲ)P{Y1+Yn≤0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閄1，X2，…，Xn獨(dú)立且都服從正態(tài)分布，所以Y1+Yn服從正態(tài)分布，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)與x為等階無窮小，且f(x)≠x，則當(dāng)x→0+時(shí)，[f(x)]x-xx是()。A、比f(wàn)(x)-x高階的無窮小B、比f(wàn)(x)-x低階的無窮小C、比f(wàn)(x)-x同階但不等階的無窮小D、比f(wàn)(x)-x等階的無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于f(x)～x，所以f(x)=x[1+a(x)]，其中當(dāng)x→0時(shí)，a(x)→0，于是其中，當(dāng)x→0時(shí)[1+a(x)]x-1～xa(x)，因此[f(x)]x-xx與f(x)-x為等階無窮小。故選D。2、設(shè)f(x)在x=0的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，=-3，則f(x)在x=0處()。A、不可導(dǎo)B、取極小值C、取極大值D、不取極值，但f’(0)=0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x→0時(shí)，，故，從而，由于f(x)在x=0的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，故有f(0)=0，且，所以A不正確。由可知在x=0的某領(lǐng)域內(nèi)有＞0，即f(x)＞0=f(0)，所以f(0)=0為極小值，x=0為極小值點(diǎn)，故選B。3、設(shè)D是由直線x=0，y=0，x+y=1在第一象限所圍成的平面區(qū)域，則J==()。A、e+1B、e-1C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：區(qū)域D如圖方法一：選用極坐標(biāo)變換，D的極坐標(biāo)表示：，于是選D。方法二：D：0≤x≤1,0≤y≤1-x，，對(duì)內(nèi)層積分作變量替換：x=y=t(對(duì)y積分，x為常數(shù))，選D。方法三：化為后，用分部積分法，選D。4、若方程y’’+py’+qy=0的一切解都是x的周期函數(shù)，則一定有()。A、p＞0，q=0B、p=0，q＞0C、p＜0，q=0D、p=0，q＜0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：這是二階常系數(shù)齊次線性方程，其通解形式由特征方程r2+pr+q=0的特征根所決定，①當(dāng)p2-4q＞0時(shí)，r1，r2為不等的實(shí)特征根，原方程通解為y=c1er1x+c2er2x,這時(shí)y不可能是x的周期函數(shù)。②當(dāng)p2-4q=0時(shí)，r1=r2=，原方程的通解為，也不可能是x的周期函數(shù)。③當(dāng)p2-4q＜0時(shí)，，原方程的通解為，只有當(dāng)p=0時(shí)，它的通解才是x的周期函數(shù)，這時(shí)q＞0，故選B。5、設(shè)A是5×4矩陣，r(A)=4，則下列命題中錯(cuò)誤的為()。A、AX=0只有零解B、AATX=0有非零解C、對(duì)任何5維向量β，AX=β都有解D、對(duì)任何4維向量β，ATX=β都有無窮多解標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：答案A對(duì)，因?yàn)閞(A)=未知數(shù)個(gè)數(shù)4。答案B對(duì)，因?yàn)锳AT是5階矩陣，而r(AAT)＜5。答案C錯(cuò)，因?yàn)榇嬖?維向量β不可用A的列向量組表示，使得AX=β誤解。答案D對(duì)，因?yàn)閞(AT)=方程個(gè)數(shù)4，對(duì)任何4維向量β，r(AT︳β)不會(huì)大于4。6、設(shè)A=，則下列矩陣中與A合同但不相似的是()。A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：首先可排除答案A，因?yàn)閞(A)=2，而答案A的矩陣的秩為1，所以它與A不合同。兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣合同的充分必要條件是它們的特征值的正負(fù)性一樣，(即正，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)相等)而相似的充分必要條件是它們的特征值相同，因此應(yīng)該從計(jì)算特征值下手。求出︳λE-A︳=λ(λ+3)(λ-3)，A的特征值為0，-3，3。顯然答案C中矩陣的特征值也是0，-3，3，因此它和答案A相似，可排除。剩下答案B和答案D兩個(gè)矩陣中，只要看一個(gè)，答案D中矩陣的特征值容易求出，為0，-1，1，因此它和A合同而不相似。(也可計(jì)算出答案B中矩陣的特征值為0，1，4，因此它和A不合同。)7、設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)關(guān)于x=μ對(duì)稱，F(xiàn)(x)為其分布函數(shù)，則有()。A、F(μ+x)=F(μ-x)B、F(μ+x)+F(μ-x)＞1C、0＜F(μ+x)+F(μ-x)＜1D、F(μ+x)+F(μ-x)=1標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：利用分布函數(shù)與密度函數(shù)的關(guān)系及密度函數(shù)的對(duì)稱性，作積分變量替換可導(dǎo)出所需要的結(jié)論。又所以故選D。8、設(shè)x1，x2，…，xn是取自正態(tài)總體N(μ，σ2)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其樣本均值和方差分別為，s2，則服從自由度為n的x2分布的隨機(jī)變量是()。A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因X～N(μ,σ2),所以，又因與S2獨(dú)立，根據(jù)X2分布的可加性，只需4個(gè)選項(xiàng)中的第1個(gè)加項(xiàng)服從X2(1)分布即可，依題意，有，應(yīng)選D。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、n為給定的自然數(shù)，極限=_________________________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：1、此極限是1∞型未定式。原式=，其中大括號(hào)內(nèi)的極限是型未定式，由洛必達(dá)法則，有，于是原式=。2、由于，記，則當(dāng)x→0時(shí)y→0，從而，又因，故原式=。10、將拋物線y=x2-x與x軸及直線x=c(c＞1)所圍成平面圖形繞x軸轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的體積vx等于弦OP(P為拋物線與直線x=c的交點(diǎn))繞x軸旋轉(zhuǎn)所得錐體的體積v錐，則c的值為_________________________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：圖形如下圖所示。由題設(shè)知，化簡(jiǎn)得，得c=。11、設(shè)u(x,y)=y2F(3x+2y)，若=x2，則=_________________________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：1、由=x2得=x2，即F(3x+1)=4x2，設(shè)3x+1=t，x=，則F(t)=，從而F(3x+2y)=，于是。2、由u(x，y)=y2F(3x+2y)可得=3y2F’(3x+2y)，①→=F’=(3x+1)②又由=x2→=2x③。由②，③→F’(3x+1)=2x，F(xiàn)’(3x+1)==[(3x+1)-1]，→F’(3x+2y)=(3x+2y-1)，代入①得y2(3x+2y-1)。12、設(shè)方程+(a+sin2x)y=0的全部解均以π為周期，則常數(shù)a=_________________________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：一階線性齊次方程+(a+sin2x)y=0的全部解為y=(c為常數(shù))，它們均以π為周期(a+sin2t)dt以π為周期。1、a+sin2t以π為周期，則(a+sin2t)dt以π為周期(a+sin2t)dt=πa+=π(a+)=0，即a=。2、由于(a+sin2t)dt=ax+(1-cos2t)dt=(a+)x-sin2x，它以π為周期。13、已知B=，矩陣A相似于B,A*為A的伴隨矩陣，則︱A*+3E︱=_________________________。標(biāo)準(zhǔn)答案：27知識(shí)點(diǎn)解析：A相似于B，則A*+3E相似于B*+3E，于是︱A*+3E︱=︱B*+3E︱，方法一：求出B*=︱B︱B-1=-12，︱B*+3E︱==27。方法二：用特征值︱λE-B︱==︱λ-3︱(λ2-4)，B的特征值為2，-2，3，︱B︱=-12，于是B*的特征值為-6，6，-4，B*+3E的特征值為-3，9，-1，︱B*+3E︱=27。14、設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…，X12獨(dú)立同分布且方差存在，則隨機(jī)變量U=X1+X2+…+X7，V=X6+X7+…+X12的相關(guān)系數(shù)PUV=_________________________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)DXi=σ2，由于隨機(jī)變量X1，X2，…，X12獨(dú)立同分布，故有DU=DV=7σ2，cov(U，V)==DX6+DX7=2σ2(因?yàn)閕≠j時(shí)，=0)，于是。三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、過點(diǎn)(1，0)作曲線y=的切線，求該切線與曲線及x軸圍成的平面圖形分別繞x軸和y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積Vx和Vy。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線斜率為，切線方程為又因切線過點(diǎn)(1，0)，所以有從而可知切點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0=3，切線方程為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)f(x)滿足。(Ⅰ)討論f(x)在(-∞，+∞)是否存在最大值或最小值，若存在則求出；(Ⅱ)求y=f(x)的漸近線方程。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)先求出f(x)的表達(dá)式，由，得。上式中令x=0，等式顯然成立，又兩邊求導(dǎo)得f(-x)=-x-e-x。因此，f(x)=x-ex，xε(-∞，+∞)。下面討論f(x)的最值問題，由f’(x)=(1-ex)①＞0，x＜0，②=0，x=0，③＜0，x＞0→f(0)=-1是f(x)在(-∞，+∞)的最大值，f(x)在(-∞，+∞)無最小值。(Ⅱ)由→x→-∞時(shí)有漸近線y=x。又f(x)無間斷點(diǎn)，且→y=f(x)無其他漸近線。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)函數(shù)y(x)在(-∞，+∞)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函數(shù)。(Ⅰ)試將x=x(y)所滿足的方程變換成y=y(x)所滿足的微分方程；(Ⅱ)求解變換后的微分方程的通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：本題主要利用反函數(shù)求導(dǎo)和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式推導(dǎo)出之間的聯(lián)系，再代入方程使之簡(jiǎn)化，從而將非常數(shù)系數(shù)方程化為常系數(shù)線性微分方程再求解。(Ⅰ)由反函數(shù)求導(dǎo)公式，即，再對(duì)x求導(dǎo)，有，從而有代入原方程即y’’-y=sinx。(Ⅱ)y’’-y=sinx對(duì)應(yīng)齊次方程y’’-y=0的特征根為r=±1，因此對(duì)應(yīng)齊次方程通解為=c1ex+c2e-x。在y’’-y=sinx中，由于r=i不是相應(yīng)齊次方程的特征根，因此它有形如y=Acosx+Bsinx的特解，將其代入y’’-y=sinx中，可得A=0，B=，因而方程y’’-y=sinx有特解y*=，故方程y’’-y=sinx的通解為y=c1ex+c2e-x-。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)滿足，求。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x)=，所以在[0，1]上積分上式可得將累次積分表成二重積分后交換積分順序，可得(其中D如圖所示)再對(duì)內(nèi)層積分作變量替換并湊微分可得，故，解得I=2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)函數(shù)y(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)二次可導(dǎo)，且滿足y’’(x)+p(x)y’(x)-q(x)y(x)=f(x)，y(a)=y(b)=0，其中函數(shù)p(x)，q(x)與f(x)都在[a，b]上連續(xù)，且存在常數(shù)q0＞0使得q(x)≥q0，存在常數(shù)F＞0使得︱f(x)︱≤F，求證：當(dāng)xε[a，b]時(shí)︱y(x)︱≤。標(biāo)準(zhǔn)答案：由y(x)在[a，b]上連續(xù)知y(x)在[a，b]上取得它的最大值與最小值，即存在x1ε[a，b]使得y(x1)是y(x)在[a，b]上的最大值，又存在x2ε[a，b]使得y(x2)是y(x)在[a，b]上的最小值。無妨設(shè)最大值y(x1)＞0，而最小值y(x2)＜0。由于y(a)=y(b)=0，可見x1ε[a，b]，x2ε[a，b]。由極大值的必要條件可得y’(x1)=0，y’’(x1)≤0，從而在最大值點(diǎn)x=x1處有f(x1)=y’’(x1)+p(x1)y’(x1)-q(x1)y(x1)=y’’(x1)-q(x1)y(x1)→q(x1)y(x1)=y’’(x1-f(x1)≤-f(x1)→y(x1)≤。類似由極小值的必要條件可得y’(x2)=0，y’’(x2)≥0，從而在最小值點(diǎn)x=x2處有f(x2)=y’’(x2)+p(x2)y’(x2)-q(x2)y(x2)=y’’(x2)-q(x2)y(x2)→q(x2)y(x2)=y’’(x2)-f(x2)≥-f(x2)→y(x2)≥。綜合以上的討論即得當(dāng)xε[a，b]時(shí)有。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)A是m×n階矩陣，試證明：(Ⅰ)如果A行滿秩(r(A)=m)，則對(duì)任何m×s矩陣C，矩陣方程AX=C都有解。(Ⅱ)如果A列滿秩(r(A)=n)，則存在n×m矩陣B，使得BA=E(E是n階單位矩陣)。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)因?yàn)閞(A)=m，對(duì)任何β，m=r(A)≤r(A，β)≤m，((A，β)是m×(n+1)矩陣)因此總有r(A)=r(A，β)，于是方程組AX=β總有解。設(shè)C=(β1，β2，…，βs)，對(duì)每個(gè)i=1，2，…，s，取η1是方程組AX=β1的一個(gè)解，則矩陣D=(η1，η2，…，ηs)，則AD=C。(Ⅱ)如果A列滿秩，則AT行滿秩，根據(jù)(Ⅰ)的結(jié)果，存在m×n矩陣H，使得ATH=E，記B=HT，則BA=HTA=(ATH)T=E。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)A是n階矩陣，n維列向量α和β分別是A和AT的特征向量，特征值分別為1和2。(Ⅰ)證明βTα=0；(Ⅱ)求矩陣βαT的特征值；(Ⅲ)判斷βαT是否相似于對(duì)角矩陣(要說明理由)。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)條件說明Aa=a，ATβ=2β，βTa=βTAa=(ATβ)Ta=2βTa，得βTa=0。(Ⅱ)((βa)T)2=βaTβaT=(aTβ)βaT，而aTβ=(βTa)T=0，于是((βa)T)2=0，從而βaT的特征值λ都滿足λ2=0，即βaT的特征值都為。(Ⅲ)βaT不相似于對(duì)角矩陣，可用反證法說明。如果對(duì)角矩陣相似于βaT，則這個(gè)對(duì)角矩陣的對(duì)角線上的元素是βaT的特征值，都是0，即是零矩陣。βaT相似于零矩陣，也一定是零矩陣，但是a和β分別是A和AT的特征向量，都不是零向量，因此βaT不是零矩陣。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、有甲、乙、丙三個(gè)口袋，其中甲口袋裝有1個(gè)紅球，2個(gè)白球，2個(gè)黑球；乙袋裝有2個(gè)紅球，1個(gè)白球，2個(gè)黑球；丙袋裝有2個(gè)紅球，3個(gè)白球?，F(xiàn)任取一袋，從中任取2個(gè)球，用X表示取到的紅球數(shù)，Y表示取到的白球數(shù)，Z表示取到的黑球數(shù)，試求：(Ⅰ)(X，Y)的聯(lián)合分布；(Ⅱ)cov(X，Y)+cov(Y，Z)。標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一：(Ⅰ)用全概率公式求(X，Y)，(Y，Z)的聯(lián)合分布，即有從而(X，Y)與(Y，Z)的聯(lián)合分布與邊緣分布可列表如下：(Ⅱ)于是cov(X，Y)+cov(Y，Z)=(EXY-EXEY)+(EYZ-EYEZ)=方法二：(Ⅰ)求(X，Y)的聯(lián)合分布同方法一，但不求(Y，Z)的聯(lián)合分布。(Ⅱ)由Z=2-X-Y，故cov(X，Y)+cov(Y，Z)=cov(X，Y)+cov(Y，2-X-Y)=cov(X，Y)-cov(Y，X)-cov(Y，Y)=-DY又，故cov(X，Y)=cov(Y，Z)=-DX=。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)x1，x2，…，xn來自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，X的概率密度為其中λ＞0，a＞0為已知參數(shù)。記Y=。(Ⅰ)求λ的矩估計(jì)量和最大似然估計(jì)量；(Ⅱ)求Y的數(shù)學(xué)期望EY的最大似然估計(jì)量。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)EX令EX=，得λ的矩估計(jì)量。樣本的似然函數(shù)L(x1，x2，…，xn；λ)=，取對(duì)數(shù)InL=nInλ-，令，解得，從而λ的最大似然估計(jì)量。(Ⅱ)EY由于EY是λ的單調(diào)函數(shù)，根據(jù)最大似然估計(jì)的不變性，故EY的最大似然估計(jì)量為。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)在x=x0的某鄰域內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，且=a＞0，則存在點(diǎn)(x0，f(x0))的左、右側(cè)鄰域使得()A、曲線y=f(z)在內(nèi)是凸的．B、曲線y=f(z)在內(nèi)是凹的．C、曲線y=f(z)在都是凹的．D、曲線y=f(z)在內(nèi)都是凸的．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由所給條件推知存在x=x0的去心鄰域＞0．于是知，當(dāng)x∈(x0)且x＜x0時(shí)，f"(x)＜0，曲線是凸的；當(dāng)x∈(x0)且x＞x0時(shí)，f"(x)＞0，曲線是凹的．故應(yīng)選B．2、設(shè)函數(shù)z=z(x，y)由方程F()=0確定，其中F為可微函數(shù)，且F’2≠0，則=()A、x．B、y．C、z．D、0．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)方程F()=0兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo)數(shù)，得再將原方程兩邊對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)，得3、設(shè)anxn在x=3處條件收斂，則(x一1)n在x=一1處()A、必絕對(duì)收斂．B、必條件收斂．C、必發(fā)散．D、斂散性要看具體的{an}．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：anx在x=3處條件收斂，所以收斂半徑R=3，所以(x一1)”的收斂區(qū)間為(一2，4)，而x=一1∈(一2，4)，所以，在x=一1處，該冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂．選A．4、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：作積分變量代換，令u=x—t，5、設(shè)非齊次線性方程組Ax=b有通解k1ξ1+k2ξ2+η=k1(1，2，0，—2)T+k2(4，一1，一1，一1)T+(0，0，0，1)T，其中k1，k2是任意常數(shù)，則下列向量中不是Ax=b的解向量的是()A、α1=(1，2，0，一1)T．B、α2=(6，1，一2，一1)T．C、α3=(一5，8，2，一3)T．D、α4=(5，1，一1，一2)T．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：若α是Ax=b的解，則α可表示成k1ξ1+k2ξ2，即α一η=k1ξ1+k2ξ2．若α一η可由ξ1，ξ2線性表示，則是Ax=0的解；若不能由ξ1，ξ2線性表示，則不是Ax=0的解．將ξ1，ξ2，α1一η，α2一η，α3一η，α4一η合并成矩陣，并一起作初等行變換．故知，α2一η不能由ξ1，ξ2線性表示，不是Ax=0的解向量(α1一η，α3一η，α4一η是解向量)，故應(yīng)選B．6、設(shè)A=，則①A～B；②AB；③A≌B；④｜A｜=｜B｜，其中正確的個(gè)數(shù)為()A、1．B、2．C、3．D、4．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：四項(xiàng)均正確．將A的1，3行互換，且1，3列互換得B，即E13AE13=B(或E24AE24=B)．因E13=E13=E13，故有E13AE13=B，即A～B；E13AE13=B，即AB；E13AE13=B，即A≌B，且｜A｜=｜B｜．故應(yīng)選D．7、設(shè)(X，Y)是二三維連續(xù)型隨機(jī)變量，下列各式都有意義，若X與Y獨(dú)立，則下列式中必成立的個(gè)數(shù)為()①E(XY)=EX．EY；②FX｜Y(x｜y)=fX(x)；③P{X＞x，Y＞y}=1一FX(x)FY(y)；④令Z=X+Y，則FZ(z)=∫-∞+∞FX(z—y)Y(y)dy．A、1．B、2．C、3．D、4．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：①顯然成立；②成立，事實(shí)上fX｜Y(x｜y)==fX(x)；③不成立，事實(shí)上P{X＞x，Y＞y}=1一=1一P{{X≤x}∪{Y≤y}}≠1一FX(z)FY(y)；④成立，事實(shí)上FZ(z)=P{X+Y≤z}=fX(x)fY(y)dxdy=∫-∞+∞[∫-∞z—yfX(x)dx]fY(y)dy=∫-∞+∞FX(z—y)fY(y)dy．8、假設(shè)總體X在非負(fù)整數(shù)集{0，1，2，…，k}上等可能取值，k為未知參數(shù)，x1，x2，…，xn為來自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本值，則k的最大似然估計(jì)值為()A、xn．B、．C、min{x1，…，xn}．D、max{x1，…，xn}．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由題意，知X的分布律似然函數(shù)L(x1，…，xn；k)=(0≤xi≤k，i=1，2，…，n)．則lnL=一nln(k+1)，故＜0，又k≥x1，k≥x2，…，k≥xn←→k≥max{x1，…，xn}．所以k的最大似然估計(jì)值為k=max{x1，…，xn}．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、直角坐標(biāo)中的累次積分I=f(x，y)dy化為極坐標(biāo)先r后θ次序的累次積分I=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：按題目上、下限，積分區(qū)域D如圖陰影部分所示，對(duì)y的積分上限方程y=，化為極坐標(biāo)為r=2acosθ。對(duì)y的積分下限方程y=2a—，化為極坐標(biāo)為r=4asinθ。OA的傾斜角記為θ0，tanθ0=．于是，由極坐標(biāo)，直線段OA將D分成兩塊，在極坐標(biāo)系中，積分如答案所示．10、設(shè)f(x)連續(xù)且f(x)≠0，又設(shè)f(x)滿足f(x)=∫0xf(z—t)dt+∫01f2(t)dt，則f(x)=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)=∫0xf(x—t)dt+∫01f2(t)dt(第—個(gè)積分令x—t=u)=一∫x0f(u)du+∫01f2(t)dt=∫0xf(u)du+∫01f2(t)dt．令∫01f2(t)dt=a，于是f(x)=∫0xf(u)du+a，f’(x)=f(x)，f(0)=a，解得f(x)=Cex．由f(0)=a，得f(x)=aex，代入∫01f2(t)dt=a中，得a=∫01f2(t)dt=a2∫01e2tdt=(e2—1)．解得a=0(舍去)，a．11、設(shè)常數(shù)a＞0，雙紐線(x2+y2)2=a2(x2一y2)圍成的平面區(qū)域(如圖)記為D，則二重積分(x2+y2)dσ=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：a知識(shí)點(diǎn)解析：由于被積函數(shù)及積分區(qū)域D關(guān)于兩坐標(biāo)軸都對(duì)稱，所以12、=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：一1知識(shí)點(diǎn)解析：13、設(shè)方程組(Ⅰ)：則x1+x2+x3=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：法一解方程組(Ⅰ)，求出x1，x2，x3，代入即得．對(duì)方程組(Ⅰ)的增廣矩陣作初等行變換，對(duì)應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系為(一3，1，2)T，非齊次方程組的特解為(一5，0，7)T，通解為k(一3，1，2)T+(一5，0，7)T=(一3k一5，k，2k+7)T，將通解代入x1+x2+x3=(一3k一5)+k+(2k+7)=2．故應(yīng)填2．法二由①×3+②×2得x1+x2+x3=一48+50=2，故應(yīng)填2．14、已知隨機(jī)變量X1，X2，X3的方差都是σ2，任意兩個(gè)隨機(jī)變量之間的相關(guān)系數(shù)都是ρ，則ρ的最小值=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由題可得D(X1+X2+X3)=DX1+DX2+DX3+2Coy(X1，X2)+2Cov(X1，X3)+2Cov(X2，X3)=3σ2+6ρσ2=3σ2(1+2ρ)≥0，所以ρ≥．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設(shè)F(x)=∫-∞+∞｜x—t｜dt，求F"(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：將第一個(gè)積分作積分變量代換，令t=一u，并將變換后的u仍記為t，并與第二項(xiàng)合并，注意到這兩個(gè)反常積分都是收斂的，于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)D={(x，y)｜0≤x≤2，0≤y≤2}，計(jì)算｜xy一1｜dσ．標(biāo)準(zhǔn)答案：作出區(qū)域D，如圖所示．在D中作曲線y=，將區(qū)域D分成D1，D2及D3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、(Ⅰ)敘述二元函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處可微及微分的定義；(Ⅱ)證明下述可微的必要條件定理：設(shè)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處可微，則f’x(x0，y0)與f’y(x0，y0)都存在，且=f’x(x0，y0)△x+f’y(x0，y0)△y，(Ⅲ)舉例說明(Ⅱ)的逆定理不成立．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)定義：設(shè)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)的某鄰域U內(nèi)有定義，(x0+△x，y0+△y)∈U．增量△z=f(x0+△x，y0+△y)一f(x0，y0)A△x+B△y+ο(ρ)，(*)其中A，B與△x和△y都無關(guān)，ρ==0，則稱f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處可微，并稱為z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處的微分．(Ⅱ)[證]設(shè)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處可微，則(*)式成立．令△y=0，于是令△x→0，有=B．證明了f’x(x0，y0)與f’y(x0，y0)存在，并且=f’x(x0，y0)△x+f’y(x0，y0)△y．(Ⅲ)當(dāng)f’x(x0，y0)與f’y(x0，y0)存在時(shí)，z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處未必可微．反例：同理f’y(0，0)=0．兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在．以下用反證法證出f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處不可微．若可微，則有△f=f(△x，△y)一f(0，0)=0△x+0△y+ο(ρ)，但此式是不成立的．例如取△y=k△x，極限值隨k的變化而變化，(**)式不成立，所以f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處不可微．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，常數(shù)k＞0．并設(shè)φ(x)=∫xbf(t)dt—k∫axf(t)dt．證明：(Ⅰ)存在ξ∈[a，b]，使φ(ξ)=0；(Ⅱ)若增設(shè)條件f(x)≠0，則(Ⅰ)中的ξ是唯一的，且必定有ξ∈(a，b)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)φ(a)=∫abf(t)dt，φ(b)=一k∫abf(t)dt，φ(a)φ(b)=一k[∫abf(t)dt]≤0．如果∫abf(t)dt=0，則φ(a)φ(b)=0．取ξ=a或ξ=b，使φ(ξ)=0．如果∫abf(t)dt≠0，則φ(a)φ(b)＜0，存在ξ∈(a，b)使φ(ξ)=0．綜上，存在ξ∈[a，b]使φ(ξ)=0．證畢．(Ⅱ)若增設(shè)條件f(x)≠0，則φ’(x)=一f(x)一kf(x)=一(k+1)f(x)≠0．由于f(x)連續(xù)且f(x)≠0，所以或者f(x)＞0，或者f(x)＜0，所以φ(x)在[a，b]上嚴(yán)格單調(diào)，則φ(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)，又由(Ⅰ)知φ(a)φ(b)＜0，則(Ⅰ)中的ξ是唯一的，且ξ∈(a，b)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)函數(shù)f(t)在[0，+∞)上連續(xù)，且滿足方程求f(t)．標(biāo)準(zhǔn)答案：化為極坐標(biāo)，得此為f(t)的一階線性微分方程．由通解公式，得又由題設(shè)有f(0)=1，因此C=1．從而f(t)=(4πt2+1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)A=，X是2階方陣．(Ⅰ)求滿足AX一XA=O的所有X；(Ⅱ)方程AX一XA=E，其中E是2階單位陣．問方程是否有解?若有解，求滿足方程的所有X；若無解，說明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)用待定元素法求X．設(shè)X=，代入方程，得取x3=2k1，得x2=一k1．取x4=k2，得x1=k2．故X=，其中k1，k2是任意常數(shù)．(Ⅱ)法一AX一X4=E，設(shè)X=，由(Ⅰ)得顯然方程組中第1個(gè)和第4個(gè)方程相互矛盾，故矩陣方程AX一XA=E無解．法二由(Ⅰ)易知tr(AX)=tr(XA)，故tr(AX一XA)=tr(AX)一tr(XA)=0≠tr(E)=2．故矩陣方程AX一XA=E無解．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、已知A=，求A的特征值，并討論A可否相似對(duì)角化標(biāo)準(zhǔn)答案：故有λ1=1+a，λ2=a，λ3=1一a．看特征方程是否有重根，對(duì)任意的a，λ1=1+a≠λ2=a．若λ1=1+a=λ3=1一a，則a=0；若λ2=a=λ3=1一a，則a=．故當(dāng)a≠0且a≠時(shí)，λ1≠λ2≠λ3，A有三個(gè)不同的特征值，可以相似對(duì)角化．當(dāng)a=，是二重特征值．由于E—A)=2，對(duì)應(yīng)線性無關(guān)特征向量只有一個(gè)，故A不可相似對(duì)角化．當(dāng)a=0時(shí)，λ1=λ3=1，是二重特征值．由于E—A=，則r(E—A)=2，對(duì)應(yīng)線性無關(guān)特征向量也只有一個(gè)，故A不可相似對(duì)角化．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)(X，Y)的聯(lián)合概率密度為f(x，y)=(Ⅰ)求Z=X一2Y的概率密度；(Ⅱ)求P{X≤}．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)法一分布函數(shù)法．由分布函數(shù)的定義FZ(z)=P{Z≤z}=P{X一2Y≤z}，可知當(dāng)z＜一1時(shí)，F(xiàn)Z(z)=0；當(dāng)一1≤z＜0時(shí)，積分區(qū)域如圖(a)所示：當(dāng)0≤z＜1時(shí)，積分區(qū)域如圖(b)所示：FZ(z)=P{X一2Y≤z}=1一P{X一2Y＞z}=1一(1—z)2；當(dāng)z≥1時(shí)，F(xiàn)Z(z)=1．綜上法二公式法．fZ(z)=∫-∞+∞f(z+2y，y)dy，法二利用二維均勻分布的條件分布是一維均勻分布．即條件{Y=}等價(jià)于在直線AB上隨機(jī)投點(diǎn)，再要求{X≤}等價(jià)于范圍縮小到AC上隨機(jī)投點(diǎn)，如圖所示，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)X1，X2，…，X5是總體X～N(0，22)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，X=X．(Ⅰ)令隨機(jī)變量Y=+(X4一X5)2，求EY與DY；(Ⅱ)求隨機(jī)變量Z=的分布；(Ⅲ)給定α(0＜α＜0．5)，常數(shù)c滿足P{Z＞c}=α，設(shè)隨機(jī)變量U～F(2，1)，求P{U＞}．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)設(shè)X1，X2，…，X5是來自總體X～N(0，22)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，由～χ2(2)，得(Ⅲ)由Z～t(2)→Z2～F(1，2)→與U同分布，則P{U＞}=P{Z2＜c2}=P{一c＜Z＜c>=1—2α．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、當(dāng)x→0時(shí)，下列無窮小量中階數(shù)最高的是()A、(1＋x)x3－1。B、ex5＋3x2－1。C、∫x0tan2tdt。D、(x－sinx)2。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查無窮小量階的比較?？衫玫葍r(jià)無窮小替換觀察其與x的階數(shù)的大小，也可用待定系數(shù)法，通過求極限，當(dāng)l為某個(gè)常數(shù)時(shí)，k即為無窮小量的階數(shù)。對(duì)于選項(xiàng)A，(1＋x)x3－1～ln[(1＋x)x3－1＋1]＝ln(1＋x)x3＝x3ln(1＋x)＝x4，因此A選項(xiàng)是x的4階無窮??；對(duì)于選項(xiàng)B，ex5＋3x2－1～x5＋3x2～3x2，因此B選項(xiàng)是x的2階無窮??；對(duì)于選項(xiàng)C，利用待定系數(shù)法確定階數(shù)，即因此可得C選項(xiàng)是x的3階無窮?。粚?duì)于選項(xiàng)D，x→0時(shí)，，因此可得D選項(xiàng)是x的6階無窮小。綜上所述，故本題選D。2、函數(shù)y＝f(x)在(－∞，＋∞)上連續(xù)，其二階導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則f(x)的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A、2個(gè)。B、3個(gè)。C、4個(gè)。D、5個(gè)。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查拐點(diǎn)的定義。函數(shù)的拐點(diǎn)可能在二階導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)取到，關(guān)鍵是觀察二階導(dǎo)數(shù)等于O或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)兩端正負(fù)是否一樣。觀察函數(shù)f(x)的二階導(dǎo)函數(shù)的圖形，二階導(dǎo)函數(shù)等于零的點(diǎn)分別為x1，x2，x3，x4，這些點(diǎn)當(dāng)中，只有x1，x2，x4三個(gè)點(diǎn)兩端的f＂(x)變號(hào)，即三點(diǎn)兩端的凹凸性相反，因此x1，x2，x4均為函數(shù)的拐點(diǎn)。此外，二階導(dǎo)函數(shù)不存在的點(diǎn)為x＝0，該點(diǎn)兩端的f＂(x)也變號(hào)，即x＝0兩端的凹凸性也相反，因此x＝0也是函數(shù)的拐點(diǎn)。故本題選C。3、已知df(x，y)＝(6x2y＋3y3－3x2)dx＋(2x3＋9xy2＋2y)dy，則(x，y)＝()A、2x3(y＋1)＋3y2x(y＋3)＋y2－x3＋C。B、2x3y＋3y3x－x3＋y<>2＋C。C、2x3y＋3y3x－x3＋C。D、2x3＋9y2x＋y2＋C。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查全微分的定義。dx前是函數(shù)對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，dy前是函數(shù)對(duì)Y的偏導(dǎo)數(shù)，先通過x的偏導(dǎo)數(shù)對(duì)x積分，再通過y的偏導(dǎo)數(shù)對(duì)y積分之后即可得函數(shù)的表達(dá)式。由題意可得因此f(x，y)＝∫(6x2y＋3y3－3x2)dx＝2x3y＋3y3x－x3＋φ(y)。又根據(jù)可得2x3＋9y2x＋φ＇(y)＝2x3＋9y2x＋2y，因此可得φ＇(y)＝2y＋C，即f(x，y)＝2x3y＋3y3x－x3＋y2＋C。故本題選B。4、下列各級(jí)數(shù)發(fā)散的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查級(jí)數(shù)的斂散性判斷。判斷級(jí)數(shù)斂散性常用的方法有比較審斂法、根值審斂法、萊布尼茨判別法、利用等價(jià)級(jí)數(shù)判斷斂散性等。綜上所述，故本題選A。5、已知，矩陣B滿足A*B＋A－1－B＝0，其中A*是矩陣A的伴隨矩陣，則｜B｜＝()A、－1。B、－4。C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查伴隨矩陣的性質(zhì)和矩陣方程的求解。首先對(duì)矩陣方程變形，化成矩陣乘積的形式，然后利用已知矩陣求出A的行列式，利用A*A＝AA*＝｜A｜E消去方程中的A*，最后根據(jù)行列式性質(zhì)｜AB｜＝｜A｜｜B｜求出行列式｜B｜的值。方程兩邊同時(shí)乘矩陣A，對(duì)矩陣方程變形可得AA*B＋E－AB＝0，根據(jù)公式A*A＝AA*＝｜A｜E，上式變?yōu)锳B－｜A｜B＝E(A－｜A｜E)B＝E，其中，等式變?yōu)?A＋E)B＝E，兩邊同時(shí)取行列式，｜A＋E｜·｜B｜＝1，解得。故本題選C。6、下列矩陣中，不能相似對(duì)角化的矩陣為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查矩陣可相似對(duì)角化的條件。實(shí)對(duì)稱矩陣必可相似對(duì)角化；n階矩陣A如果有n個(gè)不同的特征值或有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則矩陣A必可相似對(duì)角化。A選項(xiàng)的矩陣是實(shí)對(duì)稱矩陣，因此必可相似對(duì)角化。B選項(xiàng)的矩陣是一個(gè)上三角矩陣，主對(duì)角線元素即矩陣的特征值，因此該矩陣有3個(gè)不同的特征值，則矩陣必可相似對(duì)角化。C選項(xiàng)的矩陣設(shè)為C，則得矩陣的特征值為9，0，0，對(duì)于二重特征值0，根據(jù)r(0E－A)＝r(A)＝1，可得齊次方程組(0E－A)x＝0的基礎(chǔ)解系有2個(gè)線性無關(guān)的特征向量；即屬于特征值0的線性無關(guān)的特征向量有2個(gè)，從而C選項(xiàng)的矩陣必可相似對(duì)角化。D選項(xiàng)的矩陣是一個(gè)上三角矩陣，主對(duì)角線元素為其特征值，分別為－1，－1，2，對(duì)于特征值－1，由可知齊次方程組(－E－A)X＝0只有一個(gè)解向量，即屬于二重特征值一l的特征向量只有1個(gè)，因此D選項(xiàng)的矩陣不能相似對(duì)角化。綜上所述，故本題選D。7、設(shè)A，B，C是三個(gè)隨機(jī)事件，已知P(ABC)＞0，則P(BC｜A)＝P(B｜A)P(C｜A)的充分必要條件是()A、P(B｜A)＝PB、P(BC｜A)＝P(C｜AB)。C、P(C｜AB)＝P(C｜A)。D、P(B｜A)＝P(C｜A)。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查隨機(jī)事件概率的基本性質(zhì)。根據(jù)隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性及條件概率的性質(zhì)推導(dǎo)公式成立的條件。根據(jù)已知可得因此可得P(BC｜A)＝P(B｜A)P(C｜A)＝P(B｜A)×P(C｜AB)，即P(C｜A)＝P(C