新高考數(shù)學(xué)二輪考點(diǎn)培優(yōu)專題（精講+精練）28 立體幾何中的建系設(shè)點(diǎn)問(wèn)題（原卷版）

素養(yǎng)拓展28立體幾何中的建系設(shè)點(diǎn)問(wèn)題（精講+精練）一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、建系有關(guān)的基礎(chǔ)儲(chǔ)備與垂直相關(guān)的定理與結(jié)論（1）線面垂直①如果一條直線與一個(gè)平面上的兩條相交直線垂直，則這條直線與該平面垂直②兩條平行線，如果其中一條與平面垂直，那么另外一條也與這個(gè)平面垂直③兩個(gè)平面垂直，則其中一個(gè)平面上垂直交線的直線與另一個(gè)平面垂直④直棱柱：側(cè)棱與底面垂直；⑤有一條側(cè)棱垂直于底面的椎體。⑥正三棱柱、正四棱柱：頂點(diǎn)在底面的投影為底面的中心。⑦側(cè)面與底面所成角均相等或側(cè)棱長(zhǎng)均相等可得頂點(diǎn)在底面的投影為底面的中心。（2）線線垂直（相交垂直）①正方形，矩形，直角梯形②等腰三角形底邊上的中線與底邊垂直（三線合一）③菱形的對(duì)角線相互垂直④勾股定理逆定理：若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0二、建立直角坐標(biāo)系的原則1.SKIPIF1<0軸的選取往往是比較容易的，依據(jù)的是線面垂直，即SKIPIF1<0軸要與坐標(biāo)平面SKIPIF1<0垂直，在幾何體中也是很直觀的，垂直底面高高向上的即是，而坐標(biāo)原點(diǎn)即為SKIPIF1<0軸與底面的交點(diǎn)2.SKIPIF1<0軸的選?。捍藶樽鴺?biāo)是否易于寫出的關(guān)鍵，有這么幾個(gè)原則值得參考：（1）盡可能的讓底面上更多的點(diǎn)位于SKIPIF1<0軸上（2）找角：SKIPIF1<0軸要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直條件（3）找對(duì)稱關(guān)系：尋找底面上的點(diǎn)能否存在軸對(duì)稱特點(diǎn)3.常用的空間直角坐標(biāo)系滿足SKIPIF1<0軸成右手系，所以在標(biāo)SKIPIF1<0軸時(shí)要注意。4.同一個(gè)幾何體可以有不同的建系方法，其坐標(biāo)也會(huì)對(duì)應(yīng)不同。但是通過(guò)坐標(biāo)所得到的結(jié)論（位置關(guān)系，角）是一致的。5.解答題中，在建立空間直角坐標(biāo)系之前，要先證明所用坐標(biāo)軸為兩兩垂直（即一個(gè)線面垂直SKIPIF1<0底面兩條線垂直），這個(gè)過(guò)程不能省略。三、坐標(biāo)的書寫1.能夠直接寫出坐標(biāo)的點(diǎn)（1）坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，例如在正方體（長(zhǎng)度為1）中的SKIPIF1<0點(diǎn)，坐標(biāo)特點(diǎn)如下：SKIPIF1<0軸：SKIPIF1<0SKIPIF1<0軸：SKIPIF1<0SKIPIF1<0軸：SKIPIF1<0（2）底面上的點(diǎn)：坐標(biāo)均為SKIPIF1<0，即豎坐標(biāo)SKIPIF1<0，由于底面在作立體圖時(shí)往往失真，所以要快速正確寫出坐標(biāo)，強(qiáng)烈建議在旁邊作出底面的平面圖進(jìn)行參考：以下圖為例：則可快速寫出SKIPIF1<0點(diǎn)的坐標(biāo)，位置關(guān)系清晰明了SKIPIF1<02.空間中在底面投影為特殊位置的點(diǎn)如果SKIPIF1<0在底面的投影為SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0（即點(diǎn)與投影點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相同）這條規(guī)律出發(fā)，在寫空間中的點(diǎn)時(shí)，可看下在底面的投影點(diǎn)，坐標(biāo)是否好寫。如果可以則直接確定了橫縱坐標(biāo)，而豎坐標(biāo)為該點(diǎn)到底面的距離。例如：正方體中的SKIPIF1<0點(diǎn)，其投影為SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，而其到底面的距離為SKIPIF1<0，故坐標(biāo)為SKIPIF1<0以上兩個(gè)類型已經(jīng)可以囊括大多數(shù)幾何體中的點(diǎn)，但總還有一些特殊點(diǎn)，那么就要用到第三個(gè)方法：3.需要計(jì)算的點(diǎn)①中點(diǎn)坐標(biāo)公式：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0②利用向量關(guān)系進(jìn)行計(jì)算（先設(shè)再求）：向量坐標(biāo)化后，向量的關(guān)系也可轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而可以求出一些位置不好的點(diǎn)的坐標(biāo)，方法通常是先設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，再選取向量，利用向量關(guān)系解出變量的值，例如：求SKIPIF1<0點(diǎn)的坐標(biāo)，如果使用向量計(jì)算，則設(shè)SKIPIF1<0，可直接寫出SKIPIF1<0，觀察向量SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0四、空間直角坐標(biāo)系建立的模型(1)墻角模型：已知條件中有過(guò)一點(diǎn)兩兩垂直的三條直線，就是墻角模型．建系：以該點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以兩兩垂直的三條直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，當(dāng)然條件不明顯時(shí)，要先證明過(guò)一點(diǎn)的三條直線兩兩垂直(即一個(gè)線面垂直SKIPIF1<0面內(nèi)兩條線垂直)，這個(gè)過(guò)程不能省略．然后建系．(2)垂面模型：已知條件中有一條直線垂直于一個(gè)平面，就是墻角模型．情形１垂下(上)模型：直線豎直，平面水平，大部分題目都是這種類型．如圖，此情形包括垂足在平面圖形的頂點(diǎn)處、垂足在平面圖形的邊上(中點(diǎn)多)和垂足在平面圖形的內(nèi)部三種情況．第一種建系方法為以垂足為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂線的向上方向?yàn)閦軸，平面圖形的一邊為x軸或y軸，在平面圖形中，過(guò)原點(diǎn)作x軸或y軸的垂線為y軸或x軸(其中很多題目是連接垂足與平面圖形的另一頂點(diǎn))建立空間直角坐標(biāo)系．如圖1-1第二種建系方法為以垂足為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂線的向上方向?yàn)閦軸，垂足所在的一邊為x軸或y軸，在平面圖形中，過(guò)原點(diǎn)作x軸或y軸的垂線為y軸或x軸(其中很多題目是連接垂足與平面圖形的另一頂點(diǎn))建立空間直角坐標(biāo)系．如圖1-2第三種建系方法為以垂足為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂線的向上方向?yàn)閦軸，連接垂足與平面圖形的一頂點(diǎn)所在直線為為x軸或y軸，在平面圖形中，過(guò)原點(diǎn)作x軸或y軸的垂線為y軸或x軸(其中很多題目是連接垂足與平面圖形的另一頂點(diǎn))建立空間直角坐標(biāo)系．如圖1-3SKIPIF1<0SKIPIF1<0圖1－1SKIPIF1<0SKIPIF1<0圖1－2SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0圖1－3情形2垂左(右)模型：直線水平，平面豎直，這種類型的題目很少．各種情況如圖，建系方法可類比情形1．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0圖2－1圖2－2圖2－3情形3垂后(前)模型：直線水平，平面豎直，這種類型的題目很少．各種情況如圖，建系方法可類比情形1．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0圖3－1圖3－2圖3－3二、題型精講精練二、題型精講精練【典例1】如圖，在等腰梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并確定各點(diǎn)坐標(biāo)。方案一：（選擇SKIPIF1<0為軸），連結(jié)SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中SKIPIF1<0SKIPIF1<0由SKIPIF1<0可解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為坐標(biāo)軸如圖建系：SKIPIF1<0方案二（以SKIPIF1<0為軸）：過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂線SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0以SKIPIF1<0為坐標(biāo)軸如圖建系：（同方案一）計(jì)算可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0【典例2】如圖：已知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0為直角梯形，SKIPIF1<0，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系并求出各點(diǎn)坐標(biāo)解：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0兩兩垂直，如圖建系：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0中：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0為等邊三角形SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0為等邊三角形SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0投影為SKIPIF1<0且SKIPIF1<0SKIPIF1<0綜上所述：SKIPIF1<0【題型訓(xùn)練-刷模擬】1．如圖所示，在三棱柱SKIPIF1<0中，點(diǎn)G、M分別是線段AD、BF的中點(diǎn).

(1)求證：SKIPIF1<0平面BEG；(2)若三棱柱SKIPIF1<0的側(cè)面ABCD和ADEF都是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面SKIPIF1<0平面ADEF，求二面角SKIPIF1<0的余弦值；2．如圖所示，SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)．

(1)若SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，證明：SKIPIF1<0．(2)若SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的余弦值．3．如圖，在多面體SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為4的菱形，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．

(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求二面角SKIPIF1<0的余弦值．4．如圖，三棱柱SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0是正三角形，側(cè)面SKIPIF1<0是菱形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn).

(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.5．如圖所示，在圓錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為圓錐的頂點(diǎn)，SKIPIF1<0為底面圓圓心，SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0的直徑，SKIPIF1<0為底面圓周上一點(diǎn)，四邊形SKIPIF1<0是矩形．

(1)若點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求三棱錐SKIPIF1<0的體積．6．）長(zhǎng)方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)（如圖1），將點(diǎn)SKIPIF1<0繞SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)SKIPIF1<0處，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0（如圖2）．

(1)求證：SKIPIF1<0；(2)點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，當(dāng)二面角SKIPIF1<0大小為SKIPIF1<0時(shí)，求四棱錐SKIPIF1<0的體積．7．如圖，在圓錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為圓錐頂點(diǎn)，SKIPIF1<0為圓錐底面的直徑，SKIPIF1<0為底面圓的圓心，SKIPIF1<0為底面圓周上一點(diǎn)，四邊形SKIPIF1<0為矩形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的余弦值．8．如圖，在平面四邊形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，以BD為折痕把SKIPIF1<0和SKIPIF1<0向上折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)E的位置，點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)F的位置，且E，F(xiàn)不重合.

(1)求證：SKIPIF1<0；(2)若點(diǎn)G為SKIPIF1<0的重心（三條中線的交點(diǎn)），SKIPIF1<0平面ABD，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的余弦值.9．如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，側(cè)面SKIPIF1<0是菱形，且SKIPIF1<0，側(cè)面SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0的正方形，側(cè)面SKIPIF1<0側(cè)面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)．

(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的銳二面角的余弦值．10．如圖所示，三棱柱SKIPIF1<0的所有棱長(zhǎng)均為1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為直角.

(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角SKIPIF1<0的正弦值.11．如圖所示，在多面體SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，側(cè)面SKIPIF1<0為菱形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，M為棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)．(1)若點(diǎn)N為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值．12．）在圖1中，四邊形ABCD為梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)A作SKIPIF1<0，交BC于E．現(xiàn)沿AE將△ABE折起，使得SKIPIF1<0，得到如圖2所示的四棱錐SKIPIF1<0，在圖2中解答下列兩問(wèn)：

(1)求四棱錐SKIPIF1<0的體積；(2)若F在側(cè)棱BC上，SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的大?。?3．如圖，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，且沿SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別將SKIPIF1<0與SKIPIF1<0折起來(lái)，使其頂點(diǎn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合于點(diǎn)SKIPIF1<0，若所得三棱錐SKIPIF1<0的頂點(diǎn)SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0內(nèi)的射影SKIPIF1<0恰為SKIPIF1<0的中點(diǎn).

(1)求三棱錐SKIPIF1<0的體積；(2)求折起前的SKIPIF1<0與側(cè)面SKIPIF1<0所成二面角的大小.14．如圖，在圓柱體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，劣弧SKIPIF1<0的長(zhǎng)為SKIPIF1<0，AB為圓O的直徑．

(1)在弧SKIPIF1<0上是否存在點(diǎn)C（C，SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0同側(cè)），使SKIPIF1<0，若存在，確定其位置，若不存在，說(shuō)明理由；(2)求二面角SKIPIF1<0的余弦值．15．如圖，在矩形SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上，且滿足SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0向上翻折，使點(diǎn)SKIPIF1<0到點(diǎn)SKIPIF1<0的位置，構(gòu)成四棱錐SKIPIF1<0.(1)若點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，試確定點(diǎn)SKIPIF1<0的位置；(2)若SKIPIF1<0，求銳二面角SKIPIF1<0的大小.16．如圖，SKIPIF1<0為圓錐的頂點(diǎn)，SKIPIF1<0是圓錐底面的圓心，SKIPIF1<0為底面直徑，SKIPIF1<0為底面圓SKIPIF1<0的內(nèi)接正三角形，且邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在母線SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0.

(1)求證：直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(3)若點(diǎn)SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.17．如圖，在多面體SKIPIF1<0中，側(cè)面SKIPIF1<0為菱形，側(cè)面SKIPIF1<0為直角梯形，SKIPIF1<0