新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第7章　§7.6　空間向量的概念與運算（原卷版）

§7.6空間向量的概念與運算考試要求1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量的線性運算及其坐標(biāo)表示，掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.3.理解直線的方向向量及平面的法向量，能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡單定理．知識梳理1．空間向量的有關(guān)概念名稱定義空間向量在空間中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量長度相等而方向相反的向量共線向量(或平行向量)表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量共面向量平行于同一個平面的向量2.空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb.(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空間的一個基底．3．空間向量的數(shù)量積及運算律(1)數(shù)量積非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共線a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))夾角余弦值cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))4.空間位置關(guān)系的向量表示(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量a為直線l的方向向量．(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a為平面α的法向量．(3)空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為m，l?αl∥αn⊥m?n·m＝0l⊥αn∥m?n＝λm(λ∈R)平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝λm(λ∈R)α⊥βn⊥m?n·m＝0常用結(jié)論1．三點共線：在平面中A，B，C三點共線?eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O為平面內(nèi)任意一點．2．四點共面：在空間中P，A，B，C四點共面?eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O為空間中任意一點．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)空間中任意兩個非零向量a，b共面．()(2)空間中模相等的兩個向量方向相同或相反．()(3)若A，B，C，D是空間中任意四點，則有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.()(4)若直線a的方向向量和平面α的法向量平行，則a∥α.()教材改編題1.如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AC與BD的交點為點M，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，則下列向量中與eq\o(C1M,\s\up6(→))相等的向量是()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c B.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－c D．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c2.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為a，M，N分別為A1B和AC上的點，A1M＝AN＝eq\f(\r(2)a,3)，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是()A．相交 B．平行C．垂直 D．不能確定3．設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，則m＝________.題型一空間向量的線性運算例1(1)在空間四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3,5,2)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－7，－1，－4)，點E，F(xiàn)分別為線段BC，AD的中點，則eq\o(EF,\s\up6(→))的坐標(biāo)為()A．(2,3,3) B．(－2，－3，－3)C．(5，－2,1) D．(－5,2，－1)(2)在三棱柱A1B1C1－ABC中，D是四邊形BB1C1C的中心，且eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，則eq\o(A1D,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cB.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)cD．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c思維升華用已知向量表示某一向量的三個關(guān)鍵點(1)要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義．(3)在立體幾何中，三角形法則、平行四邊形法則仍然成立．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝eq\f(1,2)x－2a，則x等于()A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)(2)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC的中點．①化簡eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝________；②用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))表示eq\o(OC1,\s\up6(→))，則eq\o(OC1,\s\up6(→))＝________.題型二空間向量基本定理及其應(yīng)用例2(1)下列命題正確的是()A．若a與b共線，b與c共線，則a與c共線B．向量a，b，c共面，即它們所在的直線共面C．若空間向量a，b，c不共面，則a，b，c都不為0D．若a，b，c共面，則存在唯一的實數(shù)對(x，y)，使得a＝xb＋yc(2)(多選)下列說法中正確的是()A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共線的充要條件B．若eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))共線，則AB∥CDC．A，B，C三點不共線，對空間任意一點O，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))，則P，A，B，C四點共面D．若P，A，B，C為空間四點，且有eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))＋μeq\o(PC,\s\up6(→))(eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))不共線)，則λ＋μ＝1是A，B，C三點共線的充要條件思維升華應(yīng)用共線(面)向量定理、證明點共線(面)的方法比較三點(P，A，B)共線空間四點(M，P，A，B)共面eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up6(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up6(→))跟蹤訓(xùn)練2(1)已知空間中A，B，C，D四點共面，且其中任意三點均不共線，設(shè)P為空間中任意一點，若eq\o(BD,\s\up6(→))＝6eq\o(PA,\s\up6(→))－4eq\o(PB,\s\up6(→))＋λeq\o(PC,\s\up6(→))，則λ等于()A．2B．－2C．1D．－1(2)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，且滿足eq\o(DE,\s\up6(→))＝xeq\o(DA,\s\up6(→))＋yeq\o(DC,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq\o(DD1,\s\up6(→))，則|eq\o(DE,\s\up6(→))|的最小值是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(2,3)題型三空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用例3(1)已知點O為空間直角坐標(biāo)系的原點，向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,2,3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2,1,2)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1,1,2)，且點Q在直線OP上運動，當(dāng)eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))取得最小值時，eq\o(OQ,\s\up6(→))的坐標(biāo)是______．(2)如圖，已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.①求線段AC1的長；②求異面直線AC1與A1D所成角的余弦值；③求證：AA1⊥BD.思維升華空間向量的數(shù)量積運算有兩條途徑，一是根據(jù)數(shù)量積的定義，利用模與夾角直接計算；二是利用坐標(biāo)運算．跟蹤訓(xùn)練3(1)在正三棱錐P－ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，則eq\o(PO,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))等于()A.eq\f(5,9)B.eq\f(\r(6),3)C.eq\f(4\r(2),3)D.eq\f(8,3)(2)已知A(－1,2,1)，B(－1,5,4)，C(1,3,4)．①求〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉；②求eq\o(AC,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))上的投影向量．題型四向量法證明平行、垂直例4如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD的中點．(1)求證：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由．思維升華(1)利用向量法證明平行、垂直關(guān)系，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(盡可能利用垂直條件，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，進(jìn)而用向量表示涉及到直線、平面的要素)．(2)向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量，但向量證明仍然離不開立體幾何的有關(guān)定理．跟蹤訓(xùn)練4如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，點E在線段BB1上，且EB1＝1，D，F(xiàn)，G分別為CC1，C1B1，C1A1的中點．(1)求證：平面A1B1D⊥平面ABD；(2)求證：平面EGF∥平面ABD.課時精練1．已知直線l的一個方向向量為m＝(x,2，－5)，平面α的一個法向量為n＝(3，－1,2)，若l∥α，則x等于()A．－6B．6C．－4D．42．(多選)下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有()A．若向量a，b與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則a∥bB．若非零向量a，b，c滿足a⊥b，b⊥c，則有a∥cC．若eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))是空間的一組基底，且eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，則A，B，C，D四點共面D．若向量a＋b，b＋c，c＋a是空間的一組基底，則a，b，c也是空間的一組基底3.如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)AD＝1，則eq\o(BD1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A．1 B．2C．3 D.eq\f(\r(6),3)4．已知平面α內(nèi)有一個點A(2，－1,2)，α的一個法向量為n＝(3,1,2)，則下列點P中，在平面α內(nèi)的是()A．(1，－1,1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，3，\f(3,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－3，\f(3,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，3，－\f(3,2)))5.如圖在一個120°的二面角的棱上有兩點A，B，線段AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且均與棱AB垂直，若AB＝eq\r(2)，AC＝1，BD＝2，則CD的長為()A．2B．3C．2eq\r(3)D．46．(多選)已知空間向量a＝(2，－2,1)，b＝(3,0,4)，則下列說法正確的是()A．向量c＝(－8,5,6)與a，b垂直B．向量d＝(1，－4，－2)與a，b共面C．若a與b分別是異面直線l1與l2的方向向量，則其所成角的余弦值為eq\f(2,3)D．向量a在向量b上的投影向量為(6,0,8)7．已知直線l的方向向量是m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)，平面α的一個法向量是n＝(2,3,3)．若l⊥α，則a＋b＝________.8．已知V為矩形ABCD所在平面外一點，且VA＝VB＝VC＝VD，eq\o(VP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(VC,\s\up6(→))，eq\o(VM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(VB,\s\up6(→))，eq\o(VN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(VD,\s\up6(→)).則VA與平面PMN的位置關(guān)系是________．9．已知a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．(1)求|2a＋b|；(2)在直線AB上是否存在一點E，使得eq\o(OE,\s\up6(→))⊥b？(O為原點)10.如圖，四棱錐P－ABCD的底面為正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，H分別是線段PA，PD，AB的中點．求證：(1)PB∥平面EFH；(2)PD⊥平面AHF.11.如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝eq\r(3)AD＝eq\r(3)AA1＝eq\r(3)，點P為線段A1C上的動點，則下列結(jié)論不正確的是()A．當(dāng)eq\o(A1C,\s\up6(→))＝2eq\o(A1P,\s\up6(→))時，B1，P，D三點共線B．當(dāng)eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(A1C,\s\up6(→))時，eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(D1P,\s\up6(→))C．當(dāng)eq\o(A1C,\s\up6(→))＝3eq\o(A1P,\s\up6(→))時，D1P∥平面BDC1D．當(dāng)eq\o(A1C,\s\up6(→))＝5eq\o(A1P,\s\up6(→))時，A1C⊥平面D1AP12．(多選)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝3，點M，N分別在棱AB和