1.3 集合的基本運算（第一課時 補集）-2024-2025學年高一數(shù)學人教版

第1章集合與常用邏輯用語1.3集合的基本運算（補集）

人教A版2019必修第一冊情景導入一日在廟里靜坐,老和尚問小和尚:“如果你前進是死,后退是亡,那你怎么辦?”小和尚說:“我從旁邊繞過去.”問題:若將老和尚設定的運動方向作為元素,構成一個集合C={前進,后退},則怎樣描述集合A={前進}與B={后退}的關系?集合A={前進}與B={后退}互補.沒有公共元素.溫故知新并集和交集的概念及其表示類別概念自然語言符號語言圖形語言并集由組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作(讀作“A并B”)A∪B＝{x|x∈A或x∈B}交集由組成的集合，稱為集合A與B的交集，記作(讀作“A交B”)A∩B={x|x∈A且x∈B}

ABAB概念講解思考：觀察下列三個集合:集合S與集合A、B之間有什么關系？S={x|x是高一年級的同學},A={x|x是高一年級參加軍訓的同學},B={x|x是高一年級沒有參加軍訓的同學}.通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，集合A,B與集合S之間具有一種關系：S=A∪B由所有屬于集合S但不屬于集合A的元素組成的集合就是集合B.概念講解全集如果一個集合含有所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U.定義思考：全集一定包含任何元素嗎?提示:不一定.全集不是固定的,它是相對而言的.只要包含所研究問題中涉及的所有元素即可.概念講解補集

對于一個集合A

，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集,簡稱為集合A的補集．記作：СUA定義文字語言符號語言圖形語言性

質

AСUAU

概念講解例1.設U={x|x是小于9的正整數(shù)}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，求CUA，CUB.解：U={1，2，3，4，5，6，7，8}

CUA={4，5，6，7，8}CUB={1，2，7，8}概念講解例2．設全集U={x|x是三角形}，A={x|x是銳角三角形}，B={x|x是鈍角三角形}.求A∩B，СU（A∪B）解：根據(jù)三角形的分類可知A∩B＝?，A∪B＝{x|x是銳角三角形或鈍角三角形}，СU（A∪B）＝{x|x是直角三角形}概念講解方法總結

補集的求解步驟及方法(1)步驟:①確定全集,在進行補集的簡單運算時,應首先明確全集;②緊扣定義求解補集.(2)方法:①借助Venn圖或數(shù)軸求解;②借助補集的性質求解.概念講解練習1：已知全集U,A={1,3,5,7},CUA={2,4,6},CUB={1,4,6},求集合B

解：因為A={1,3,5,7},CUA={2,4,6},

所以U={1,2,3,4,5,6,7}.

又因為CUB={1,4,6},

所以B={2,3,5,7}.概念講解

概念講解1.已知全集為R,集合A={x|x<a},B={x|1<x<2},且A∪(?RB)=R,則實數(shù)a的取值范圍是

.

分析：先求出?RB,再借助于數(shù)軸求實數(shù)a的取值范圍.解:∵B={x|1<x<2},∴?RB={x|x≤1,或x≥2}.又A={x|x<a},且A∪(?RB)=R,利用如圖所示的數(shù)軸可得a≥2.概念講解2.已知集合A={x|0≤x≤2},B={x|a≤x≤a+3}.(1)若(?RA)∪B≠R,求a的取值范圍;(2)若A∩B≠A,求a的取值范圍.分析：本題考查集合交集、并集的運算及補集思想的應用,求解時可先將不相等問題轉化為相等問題,求出a的集合后取其補集.概念講解解:(1)∵A={x|0≤x≤2},∴?RA={x|x<0,或x>2}.設(?RA)∪B=R,如圖所示.∴a≤0,且a+3≥2,即a≤0,且a≥-1,∴滿足(?RA)∪B≠R的實數(shù)a的取值范圍是{a|a<-1,或a>0}.(2)若A∩B=A,則A?B,又A≠?,∴當A∩B≠A時,a的取值范圍為集合{a|-1≤a≤0}的補集,即{a|a<-1,或a>0}.概念講解方法總結(1)運用補集思想求參數(shù)范圍的方法:①否定已知條件考慮反面問題;②求解反面問題對應的參數(shù)范圍;③將反面問題對應的參數(shù)范圍取補集.(2)補集思想適用的情況:從正面考慮情況較多,問題較復雜的時候,往往考慮運用補集思想.情景導入

已知一個班有30人，其中5人有兄弟，5人有姐妹，你能判斷這個班有多少是獨生子女嗎？如果不能判斷，你能說出需哪些條件才能對這一問題做出判斷嗎？

事實上，如果注意到“有兄弟的人也可能有姐妹”，我們就知道，上面給出的條件不足以判斷這個班獨生子女的人數(shù)，為了解決這個問題，我們還必須知道“有兄弟且有姐妹的同學的人數(shù)”．

應用本小節(jié)集合運算的知識，我們就能清晰地描述并解決上述問題了．概念講解思考1：觀察以下幾個例子，類比實數(shù)的加法運算，找出下面兩個集合是否可以“相加”呢？(1)A={1,3,5}，B={2,4,6}，C={1,2,3,4,5,6}(2)A={x|x是有理數(shù)}，B={x|x是無理數(shù)}，C={x|x是實數(shù)}通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，集合A,B與集合C之間具有一種關系：集合C是由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的.概念講解并集一般地，由所有屬于集合A或B的元素組成的集合，稱為集合A與集合B的并集，記作A∪B，讀作“A并B”，定義文字語言符號語言圖形語言AB說明：兩個集合求并集，結果還是一個集合，是由集合A與B的所有元素組成的集合（重復元素只看成一個元素）．A∪B=B∪A;A∪A=

;A∪?=

;A?B?A∪B=B.AA性

質A∪B={x|x∈A,或x∈B}概念講解例1.設集合A={4，5，6，8}，集合B={3，5，7，8},求A∪B。解：A∪B={4，5，6，8}∪{3，5，7，8}={3，4，5，6，7，8}注意：因為集合中的元素具有“互異性”，因此相同元素在并集中只出現(xiàn)一次。練習：設集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，則M∪N＝(

)A．{0}

B．{0,2}

C．{－2,0}

D．{－2,0,2}

概念講解例2.設A={x|-1＜x＜2},B={x|1＜x＜3},求A∪B.解：A∪B={x|-1＜x＜2}∪{x|1＜x＜3}={x|-1＜x＜3}。-1。1。2。30練習：已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，則M∪N＝(

)A．{x|x<－5或x>－3} B．{x|－5<x<5}C．{x|－3<x<5} D．{x|x<－3或x>5}

概念講解思考2：觀察以下幾個集合，集合A,B與集合C之間有什么關系？（1）A=｛2，4，6，8，10｝，B=｛3，5，8，12｝，C=｛8｝（2）A=｛x|x是立德中學今年在校的女同學｝，

B=｛x|x是立德中學今年在校的高一年級同學｝，

C=｛x|x是立德中學今年在校的高一年級女同學｝．通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，集合A,B與集合C之間具有一種關系：集合C是由既屬于集合A又屬于集合B的元素組成的.概念講解交集一般地，由所有屬于集合A且B的元素組成的集合，稱為集合A與集合B的交集，記作A∩B，讀作“A交B”，定義文字語言符號語言圖形語言A∩B=B∩A;A∩A=

;A∩?=

;A?B?A∩B=AA性

質A∩B={x|x∈A,且x∈B}AB?概念講解

練習：設集合M={m∈Z|-3<m<2},N={n∈Z|-1≤n≤3},則M∩N=(

).A.{0,1}

B.{-1,0,1}C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2}B概念講解

概念講解練習：已知集合A={x|2<x<4},B={x|x<3或x>5},則A∩B=(

).A.{x|2<x<5} B.{x|x<4或x>5}C.{x|2<x<3} D.{x|x<2或x>5}C將集合A,B在數(shù)軸上標出,如圖所示,由圖可知A∩B={x|2<x<3},故選C概念講解1.已知集合A={x|0≤x≤4},集合B={x|m+1≤x≤1-m},且A∪B=A,求實數(shù)m的取值范圍.分析:A∪B=A等價于B?A,分B=?和B≠?兩種情況討論.借助于數(shù)軸,列出關于m的不等式組,解不等式組得到m的取值范圍.概念講解解:∵A∪B=A,∴B?A.∵A={x|0≤x≤4}≠?,∴B=?或B≠?.當B=?時,有m+1>1-m,解得m>0.當B≠?時,用數(shù)軸表示集合A和B,如圖所示,綜上所得,實數(shù)m的取值范圍是m>0或-1≤m≤0,即m≥-1.概念講解2.已知集合A={x|2a≤x≤