2024-2025學年河北省衡水市景縣梁集中學高考全真模擬卷（二）數(shù)學試題含解析

2024-2025學年河北省衡水市景縣梁集中學高考全真模擬卷（二）數(shù)學試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為.給出下列四個結(jié)論：①曲線有四條對稱軸；②曲線上的點到原點的最大距離為；③曲線第一象限上任意一點作兩坐標軸的垂線與兩坐標軸圍成的矩形面積最大值為；④四葉草面積小于.其中，所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④2．設(shè)則以線段為直徑的圓的方程是（）A． B．C． D．3．已知函數(shù)，若曲線上始終存在兩點，，使得，且的中點在軸上，則正實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．4．一個算法的程序框圖如圖所示，若該程序輸出的結(jié)果是，則判斷框中應填入的條件是（）A． B． C． D．5．若的二項式展開式中二項式系數(shù)的和為32，則正整數(shù)的值為（）A．7 B．6 C．5 D．46．已知函數(shù)，其中，若恒成立，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B．C． D．7．已知函數(shù)，且的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則，，的大小關(guān)系為()A． B．C． D．8．已知實數(shù)，則下列說法正確的是（）A． B．C． D．9．已知實數(shù)滿足約束條件，則的最小值為（）A．-5 B．2 C．7 D．1110．已知是空間中兩個不同的平面，是空間中兩條不同的直線，則下列說法正確的是（）A．若，且，則B．若，且，則C．若，且，則D．若，且，則11．已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于，兩點（設(shè)點位于第一象限），過點，分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為點，，拋物線的準線交軸于點，若，則直線的斜率為A．1 B． C． D．12．為研究語文成績和英語成績之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計兩科成績得到如圖所示的散點圖(兩坐標軸單位長度相同)，用回歸直線近似地刻畫其相關(guān)關(guān)系，根據(jù)圖形，以下結(jié)論最有可能成立的是()A．線性相關(guān)關(guān)系較強，b的值為1.25B．線性相關(guān)關(guān)系較強，b的值為0.83C．線性相關(guān)關(guān)系較強，b的值為－0.87D．線性相關(guān)關(guān)系太弱，無研究價值二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是拋物線的焦點，過作直線與相交于兩點，且在第一象限，若，則直線的斜率是_________．14．函數(shù)的極大值為________.15．已知是定義在上的偶函數(shù)，其導函數(shù)為．若時，，則不等式的解集是___________．16．在邊長為2的正三角形中，，則的取值范圍為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面，，，，，點為棱的中點.（1）證明：：（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）若為棱上一點，滿足，求二面角的余弦值.18．（12分）為了拓展城市的旅游業(yè)，實現(xiàn)不同市區(qū)間的物資交流，政府決定在市與市之間建一條直達公路，中間設(shè)有至少8個的偶數(shù)個十字路口，記為，現(xiàn)規(guī)劃在每個路口處種植一顆楊樹或者木棉樹，且種植每種樹木的概率均為.（1）現(xiàn)征求兩市居民的種植意見，看看哪一種植物更受歡迎，得到的數(shù)據(jù)如下所示：A市居民B市居民喜歡楊樹300200喜歡木棉樹250250是否有的把握認為喜歡樹木的種類與居民所在的城市具有相關(guān)性；（2）若從所有的路口中隨機抽取4個路口，恰有個路口種植楊樹，求的分布列以及數(shù)學期望；（3）在所有的路口種植完成后，選取3個種植同一種樹的路口，記總的選取方法數(shù)為，求證：.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82819．（12分）已知函數(shù)（，），.（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）對及，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù).（1）證明：當時，；（2）若函數(shù)只有一個零點，求正實數(shù)的值.22．（10分）已知是遞增的等比數(shù)列，，且、、成等差數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，，求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

①利用之間的代換判斷出對稱軸的條數(shù)；②利用基本不等式求解出到原點的距離最大值；③將面積轉(zhuǎn)化為的關(guān)系式，然后根據(jù)基本不等式求解出最大值；④根據(jù)滿足的不等式判斷出四葉草與對應圓的關(guān)系，從而判斷出面積是否小于.【詳解】①：當變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱；當變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱；當變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱；當變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱；綜上可知：有四條對稱軸，故正確；②：因為，所以，所以，所以，取等號時，所以最大距離為，故錯誤；③：設(shè)任意一點，所以圍成的矩形面積為，因為，所以，所以，取等號時，所以圍成矩形面積的最大值為，故正確；④：由②可知，所以四葉草包含在圓的內(nèi)部，因為圓的面積為：，所以四葉草的面積小于，故正確.故選：C.本題考查曲線與方程的綜合運用，其中涉及到曲線的對稱性分析以及基本不等式的運用，難度較難.分析方程所表示曲線的對稱性，可通過替換方程中去分析證明.2．A【解析】

計算的中點坐標為，圓半徑為，得到圓方程.【詳解】的中點坐標為：，圓半徑為，圓方程為.故選：.本題考查了圓的標準方程，意在考查學生的計算能力.3．D【解析】

根據(jù)中點在軸上，設(shè)出兩點的坐標，，（）.對分成三類，利用則，列方程，化簡后求得，利用導數(shù)求得的值域，由此求得的取值范圍.【詳解】根據(jù)條件可知，兩點的橫坐標互為相反數(shù)，不妨設(shè)，，（），若，則，由，所以，即，方程無解；若，顯然不滿足；若，則，由，即，即，因為，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，故在處取得極小值也即是最小值，所以函數(shù)在上的值域為，故.故選D.本小題主要考查平面平面向量數(shù)量積為零的坐標表示，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最小值，考查分析與運算能力，屬于較難的題目.4．D【解析】

首先判斷循環(huán)結(jié)構(gòu)類型，得到判斷框內(nèi)的語句性質(zhì)，然后對循環(huán)體進行分析，找出循環(huán)規(guī)律，判斷輸出結(jié)果與循環(huán)次數(shù)以及的關(guān)系，最終得出選項．【詳解】經(jīng)判斷此循環(huán)為“直到型”結(jié)構(gòu)，判斷框為跳出循環(huán)的語句，第一次循環(huán)：；第二次循環(huán)：；第三次循環(huán)：，此時退出循環(huán)，根據(jù)判斷框內(nèi)為跳出循環(huán)的語句，，故選D．題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，屬于中檔題．解決程序框圖問題時一定注意以下幾點：(1)不要混淆處理框和輸入框；(2)注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu)；(3)注意區(qū)分當型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；(4)處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問題時一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；(5)要注意各個框的順序，（6）在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運算方法逐次計算，直到達到輸出條件即可．5．C【解析】

由二項式系數(shù)性質(zhì)，的展開式中所有二項式系數(shù)和為計算．【詳解】的二項展開式中二項式系數(shù)和為，．故選：C．本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，掌握二項式系數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6．A【解析】

，從而可得，，再解不等式即可.【詳解】由已知，，所以，，由，解得，.故選：A.本題考查求正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，涉及到恒成立問題，考查學生轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.7．C【解析】

根據(jù)題意，得，，則為減函數(shù)，從而得出函數(shù)的單調(diào)性，可比較和，而，比較，即可比較.【詳解】因為，且的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，所以，，所以函數(shù)為減函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因為，所以，又，，則|，即，所以.故選：C.本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，還考查化簡能力和轉(zhuǎn)化思想.8．C【解析】

利用不等式性質(zhì)可判斷，利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷.【詳解】解：對于實數(shù)，，不成立對于不成立．對于．利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增性質(zhì)，即可得出．對于指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減性質(zhì)，因此不成立．故選：．利用不等式性質(zhì)比較大小．要注意不等式性質(zhì)成立的前提條件．解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗證的方法．9．A【解析】

根據(jù)約束條件畫出可行域，再將目標函數(shù)化成斜截式，找到截距的最小值.【詳解】由約束條件，畫出可行域如圖變?yōu)闉樾甭蕿?3的一簇平行線，為在軸的截距，最小的時候為過點的時候，解得所以，此時故選A項本題考查線性規(guī)劃求一次相加的目標函數(shù)，屬于常規(guī)題型，是簡單題.10．D【解析】

利用線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理,對選項做出判斷，舉出反例排除.【詳解】解：對于，當，且，則與的位置關(guān)系不定，故錯；對于，當時，不能判定，故錯；對于，若，且，則與的位置關(guān)系不定，故錯；對于，由可得，又，則故正確．故選：．本題考查空間線面位置關(guān)系.判斷線面位置位置關(guān)系利用好線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理.一般可借助正方體模型，以正方體為主線直觀感知并準確判斷．11．C【解析】

根據(jù)拋物線定義，可得，，又，所以，所以，設(shè)，則，則，所以，所以直線的斜率．故選C．12．B【解析】

根據(jù)散點圖呈現(xiàn)的特點可以看出，二者具有相關(guān)關(guān)系，且斜率小于1.【詳解】散點圖里變量的對應點分布在一條直線附近，且比較密集，故可判斷語文成績和英語成績之間具有較強的線性相關(guān)關(guān)系，且直線斜率小于1，故選B.本題主要考查散點圖的理解，側(cè)重考查讀圖識圖能力和邏輯推理的核心素養(yǎng).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

作出準線，過作準線的垂線，利用拋物線的定義把拋物線點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為點到準線的距離，利用平面幾何知識計算出直線的斜率．【詳解】設(shè)是準線，過作于，過作于，過作于，如圖，則，，∵，∴，∴，∴，，∴，∴直線斜率為．故答案為：．本題考查拋物線的焦點弦問題，解題關(guān)鍵是利用拋物線的定義，把拋物線上點到焦點距離轉(zhuǎn)化為該點到準線的距離，用平面幾何方法求解．14．【解析】

對函數(shù)求導，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，即可容易求得函數(shù)的極大值.【詳解】依題意，得.所以當時，；當時，.所以當時，函數(shù)有極大值.故答案為：.本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查運算求解能力以及化歸轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題.15．【解析】

構(gòu)造，先利用定義判斷的奇偶性，再利用導數(shù)判斷其單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合奇偶性，單調(diào)性求解不等式即可.【詳解】令，則是上的偶函數(shù)，，則在上遞減，于是在上遞增．由得，即，于是，則，解得．故答案為：本題考查了利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于較難題.16．【解析】

建立直角坐標系，依題意可求得，而，，，故可得，且，由此構(gòu)造函數(shù)，，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得取值范圍．【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，則，，，設(shè)，，，，根據(jù)，即，，，則，，即，，，則，，所以，，，，，，且，故，設(shè)，，易知二次函數(shù)的對稱軸為，故函數(shù)在，上的最大值為，最小值為，故的取值范圍為．故答案為：．本題考查平面向量數(shù)量積的坐標運算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意通過設(shè)元、消元，將問題轉(zhuǎn)化為元二次函數(shù)的值域問題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）證明見解析（2）（3）【解析】

（1）根據(jù)題意以為坐標原點，建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，并表示出，由空間向量數(shù)量積運算即可證明.（2）先求得平面的法向量，即可求得直線與平面法向量夾角的余弦值，即為直線與平面所成角的正弦值；（3）由點在棱上，設(shè)，再由，結(jié)合，由空間向量垂直的坐標關(guān)系求得的值.即可表示出.求得平面和平面的法向量，由空間向量數(shù)量積的運算求得兩個平面夾角的余弦值，再根據(jù)二面角的平面角為銳角即可確定二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：∵底面，，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，∵，，點為棱的中點．∴，，，，，，.（2）,設(shè)平面的法向量為.則，代入可得，令解得，即，設(shè)直線與平面所成角為，由直線與平面夾角可知所以直線與平面所成角的正弦值為.（3），由點在棱上，設(shè)，故，由，得，解得，即，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，則取平面的法向量，則二面角的平面角滿足，由圖可知，二面角為銳二面角，故二面角的余弦值為.本題考查了空間向量的綜合應用，由空間向量證明線線垂直，求直線與平面夾角及平面與平面形成的二面角大小，計算量較大，屬于中檔題.18．（1）沒有（2）分布列見解析，（3）證明見解析【解析】

（1）根據(jù)公式計算卡方值，再對應卡值表判斷..（2）根據(jù)題意，隨機變量的可能取值為0，1，2，3，4，分別求得概率，寫出分布列，根據(jù)期望公式求值.（3）因為至少8個的偶數(shù)個十字路口，所以，即.要證，即證，根據(jù)組合數(shù)公式，即證；易知有.成立.設(shè)個路口中有個路口種植楊樹，下面分類討論①當時，由論證.②當時，由論證.③當時，，設(shè)，再論證當時，取得最小值即可.【詳解】（1）本次實驗中，，故沒有99.9%的把握認為喜歡樹木的種類與居民所在的城市具有相關(guān)性.（2）依題意，的可能取值為0，1，2，3，4，故，，01234故.（3）∵，∴.要證，即證；首先證明：對任意，有.證明：因為，所以.設(shè)個路口中有個路口種植楊樹，①當時，，因為，所以，于是.②當時，，同上可得③當時，，設(shè)，當時，，顯然，當即時，，當即時，，即；，因此，即.綜上，，即.本題考查獨立性檢驗、離散型隨機變量的分布列以及期望、排列組合，還考查運算求解能力以及必然與或然思想，屬于難題.19．（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）求導得到，討論和兩種情況，得到答案.（Ⅱ）變換得到，設(shè)，求，令，故在單調(diào)遞增，存在使得，，計算得到答案.【詳解】（Ⅰ）（），當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（Ⅱ）（），即，（）.令（），則，令，，故在單調(diào)遞增，注意到，，于是存在使得，可知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.∴.綜上知，.本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，恒成立問題，意在考查學生對于導數(shù)知識的綜合應用能力.20．（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】

詳解：（Ⅰ）當時，由，解得；當時，不成立；當時，由，解得.所以不等式的解集為.（Ⅱ）因為，所以.由題意知對，，即，因為，所以，解得.⑴絕對值不等式解法的基本思路是：去掉絕對值號，把它轉(zhuǎn)化為一般的不等式求解，轉(zhuǎn)化的方法一般有：①絕對值定義法；②平方法；③