大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)講義

大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)講義

南陽(yáng)師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院

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《大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)》是面向高等學(xué)校理工科學(xué)生的重要實(shí)踐課程，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生

的從事科學(xué)研究的基本素養(yǎng)、鍛煉學(xué)生的動(dòng)手能力、觀測(cè)能力、數(shù)據(jù)處理與分析能

力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與科研開(kāi)發(fā)能力，具有不可替代的重要作用。我們根據(jù)目

前我國(guó)高等院校大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)開(kāi)設(shè)的情況，制定了我院的《大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)》培養(yǎng)方

案與目標(biāo)，對(duì)照實(shí)驗(yàn)室的儀器設(shè)備配置，據(jù)此組織編寫了這本實(shí)驗(yàn)進(jìn)義，可供我學(xué)

院所有理工科專業(yè)的學(xué)生使用。

本講義由張國(guó)芳主持編寫，緒論、誤差理論與數(shù)據(jù)處理，實(shí)驗(yàn)一、實(shí)驗(yàn)五由鄭

長(zhǎng)波編寫，實(shí)驗(yàn)二由楊興強(qiáng)編寫，實(shí)驗(yàn)三、實(shí)驗(yàn)四由肖紹武編寫，實(shí)驗(yàn)六、實(shí)驗(yàn)八、

實(shí)驗(yàn)十由張萍編寫，實(shí)驗(yàn)九由侯晨霞編寫，實(shí)驗(yàn)七山劉克濤編寫。

本講義在編寫過(guò)程中，參考了許多其他高等師范院校的實(shí)驗(yàn)教材,得到了我院許

多長(zhǎng)期從事實(shí)驗(yàn)教學(xué)工作教師的大力支持，在此表示感謝！本教材難免有不妥之處,

懇請(qǐng)讀者批評(píng)指正。

目錄

緒論誤差理論與數(shù)據(jù)處理....................................3

實(shí)驗(yàn)一密度的測(cè)量.............................................61

實(shí)驗(yàn)二牛頓第二定律的驗(yàn)證（氣墊導(dǎo)軌法）.....................69

實(shí)驗(yàn)三楊氏彈性模量的測(cè)定（拉伸法）........................78

實(shí)驗(yàn)四扭擺法測(cè)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量...............................87

實(shí)驗(yàn)五金屬線脹系數(shù)的測(cè)定....................................94

實(shí)驗(yàn)六二極管伏安特性的測(cè)定.................................101

實(shí)驗(yàn)七電表改裝與校準(zhǔn)（設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)）..........................105

實(shí)驗(yàn)八示波器的使用...........................................108

實(shí)驗(yàn)九霍耳效應(yīng)...............................................118

實(shí)驗(yàn)十等厚干涉現(xiàn)象的研究.....................................134

緒論誤差理論與數(shù)據(jù)處理

物理學(xué)是一門實(shí)驗(yàn)科學(xué)，在物理學(xué)的建立和發(fā)展中，物理實(shí)驗(yàn)起到了直接的推

動(dòng)作用。從經(jīng)典物理到近代、現(xiàn)代物理，物理實(shí)驗(yàn)在發(fā)現(xiàn)新事物、建立新規(guī)律、檢

驗(yàn)理論、測(cè)量物理量等諸多方面發(fā)揮著巨大作用。隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)水平的高度發(fā)

展，物理實(shí)驗(yàn)的思想、方法、技術(shù)與裝置己廣泛地滲透到了自然學(xué)科和工程技術(shù)的

各個(gè)領(lǐng)域，解決了一大批生產(chǎn)和科研問(wèn)題。

大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)是一門重要的基礎(chǔ)課程，是學(xué)生進(jìn)入大學(xué)后系統(tǒng)地接受科學(xué)實(shí)驗(yàn)

方法和實(shí)驗(yàn)技能訓(xùn)練的開(kāi)端。通過(guò)學(xué)習(xí)，可以提高學(xué)生用實(shí)驗(yàn)手段發(fā)現(xiàn)、分析和解

決問(wèn)題的能力，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造力，培養(yǎng)和增強(qiáng)獨(dú)立開(kāi)展科學(xué)研究的素

質(zhì)。

一、大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課的主要任務(wù)

1.通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的觀察分析和對(duì)物理量的測(cè)量，使學(xué)生掌握物理實(shí)驗(yàn)的基本

知識(shí)、基本方法和基本技能。運(yùn)用物理學(xué)原理和物理實(shí)驗(yàn)方法研究物理規(guī)律，加深

對(duì)物理學(xué)原理的理解。

2.培養(yǎng)與提高學(xué)生從事科學(xué)實(shí)驗(yàn)的能力。主要包括：

(1)自學(xué)能力。能夠自行閱讀實(shí)驗(yàn)教材與參考資料，正確理解實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，做好

實(shí)驗(yàn)前的準(zhǔn)備工作。

(2)動(dòng)手能力。能借助教材與儀器說(shuō)明書，正確調(diào)整和使用儀器，制作樣品，

發(fā)現(xiàn)和排除故障。

(3)思維判斷能力。運(yùn)用物理學(xué)理論，對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象與結(jié)果進(jìn)行分析和判斷。

(4)書面表達(dá)能力。能夠正確記錄和處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，繪制圖表，分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果,

撰寫規(guī)范、合格的實(shí)驗(yàn)報(bào)告或總結(jié)報(bào)告。

(5)綜合運(yùn)用能力。能夠?qū)⒍喾N實(shí)驗(yàn)方法、實(shí)驗(yàn)儀器結(jié)合在一起，運(yùn)用經(jīng)典與

現(xiàn)代測(cè)量技術(shù)和手段，完成某項(xiàng)實(shí)驗(yàn)任務(wù)。

(6)初步的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)能力。根據(jù)課題要求，能夠確定實(shí)驗(yàn)方法和條件，合理選

擇、搭配儀器，擬定具體的實(shí)施步驟。

3.培養(yǎng)學(xué)生從事科學(xué)實(shí)驗(yàn)的素質(zhì)。包括理論聯(lián)系實(shí)際、實(shí)事求是的科學(xué)作風(fēng)；

嚴(yán)肅認(rèn)真的工作態(tài)度；不怕困難、勇于探索的創(chuàng)新精神；遵章守紀(jì)、愛(ài)護(hù)公物的優(yōu)

良品德；團(tuán)結(jié)協(xié)作、共同進(jìn)取的作風(fēng)。

二、大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課的基本程序

1.實(shí)驗(yàn)預(yù)約

目前，大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程大多采用開(kāi)放式教學(xué)方式，即學(xué)生可在實(shí)驗(yàn)室提供的

上課時(shí)間和開(kāi)設(shè)的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目?jī)?nèi)，根據(jù)自己的專業(yè)特點(diǎn)、興趣愛(ài)好及時(shí)間安排，自己

選擇實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目和實(shí)驗(yàn)時(shí)間。因此，做好上課前的預(yù)約工作是至關(guān)重要的。實(shí)驗(yàn)預(yù)約

主要通過(guò)計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)，學(xué)生在預(yù)約時(shí)應(yīng)仔細(xì)閱讀實(shí)驗(yàn)室（或中心）關(guān)于開(kāi)放實(shí)

驗(yàn)的有關(guān)管理規(guī)定和預(yù)約指南，合理地安排好自己的實(shí)驗(yàn)課表，保證實(shí)驗(yàn)課的順利

進(jìn)行。

2.實(shí)驗(yàn)前的預(yù)習(xí)

預(yù)習(xí)是訓(xùn)練和提高自學(xué)能力的極好途徑，為了在規(guī)定時(shí)間內(nèi)高質(zhì)量地完成實(shí)驗(yàn)

內(nèi)容，必須做好預(yù)習(xí)工作。預(yù)習(xí)時(shí)，通過(guò)閱讀實(shí)驗(yàn)教材及參考資料，重點(diǎn)考慮三方

面問(wèn)題：做什么（最終目的）；根據(jù)什么去做（實(shí)驗(yàn)原理和方法）；怎樣做（實(shí)驗(yàn)方

案、條件、步驟和關(guān)鍵要領(lǐng)）。在此基礎(chǔ)上寫好預(yù)習(xí)報(bào)告，報(bào)告主要內(nèi)容是：實(shí)驗(yàn)名

稱，簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)原理（如主要計(jì)算公式、線路圖等），實(shí)驗(yàn)內(nèi)容（需觀察的現(xiàn)象或需測(cè)

量的物理量，數(shù)據(jù)記錄表格），遇到的問(wèn)題及注意事項(xiàng)。

每次實(shí)驗(yàn)前，教師將檢查預(yù)習(xí)情況。

3.實(shí)驗(yàn)中的觀測(cè)

實(shí)驗(yàn)操作與觀測(cè)是動(dòng)手能力、思維判斷能力和綜合運(yùn)用能力訓(xùn)練的過(guò)程，也是

培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)實(shí)驗(yàn)素質(zhì)的主要環(huán)節(jié)。在教師指導(dǎo)性講解的基礎(chǔ)上，主要做到以下幾

方面要求：

（1）弄清實(shí)驗(yàn)內(nèi)容的具體要求和注意事項(xiàng)。

(2)熟悉儀器，并進(jìn)行調(diào)整測(cè)試，符合要求后，方可進(jìn)行正式操作、測(cè)量.

(3)科學(xué)地、實(shí)事求是地記錄下實(shí)驗(yàn)中觀察到的各種現(xiàn)象和測(cè)量數(shù)據(jù)，同時(shí)記

錄與實(shí)驗(yàn)結(jié)果有關(guān)的實(shí)驗(yàn)條件，如環(huán)境(溫度、濕度、壓力等)、主要儀器(名稱、

型號(hào)、規(guī)格、準(zhǔn)確度等)，記錄數(shù)據(jù)要注意有效數(shù)字和單位準(zhǔn)確。

(4)實(shí)驗(yàn)完畢，將實(shí)驗(yàn)結(jié)果記錄情況交任課老師審閱簽字，確認(rèn)無(wú)誤后方可整

理儀器結(jié)束實(shí)驗(yàn)。

4.實(shí)驗(yàn)后的報(bào)告

實(shí)驗(yàn)報(bào)告是實(shí)驗(yàn)工作的全面總結(jié)和深入理解的一個(gè)環(huán)節(jié)。一份完整的實(shí)驗(yàn)報(bào)告，

應(yīng)是在完善預(yù)習(xí)報(bào)告的基礎(chǔ)上，增加：

(1)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象與數(shù)據(jù)，獲得數(shù)據(jù)的條件(如儀器、環(huán)境等)。

(2)數(shù)據(jù)處理方法，結(jié)果表達(dá)。

(3)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象及誤差分析，結(jié)果討論、結(jié)論，對(duì)實(shí)驗(yàn)的體會(huì)與建議等。

(4)教師簽字的原始數(shù)據(jù)。

書寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告時(shí)，要簡(jiǎn)明扼要，文字通順，字跡端正，圖表規(guī)范；獨(dú)立完成實(shí)

驗(yàn)報(bào)告并及時(shí)上交。

三、大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課的成績(jī)?cè)u(píng)定

平時(shí)每個(gè)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目的成績(jī)主要采用“三段式能力考核”方式進(jìn)行評(píng)定，即通過(guò)

考核預(yù)習(xí)情況檢驗(yàn)學(xué)生的自學(xué)能力，通過(guò)操作檢驗(yàn)學(xué)生的動(dòng)手能力與理論聯(lián)系實(shí)際

能力，通過(guò)實(shí)驗(yàn)報(bào)告考核學(xué)生綜合分析、處理數(shù)據(jù)和書面表達(dá)能力。教師在每一堂

實(shí)驗(yàn)課的教學(xué)過(guò)程中，將根據(jù)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)對(duì)實(shí)驗(yàn)的每個(gè)環(huán)節(jié)嚴(yán)格評(píng)定，充分

掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。實(shí)驗(yàn)成績(jī)?yōu)轭A(yù)習(xí)成績(jī)、操作成績(jī)、報(bào)告成績(jī)?nèi)咧汀?/p>

課程總成績(jī)主要為各實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目平均成績(jī)與所做實(shí)驗(yàn)個(gè)數(shù)的加權(quán)平均值，必要時(shí)

在學(xué)期末進(jìn)行實(shí)驗(yàn)基本理論知識(shí)和實(shí)驗(yàn)基本技能考試。

第一章誤差理論與數(shù)據(jù)處理基礎(chǔ)知識(shí)

在科學(xué)研究和實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，往往離不開(kāi)對(duì)某個(gè)物理量的測(cè)量。物理實(shí)驗(yàn)除了定

性地觀察物理現(xiàn)象外，也需要對(duì)物理量進(jìn)行定量測(cè)量，并確定各物理量之間的關(guān)系。

由于測(cè)量設(shè)備、環(huán)境、人員、方法等方面諸多因素的影響，使得測(cè)量值與真實(shí)

值并不完全一致，這種差異在數(shù)值上表現(xiàn)為誤差。隨著科學(xué)水平的提高和人們的經(jīng)

驗(yàn)、技巧、專門知識(shí)的豐富，誤差雖然可以被控制得越來(lái)越小，卻始終不能把它消

除。因此，對(duì)實(shí)驗(yàn)中測(cè)量獲得的數(shù)據(jù)，要選擇合適的方法進(jìn)行處理，并對(duì)其可靠性

做出評(píng)價(jià)，否則，測(cè)量結(jié)果是沒(méi)有價(jià)值的。

誤差與數(shù)據(jù)處理理論已發(fā)展為一門學(xué)科，它涉及的內(nèi)容豐富，且較為復(fù)雜。在

此，將簡(jiǎn)單介紹大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中常用的一些初步和基本知識(shí)。

1.1幾個(gè)基本概念

1.1.1測(cè)量（Measurement）

一、定義

所謂測(cè)量，就是借助于專門設(shè)備，通過(guò)一定的實(shí)驗(yàn)方法，以確定物理量值為目

的所進(jìn)行的操作。它是一個(gè)實(shí)驗(yàn)比較的過(guò)程，即把一個(gè)量（待測(cè)量）與另外一個(gè)量

（標(biāo)準(zhǔn)量）相比較。

測(cè)量由測(cè)量過(guò)程與測(cè)量結(jié)果組成。

測(cè)量過(guò)程是執(zhí)行測(cè)量所需的一系列操作。包括建立單位、設(shè)計(jì)工具、設(shè)計(jì)測(cè)量

方法、研究分析測(cè)量結(jié)果、尋找減小誤差的途徑等方面。

測(cè)量結(jié)果表示由測(cè)量所獲得的待測(cè)量的值，一般由數(shù)值、單位和精度評(píng)定三部

分組成。

二、分類

從不同的角度考慮，測(cè)量有不同的分類法。

按照測(cè)量結(jié)果獲得方法的不同，測(cè)量分為直接測(cè)量和間接測(cè)量。

用預(yù)先校對(duì)好的測(cè)量?jī)x器或量具對(duì)被測(cè)量進(jìn)行測(cè)量，直接讀取被測(cè)量數(shù)值的大

小，稱為直接測(cè)量（Directmeasurement）（,例如,用米尺測(cè)物體的長(zhǎng)度,用秒表測(cè)

時(shí)間，用天平與硅碼測(cè)物體的質(zhì)量，用電壓表（或電流表）測(cè)電壓（或電流）等都

屬于直接測(cè)量，相應(yīng)的被測(cè)物理量稱為直接測(cè)量量。

如果待測(cè)量的量值是山若干個(gè)直接測(cè)量量經(jīng)過(guò)一定的函數(shù)運(yùn)算獲得的，這種測(cè)

量稱為間接測(cè)量(Indirectmeasurement)。例如，體積、密度等物理量的測(cè)量往往

采用間接測(cè)量，相應(yīng)的被測(cè)物理量稱為間接測(cè)量量。

實(shí)際測(cè)量中多數(shù)為間接測(cè)量，但直接測(cè)量簡(jiǎn)單、直觀，是一切間接測(cè)量的基礎(chǔ)。

按照測(cè)量條件的不同，測(cè)量可分為等精度測(cè)量和非等精度測(cè)量。

在相同的測(cè)量條件下(同一測(cè)量水平的觀測(cè)者，同一精度的儀器，同樣的實(shí)驗(yàn)

方法和環(huán)境等)對(duì)某一待測(cè)量所做的重復(fù)性測(cè)量，稱為等精度測(cè)量。等精度測(cè)量獲

得的所有數(shù)據(jù)的可信賴程度是相同的，在數(shù)據(jù)處理過(guò)程中地位相同，應(yīng)一視同仁。

盡管實(shí)際測(cè)量中，很難保證所有條件不變，但由于等精度測(cè)量數(shù)據(jù)處理方法相

對(duì)簡(jiǎn)單，因此只要測(cè)量條件變化不大，?般都可近似為等精度測(cè)量。大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)

學(xué)習(xí)階段，主要考慮等精度測(cè)量。

在不同的測(cè)量條件下對(duì)某一待測(cè)量所做的重復(fù)性測(cè)量，稱為非等精度測(cè)量。非

等精度測(cè)量獲得的所有數(shù)據(jù)的可信賴程度是不同的，在數(shù)據(jù)處理過(guò)程中應(yīng)按精度高

低，區(qū)別對(duì)待。

按照被觀測(cè)對(duì)象在測(cè)量過(guò)程中所處的狀態(tài)，可分為靜態(tài)測(cè)量和動(dòng)態(tài)測(cè)量。

如果待測(cè)量在測(cè)量過(guò)程中是固定不變的，這時(shí)所進(jìn)行的測(cè)量為靜態(tài)測(cè)量。靜態(tài)

測(cè)量不需要考慮時(shí)間因素對(duì)測(cè)量結(jié)果的影晌，應(yīng)把被測(cè)量或誤差作為隨機(jī)變量進(jìn)行

處理。

如果待測(cè)量在測(cè)量過(guò)程中隨時(shí)間不斷變化，這時(shí)所進(jìn)行的測(cè)量為動(dòng)態(tài)測(cè)量。動(dòng)

態(tài)測(cè)量需考慮時(shí)間因素對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，應(yīng)把被測(cè)量或誤差作為隨機(jī)過(guò)程來(lái)進(jìn)行

處理。

1.1.2誤差(Error)

一、定義

誤差是指測(cè)量值與被測(cè)量的真值(Truevalue)之差。用式子表示為

誤差0)=測(cè)量值(x)-真值(X。)(1-1-1)

其中，誤差可正可負(fù)，反映了測(cè)量值偏離真值的程度；測(cè)量值是通過(guò)測(cè)量得到

的被測(cè)量的值；真值是某一物理量在一定條件下所具有的客觀的、不隨測(cè)量方法改

變的真實(shí)數(shù)值。?般情況下，真值是未知的，所以誤差的概念只具有理論意義。只

是在某些特殊情況下，真值可認(rèn)為是已知的，主要包括：

1.理論真值：通過(guò)理論方法獲得的真值。例如，三角形內(nèi)角之和為180°；理

想電容或電感構(gòu)成的電路，電壓與電流的相位差為90°等。

2.計(jì)量學(xué)的約定真值：國(guó)際計(jì)量機(jī)構(gòu)內(nèi)部約定而確定的真值。例如，7個(gè)SI

基本單位量的確定，即長(zhǎng)度單位米（m）、時(shí)間單位秒（s）、電流強(qiáng)度單位安培（A）、

質(zhì)量單位千克（kg）、熱力學(xué)單位開(kāi)爾文（K）、物質(zhì)的量的單位摩爾（mol）,發(fā)光強(qiáng)

度單位坎德拉（cd）。

3.標(biāo)準(zhǔn)器的相對(duì)真值：當(dāng)高一級(jí)的標(biāo)準(zhǔn)器的誤差小于低一級(jí)的標(biāo)準(zhǔn)器或普通計(jì)

量?jī)x器的誤差一定程度后，高一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)器的指示值可以作為級(jí)別低的儀器的相對(duì)真

值。

二、誤差的分類

根據(jù)誤差的性質(zhì)，可將誤差分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和疏失誤差三類。

1.系統(tǒng)誤差（Systematicerror）

在同一測(cè)量條件下，多次測(cè)量同一物理量時(shí)，大小和符號(hào)保持恒定或隨條件的

改變而按某一確定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。一個(gè)完整的測(cè)量系統(tǒng)，通常由

實(shí)驗(yàn)源、實(shí)驗(yàn)體、觀測(cè)系統(tǒng)、實(shí)驗(yàn)環(huán)境4部分組成，因此系統(tǒng)誤差來(lái)源可以歸納為

以下幾個(gè)方面：

（1）儀器設(shè)備、裝置誤差

①標(biāo)準(zhǔn)器誤差

標(biāo)準(zhǔn)器是作為與被測(cè)量相比較時(shí)提供標(biāo)準(zhǔn)值的器具。例如，標(biāo)準(zhǔn)電池、標(biāo)準(zhǔn)量

塊、標(biāo)準(zhǔn)電阻等。山于使用條件或制作不夠完善等原因，標(biāo)準(zhǔn)器本身也會(huì)產(chǎn)生附加

誤差。

②儀器誤差

測(cè)量?jī)x器是指能將被測(cè)量轉(zhuǎn)化為可直接觀測(cè)的指示值或等效信息的計(jì)量器具。

例如，天平、電橋等比較儀器；溫度計(jì)、秒表、檢流計(jì)等指示儀器。儀器設(shè)計(jì)制造

不完善、調(diào)節(jié)使用不當(dāng)、老化等原因都會(huì)造成測(cè)量誤差。

③附件誤差

為使測(cè)量方便進(jìn)行而使用的各種輔助配件，均屬測(cè)量附件。例如，開(kāi)關(guān)、導(dǎo)線、

電源等各種輔助配件也會(huì)引起誤差。

(2)環(huán)境誤差

由于各種環(huán)境因素，如溫度、濕度、壓力、震動(dòng)、電磁場(chǎng)等，與要求的標(biāo)準(zhǔn)狀

態(tài)不?致而引起的測(cè)量裝置和被測(cè)量本身的變化所造成的誤差。

(3)方法誤差

由于測(cè)量方法或計(jì)算方法不完善、不合理等原因引起的誤差。例如，瞬時(shí)測(cè)量

時(shí)取樣間隔不為零；用單擺測(cè)量重力加速度時(shí)，公式8=4%2乙/72的近似性；用伏

安法測(cè)電阻時(shí)，忽略電表內(nèi)阻的影響等。

(4)人員誤差

由測(cè)量人員分辨力有限，感官的生理變化，反應(yīng)速度及固有習(xí)慣等原因引起的

誤差。例如，測(cè)量滯后與超前、讀數(shù)傾斜等。

從不同角度，系統(tǒng)誤差又可分為不同種類。

按對(duì)誤差掌握程度，系統(tǒng)誤差可分為已定系統(tǒng)誤差和未定系統(tǒng)誤差。已定系統(tǒng)

誤差的大小和符號(hào)是可以確定的，如千分尺、電表的零位誤差，伏安法測(cè)電阻電表

內(nèi)阻引起的誤差等。這類誤差可以修正。未定系統(tǒng)誤差是大小和符號(hào)不能確定，只

能估計(jì)出大小變化范圍的系統(tǒng)誤差，如儀器誤差。

按誤差的變化規(guī)律，系統(tǒng)誤差又可分為不變系統(tǒng)誤差和變化系統(tǒng)誤差。不變系

統(tǒng)誤差的大小和符號(hào)保持恒定不變。變化系統(tǒng)誤差的大小和符號(hào)按某一確定規(guī)律變

化，如線性、周期性等規(guī)律。

2.隨機(jī)誤差(Randomerror)

在同測(cè)量條件下，多次測(cè)量同?物理量時(shí)，誤差的絕對(duì)值時(shí)大時(shí)小，符號(hào)時(shí)

正時(shí)負(fù)，以不可預(yù)知的方式變化，這種誤差稱為隨機(jī)誤差。隨機(jī)誤差是由測(cè)量過(guò)程

中一些隨機(jī)的或不確定的因素引起的。例如，人的感官靈敏度及儀器精度有限，實(shí)

驗(yàn)環(huán)境(溫度、濕度、氣流等)變化，電源電壓起伏，微小振動(dòng)等都會(huì)導(dǎo)致隨機(jī)誤

差。由于引起隨機(jī)誤差的因素復(fù)雜，又往往交叉在一起，不能分開(kāi)，因此，隨機(jī)誤

差是無(wú)法控制的，無(wú)法從實(shí)驗(yàn)中完全消除，一般通過(guò)多次測(cè)量來(lái)達(dá)到減小的目的。

從一次測(cè)量來(lái)看，隨機(jī)誤差是隨機(jī)的。但當(dāng)測(cè)量次數(shù)足夠多時(shí)，隨機(jī)誤差服從

一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，可按統(tǒng)計(jì)規(guī)律對(duì)誤差進(jìn)行估計(jì)。

3.粗大誤差(Grosserror)

粗大誤差又稱疏失誤差，它是由于工作人員疏失、儀器失靈等原因造成的超出

規(guī)定條件下預(yù)期的誤差。含有粗大誤差的測(cè)量值明顯偏離被測(cè)量的真值，在數(shù)據(jù)處

理時(shí)，應(yīng)首先檢驗(yàn)，并將含有粗大誤差的數(shù)據(jù)剔除。

應(yīng)當(dāng)指出，系統(tǒng)誤差是測(cè)量過(guò)程中某一突出因素變化所引起的，隨機(jī)誤差是測(cè)

量過(guò)程中多種因素微小變化綜合引起的，兩者不存在絕對(duì)的界限，變化的系統(tǒng)誤差

數(shù)值較小時(shí)與隨機(jī)誤差的界限不明顯。隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差有時(shí)可以相互轉(zhuǎn)化。

三、誤差的表示形式

1.絕對(duì)誤差(Absoluteerror)

用絕對(duì)大小給出的誤差定義為絕對(duì)誤差。用式子表示為

誤差⑻=測(cè)量值(x)-真值(X。)(1-1-2)

絕對(duì)誤差是帶有單位的數(shù)，可正可負(fù)。絕對(duì)誤差反映測(cè)量值偏離真值的大小與

方向。

2.相對(duì)誤差(Relativeerror)

絕對(duì)誤差與被測(cè)量真值的比值稱為相對(duì)誤差(E)o用式子表示為

相對(duì)誤差優(yōu))=絕對(duì)誤差/真值(1-1-3)

由于一般情況下真值未知，通常用測(cè)量值代替真值。相對(duì)誤差是無(wú)量綱數(shù)，通

常用“獷表示。相對(duì)誤差可以反映測(cè)量的精度高低。

例ITT測(cè)量?jī)蓚€(gè)長(zhǎng)度量，測(cè)量值分別為4=100.0mm,￡2=8。。"?,其測(cè)

量誤差分別為&=0.8mm,2=0.7mm。試比較兩個(gè)測(cè)量結(jié)果精度的高低。

解：6=2x100%=-^-xl00%=0.8%,

L、100.0

en/7

E,=^-xl00%=-xl00%=0.9%

2

L280.0

從絕對(duì)誤差的角度看，第一個(gè)量測(cè)量值的誤差大于第二個(gè)量的誤差；但從相對(duì)

誤差的角度來(lái)看，第一個(gè)量的測(cè)量精度卻高于第二個(gè)量。

3.引用誤差(Fiducialerror)

引用誤差定義為絕對(duì)誤差與測(cè)量范圍上限(或量程)的比值，即

引用誤差=絕對(duì)誤差/測(cè)量范圍上限(1T-4)

引用誤差通常用“獷表示，主要用于儀器誤差的表示，實(shí)際是一種簡(jiǎn)化和使用

方便的儀器儀表的相對(duì)誤差。儀表量程或測(cè)量范圍內(nèi)各點(diǎn)的引用誤差一般不相同，

其中最大的引用誤差稱為引用誤差限，去掉引用誤差的正負(fù)號(hào)及“獷后，稱為儀器

的準(zhǔn)確度等級(jí)(Accuracyclass)。電工儀表的準(zhǔn)確度等級(jí)分別規(guī)定為0.05、0.1、

0.2、0.3、0.5、1.0、05、2.0、2.5、。。和5.0等11級(jí)。

例1T-2檢定2.5級(jí)，上限為100V的電壓表，發(fā)現(xiàn)50V分度點(diǎn)的示值誤差為

2V,并且比其它各點(diǎn)的誤差大,試問(wèn)該電表的最大引用誤差為多少？該表是否合格？

解：由引用誤差定義可知，該表的最大引用誤差為工=2%。根據(jù)準(zhǔn)確度等

ioor

級(jí)的含義，2%<2.5%,顯然該電表合格。

1.1.3精度(Trueness)

精度又稱為精確度，用來(lái)描述測(cè)量結(jié)果與真值的接近程度。它是一個(gè)定性的概

念，不能用數(shù)值大小來(lái)表示，只能講高低。主要分為

一、精密度（Precision）

精密度用來(lái)描述測(cè)量結(jié)果中隨機(jī)誤差的大小程度，即在一定條件下，進(jìn)行多次

重愛(ài)測(cè)量時(shí)，各測(cè)量值之間的接近程度。精密度反映隨機(jī)誤差大小的程度。

二、正確度（Validity）

正確度用來(lái)描述測(cè)量結(jié)果與真值的偏離程度，它反映系統(tǒng)誤差的大小程度。

三、準(zhǔn)確度（精確度）（Accuracy）

準(zhǔn)確度反映系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差綜合大小程度。準(zhǔn)確度高說(shuō)明測(cè)量結(jié)果既精密

又正確。

通過(guò)圖1T打靶彈著點(diǎn)的分布圖，可以形象地說(shuō)明上述三個(gè)概念。圖中（a）表

示精密度高，正確度低；圖（b）表示正確度高，精密度低；圖（c）表示正確度與

精密度都高，即準(zhǔn)確度高，或精度高。

圖1-1-1精度示意圖

由于真值的未知性，使得測(cè)量誤差的大小與正負(fù)難以確定。因此，在對(duì)測(cè)量結(jié)

果的質(zhì)量進(jìn)行定量評(píng)定時(shí)，往往只是給出誤差以一定的概率出現(xiàn)的范圍。而這個(gè)用

來(lái)定量評(píng)定測(cè)量結(jié)果質(zhì)量的參數(shù)，即為測(cè)量不確定度。

一、定義

測(cè)量不確定度是表征合理賦予被測(cè)量值分散性的一個(gè)參數(shù)。

測(cè)量不確定度可以用標(biāo)準(zhǔn)差表示，稱為標(biāo)準(zhǔn)不確定度（Standarduncertainty）,

用符號(hào)U表示。如果是幾個(gè)不確定度的合成，稱為合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度(Combined

standarduncertainty),用符號(hào)表示。有時(shí)也可以將合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度乘以某一

倍數(shù)，即置信(包含)因子(Coveragefactor)k,這時(shí)稱為擴(kuò)展不確定度(Expanded

uncertainty),用符號(hào)〃表示。

測(cè)量不確定度與測(cè)量結(jié)果相聯(lián)系，完整的測(cè)量結(jié)果表達(dá)中，應(yīng)包括測(cè)量不確定

度。例如，某一被測(cè)量x最佳估計(jì)值為F,測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為u,則結(jié)果表示為

x=x+u?

測(cè)量不確定度有絕對(duì)不確定度和相對(duì)不確定度兩種表示形式。

誤差與不確定度是兩個(gè)不同的概念，不應(yīng)混淆。誤差是客觀存在的測(cè)量結(jié)果與

真值之差，是個(gè)確定的值。但由于真值往往無(wú)法知道，因此誤差一般不能準(zhǔn)確得

到。而測(cè)量不確定度是說(shuō)明測(cè)量值分散性的參數(shù)，可由人們分析和評(píng)定得到，與人

們的認(rèn)識(shí)程度有關(guān)。一個(gè)測(cè)量結(jié)果可能誤差很小，但由于認(rèn)識(shí)不足，評(píng)定得到的不

確定度可能較大；相反，可能測(cè)量結(jié)果誤差較大，由于認(rèn)識(shí)或分析不足，給出的不

確定度卻較小。測(cè)量誤差與不確定度的區(qū)別可歸納為以下幾方面：

1.測(cè)量不確定度是一個(gè)無(wú)正負(fù)的參數(shù)，用標(biāo)準(zhǔn)差或標(biāo)準(zhǔn)差的倍數(shù)表示。而測(cè)量

誤差則可正可負(fù)，其值為測(cè)量結(jié)果減去被測(cè)量的真值。

2.測(cè)量不確定度表示測(cè)量值的分散性。誤差表示測(cè)量結(jié)果偏離真值的大小及方

向。

3.測(cè)量不確定度受人們對(duì)被測(cè)量、影響量及測(cè)量過(guò)程的認(rèn)識(shí)程度影響。而測(cè)量

誤差是客觀存在的，不以人的認(rèn)識(shí)程度而改變。

4.測(cè)量不確定度可由人們根據(jù)實(shí)驗(yàn)、資料、經(jīng)驗(yàn)等信息進(jìn)行評(píng)定，可以定量確

定。由于真值未知，測(cè)量誤差往往不能準(zhǔn)確得到，只有用約定真值代替真值時(shí)，才

可以得到誤差的估計(jì)值。

5.評(píng)定測(cè)量不確定度各分量時(shí)一般不必區(qū)分其性質(zhì)，需要區(qū)分時(shí)應(yīng)表述為：“由

隨機(jī)效應(yīng)引入的不確定度分量”和“由系統(tǒng)效應(yīng)引入的不確定度分量”。而測(cè)量誤差

按性質(zhì)分為隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差兩類。

6.不能用不確定度對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正，對(duì)已修正的測(cè)量結(jié)果進(jìn)行不確定度評(píng)

定時(shí)應(yīng)考慮修正不完善而引入的不確定度。而已知系統(tǒng)誤差的估計(jì)值時(shí)，可以對(duì)測(cè)

量結(jié)果進(jìn)行修正，得到已修正的測(cè)量結(jié)果。

誤差與測(cè)量不確定度既有區(qū)別，又有聯(lián)系。誤差理論是估算不確定度的基礎(chǔ)，

不確定度是誤差理論的補(bǔ)充。

二、測(cè)量不確定度的來(lái)源

測(cè)量過(guò)程中影響不確定度的因素比較多，主要可以歸納為以下幾方面：

1.被測(cè)量的定義不完善及取樣代表性不夠所引起的測(cè)量不確定度。被測(cè)量在不

同條件下的值是不一樣的，在定義它時(shí)，必須考慮到具體的環(huán)境條件，否則會(huì)引起

由于定義不完整帶來(lái)的不確定度。例如，定義被測(cè)量是一根標(biāo)稱值為1m的鋼棒的長(zhǎng)

度，就屬于被測(cè)量的定義不完整。因?yàn)楸粶y(cè)鋼棒的長(zhǎng)度在測(cè)量精度要求比較高時(shí)受

溫度和壓力的影響比較明顯，而這些條件沒(méi)有在定義中說(shuō)明。完整的定義應(yīng)為：標(biāo)

稱值為1m的鋼棒在20.0C和97453Pa時(shí)的長(zhǎng)度。另外，由于測(cè)量方法和儀器設(shè)備

的限制，往往只能取待測(cè)材料的一部分作為樣品進(jìn)行測(cè)量，如果待測(cè)材料的均勻性

不好，則所取樣品的代表性可能不夠，山此會(huì)引起測(cè)量不確定度。例如，測(cè)量-批

銅棒的線電阻率時(shí)，銅棒的粗細(xì)不均勻，或材料的成分不均勻，因此，所取出的一

段樣品代表性可能不夠。

2.實(shí)現(xiàn)被測(cè)量定義的方法不理想。按照被測(cè)量定義的要求，實(shí)際測(cè)量中某些條

件達(dá)不到，只能采用近似或假定，這時(shí)必然會(huì)引起不確定度。例如，上述長(zhǎng)度測(cè)量

中，由于溫度和壓力達(dá)不到定義中的要求，就會(huì)引起不確定度。再如，被測(cè)量表達(dá)

式的近似程度，電測(cè)量中由于測(cè)量系統(tǒng)不完善引起的絕緣漏電、引線電阻上的壓降

等，均會(huì)引起不確定度。

3.測(cè)量?jī)x器計(jì)量性能的局限性。測(cè)量中使用的儀器，由于其靈敏度、鑒別力、

分辨力及穩(wěn)定性等方面的局限性，測(cè)量過(guò)程中都會(huì)引起不確定度。

4.作為計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)的值不準(zhǔn)確或引用的數(shù)據(jù)和參量不準(zhǔn)確。通常測(cè)量是將被測(cè)量

與測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)的給定值相比較來(lái)實(shí)現(xiàn)的。因此，作為測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)的不確定度必然引入測(cè)

量結(jié)果。另外，測(cè)量中還常常要引用一些數(shù)據(jù)或參量，這些數(shù)據(jù)或參量的不確定度

也會(huì)影響結(jié)果。例如，用天平稱質(zhì)量，測(cè)量結(jié)果的不確定度包含有標(biāo)準(zhǔn)祛碼的不確

定度；再如，確定某一溫度下熱敏電阻的阻值，可以應(yīng)用已知的溫度系數(shù)及，該引

用值的不確定度會(huì)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響。

5.被測(cè)量在表面上完全相同的條件下重復(fù)測(cè)量中的變化。實(shí)際工作中有時(shí)會(huì)發(fā)

現(xiàn)，無(wú)論如何控制環(huán)境條件或其它可能的影響因素，測(cè)量結(jié)果總有一定的分散性，

這種現(xiàn)象是客觀存在的，是由一些隨機(jī)效應(yīng)引起的。

6.環(huán)境條件對(duì)不確定度的影響。測(cè)量過(guò)程中，由于對(duì)環(huán)境影響的認(rèn)識(shí)不全面，

或?qū)Νh(huán)境條件的測(cè)量與控制不好，會(huì)引入一定的不確定度。例如，鋼棒長(zhǎng)度測(cè)量中，

不僅溫度和壓力會(huì)影響長(zhǎng)度，還有一些其它因素被忽略。如濕度、支撐方式等都有

明顯影響，如果認(rèn)識(shí)不足，測(cè)量中沒(méi)有采取措施，就會(huì)引起不確定度。

7.測(cè)量人員的人為因素。對(duì)非數(shù)字顯示的儀器，由于觀測(cè)者觀測(cè)位置、個(gè)人習(xí)

慣的不同及生理因素差別等原因，可能對(duì)同一狀態(tài)下的數(shù)值得到不同的讀數(shù)，這些

差異也將產(chǎn)生不確定度。

三、測(cè)量不確定度的分類

由上述歸納可知，測(cè)量不確定度的來(lái)源較多，因而測(cè)量不確定度是由許多分量

組成的。而評(píng)定各分量值的方法各不相同，按評(píng)定方法一般可將其分為兩大類：

1.A類分量

用統(tǒng)計(jì)方法評(píng)定的不確定度稱為不確定度A類分量，用口表示。

2.B類分量

用非統(tǒng)計(jì)方法評(píng)定的不確定度稱為不確定度B類分量，用?表示。

不確定度的分類是按評(píng)定方法進(jìn)行的。它們都基于概率分布，都用方差或標(biāo)準(zhǔn)

差表征，稱為標(biāo)準(zhǔn)不確定度。其中A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度由觀測(cè)列概率分布導(dǎo)出的概率

密度函數(shù)得到；B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度由一個(gè)認(rèn)定的或假定的概率分布函數(shù)得到。不確

定度的分類方法與誤差分類相比，避免了由于誤差之間界限不絕對(duì)，在判斷和計(jì)算

時(shí)不易掌握的缺點(diǎn)。評(píng)定不確定度時(shí)，不考慮影響不確定度因素的來(lái)源與性質(zhì)，只

考慮評(píng)定方法，從而簡(jiǎn)化了分類，便于評(píng)定與計(jì)算。

1.1.5有效數(shù)字(Significantfigure)

一、定義

有效數(shù)字是指能正確表達(dá)某物理量數(shù)值和精度的一個(gè)近似數(shù)，由準(zhǔn)確數(shù)字和可

疑數(shù)字組成。(如果該數(shù)值絕對(duì)誤差界是最末位數(shù)據(jù)的半個(gè)單位，那么從這個(gè)近似數(shù)

左邊第一個(gè)非零數(shù)字起到最后?位數(shù)字止，都叫有效數(shù)字。)

為了便于理解，舉一例子加以說(shuō)明。如圖1T-2所示，用最小刻度為1mm的米

尺測(cè)量一物體的長(zhǎng)度，不同的測(cè)量者測(cè)得結(jié)果不同，可能為2.55cm,2.56cm,2.57cm

等。其中，前兩位數(shù)是根據(jù)米尺的刻度準(zhǔn)確讀出的，不隨觀測(cè)者變化，是可靠的，

稱之為準(zhǔn)確數(shù)字，最后一位數(shù)是在兩個(gè)刻度之間估計(jì)讀出的，隨觀測(cè)者個(gè)人情況可

能略有不同，顯然是不準(zhǔn)確的，稱為可疑數(shù)字。盡管可疑數(shù)字不準(zhǔn)確，但它能客觀、

合理地反映出該物體比2.5cm長(zhǎng)，比2.6cm短的事實(shí)，是有效的。因此，測(cè)量結(jié)果

的有效數(shù)字是由若干位準(zhǔn)確數(shù)字和一位可疑數(shù)字組成的。

。12345\

圖1-1-2長(zhǎng)度測(cè)量示意圖

學(xué)習(xí)有效數(shù)字應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題：

1.有效數(shù)字與測(cè)量條件密切相關(guān)

從上面測(cè)量結(jié)果可以看出，測(cè)量結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)由測(cè)量條件和待測(cè)量的大

小共同決定。對(duì)于大小已定的物理量，測(cè)量?jī)x器的精度越高，有效數(shù)字位數(shù)越多，

因此，有效數(shù)字可以在某種程度上反映出測(cè)量?jī)x器的精度。例如，上述物體的長(zhǎng)度,

用米尺測(cè)量是3位有效數(shù)字，而采用1/50游標(biāo)卡尺測(cè)量，可得4位有效數(shù)字，用千

分尺測(cè)量，可得5位有效數(shù)字；當(dāng)測(cè)量條件?定時(shí)，待測(cè)量越大，有效數(shù)字位數(shù)越

多。

2.數(shù)字“0”在有效數(shù)字中的作用

“0”在數(shù)據(jù)中的位置不同，可能是有效數(shù)字,也可能不是有效數(shù)字。如,0.03020m

這個(gè)數(shù)中共有4個(gè)“0”，其中數(shù)字“3”前面的兩個(gè)“0”只用來(lái)表示小數(shù)點(diǎn)位置，

不是有效數(shù)字，而其余兩個(gè)“0”是有效數(shù)字，即數(shù)字中間和末尾的“0”是有效的。

既然數(shù)字末尾的“0”是有效數(shù)字，那么就不能在數(shù)字的末尾隨意加0或去掉0,

否則物理意義將發(fā)生變化。要注意，一個(gè)物理量的測(cè)量值和數(shù)學(xué)上的一個(gè)數(shù)意義是

不同的。數(shù)學(xué)上,0.0302m與0.03020m沒(méi)有區(qū)別,但在物理上,0.0302mW0.03020m,

因?yàn)?.03020m中的“2”是準(zhǔn)確測(cè)量出來(lái)的，是可靠的,而0.0302m中的“2”則是

可疑數(shù)字，是不準(zhǔn)確的。

由于數(shù)字“3”前面的兩個(gè)“0”只用來(lái)表示小數(shù)點(diǎn)位置，不是有效數(shù)字，那么

數(shù)字0.03020m、3.020cm、30.20mm的有效數(shù)字都是4位。因此，在十進(jìn)制單位進(jìn)行

換算時(shí)，有效數(shù)字的位數(shù)不應(yīng)發(fā)生變化。如，3.5A的電流值，若用mA單位表示，

不能寫成3500mA,而應(yīng)采用科學(xué)記數(shù)法，寫成3.5xl()3mA。

3.不確定度有效數(shù)字的確定

一般情況下絕對(duì)■不確定度只取1位有效數(shù)字，對(duì)重要的、比較精密的測(cè)量或其

他特殊情況，可取2位或2位以上有效數(shù)字，相對(duì)不確定度可取1?2位。本教材如

無(wú)特殊說(shuō)明，絕對(duì)不確定度取1位有效數(shù)字，相對(duì)不確定度取2位有效數(shù)字。

4.有效數(shù)字的確定

對(duì)于直接測(cè)量，有效數(shù)字的確定，實(shí)際上就是如何讀數(shù)的問(wèn)題。

由于測(cè)量結(jié)果的有效數(shù)字應(yīng)是由若干位準(zhǔn)確數(shù)字和一位可疑數(shù)字組成的，因此,

從測(cè)量?jī)x器上讀取數(shù)據(jù)時(shí)應(yīng)注意完整性，即除了讀取整刻度數(shù)值外，還應(yīng)進(jìn)行整刻

度以下的估讀。特別是讀取的數(shù)據(jù)數(shù)值恰好為整數(shù)時(shí)，則需在后面補(bǔ)“0”，一直補(bǔ)

到可疑位為止。例如，上述物體的末端恰好與刻度25mm對(duì)齊時(shí)，則測(cè)量結(jié)果應(yīng)記為

2.50cm,而不能寫為2.5cm?？傊?，直接測(cè)量讀數(shù)的原則是：應(yīng)讀到儀器產(chǎn)生誤差

的那一位。

對(duì)于間接測(cè)量，間接測(cè)量量有效數(shù)字的確定，原則上應(yīng)遵循由不確定度來(lái)確定

測(cè)量量的有效數(shù)字，即間接測(cè)量量有效數(shù)字的末位與不確定度的末位對(duì)齊。例如，

為得到某一長(zhǎng)方形面積S,直接測(cè)量其長(zhǎng)度和寬度后，經(jīng)計(jì)算得到S=3.85025cm2,

絕對(duì)不確定度。$=0.02cm）則面積S的正確結(jié)果S=3.85cm:但在中間運(yùn)算過(guò)程中，

由于參與運(yùn)算的量可能很多，有效數(shù)字的位數(shù)可能不一致，使得數(shù)據(jù)計(jì)算顯得繁瑣

和復(fù)雜。

為了簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，同時(shí)又不會(huì)造成過(guò)大的計(jì)算誤差，一般可采用以下規(guī)則進(jìn)

行運(yùn)算：

①進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)，應(yīng)以參與運(yùn)算各數(shù)據(jù)中末位數(shù)數(shù)量級(jí)最大的數(shù)據(jù)為準(zhǔn)，其

余各數(shù)據(jù)在中間計(jì)算過(guò)程中向后可多取一位，最后結(jié)果與末位數(shù)數(shù)量級(jí)最大的那一

位對(duì)齊。例如，71.3-0.753+6.262+271=71.3-0.8+6.3+271=347.8=348

②進(jìn)行乘除法運(yùn)算時(shí)，以參與運(yùn)算各數(shù)據(jù)中有效數(shù)字位數(shù)最少的為準(zhǔn)，其余數(shù)

字在中間運(yùn)算過(guò)程中可多取一位有效數(shù)字，最后結(jié)果的有效數(shù)字與有效數(shù)字位數(shù)最

少的那個(gè)數(shù)相同。例如，39.5X4.08437X0.0013=39.5X4.08X0.0013=0.21

乘方和開(kāi)方運(yùn)算規(guī)則與乘除法運(yùn)算規(guī)則相同，即結(jié)果的有效數(shù)字與被乘方、開(kāi)

方數(shù)的有效數(shù)據(jù)位數(shù)相同。例如，1.4。2=1.96,7200=14.1

③進(jìn)行函數(shù)運(yùn)算時(shí)，結(jié)果有效數(shù)字一般可根據(jù)間接測(cè)量不確定度計(jì)算公式進(jìn)行

計(jì)算來(lái)確定（參見(jiàn)L4節(jié)）。對(duì)常用的函數(shù)，也可按簡(jiǎn)單規(guī)則確定。如，對(duì)數(shù)函數(shù)

運(yùn)算結(jié)果的有效數(shù)字中，小數(shù)點(diǎn)后面的位數(shù)與真數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)相同。例如，

lgl.983=0.2973；指數(shù)函數(shù)運(yùn)算結(jié)果的有效數(shù)字中，小數(shù)點(diǎn)后面的位數(shù)與指數(shù)中小

數(shù)點(diǎn)后面的位數(shù)相同。例如，10625=].79X106。

④間接測(cè)量計(jì)算過(guò)程中，計(jì)算公式中還會(huì)遇到自然數(shù)與常量，例如，球體的面

積S與半徑R有關(guān)系式S=4成2。式中“4”是自然數(shù)，乃是常量。自然數(shù)不是測(cè)量

得到的，不存在誤差，故有效數(shù)字是無(wú)窮多位，而不是一位；常量在運(yùn)算過(guò)程中有

效數(shù)字位數(shù)，不能少于參與運(yùn)算的各數(shù)據(jù)中有效數(shù)字位數(shù)最少的那個(gè)數(shù)據(jù)，一般可

以多取1位。

上述所述有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則，只是一個(gè)基本原則。實(shí)際問(wèn)題中，為了防止取

舍所造成的誤差過(guò)大，常常在運(yùn)算過(guò)程中多取幾位，特別是隨著計(jì)算機(jī)和計(jì)算器的

普及，這種處理不會(huì)帶來(lái)太多的麻煩，只是在最后結(jié)果根據(jù)不確定度所在位進(jìn)行截

斷。

二、有效數(shù)字的舍入（修約）規(guī)則

當(dāng)數(shù)字位數(shù)較多而需要取舍時(shí)，應(yīng)按以F原則：

1.舍入部分的數(shù)值，如果大于保留部分末位的半個(gè)單位，則舍去后末位加1。

2.舍入部分的數(shù)值，如果小于保留部分末位的半個(gè)單位，則舍去后末位不變。

3.舍入部分的數(shù)值，如果等于保留部分末位的半個(gè)單位，則舍去后末位湊偶，

即當(dāng)末位為奇數(shù)時(shí)末位加1,末位為偶數(shù)時(shí)保持不變。

例1T-3按照上述舍入規(guī)則，將下面各個(gè)數(shù)據(jù)保留四位有效數(shù)字。

解：

原有數(shù)舍入后數(shù)據(jù)

3.171523.172

5.101505.102

5.102505.102

4.3765014.377

4.3764994.376

2.717292.717

1.2誤差的處理

1.2.1隨機(jī)誤差的處理

一、隨機(jī)誤差的分布及其數(shù)字特征

1.正態(tài)分布（Normaldistribution）及特點(diǎn)

盡管單次測(cè)量時(shí)隨機(jī)誤差的大小與正負(fù)是不確定的，但對(duì)多次測(cè)量來(lái)說(shuō)卻服從

一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律有很多，正態(tài)分布是最常見(jiàn)的分布之一。

服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差的概率密度（Probabilitydensity）函數(shù)為

a2

(1-2-1)

(7—2乃

或

/（x）=——T=e2rT（1-2-T）

式中，X為測(cè)量值；X。為真值；6為誤差；/表示在3（或X）附近單位區(qū)間

內(nèi)，被測(cè)量誤差（或測(cè)量值）出現(xiàn)的概率。分布曲線如圖1-2T所示。

由圖可以看出，正態(tài)分布的隨機(jī)誤差具有以下特點(diǎn)：

①單峰性：絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)多；

②對(duì)稱性（抵償性）：大小相同，符號(hào)相反的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相同；

③有界性：實(shí)際測(cè)量中，超過(guò)一定限度（如±3b）的絕對(duì)值更大的誤差一般不

會(huì)出現(xiàn)。

2.數(shù)字特征

數(shù)學(xué)期望與方差是定量描述統(tǒng)計(jì)規(guī)律分布的兩個(gè)重要參數(shù)。

根據(jù)式(1-2-1)或Q-2-1'),滿足正態(tài)分布的隨機(jī)變量3或x,其數(shù)學(xué)期望

為

后⑻=［為⑻db=0(1-2-2)

或

E(x)=^xf(x)dx=x0(1-2-2')

上式說(shuō)明，對(duì)于無(wú)限次測(cè)量，測(cè)量值的數(shù)學(xué)期望等于真值，或誤差的數(shù)學(xué)期望

等于零，即隨機(jī)誤差具有抵償性。

根據(jù)式(1-2T)或(1-2T'),滿足正態(tài)分布的隨機(jī)變量6或X,方差。及標(biāo)

準(zhǔn)差(Standarderror)cr為

。⑹二二百⑻..(1-2-3)

或

D(x)=p(x-f(x)dx=er2<1-2-3')

標(biāo)準(zhǔn)差

b=y)D(x)(1-2-4)

方差與標(biāo)準(zhǔn)差反映測(cè)量值與真值的偏離程度，或各測(cè)量值之間的離散程度。標(biāo)

準(zhǔn)差或方差越小，離散程度越小，測(cè)量的精密度高；反之，離散程度越大。如圖-2-2

所示。

標(biāo)準(zhǔn)差b的物理意義也可以從下面這一角度理解：

根據(jù)概率密度函數(shù)的含義，誤差出現(xiàn)在忸6+dS］范圍內(nèi)的概率為了0卜5,則誤

差出現(xiàn)在區(qū)間［-。,句內(nèi)的概率為

尸=匕/0四=6&3%(1-2-5)

上式表示，在一組測(cè)量數(shù)據(jù)中，有68.3%的數(shù)據(jù)測(cè)量誤差落在區(qū)間［-so］內(nèi)。

也可以認(rèn)為，任一測(cè)量數(shù)據(jù)的誤差落在區(qū)間［-6。］內(nèi)的概率為68.3%?把P稱作置

信概率(Confidenceprobability),而［-/日稱為68.3%的置信概率所對(duì)應(yīng)的置信

區(qū)間(Confidenceinterval),,

更廣泛地，置信區(qū)間可山［-3次同表示，X稱為包含因子(或置信因子)

(Coveragefactor),可根據(jù)需要選取不同大小的值。如，除了上述％=1的情況，

還經(jīng)常取k=2或3,這時(shí)的置信區(qū)間分別為［-2b,2日和［-3G3O|,對(duì)應(yīng)的置信概率

為95,為和99.7%?

可以看出，如果置信區(qū)間為［-30,3日，則測(cè)量誤差超出該區(qū)間的概率很小，只

有0.3%,即進(jìn)行1000次測(cè)量，只有3次測(cè)量誤差可能超Hl［-3b,3可。對(duì)于有限次測(cè)

量(次數(shù)少于20次)，超出該區(qū)間的誤差可以認(rèn)為不會(huì)出現(xiàn)，因此常將±3<r稱為極

限誤差(Limiterror)o

二、算術(shù)平均值與標(biāo)準(zhǔn)偏差

對(duì)真值為X。的某一量x做等精度測(cè)量，得到一測(cè)量列占?4，則該測(cè)量列的算

術(shù)平均值為

n

x=^—(1-2-6)

n

若測(cè)量數(shù)據(jù)中無(wú)系統(tǒng)誤差和粗大誤差存在，由正態(tài)分布隨機(jī)誤差的對(duì)稱性特點(diǎn)

和數(shù)學(xué)期望、標(biāo)準(zhǔn)差含義可知，在測(cè)量次數(shù)〃-8時(shí)，有算術(shù)平均值

n

X=lim2^—=x(1-2-7)

con0

測(cè)量列標(biāo)準(zhǔn)差

?(…)2

=--------d-2-8)

"TOO1〃

在實(shí)際測(cè)量中，測(cè)量次數(shù)總是有限的，且真值不可知。因此，對(duì)于等精度測(cè)量

列，可以用算術(shù)平均值作為真值的最佳估計(jì)值。而測(cè)量列標(biāo)準(zhǔn)差也需通過(guò)估計(jì)獲得。

估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差的方法很多，最常用的是貝塞爾法，即子樣標(biāo)準(zhǔn)差。公式為

ZU-X)2氏2

S=1-----------=1■tel—(1-2-9)

n—1In-1

式中q=Xj-五，稱為殘差（Residualerror）?

由于算術(shù)平均值也是一個(gè)

隨機(jī)變量，進(jìn)行多組等精度重復(fù)

測(cè)量時(shí)得到的算術(shù)平均值具有

離散性。描述該離散性的參數(shù)是

算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差，由誤差理

論可以證明，算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差

圖1-2-3測(cè)量次數(shù)對(duì)右的影響

與測(cè)量列（或單次測(cè)量）標(biāo)準(zhǔn)差

之間的關(guān)系為

a

忑(1-2-10)

由式（1-2-10）可看出，平均值的標(biāo)準(zhǔn)差比單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差小。隨著測(cè)量次

數(shù)的增加，平均值的標(biāo)準(zhǔn)差越來(lái)越小，測(cè)量精密度越來(lái)越高。但當(dāng)測(cè)量次數(shù)〃>10以

后，次數(shù)對(duì)平均值標(biāo)準(zhǔn)差的降低效果很小。如圖「2-3所示。所以，不能夠單純通

過(guò)增加次數(shù)來(lái)提高測(cè)量精度。在科學(xué)研究中測(cè)量次數(shù)?般取10?20次，而在大學(xué)物

理實(shí)驗(yàn)中一般取5?10次。

當(dāng)測(cè)量次數(shù)有限時(shí)，根據(jù)式（1-2-9）與式（1-2T0）,算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差可

山下式進(jìn)行估計(jì)

本教材中，就是采用（『2-9）和（1-2-11）式來(lái)計(jì)算直接測(cè)量量的標(biāo)準(zhǔn)差。

1.2.2系統(tǒng)誤差的處理

任何測(cè)量誤差均山隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差兩部分組成。因此，為了提高測(cè)量精度,

在減少隨機(jī)誤差的同時(shí)，還應(yīng)考慮系統(tǒng)誤差的處理。研究系統(tǒng)誤差的重要性主要體

現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

①隨機(jī)誤差的基本處理方法是統(tǒng)計(jì)方法，它的基本前提是完全排除了系統(tǒng)誤差

的影響，認(rèn)為誤差的出現(xiàn)純粹是隨機(jī)的。因此，實(shí)際測(cè)量中，必須設(shè)法最大限度的

消除系統(tǒng)誤差的影響，否則，隨機(jī)誤差的研究方法及由此而得出的精度評(píng)定就失去

了意義。

②系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差不同，盡管有確定的變化規(guī)律，但往往隱藏于測(cè)量數(shù)據(jù)

中，不易被發(fā)現(xiàn)。又因系統(tǒng)誤差往往各自服從自己獨(dú)特的規(guī)律，在處理時(shí)，沒(méi)有一

種通用的處理方法，只能具體情況具體分析。處理方法是否得當(dāng)，很大程度上取決

于測(cè)量者的經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)和技巧。所以，系統(tǒng)誤差雖然有規(guī)律，但處理起來(lái)要比隨機(jī)

誤差困難的多，必須認(rèn)真研究。

③對(duì)于系統(tǒng)誤差的研究，可以發(fā)現(xiàn)一些新事物。例如，惰性氣體是通過(guò)對(duì)不同

方法獲取的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行誤差分析而發(fā)現(xiàn)的。

一、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)

系統(tǒng)誤差往往隱藏于測(cè)量數(shù)據(jù)中，不易被發(fā)現(xiàn)，也不能通過(guò)多次測(cè)量來(lái)消除。

因此，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差對(duì)后續(xù)的處理是致關(guān)重要的。發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的常用方法有以下

幾種。

1.理論分析法

包括分析實(shí)驗(yàn)所依據(jù)的理論和實(shí)驗(yàn)方法是否完善；儀器的工作狀態(tài)是否正常，

要求的使用條件是否得到滿足；實(shí)驗(yàn)人員在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中是否有產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的心理

和生理因素等。

2.對(duì)比測(cè)量法

通過(guò)改變實(shí)驗(yàn)方法、測(cè)量方法、實(shí)驗(yàn)條件（如儀器、人員、參數(shù)等）等手段，

對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，對(duì)比研究數(shù)據(jù)之間的符合性，從而發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。

3.數(shù)據(jù)觀察與分析法

在無(wú)其它誤差存在的情況下，隨機(jī)誤差是服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律的，如果測(cè)量結(jié)果不符

合預(yù)想的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，則可懷疑存在系統(tǒng)誤差。對(duì)于一測(cè)量列，可采用列表或作圖的

方法，觀察殘差隨測(cè)量順序的變化規(guī)律，如有明確的變化規(guī)律（如線性、周期性等），

則可判斷存在系統(tǒng)誤差，否則，無(wú)理由懷疑存在系統(tǒng)誤差。另外，也可以采用按統(tǒng)

計(jì)規(guī)律建立的方法進(jìn)行判斷，如殘差校核法（又稱馬利科夫準(zhǔn)則）、阿貝一赫梅特準(zhǔn)

則等。

二、系統(tǒng)誤差的處理

1.從產(chǎn)生誤差根源上消除

測(cè)量之前，先對(duì)所采用的原理和方法及儀器環(huán)境等做全面的檢查和分析，確定

有無(wú)明顯能產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的因素，并采取相應(yīng)措施，不讓系統(tǒng)誤差在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中出

現(xiàn)。例如，為了防止系統(tǒng)誤差產(chǎn)生，對(duì)儀器設(shè)備的工作狀態(tài)進(jìn)行調(diào)節(jié)、檢查測(cè)量方

法和計(jì)算方法是否合理、在穩(wěn)定的環(huán)境條件下進(jìn)行測(cè)量等。

2.實(shí)驗(yàn)過(guò)程中采取相應(yīng)措施消除

對(duì)難以避免的系統(tǒng)誤差，有時(shí)測(cè)量過(guò)程中也可以采用一些專門的測(cè)量技術(shù)或方

法使其減小或消除。常用的方法有：

①替代法

在一定條件下，對(duì)某?被測(cè)量進(jìn)行測(cè)量后，不改變測(cè)量條件，再以一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量

代替被測(cè)量，并使儀器呈現(xiàn)與以前相同的狀態(tài)，此時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)量即等于被測(cè)量值。這

樣就消除了除標(biāo)準(zhǔn)量本身的定值系統(tǒng)誤差以外的其它系統(tǒng)誤差。例如，用替代法測(cè)

量電阻。

②異號(hào)法

改變測(cè)量中的某些條件（例如改變測(cè)試部件左右移動(dòng)的方向、變換接線端上的

接線、改變導(dǎo)線中電流方向等），保證其他條件不變，使兩次測(cè)量結(jié)果中的系統(tǒng)誤差

的符號(hào)相反，通過(guò)求取平均值，可以消除系統(tǒng)誤差。例如，靈敏電流計(jì)（光點(diǎn)反射

式）測(cè)電流時(shí)，改變流經(jīng)電流計(jì)的電流方向，使指針左右偏轉(zhuǎn)，求平均可以消除起

始零點(diǎn)不準(zhǔn)引入的系統(tǒng)誤差；拉伸法測(cè)量楊氏模量實(shí)驗(yàn)中，采用加減祛碼的方法，

記錄不同拉力時(shí)的兩組讀數(shù)，最后對(duì)同一拉力的兩個(gè)讀數(shù)求平均，可以消除鋼絲形

變滯后效應(yīng)引起的系統(tǒng)誤差。

③交換法

交換法實(shí)質(zhì)也屬于異號(hào)法。它是將測(cè)量中的某個(gè)條件（如被測(cè)對(duì)象的位置等）

相互交換，使產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差相互抵消。例如，用天平稱量物體質(zhì)量時(shí)，可將待測(cè)

物與祛碼交換位置，以消除天平不等臂所產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差?；€電橋測(cè)量電阻時(shí)，

可以交換被測(cè)電阻和標(biāo)準(zhǔn)電阻的位置，以消除接觸電阻產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差。

④差值法

差值法是通過(guò)改變實(shí)驗(yàn)參數(shù)（如自變量）進(jìn)行測(cè)量，并對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)求差值來(lái)來(lái)

獲取未知量的方法。這種方法可以消除某些定值系統(tǒng)誤差。例如，伏安法測(cè)量電阻

實(shí)驗(yàn)中，改變電壓讀取電流值，通過(guò)差值法可以消除電表零位不準(zhǔn)帶來(lái)的系統(tǒng)誤差0

同樣，在差值法基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的逐差法，也具有消除系統(tǒng)誤差的作用。

3.采用修正方法對(duì)結(jié)果進(jìn)行修正

實(shí)驗(yàn)后，如果系統(tǒng)誤差可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)或計(jì)算得到其符號(hào)和大小，那么在實(shí)驗(yàn)結(jié)

果中可以引入修正值加以消除。例如，對(duì)儀器、標(biāo)準(zhǔn)件等事先做檢定，可以得到修

正曲線或修正值，然后修正實(shí)驗(yàn)結(jié)果；某些量具或儀表的零點(diǎn)誤差的修正等。

上述只是給出了部分針對(duì)定值系統(tǒng)誤差的處理方法，如果系統(tǒng)誤差是變化的，

可根據(jù)系統(tǒng)誤差的變化規(guī)律，采用合理的方法進(jìn)行處理。例如，測(cè)量中還可用“對(duì)

稱測(cè)量法”消除線性變化的系統(tǒng)誤差；用“半周期偶次測(cè)量法”可以消除周期性變

化的系統(tǒng)誤差等。實(shí)際測(cè)量過(guò)程中，由于系統(tǒng)誤差的復(fù)雜性，處理系統(tǒng)誤差的方法

與措施是多種多樣的，這在很大程度上取決于實(shí)驗(yàn)人員的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)水平。對(duì)于未

定系統(tǒng)誤差，一般無(wú)法修正或消除，這時(shí)可估計(jì)出誤差限，在結(jié)果中予以表示。

1.2.3粗大誤差的處理

含有粗大誤差的測(cè)量值（稱為異常值或壞值）必然導(dǎo)致測(cè)量結(jié)果的失真，從而

使測(cè)量結(jié)果失去可靠性和使用價(jià)值，數(shù)據(jù)處理時(shí)應(yīng)設(shè)法從測(cè)量數(shù)據(jù)中剔除；另一方

面，測(cè)量數(shù)據(jù)含有隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差是正?，F(xiàn)象，通常測(cè)量值具有一定程度的分

散性，因此不能隨意地將少數(shù)看起來(lái)誤差較大的測(cè)量值作為異常值剔除，否則，所

得結(jié)果是虛假的。因此，建立一些法則來(lái)判斷實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的合理性是必要的，通常粗

大誤差的判別方法分為

一、物理判別法

在測(cè)量過(guò)程中，及時(shí)分析和研究測(cè)量的各環(huán)節(jié)，若發(fā)現(xiàn)某數(shù)據(jù)明顯不符合物理

規(guī)律，找出造成粗大誤差的原因，并將含有粗大誤差的數(shù)據(jù)及時(shí)剔除。這種通過(guò)直

觀分析、研究各測(cè)量環(huán)節(jié)來(lái)消除異常值的方法稱為物理判別法。

二、統(tǒng)計(jì)判別法

對(duì)于不明顯的粗大誤差，在測(cè)量中難以發(fā)覺(jué)，可在測(cè)量結(jié)束后，對(duì)所有的測(cè)量

數(shù)據(jù)用統(tǒng)計(jì)的方法進(jìn)行判別檢驗(yàn)。

統(tǒng)計(jì)判別法的基本思想是：在無(wú)系統(tǒng)誤差的前提下，根據(jù)隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)規(guī)律,

建立一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，給定顯著水平（或置信概率），確定出該統(tǒng)計(jì)量的界限，凡是超過(guò)

這個(gè)界限的誤差，就認(rèn)為不屬于隨機(jī)誤差范疇，而是粗大誤差，相應(yīng)的測(cè)量值為異

常值，應(yīng)剔除。如此反復(fù)，直至沒(méi)有異常值。例如，萊以達(dá)準(zhǔn)則中，對(duì)測(cè)量次數(shù)超

過(guò)10的一測(cè)量列占,》2,…,X,,,以極限誤差±3b作為判斷標(biāo)準(zhǔn)，并根據(jù)公式（1-2-9）

計(jì)算出它的估計(jì)值±35。按照正態(tài)分布隨機(jī)誤差的特點(diǎn)，在有限次測(cè)量中，超出該

極限誤差的數(shù)據(jù)不會(huì)出現(xiàn)，如果出現(xiàn)則視為壞值，因此可以檢驗(yàn)每一個(gè)測(cè)量值的殘

差，若卜-司＞3S,則可以確定七為壞值予以剔除。對(duì)剔除壞值后的測(cè)量列數(shù)據(jù)再

重復(fù)進(jìn)行判斷，直到無(wú)壞值為止。除此之外，肖維勒準(zhǔn)則、格拉布斯準(zhǔn)則等，也都

是常用的判別粗大誤差的方法，在此不做詳細(xì)介紹。

需要注意，若應(yīng)用統(tǒng)計(jì)判別法判斷出的異常值過(guò)多，應(yīng)對(duì)樣本的代表性進(jìn)行檢

驗(yàn)，確認(rèn)假設(shè)的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律是否合理，所采用的方法條件是否滿足。

1.2.4儀器誤差

1.儀器的極限誤差

儀器誤差屬于未定系統(tǒng)誤差，它是由多種因素引起的，規(guī)律比較復(fù)雜，一般只

給出最大允許誤差的估計(jì)值，這個(gè)估計(jì)值即為儀器的極限誤差，用△儀表示。儀器

的極限誤差，一般由計(jì)量部門檢定，具體數(shù)值可通過(guò)儀器說(shuō)明書或標(biāo)牌指示計(jì)算得

到。有些儀器的極限誤差或準(zhǔn)確度等級(jí)無(wú)明確標(biāo)示，這時(shí)，如果是數(shù)字式儀表，則

可取末位數(shù)1個(gè)單位為極限誤差，如果是通過(guò)刻度讀數(shù)的儀器，可以取最小分度的

一半作為極限誤差。

2.儀器誤差的分布

,、----|A|4△儀

/（△）=2A儀??僅(1-2-12)

,0W>△儀

圖-2-4給出均勻分布的曲線。

可以推導(dǎo)，均勻分布的數(shù)學(xué)期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差為

數(shù)學(xué)期望￡（A）=0(1-2-13)

方差。（耳=爭(zhēng)

(1-2-14)

標(biāo)準(zhǔn)差<7=內(nèi)0=隼

(1-2-15)

1.3直接測(cè)量的數(shù)據(jù)處理

對(duì)某一量X做等精度直接測(cè)量，得到一測(cè)量列西、X2、…、X?,經(jīng)判斷無(wú)已定系

統(tǒng)誤差和粗差后，對(duì)該直接測(cè)量列的處理主要包括以下幾方面：

1.3.1最佳估計(jì)值

根據(jù)前面的討論，算術(shù)平均值

n

Xx,

x=^—(1-3-1)

n

可以做為直接測(cè)量量的最佳估計(jì)值。

1.3.2不確定度評(píng)定

一、A類評(píng)定(TypeAevaluation)

直接測(cè)量量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度A類分量用算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)公式計(jì)算，即

?")2F

二、B類評(píng)定(TypeBevaluation)

本課程只考慮儀器誤差的影響，標(biāo)準(zhǔn)不確定度B類分量為

=。儀=(1-3-3)

J3

三、合成不確定度(Combineduncertainty)

假設(shè)不確定度各分量之間相互獨(dú)立，則合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為

根據(jù)需要，有時(shí)將合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度乘以某一倍數(shù)，得到擴(kuò)展不確定度為

U=kuc(1-3-5)

式中的片為包含因子，它在確定的分布下與某個(gè)置信概率相對(duì)應(yīng)，因此，在結(jié)

果表示時(shí)應(yīng)注明置信概率。一般精度要求不高時(shí)，可近似按正態(tài)分布處理，％取2?

3o

1.3.3測(cè)量結(jié)果的表示

在得到測(cè)量值和合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度后，測(cè)量結(jié)果通常寫為

x=x±uc(W)(7^68.3%)(1-3-6)

相對(duì)不確定度為

￡'=生(或、100%)(1-3-7)

X

如果用擴(kuò)展不確定度表示，則測(cè)量結(jié)果為

x=x+U(單位)(P=?)(1-3-8)

書寫測(cè)量結(jié)果時(shí)應(yīng)注意：

1.合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度或擴(kuò)展不確定度有效數(shù)字的取位

一般情況有效數(shù)字取1?2位，大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)階段，要求測(cè)量結(jié)果的不確定度有

效數(shù)字取1位，為減小計(jì)算誤差，中間過(guò)程的不確定度各分量有效數(shù)字可以多保留

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