2024-2025學年河南省濮陽市高三3月統(tǒng)考數(shù)學試題含解析_第1頁
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2024-2025學年河南省濮陽市高三3月統(tǒng)考數(shù)學試題注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù),則方程的實數(shù)根的個數(shù)是()A. B. C. D.2.已知集合,,,則()A. B. C. D.3.已知,,,則的最小值為()A. B. C. D.4.已知函數(shù),,若方程恰有三個不相等的實根,則的取值范圍為()A. B.C. D.5.已知向量,,則與共線的單位向量為()A. B.C.或 D.或6.已知正方體的棱長為1,平面與此正方體相交.對于實數(shù),如果正方體的八個頂點中恰好有個點到平面的距離等于,那么下列結(jié)論中,一定正確的是A. B.C. D.7.已知命題:使成立.則為()A.均成立 B.均成立C.使成立 D.使成立8.已知集合,則=()A. B. C. D.9.地球上的風能取之不盡,用之不竭.風能是淸潔能源,也是可再生能源.世界各國致力于發(fā)展風力發(fā)電,近10年來,全球風力發(fā)電累計裝機容量連年攀升,中國更是發(fā)展迅猛,2014年累計裝機容量就突破了,達到,中國的風力發(fā)電技術也日臻成熟,在全球范圍的能源升級換代行動中體現(xiàn)出大國的擔當與決心.以下是近10年全球風力發(fā)電累計裝機容量與中國新增裝機容量圖.根據(jù)所給信息,正確的統(tǒng)計結(jié)論是()A.截止到2015年中國累計裝機容量達到峰值B.10年來全球新增裝機容量連年攀升C.10年來中國新增裝機容量平均超過D.截止到2015年中國累計裝機容量在全球累計裝機容量中占比超過10.已知,則()A. B. C. D.11.我們熟悉的卡通形象“哆啦A夢”的長寬比為.在東方文化中通常稱這個比例為“白銀比例”,該比例在設計和建筑領域有著廣泛的應用.已知某電波塔自下而上依次建有第一展望臺和第二展望臺,塔頂?shù)剿椎母叨扰c第二展望臺到塔底的高度之比,第二展望臺到塔底的高度與第一展望臺到塔底的高度之比皆等于“白銀比例”,若兩展望臺間高度差為100米,則下列選項中與該塔的實際高度最接近的是()A.400米 B.480米C.520米 D.600米12.若不等式對于一切恒成立,則的最小值是()A.0 B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知直角坐標系中起點為坐標原點的向量滿足,且,,,存在,對于任意的實數(shù),不等式,則實數(shù)的取值范圍是______.14.已知函數(shù)的最大值為3,的圖象與y軸的交點坐標為,其相鄰兩條對稱軸間的距離為2,則15.我國古代數(shù)學名著《九章算術》對立體幾何有深入的研究,從其中一些數(shù)學用語可見,譬如“憋臑”意指四個面都是直角三角形的三棱錐.某“憋臑”的三視圖(圖中網(wǎng)格紙上每個小正方形的邊長為1)如圖所示,已知幾何體高為,則該幾何體外接球的表面積為__________.16.已知點是拋物線的準線上一點,F(xiàn)為拋物線的焦點,P為拋物線上的點,且,若雙曲線C中心在原點,F(xiàn)是它的一個焦點,且過P點,當m取最小值時,雙曲線C的離心率為______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)的內(nèi)角的對邊分別為,若(1)求角的大小(2)若,求的周長18.(12分)已知橢圓的左、右焦點分別為直線垂直于軸,垂足為,與拋物線交于不同的兩點,且過的直線與橢圓交于兩點,設且.(1)求點的坐標;(2)求的取值范圍.19.(12分)設都是正數(shù),且,.求證:.20.(12分)班主任為了對本班學生的考試成績進行分析,決定從本班24名女同學,18名男同學中隨機抽取一個容量為7的樣本進行分析.(1)如果按照性別比例分層抽樣,可以得到多少個不同的樣本?(寫出算式即可,不必計算出結(jié)果)(2)如果隨機抽取的7名同學的數(shù)學,物理成績(單位:分)對應如下表:學生序號1234567數(shù)學成績60657075858790物理成績70778085908693①若規(guī)定85分以上(包括85分)為優(yōu)秀,從這7名同學中抽取3名同學,記3名同學中數(shù)學和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學期望;②根據(jù)上表數(shù)據(jù),求物理成績關于數(shù)學成績的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01);若班上某位同學的數(shù)學成績?yōu)?6分,預測該同學的物理成績?yōu)槎嗌俜郑扛剑壕€性回歸方程,其中,.768381252621.(12分)已知橢圓:()的左、右焦點分別為和,右頂點為,且,短軸長為.(1)求橢圓的方程;(2)若過點作垂直軸的直線,點為直線上縱坐標不為零的任意一點,過作的垂線交橢圓于點和,當時,求此時四邊形的面積.22.(10分)己知,函數(shù).(1)若,解不等式;(2)若函數(shù),且存在使得成立,求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】

畫出函數(shù),將方程看作交點個數(shù),運用圖象判斷根的個數(shù).【詳解】畫出函數(shù)令有兩解,則分別有3個,2個解,故方程的實數(shù)根的個數(shù)是3+2=5個故選:D本題綜合考查了函數(shù)的圖象的運用,分類思想的運用,數(shù)學結(jié)合的思想判斷方程的根,難度較大,屬于中檔題.2.A【解析】

求得集合中函數(shù)的值域,由此求得,進而求得.【詳解】由,得,所以,所以.故選:A本小題主要考查函數(shù)值域的求法,考查集合補集、交集的概念和運算,屬于基礎題.3.B【解析】,選B4.B【解析】

由題意可將方程轉(zhuǎn)化為,令,,進而將方程轉(zhuǎn)化為,即或,再利用的單調(diào)性與最值即可得到結(jié)論.【詳解】由題意知方程在上恰有三個不相等的實根,即,①.因為,①式兩邊同除以,得.所以方程有三個不等的正實根.記,,則上述方程轉(zhuǎn)化為.即,所以或.因為,當時,,所以在,上單調(diào)遞增,且時,.當時,,在上單調(diào)遞減,且時,.所以當時,取最大值,當,有一根.所以恰有兩個不相等的實根,所以.故選:B.本題考查了函數(shù)與方程的關系,考查函數(shù)的單調(diào)性與最值,轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想,屬于中檔題.5.D【解析】

根據(jù)題意得,設與共線的單位向量為,利用向量共線和單位向量模為1,列式求出即可得出答案.【詳解】因為,,則,所以,設與共線的單位向量為,則,解得或所以與共線的單位向量為或.故選:D.本題考查向量的坐標運算以及共線定理和單位向量的定義.6.B【解析】

此題畫出正方體模型即可快速判斷m的取值.【詳解】如圖(1)恰好有3個點到平面的距離為;如圖(2)恰好有4個點到平面的距離為;如圖(3)恰好有6個點到平面的距離為.所以本題答案為B.本題以空間幾何體為載體考查點,面的位置關系,考查空間想象能力,考查了學生靈活應用知識分析解決問題的能力和知識方法的遷移能力,屬于難題.7.A【解析】試題分析:原命題為特稱命題,故其否定為全稱命題,即.考點:全稱命題.8.D【解析】

先求出集合A,B,再求集合B的補集,然后求【詳解】,所以.故選:D此題考查的是集合的并集、補集運算,屬于基礎題.9.D【解析】

先列表分析近10年全球風力發(fā)電新增裝機容量,再結(jié)合數(shù)據(jù)研究單調(diào)性、平均值以及占比,即可作出選擇.【詳解】年份2009201020112012201320142015201620172018累計裝機容量158.1197.2237.8282.9318.7370.5434.3489.2542.7594.1新增裝機容量39.140.645.135.851.863.854.953.551.4中國累計裝機裝機容量逐年遞增,A錯誤;全球新增裝機容量在2015年之后呈現(xiàn)下降趨勢,B錯誤;經(jīng)計算,10年來中國新增裝機容量平均每年為,選項C錯誤;截止到2015年中國累計裝機容量,全球累計裝機容量,占比為,選項D正確.故選:D本題考查條形圖,考查基本分析求解能力,屬基礎題.10.B【解析】

利用誘導公式以及同角三角函數(shù)基本關系式化簡求解即可.【詳解】,本題正確選項:本題考查誘導公式的應用,同角三角函數(shù)基本關系式的應用,考查計算能力.11.B【解析】

根據(jù)題意,畫出幾何關系,結(jié)合各線段比例可先求得第一展望臺和第二展望臺的距離,進而由比例即可求得該塔的實際高度.【詳解】設第一展望臺到塔底的高度為米,塔的實際高度為米,幾何關系如下圖所示:由題意可得,解得;且滿足,故解得塔高米,即塔高約為480米.故選:B本題考查了對中國文化的理解與簡單應用,屬于基礎題.12.C【解析】

試題分析:將參數(shù)a與變量x分離,將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題,即可得到結(jié)論.解:不等式x2+ax+1≥0對一切x∈(0,]成立,等價于a≥-x-對于一切成立,∵y=-x-在區(qū)間上是增函數(shù)∴∴a≥-∴a的最小值為-故答案為C.考點:不等式的應用點評:本題綜合考查了不等式的應用、不等式的解法等基礎知識,考查運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

由題意可設,,,由向量的坐標運算,以及恒成立思想可設,的最小值即為點,到直線的距離,求得,可得不大于.【詳解】解:,且,可設,,,,可得,可得的終點均在直線上,由于為任意實數(shù),可得時,的最小值即為點到直線的距離,可得,對于任意的實數(shù),不等式,可得,故答案為:.本題主要考查向量的模的求法,以及兩點的距離的運用,考查直線方程的運用,以及點到直線的距離,考查運算能力,屬于中檔題.14.【解析】,由題意,得,解得,則的周期為4,且,所以.考點:三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).15.【解析】三視圖還原如下圖:,由于每個面是直角,顯然外接球球心O在AC的中點.所以,,填?!军c睛】三視圖還原,當出現(xiàn)三個尖點在一個位置時,我們常用“揪尖法”。外接球球心到各個頂點的距離相等,而直角三角形斜邊上的中點到各頂點的距離相等,所以本題的球心為AC中點。16.【解析】

由點坐標可確定拋物線方程,由此得到坐標和準線方程;過作準線的垂線,垂足為,根據(jù)拋物線定義可得,可知當直線與拋物線相切時,取得最小值;利用拋物線切線的求解方法可求得點坐標,根據(jù)雙曲線定義得到實軸長,結(jié)合焦距可求得所求的離心率.【詳解】是拋物線準線上的一點拋物線方程為,準線方程為過作準線的垂線,垂足為,則設直線的傾斜角為,則當取得最小值時,最小,此時直線與拋物線相切設直線的方程為,代入得:,解得:或雙曲線的實軸長為,焦距為雙曲線的離心率故答案為:本題考查雙曲線離心率的求解問題,涉及到拋物線定義和標準方程的應用、雙曲線定義的應用;關鍵是能夠確定當取得最小值時,直線與拋物線相切,進而根據(jù)拋物線切線方程的求解方法求得點坐標.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)11【解析】

(1)利用二倍角公式將式子化簡成,再利用兩角和與差的余弦公式即可求解.(2)利用余弦定理可得,再將平方,利用向量數(shù)量積可得,從而可求周長.【詳解】由題解得,所以由余弦定理,,再由解得:所以故的周長為本題主要考查了余弦定理解三角形、兩角和與差的余弦公式、需熟記公式,屬于基礎題.18.(1);(2).【解析】

(1)設出的坐標,代入,結(jié)合在拋物線上,求得兩點的橫坐標,進而求得點的坐標.(2)設出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,寫出韋達定理,結(jié)合,求得的表達式,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍.【詳解】(1)可知,設則,又,所以解得所以.(2)據(jù)題意,直線的斜率必不為所以設將直線方程代入橢圓的方程中,整理得,設則①②因為所以且將①式平方除以②式得所以又解得又,所以令,則所以本小題主要考查直線和拋物線的位置關系,考查直線和橢圓的位置關系,考查向量數(shù)量積的坐標運算,考查向量模的坐標運算,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法,考查運算求解能力,屬于難題.19.證明見解析【解析】

利用比較法進行證明:把代數(shù)式展開、作差、化簡可得,,可證得成立,同理可證明,由此不等式得證.【詳解】證明:因為,,所以,∴成立,又都是正數(shù),∴,①同理,∴.本題考查利用比較法證明不等式;考查學生的邏輯推理能力和運算求解能力;把差變形為因式乘積的形式是證明本題的關鍵;屬于中檔題。20.(1)不同的樣本的個數(shù)為.(2)①分布列見解析,.②線性回歸方程為.可預測該同學的物理成績?yōu)?6分.【解析】

(1)按比例抽取即可,再用乘法原理計算不同的樣本數(shù).(2)名學生中物理和數(shù)學都優(yōu)秀的有3名學生,任取3名學生,都優(yōu)秀的學生人數(shù)服從超幾何分布,故可得其概率分布列及其數(shù)學期望.而線性回歸方程的計算可用給出的公式計算,并利用得到的回歸方程預測該同學的物理成績.【詳解】(1)依據(jù)分層抽樣的方法,24名女同學中應抽取的人數(shù)為名,18名男同學中應抽取的人數(shù)為名,故不同的樣本的個數(shù)為.(2)①∵7名同學中數(shù)學和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為3名,∴的取值為0,1,2,3.∴,,,.∴的分布列為0123∴.②∵,.∴線性回歸方程為.當時,.可預測該同學的物理成績?yōu)?6分.在計算離散型隨機變量的概率時,注意利用常見的概率分布列來簡化計算(如二項分布、超幾何分布等).21.(1)(2)【解析】

(1)依題意可得,解方程組即可求出橢圓的方程;(2)設,則,設直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓方程,消去,設,,列出韋達定理,即可表示,再根據(jù)求出參數(shù),從而得出,最后由點到直線的距離得到,由即可得解;【詳解】解:(1)∵,∴解得,∴橢圓的方程為.(2)∵,∴可設,

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