高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))7.7空間幾何體中求夾角(精練)(原卷版+解析)

7.7空間幾何體中求夾角【題型解讀】【題型一異面直線所成的角】1.(2023·陜西安康·高三期末）如圖，在三棱錐中，平面，是邊長(zhǎng)為的正三角形，，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B．C． D．2.(2023·江蘇南通市高三模擬）已知正四面體ABCD，M為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，則直線BN與直線DM所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．3.(2023·陜西高三模擬）已知圓錐的頂點(diǎn)為，高和底面的半徑之比為，設(shè)是底面的一條直徑，為底面圓周上一點(diǎn)，且，則異面直線與所成的角為（）A． B． C． D．4.(2023·海原縣高三模擬）四棱錐P﹣ABCD中，PD＝DA＝AB＝CD，AB∥CD，∠ADC＝90°，PD⊥平面ABCD，M為PC中點(diǎn)，平面ADM交PB于Q，則CQ與PA所成角的余弦值為（）A． B． C． D．5.(2023·山西·太原五中高一階段練習(xí)）已知正四面體內(nèi)接于半徑為的球中，在平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的最小值是___________；直線與直線所成角的取值范圍為_(kāi)__________.【題型二直線與平面所成的角】1.(2023·全國(guó)高三模擬）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，且.(1)求證：平面平面；(2)若，，求直線PB與平面ADP所成角的正弦值.2.(2023·河北衡水中學(xué)高三模擬）如圖，在三棱錐中，，點(diǎn)O?M分別是?的中點(diǎn)，底面.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的大小.3.(2023·安徽·合肥市第六中學(xué)高一期中）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，，為線段PD的中點(diǎn)．（1）求證：（2）求直線PB與平面CFB所成角的正弦值．4.(2023·全國(guó)高三模擬）在長(zhǎng)方體中，已知，為的中點(diǎn).（1）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面平面？若存在，請(qǐng)加以證明，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）設(shè)，，點(diǎn)在上且滿足，求與平面所成角的余弦值.5.(2023·浙江湖州·模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐中，底面為等腰梯形，，，，是斜邊為的等腰直角三角形．(1)若時(shí)，求證：平面平面；(2)若時(shí)，求直線與平面所成的角的正弦值．【題型三平面與平面的夾角】1.(2023·江西高三模擬）如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面平面ABCD，為等邊三角形，，，M是棱上一點(diǎn)，且.(1)求證：平面MBD；(2)求二面角M－BD－C的余弦值.2.(2023·重慶八中高三階段練習(xí)）如圖，正三棱柱中，E，F(xiàn)分別是棱，上的點(diǎn)，平面平面，M是AB的中點(diǎn)．(1)證明：平面BEF；(2)若，求平面BEF與平面ABC夾角的大小．3．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最小?4.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在四棱錐中，平面，底面為梯形，，，，，．（1）若為的中點(diǎn)，求證：平面；（2）若為棱上異于的點(diǎn)，且，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【題型四空間角的綜合運(yùn)用】1.(2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）在矩形中，，，沿對(duì)角線將矩形折成一個(gè)大小為的二面角，若，則下列結(jié)論中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）①四面體外接球的表面積為②點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為③四面體的體積為④異面直線與所成的角為A． B． C． D．2.(2023·福建·三明一中模擬預(yù)測(cè)）已知正方體中，，點(diǎn)E為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線與平面所成的角為，若，則點(diǎn)E的軌跡所圍成的面積為_(kāi)__________．3.(2023·廣東佛山市高三模擬）（多選）在四邊形中(如圖1)，，將四邊形沿對(duì)角線折成四面體（如圖2所示），使得，E，F(xiàn)，G分別為的中點(diǎn)，連接為平面內(nèi)一點(diǎn)，則（

）A．三棱錐的體積為B．直線與所成的角的余弦值為C．四面體的外接球的表面積為D．若，則Q點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為4.(2023·云南昆明市高三模擬）（多選）已知正方體的棱長(zhǎng)為，則下列命題正確的是（

）A．點(diǎn)到平面的距離為B．直線與平面所成角的余弦值為C．若、分別是、的中點(diǎn)，直線平面，則D．為側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則三棱錐的體積為定值7.7空間幾何體中求夾角【題型解讀】【題型一異面直線所成的角】1.(2023·陜西安康·高三期末）如圖，在三棱錐中，平面，是邊長(zhǎng)為的正三角形，，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】解法一：設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接FE，如圖，∵E是BC的中點(diǎn)，∴∥，,,;在中，由余弦定理可知∴異面直線BE與AF所成角的余弦值為，解法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC，AM所在直線分別為y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，易知，，，所以，，則，∴異面直線BE與AF所成角的余弦值為.故選：D2.(2023·江蘇南通市高三模擬）已知正四面體ABCD，M為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，則直線BN與直線DM所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】設(shè)該正面體的棱長(zhǎng)為，因?yàn)镸為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，所以，因?yàn)镸為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，所以有，，根據(jù)異面直線所成角的定義可知直線BN與直線DM所成角的余弦值為，故選：B3.(2023·陜西高三模擬）已知圓錐的頂點(diǎn)為，高和底面的半徑之比為，設(shè)是底面的一條直徑，為底面圓周上一點(diǎn)，且，則異面直線與所成的角為（）A． B． C． D．答案：A【解析】設(shè)圓錐底面圓的圓心為，設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，以圓錐底面圓的圓心為原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則、、、，，，所以，，，所以，，因此，異面直線與所成的角為.故選：A.4.(2023·海原縣高三模擬）四棱錐P﹣ABCD中，PD＝DA＝AB＝CD，AB∥CD，∠ADC＝90°，PD⊥平面ABCD，M為PC中點(diǎn)，平面ADM交PB于Q，則CQ與PA所成角的余弦值為（）A． B． C． D．答案：D【解析】以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則，，，，為中點(diǎn)，則，，設(shè)，，，，因?yàn)槠矫?，即與共面，所以存在實(shí)數(shù)，使得，所以，解得，，，又，．所以CQ與PA所成角的余弦值為．故選：D．5.(2023·山西·太原五中高一階段練習(xí)）已知正四面體內(nèi)接于半徑為的球中，在平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的最小值是___________；直線與直線所成角的取值范圍為_(kāi)__________.答案：【解析】設(shè)A在面內(nèi)的投影為E，故E為三角形BCD的中心，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，球的半徑為.則，，依題可得，球心在上，，代入數(shù)據(jù)可得，則，，又，，故的軌跡為平面BCD內(nèi)以E為圓心，為半徑的圓，，三點(diǎn)共線時(shí)，且P在BE之間時(shí)，的最小值是.以E為圓心，BE所在直線為x軸建立如圖所示直角坐標(biāo)系，，，，，設(shè)，，故，，設(shè)直線與直線所成角為，∵，∴，又，故，故答案為：，.【題型二直線與平面所成的角】1.(2023·全國(guó)高三模擬）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，且.(1)求證：平面平面；(2)若，，求直線PB與平面ADP所成角的正弦值.答案：(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】(1)因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，平面，所以平面，而平面，所以平面平?得證.(2)如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在的直線為坐標(biāo)軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令可得平面的法向量為，設(shè)直線PB與平面ADP所成角為，則.直線PB與平面ADP所成角的正弦值為.2.(2023·河北衡水中學(xué)高三模擬）如圖，在三棱錐中，，點(diǎn)O?M分別是?的中點(diǎn)，底面.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的大小.答案：(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】(1)證明：連接OB,由,O為AC的中點(diǎn)，得，又底面，故,∵點(diǎn)M為的中點(diǎn)，∴,又∵，∴,，故平面.(2)解法一：由（1）知平面,且,又，面,平面，∴面，則點(diǎn)A到面的距離就是點(diǎn)B到面的距離.設(shè)直線與平面所成角為，，∴與面所成的角的正弦值為，故與面所成的角的大小為.解法二：設(shè)點(diǎn)A到面的高為h，而,由得，則，設(shè)直線與平面所成角為，，∴與面所成的角的正弦值為，即所成的角的大小為.解法三：如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)B,OC,OS分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,則,由（1）可知為平面SOM的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成角為，，則,故，即直線與平面所成角為.3.(2023·安徽·合肥市第六中學(xué)高一期中）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，，為線段PD的中點(diǎn)．（1）求證：（2）求直線PB與平面CFB所成角的正弦值．答案：（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】（1）在中，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋云矫?，因?yàn)槠矫鍼AD，所以．（2）由（1）知，以所在直線分別為軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：在中，因?yàn)椋?，所以；因?yàn)槠矫?，平面，所?因?yàn)椋云矫婵傻靡驗(yàn)?，所以，所以，?設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以，令，則4，所以設(shè)直線與平面所成的角為，則4.(2023·全國(guó)高三模擬）在長(zhǎng)方體中，已知，為的中點(diǎn).（1）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面平面？若存在，請(qǐng)加以證明，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）設(shè)，，點(diǎn)在上且滿足，求與平面所成角的余弦值.答案：（1）存在，證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）存在，當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，平面平面.證明：在長(zhǎng)方體中，，.又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?又為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，且.故四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?又因?yàn)?，平面，平面，所以平面平?（2）在長(zhǎng)方體中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.因?yàn)?，，所以，，，，，所以，?設(shè)平面的法向量為，則，即.令，則，，所以，因?yàn)?，設(shè)，則，所以，則.設(shè)與平面所成角為，則，即.故與平面所成角的余弦值為.5.(2023·浙江湖州·模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐中，底面為等腰梯形，，，，是斜邊為的等腰直角三角形．(1)若時(shí)，求證：平面平面；(2)若時(shí)，求直線與平面所成的角的正弦值．答案：(1)證明見(jiàn)解析；(2).【解析】(1)因，，，則有，即有，又，且，平面，于是得平面，而平面，所以平面平面.(2)在平面內(nèi)，過(guò)B作直線垂直于，交直線于E，有，，如圖，則為二面角的平面角，平面，，于是得，中，，則，在中，，，，由余弦定理得，則有，顯然平面平面，在平面內(nèi)過(guò)B作，則平面，以B為原點(diǎn)，分別以射線為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面的法向量，則，令，得而，設(shè)與平面所成的角為，所以與平面所成的角的正弦值為.【題型三平面與平面的夾角】1.(2023·江西高三模擬）如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面平面ABCD，為等邊三角形，，，M是棱上一點(diǎn)，且.(1)求證：平面MBD；(2)求二面角M－BD－C的余弦值.答案：(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】(1)連接AC，記AC與BD的交點(diǎn)為H，連接MH.由，得，，又，則，∴，又平面MBD，平面MBD，∴平面MBD.(2)記O為CD的中點(diǎn)，連接PO，BO.∵為等邊三角形，∴，∵平面平面ABCD，平面平面ABCD＝CD，∴平面ABCD.以O(shè)為原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，OP為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖，則，，，，，，.設(shè)平面BDM的法向量，則，取x＝1得，平面BCD的一個(gè)法向量.設(shè)二面角M－BD－C的平面角為θ，則.∴二面角M－BD－C的余弦值為.2.(2023·重慶八中高三階段練習(xí)）如圖，正三棱柱中，E，F(xiàn)分別是棱，上的點(diǎn)，平面平面，M是AB的中點(diǎn)．(1)證明：平面BEF；(2)若，求平面BEF與平面ABC夾角的大?。鸢福?1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】(1)證明：在等邊中，為的中點(diǎn)，所以，在正三棱柱中，平面平面，平面平面，平面，所以平面，過(guò)在平面內(nèi)作，垂足為，平面平面，平面平面，平面，，平面，平面，平面．(2)解：由題設(shè)平面，平面平面，，四邊形是平行四邊形，又且，所以，延長(zhǎng)，，相交于點(diǎn)，連接，則、分別為、的中點(diǎn)，則平面與平面所成的角就是二面角，可知，，所以平面，是二面角的平面角，又，，所以，即平面與平面所成的角為；3．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最小?答案：（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】因?yàn)槿庵侵比庵?，所以底面，所以因?yàn)?，，所以，又，所以平面．所以兩兩垂直．以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．所以，．由題設(shè)（）．（1）因?yàn)?，所以，所以．?）設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，所以，即．令，則因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，設(shè)平面與平面的二面角的平面角為，則．當(dāng)時(shí)，取最小值為，此時(shí)取最大值為．所以，此時(shí)4.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在四棱錐中，平面，底面為梯形，，，，，．（1）若為的中點(diǎn)，求證：平面；（2）若為棱上異于的點(diǎn)，且，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．答案：（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】（1）證明：∵在梯形中，，，為的中點(diǎn)，所以且，∴四邊形為平行四邊形，所以，∵平面，平面，所以平面．（2）解：以為原點(diǎn)，，所在的直線為，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)椋?，，所以，，，，，則，，，．設(shè)，，則，．因?yàn)?，所以，即，化?jiǎn)得，解得（舍）或．所以，，即．設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，所以，解得令，得；設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，所以解得令，得．設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．【題型四空間角的綜合運(yùn)用】1.(2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）在矩形中，，，沿對(duì)角線將矩形折成一個(gè)大小為的二面角，若，則下列結(jié)論中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）①四面體外接球的表面積為②點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為③四面體的體積為④異面直線與所成的角為A． B． C． D．答案：B【解析】對(duì)于①，取的中點(diǎn)，連接、，則，因?yàn)椋?，，所以，為四面體的外接球球心，球的表面積為，①對(duì)；對(duì)于②③④，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則二面角的平面角為，在中，，，，則，，，則，，，，，，平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸，平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)且垂直于的垂線為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，則、、、，，②錯(cuò)，，，③對(duì)，，，，故異面直線與所成角為，④錯(cuò).故選：B.2.(2023·福建·三明一中模擬預(yù)測(cè)）已知正方體中，，點(diǎn)E為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線與平面所成的角為，若，則點(diǎn)E的軌跡所圍成的面積為_(kāi)__________．答案：【解析】如圖所示，連接交平面于，連接，由題意可知平面，所以是與平面所成的角，所以＝.由可得，即.在四面體中，,

,所以四面體為正三棱錐，為的重心，如圖所示：所以解得，,又因?yàn)?，所以，即在平面?nèi)的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓，所以.故答案為:3.(2023