新高考數(shù)學二輪復習解答題培優(yōu)練習專題01 空間幾何體的外接球與內(nèi)切球問題(典型題型歸類訓練)解析版

專題01空間幾何體的外接球與內(nèi)切球問題(典型題型歸類訓練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 3題型一：內(nèi)切球等體積法 3題型二：內(nèi)切球獨立截面法 8題型三：外接球公式法 12題型四：外接球補型法 13題型五：外接球單面定球心法 16題型六：外接球雙面定球心法 20三、專項訓練 24一、必備秘籍1．球與多面體的接、切定義1；若一個多面體的各頂點都在一個球面上，則稱這個多面體是這個球的內(nèi)接多面體，這個球是多面體的外接球。定義2；若一個多面體的各面都與一個球的球面相切，則稱這個多面體是這個球的外切多面體，這個球是多面體的內(nèi)切球。類型一球的內(nèi)切問題（等體積法）例如：在四棱錐SKIPIF1<0中，內(nèi)切球為球SKIPIF1<0，求球半徑SKIPIF1<0.方法如下：SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0，可求出SKIPIF1<0.類型二球的外接問題1、公式法正方體或長方體的外接球的球心為其體對角線的中點2、補形法（補長方體或正方體）①墻角模型（三條線兩個垂直）題設：三條棱兩兩垂直（重點考察三視圖）②對棱相等模型（補形為長方體）題設：三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等，求外接球半徑（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）3、單面定球心法（定+算）步驟：①定一個面外接圓圓心：選中一個面如圖：在三棱錐SKIPIF1<0中，選中底面SKIPIF1<0，確定其外接圓圓心SKIPIF1<0（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜邊中點上，普通三角形用正弦定理定外心SKIPIF1<0）；②過外心SKIPIF1<0做（找）底面SKIPIF1<0的垂線，如圖中SKIPIF1<0面SKIPIF1<0,則球心一定在直線（注意不一定在線段SKIPIF1<0上）SKIPIF1<0上；③計算求半徑SKIPIF1<0:在直線SKIPIF1<0上任取一點SKIPIF1<0如圖：則SKIPIF1<0，利用公式SKIPIF1<0可計算出球半徑SKIPIF1<0.4、雙面定球心法（兩次單面定球心）如圖：在三棱錐SKIPIF1<0中：①選定底面SKIPIF1<0，定SKIPIF1<0外接圓圓心SKIPIF1<0②選定面SKIPIF1<0，定SKIPIF1<0外接圓圓心SKIPIF1<0③分別過SKIPIF1<0做面SKIPIF1<0的垂線，和SKIPIF1<0做面SKIPIF1<0的垂線，兩垂線交點即為外接球球心SKIPIF1<0.二、典型題型題型一：內(nèi)切球等體積法1．（22·23·全國·專題練習）正三棱錐P﹣ABC的三條棱兩兩互相垂直，則該正三棱錐的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為（）A．1：3 B．1：SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】三棱錐擴展為長方體（本題實質(zhì)上是正方體），它的對角線的長度，就是球的直徑，設側(cè)棱長為a，則它的對角線的長度為SKIPIF1<0a，外接球的半徑為SKIPIF1<0，再設正三棱錐內(nèi)切球的半徑為r，正三棱錐底面邊長為SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0是內(nèi)切球球心，則SKIPIF1<0到棱錐四個面的距離都等于SKIPIF1<0，根據(jù)三棱錐的體積的兩種求法，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴該正三棱錐的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為SKIPIF1<0．故選：D．2．（22·23下·朔州·階段練習）正四面體的內(nèi)切球、棱切球(與各條棱均相切的球)及外接球的半徑之比為．【答案】SKIPIF1<0【詳解】設正四面體的棱長為1，外接球和內(nèi)切球半徑分別為SKIPIF1<0，如圖所示，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，

由正四面體的性質(zhì)可知線段SKIPIF1<0為正四面體SKIPIF1<0的高，在正SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，同理，在正SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由正四面體的性質(zhì)知，三個球的球心重合，且球心SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而棱切球與棱SKIPIF1<0相切，故其半徑為SKIPIF1<0，則正四面體的內(nèi)切球、棱切球及外接球的半徑之比為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.3．（23·24上·萍鄉(xiāng)·期末）已知球O是棱長為1的正四面體的內(nèi)切球，AB為球O的一條直徑，點P為正四面體表面上的一個動點，則SKIPIF1<0的取值范圍為.【答案】SKIPIF1<0【詳解】如圖所示，在邊長為1的正四面體SKIPIF1<0中，設四面體內(nèi)切球球心為SKIPIF1<0，內(nèi)切球半徑為SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為點P為正四面體表面上的一個動點，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0為球O的一條直徑，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案為:SKIPIF1<0.4．（22·23上·張家口·期中）球O為正四面體SKIPIF1<0的內(nèi)切球，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是球O的直徑，點M在正四面體SKIPIF1<0的表面運動，則SKIPIF1<0的最大值為．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】如圖，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中心，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設球O的半徑為r，SKIPIF1<0，正四面體SKIPIF1<0中，易求得SKIPIF1<0所以正四面體SKIPIF1<0的高為SKIPIF1<0，所以根據(jù)體積公式SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因為點M在正四面體SKIPIF1<0的表面運動，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．5．（22·23上·河南·階段練習）已知正四面體SKIPIF1<0的棱長為12，球SKIPIF1<0內(nèi)切于正四面體SKIPIF1<0是球SKIPIF1<0上關于球心SKIPIF1<0對稱的兩個點，則SKIPIF1<0的最大值為.【答案】SKIPIF1<0【詳解】設點SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi)的射影為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi)的射影為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi)的射影為SKIPIF1<0，如圖1.因為正四面體SKIPIF1<0的棱長為12，所以SKIPIF1<0.設球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立.過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，如圖2.圓SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0是關于點SKIPIF1<0對稱的兩個點，且SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，當且僅當直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切時，等號成立.SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立.因為以上取等條件可以同時成立，所以SKIPIF1<0.6．（22·23上·揚州·期中）中國古代數(shù)學名著《九章算術》中將底面為矩形且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”．現(xiàn)有一“陽馬”的底面是邊長為3的正方形，垂直于底面的側(cè)棱長為4，則該“陽馬”的內(nèi)切球表面積為，內(nèi)切球的球心和外接球的球心之間的距離為．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】如圖，SKIPIF1<0為正方形，設SKIPIF1<0垂直于平面SKIPIF1<0，由題SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面ADP，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為直角三角形，由題，SKIPIF1<0，四棱錐表面積SKIPIF1<0，體積SKIPIF1<0，設內(nèi)切球半徑為r，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，內(nèi)切球表面積為SKIPIF1<0；以DA，DC，DP分別為x，y，z軸建立如圖空間直角坐標系，因為內(nèi)切球半徑SKIPIF1<0，所以內(nèi)切球球心SKIPIF1<0，因為該四棱錐可以補全為棱長分別為3，3，4的長方體，所以外接球球心SKIPIF1<0，兩點間距離SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0題型二：內(nèi)切球獨立截面法1．（23·24上·淮安·開學考試）球SKIPIF1<0是圓錐SKIPIF1<0的內(nèi)切球，若球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，則圓錐SKIPIF1<0體積的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】如下圖所示：

取圓錐SKIPIF1<0的軸截面SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，該圓錐的體積為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞減，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞增，所以，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取最小值，即SKIPIF1<0.故選：C.2．（22·23下·咸寧·期末）已知球SKIPIF1<0內(nèi)切于圓臺（即球與該圓臺的上、下底面以及側(cè)面均相切），且圓臺的上、下底面半徑SKIPIF1<0，則圓臺的體積與球的體積之比為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】如圖為該幾何體的軸截面，其中圓SKIPIF1<0是等腰梯形SKIPIF1<0的內(nèi)切圓，設圓SKIPIF1<0與梯形的腰相切于點SKIPIF1<0，與上、下底的分別切于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設球的半徑為SKIPIF1<0，圓臺上下底面的半徑為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.注意到SKIPIF1<0與SKIPIF1<0均為角平分線，因此SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.設臺體體積為SKIPIF1<0，球體體積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：B

3．（22·23·全國·專題練習）若圓錐的內(nèi)切球（球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切）的半徑為SKIPIF1<0，當該圓錐體積取最小值時，該圓錐體積與其內(nèi)切球體積比為.【答案】2:1/2【詳解】設圓錐的高為SKIPIF1<0，底面半徑為SKIPIF1<0，則當圓錐體積最小時，如圖，由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，進而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0圓錐的體積SKIPIF1<0．當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時取等號．SKIPIF1<0該圓錐體積的最小值為SKIPIF1<0．內(nèi)切球體積為SKIPIF1<0．該圓錐體積與其內(nèi)切球體積比SKIPIF1<0．故答案為：2：1

4．（23·24上·佛山·開學考試）若圓錐的內(nèi)切球（球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切）的體積為SKIPIF1<0，當該圓錐體積取最小值時，該圓錐的表面積為．【答案】SKIPIF1<0.【詳解】設圓錐的內(nèi)切球的半徑為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，再設圓錐的底面圓的半徑為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，如圖所示，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以圓錐的體積SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，即SKIPIF1<0時，等號成立，此時SKIPIF1<0，母線長為SKIPIF1<0，此時圓錐的表面積為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.

5．（22·23下·成都·階段練習）已知圓錐的底面半徑為2，高為SKIPIF1<0，則該圓錐的內(nèi)切球表面積為.【答案】SKIPIF1<0【詳解】如圖，作出該圓錐與其內(nèi)切球的軸截面圖形，

設該內(nèi)切球的球心為SKIPIF1<0，內(nèi)切球的半徑為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為切點，所以，SKIPIF1<0，由已知得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，該圓錐的內(nèi)切球表面積為SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0.題型三：外接球公式法1．（16·17·全國·單元測試）若長方體從一個頂點出發(fā)的三條棱長分別為3,4,5,則該長方體的外接球表面積為()A．50π B．100π C．150π D．200π【答案】A【詳解】∵長方體從同一頂點出發(fā)的三條棱的長分別為3，4，5，∴長方體的對角線長為：SKIPIF1<0，∵長方體的對角線長恰好是外接球的直徑∴球半徑為SKIPIF1<0，可得球的表面積為SKIPIF1<0．故選A．2．（22·23·全國·專題練習）設球SKIPIF1<0是棱長為4的正方體的外接球，過該正方體的棱的中點作球SKIPIF1<0的截面，則最小截面的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】正方體的體對角線長為SKIPIF1<0，所以球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，正方體的棱的中點與SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0最小截面的圓的半徑為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0最小截面的面積為SKIPIF1<0.故選：B3．（14·15上·佛山·階段練習）正方體的外接球（正方體的八個頂點都在球面上）與其內(nèi)切球（正方體的六個面都與球相切）的體積之比是．【答案】SKIPIF1<0【詳解】設正方體的棱長為SKIPIF1<0,則外接球的半徑為SKIPIF1<0,內(nèi)切球的半徑為SKIPIF1<0所以正方體的外接球和內(nèi)切球的體積比為SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0題型四：外接球補型法1．（23·24上·成都·開學考試）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則該三棱錐的外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】由題意，SKIPIF1<0兩兩相互垂直，以SKIPIF1<0為邊補成一個正方體，其外接球就是三棱錐SKIPIF1<0的外接球，SKIPIF1<0，表面積SKIPIF1<0，

故選:B2．（22·23下·揭陽·期中）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該三棱錐的外接球表面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】因為SKIPIF1<0，所以可以將三棱錐SKIPIF1<0如圖放置于一個長方體中，如圖所示：

設長方體的長、寬、高分別為a、b、c，則有SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，則該棱錐外接球的半徑即為該長方體外接球的半徑，所以有SKIPIF1<0，所以所求的球體表面積為：SKIPIF1<0．故選：A．3．（23·24上·成都·開學考試）已知四面體SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且該四面體SKIPIF1<0的外接球的表面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】將四面體SKIPIF1<0放入長方體中，如圖，則四面體SKIPIF1<0的外接球，即為長方體的外接球，設長方體中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，三式相加得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以四面體SKIPIF1<0的外接球半徑為SKIPIF1<0，故四面體SKIPIF1<0的外接球表面積為SKIPIF1<0.故選：B4．（22·23下·黔西·階段練習）正三棱錐SKIPIF1<0的三條棱兩兩互相垂直，則該正三棱錐的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為.【答案】SKIPIF1<0【詳解】由題意，正三棱錐SKIPIF1<0可補形稱正方體SKIPIF1<0，如下圖：

則三棱錐SKIPIF1<0的外接球為正方體SKIPIF1<0的外接球，設正方體的棱長為SKIPIF1<0，則外接球半徑SKIPIF1<0，在正三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0為等邊三角形，由勾股定理可得：SKIPIF1<0，則其面積SKIPIF1<0，故正三棱錐SKIPIF1<0的表面積SKIPIF1<0，其體積SKIPIF1<0，設三棱錐SKIPIF1<0的內(nèi)切球的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.5．（22·23下·黔西·期中）如圖，已知在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求該三棱錐外接球的表面積是．

【答案】SKIPIF1<0【詳解】設三棱錐外接球的外接球的半徑為SKIPIF1<0，由題意可將三棱錐SKIPIF1<0轉(zhuǎn)化為長方體，長、寬、高分別為2、1、1，則長方體的體對角線為外接球的直徑SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以該三棱錐外接球的表面積為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.

題型五：外接球單面定球心法1．（23·24上·漢中·模擬預測）如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0為SKIPIF1<0外接圓的圓心，SKIPIF1<0為三棱錐SKIPIF1<0外接球的球心，SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球SKIPIF1<0的表面積為．

【答案】SKIPIF1<0【詳解】根據(jù)題意可知，設SKIPIF1<0外接圓的半徑為SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中由正弦定理可知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；易知三棱錐SKIPIF1<0外接球的球心在SKIPIF1<0的正上方，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以可得四邊形SKIPIF1<0是矩形，即SKIPIF1<0；設SKIPIF1<0，三棱錐SKIPIF1<0外接球的半徑為SKIPIF1<0，由勾股定理可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；所以可得三棱錐SKIPIF1<0的外接球SKIPIF1<0的表面積為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<02．（23·24上·秦皇島·開學考試）三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0在底面的射影SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的內(nèi)心，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則四面體SKIPIF1<0的外接球表面積為.【答案】SKIPIF1<0【詳解】三棱錐底面為直角三角形，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0內(nèi)心，

由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為坐標原點，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0軸建立平面直角坐標系，如下圖所示：

設SKIPIF1<0內(nèi)切圓半徑SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0，面積為SKIPIF1<0；由等面積可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；設四面體SKIPIF1<0外接球球心為SKIPIF1<0，所以易知SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0射影為SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則四面體SKIPIF1<0的外接球表面積為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<03．（22·23下·石家莊·階段練習）已知球SKIPIF1<0是正四面體SKIPIF1<0的外接球，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的一點，且SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0與四面體SKIPIF1<0的體積比為.【答案】SKIPIF1<0【詳解】如圖，正四面體SKIPIF1<0中，頂點SKIPIF1<0在底面的射影為SKIPIF1<0，球心SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，設正四面體的棱長為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則正四面體高SKIPIF1<0，設外接球半徑為SKIPIF1<0，在直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0①，同理，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0②由題設SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離與SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離相等，都等于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.

4．（22·23下·淄博·期末）已知四棱錐SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0是矩形，側(cè)面SKIPIF1<0為等邊三角形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則四棱錐SKIPIF1<0的外接球表面積為.【答案】SKIPIF1<0【詳解】記AD的中點為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，連接EF，設SKIPIF1<0外接圓的圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，所求外接球球心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，如圖，

因為SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0，所以圓SKIPIF1<0的半徑SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0是AD的中點，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因為平面SKIPIF1<0平面ABCD，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面PAD，所以SKIPIF1<0平面ABCD，因為底面ABCD是矩形，所以SKIPIF1<0是底面ABCD外接圓的圓心，故SKIPIF1<0平面ABCD，所以SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0是矩形，所以SKIPIF1<0，所以球SKIPIF1<0的半徑SKIPIF1<0，所以外接球的表面積為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．題型六：外接球雙面定球心法1．（22·23上·撫州·期中）已知菱形SKIPIF1<0的各邊長為SKIPIF1<0.如圖所示，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使得點SKIPIF1<0到達點SKIPIF1<0的位置，連接SKIPIF1<0，得到三棱錐SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點，點SKIPIF1<0在三棱錐SKIPIF1<0的外接球上運動，且始終保持SKIPIF1<0則點SKIPIF1<0的軌跡的面積為.

【答案】SKIPIF1<0【詳解】取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，設點SKIPIF1<0軌跡所在平面為SKIPIF1<0，則平面SKIPIF1<0經(jīng)過點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，設三棱錐SKIPIF1<0外接球的球心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中心分別為SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0四點共面，由題可得SKIPIF1<0，在RtSKIPIF1<0中，可得SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，故平面SKIPIF1<0截外接球所得截面圓的半徑為SKIPIF1<0，所以截面圓的面積為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.

2．（22·23·贛州·模擬預測）如圖，正三角形ABC中，D，E分別為邊AB，AC的中點，其中SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0沿著DE翻折至SKIPIF1<0的位置，得到四棱錐SKIPIF1<0，則當四棱錐SKIPIF1<0的體積最大時，四棱錐SKIPIF1<0外接球的球心到平面SKIPIF1<0的距離為.

【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】

由題意可知，當平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0時，四棱錐SKIPIF1<0的體積最大，如圖所示，取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0的外接圓的圓心SKIPIF1<0位于SKIPIF1<0且靠近點SKIPIF1<0的三等分點處，設SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為四邊形SKIPIF1<0的外接圓的圓心，過SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂線，過SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂線，則兩垂線的交點即為四棱錐SKIPIF1<0的外接球的球心SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0為矩形，所以SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.設四棱錐SKIPIF1<0的外接球的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0外接圓的圓心在SKIPIF1<0上，令其半徑為SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，設四棱錐SKIPIF1<0外接球的球心到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故四棱錐SKIPIF1<0外接球的球心到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<03．（22·23下·湖南·期末）為加強學生對平面圖形翻折到空間圖形的認識，某數(shù)學老師充分利用習題素材開展活動，現(xiàn)有一個求外接球表面積的問題，活動分為三個步驟，第一步認識平面圖形：如圖（一）所示的四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.第二步：以SKIPIF1<0為折痕將SKIPIF1<0折起，得到三棱錐SKIPIF1<0，如圖（二）.第三步：折成的二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，則活動結(jié)束后計算得到三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積為.

【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】從第一步活動中可知SKIPIF1<0是邊長為2的正三角形，第二步活動中可知三棱錐SKIPIF1<0外接球的球心是過底面SKIPIF1<0外心的平面SKIPIF1<0的垂線，與過SKIPIF1<0外心的平面SKIPIF1<0的垂線的交點，如圖：

因SKIPIF1<0為正三角形，所以SKIPIF1<0的外心SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中心，因SKIPIF1<0為以SKIPIF1<0為斜邊的直角三角形，所以SKIPIF1<0的外心SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，三棱錐SKIPIF1<0外接球的球心為SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0為二面角SKIPIF1<0的一個平面角，所以SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0為正三角形，所以SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設外接球的半徑為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以外接球的表面積為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.三、專項訓練一、單選題1．（22·23下·河南·模擬預測）已知直六棱柱的所有棱長均為2，且其各頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】由題知，如圖所示：

直六棱柱的各頂點都在同一球面上，則底面六邊形的所有頂點都在同一個圓上，因為底面六邊形的邊長均為2，所以底面六邊形必為正六邊形，且由幾何關系易知底面所在圓的直徑為SKIPIF1<0，又因為直六棱柱的側(cè)棱長為2，故直六棱柱外接球的直徑為SKIPIF1<0，所以球半徑SKIPIF1<0，所以球的表面積SKIPIF1<0.故選：B.2．（22·23下·寧德·期中）正四面體ABCD的外接球的半徑為2，過棱AB作該球的截面，則截面面積的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】由題意，面積最小的截面是以SKIPIF1<0為直徑的截面，將四面體SKIPIF1<0放置于正方體中，可得正方體的外接球就是四面體SKIPIF1<0的外接球，設SKIPIF1<0，則正方體棱長為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，可求得SKIPIF1<0，進而截面面積的最小值為SKIPIF1<0．故選：C

3．（23·24上·河北·開學考試）長方體的一個頂點上三條棱長是3，4，5，且它的八個頂點都在同一球面上，這個球的體積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】設球的半徑為SKIPIF1<0，由題意可知球的直徑即是長方體的體對角線，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0.故選：A4．（22·23下·臨夏·期末）已知四棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，側(cè)棱SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且四邊形SKIPIF1<0是邊長為2的正方形，則該四棱錐的外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】由題意四棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，側(cè)棱SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且四邊形SKIPIF1<0是邊長為2的正方形，得SKIPIF1<0,

設O為PC的中點，E為SKIPIF1<0的交點，連接SKIPIF1<0，則E為SKIPIF1<0的中點，故SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而四邊形SKIPIF1<0是邊長為2的正方形，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，同理求得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故O為四棱錐SKIPIF1<0的外接球的球心，則半徑為SKIPIF1<0，則該四棱錐的外接球的表面積為SKIPIF1<0，故選：A5．（23·24上·廣東·階段練習）如圖，在邊長為2的正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點，將SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別沿SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0折起，使得SKIPIF1<0三點重合于點SKIPIF1<0，若三棱錐SKIPIF1<0的所有頂點均在球SKIPIF1<0的球面上，則球SKIPIF1<0的表面積為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】根據(jù)題意可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以三棱錐SKIPIF1<0可補成一個長方體，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球即為長方體的外接球，如圖所示，

設長方體的外接球的半徑為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以外接球的表面積為SKIPIF1<0，故選：C6．（23·24上·安徽·開學考試）在封閉的等邊圓錐（軸截面為等邊三角形）內(nèi)放入一個球，若球的最大半徑為1，則該圓錐的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】

由題意，等邊三角形的內(nèi)切圓的圓心也是三角形的重心，所以得高為SKIPIF1<0，設底面半徑為r，由已知得SKIPIF1<0，故體積為SKIPIF1<0.故選：A7．（23·24上·莆田·階段練習）三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是邊長為SKIPIF1<0的正三角形，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點且SKIPIF1<0，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】由題設易得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的中心為SKIPIF1<0，則外接球球心SKIPIF1<0在過SKIPIF1<0垂直于面SKIPIF1<0的直線上，

又SKIPIF1<0，結(jié)合線面垂直模型知：外接球的半徑SKIPIF1<0，所以，外接球表面積為SKIPIF1<0.故選：B8．（22·23·九江·一模）三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0均為邊長為SKIPIF1<0的等邊三角形，若平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】

解：如圖，取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF