新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點3-3 正弦定理與余弦定理（8題型+滿分技巧+限時檢測）（解析版）

熱點3-3正弦定理與余弦定理“解三角形”是每年高考常考內(nèi)容，在選擇題、填空題中考查較多，有時也會出現(xiàn)在解答題中。對于解答題，一是考查正弦定理、余弦定理的簡單應(yīng)用；而是考查兩個定理的綜合應(yīng)用，多與三角變換、平面向量等知識綜合命題。以實際生活為背景（如測量、航海、幾何天體運行和物理學(xué)上的應(yīng)用等）考查解三角形問題，此類問題在近幾年高考中雖未涉及，但深受高考命題者的青睞，應(yīng)給予關(guān)注；在高考試題中出現(xiàn)有關(guān)解三角形的試題大多數(shù)為容易題、中檔題?！绢}型1正、余弦定理解三角形邊與角】滿分技巧利用正、余弦定理求解三角形的邊角問題，實質(zhì)是實現(xiàn)邊角的轉(zhuǎn)化，解題的思路是：1、選定理.（1）已知兩角及一邊，求其余的邊或角，利用正弦定理；（2）已知兩邊及其一邊的對角，求另一邊所對的角，利用正弦定理；（3）已知兩邊及其夾角，求第三邊，利用余弦定理；（4）已知三邊求角或角的余弦值，利用余弦定理的推論；（5）已知兩邊及其一邊的對角，求另一邊，利用余弦定理；2、巧轉(zhuǎn)化：化邊為角后一般要結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理與三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化；若將條件轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系，則式子一般比較復(fù)雜，要注意根據(jù)式子結(jié)構(gòu)特征靈活化簡.3、得結(jié)論：利用三角函數(shù)公式，結(jié)合三角形的有關(guān)性質(zhì)（如大邊對大角，三角形的內(nèi)角取值范圍等），并注意利用數(shù)形結(jié)合求出三角形的邊、角或判斷出三角形的形狀等。【例1】（2024·全國·模擬預(yù)測）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由余弦定理得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．由正弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A．【變式1-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：A．【變式1-2】（2023·新疆·校聯(lián)考一模）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的對應(yīng)邊是SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因為SKIPIF1<0，所以由余弦定理可得SKIPIF1<0，利用正弦定理邊化角得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B【變式1-3】（2024·湖北武漢·高三統(tǒng)考期末）已知在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故選：A.【變式1-4】（2024·吉林長春·東北師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）SKIPIF1<0.由正弦定理，可得SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.【題型2正弦定理判定三角形解的個數(shù)】滿分技巧已知三角形的兩角和任意一邊，求其他的邊和角，此時有唯一解，三角形被唯一確定；已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角，此時可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，三角形不能被唯一確定。（1）從代數(shù)的角度分析：以已知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，解三角形為例由正弦定理、正弦函數(shù)的有界性及三角形的性質(zhì)可得：=1\*GB3①若SKIPIF1<0，則滿足條件的三角形的個數(shù)為0；=2\*GB3②若SKIPIF1<0，則滿足條件的三角形的個數(shù)為1；=3\*GB3③若SKIPIF1<0，則滿足條件的三角形的個數(shù)為1或者2；顯然由若SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0有兩個值，一個大于SKIPIF1<0，一個小于SKIPIF1<0，考慮“大邊對大角”、“三角形內(nèi)角和等于SKIPIF1<0”等，此時需進(jìn)行分類討論。（2）畫圖法：以已知角的對邊為半徑畫圓弧，通過與鄰邊的交點個數(shù)判斷解的個數(shù)在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：當(dāng)A為銳角時：當(dāng)A為鈍角時【例2】（2023·山東臨沂·高三?？茧A段練習(xí)）（多選）在SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)下列條件判斷三角形的情況，則正確的是（）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有兩解B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有兩解C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，只有一解D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，只有一解【答案】CD【解析】對于A，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由正弦定理SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，顯然有唯一結(jié)果，即只有一解，A錯誤；對于B，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，無解，B錯誤；對于C，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，有唯一解，C正確；對于D，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，有唯一解，D正確.故選：CD【變式2-1】（2022·河北張家口·高三校聯(lián)考期中）（多選）在SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】BC【解析】對于A，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0只有一解；故A錯誤；對于B，因為SKIPIF1<0，所以由正弦定理得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0有兩解（SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0），故B正確；對于C，因為SKIPIF1<0，所以由正弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0有兩解（SKIPIF1<0，或，SKIPIF1<0），故C正確；對于D，因為SKIPIF1<0，所以由正弦定理得SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0只有一解，故D錯誤；故選：BC【變式2-2】（2023·北京順義·高三牛欄山一中校考期中）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，滿足條件的SKIPIF1<0（）A．有無數(shù)多個B．有兩個C．有一個D．不存在【答案】D【解析】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由正弦定理SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得SKIPIF1<0不存在，所以滿足條件的SKIPIF1<0不存在.故選：D【變式2-3】（2023·浙江·模擬預(yù)測）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，且該三角形有兩解，則SKIPIF1<0的范圍是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由正弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,因為該三角形有兩解，故SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故選：B【變式2-4】（2023·安徽·池州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）（多選）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，若滿足條件的三角形有兩個，則SKIPIF1<0邊的取值可能是（）A．1.5B．1.6C．1.7D．1.8【答案】BC【解析】根據(jù)題意可得：滿足條件的SKIPIF1<0有兩個，可得SKIPIF1<0，故選:BC【題型3正、余弦定理判斷三角形形狀】滿分技巧判定三角形形狀的兩種常用途徑1、角化邊：利用正弦定理、余弦定理化角為邊，通過代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷；2、邊化角：通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷【例3】（2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考模擬預(yù)測）記SKIPIF1<0的內(nèi)角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【答案】D【解析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0是等腰或直角三角形，故選：D.【變式3-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對邊，已知SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，則SKIPIF1<0是（）A．直角三角形B．等邊三角形C．等腰三角形D．不確定【答案】B【解析】因為SKIPIF1<0，由誘導(dǎo)公式得SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為等邊三角形，故選：B.【變式3-2】（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對邊，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的形狀為（）A．直角三角形B．銳角三角形C．直角或鈍角三角形D．鈍角三角形【答案】D【解析】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為鈍角三角形.故選：D.【變式3-3】（2022·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高三海拉爾第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）SKIPIF1<0的內(nèi)角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的形狀為（）A．等邊三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等邊三角形或直角三角形【答案】B【解析】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又由余弦定理可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0是以∠C為直角的直角三角形．故選：B．【變式3-4】（2024·新疆烏魯木齊·高三烏魯木齊市十二中?？茧A段練習(xí)）在SKIPIF1<0中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的形狀是（）A．等腰三角形或直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等邊三角形【答案】B【解析】SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的形狀為直角三角形，故選：B【題型4求三角形（四邊形）的面積】滿分技巧1、常用的三角形面積公式：在SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所對的邊分別為a，b，c，邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0邊上的高分別記作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為內(nèi)切圓半徑，SKIPIF1<0為外接圓半徑，SKIPIF1<0為內(nèi)切圓心。（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0（4）SKIPIF1<02、與三角形面積有關(guān)問題的解題策略（1）利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相關(guān)邊、角之后，直接求三角形的面積；（2）把面積作為已知條件之一，與正弦、余弦定理結(jié)合求出三角形的其他量?！纠?】（2024·江西上饒·高三?？茧A段練習(xí)）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對邊，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0等于（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故選：B【變式4-1】（2024·陜西渭南·統(tǒng)考一模）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積為.【答案】SKIPIF1<0【解析】由余弦定理可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0.【變式4-2】（2023·湖南長沙·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0成等差數(shù)列，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積為（）A．3SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．12D．16【答案】B【解析】因為SKIPIF1<0成等差數(shù)列，可得SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，由余弦定理得：SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，故選：B.【變式4-3】（2024·重慶長壽·高三統(tǒng)考期末）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．2D．3【答案】B【解析】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B.【變式4-4】（2024·陜西西安·統(tǒng)考一模）在三角形SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選：B【題型5三角形的外接圓問題】滿分技巧正弦定理：SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0為外接圓半徑）【例5】（2023·江蘇徐州·高三校考階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0外接圓的半徑為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由題意得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0外接圓的半徑為SKIPIF1<0，則由正弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：B.【變式5-1】（2023·河北石家莊·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在SKIPIF1<0中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0外接圓的半徑為（）.A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．3【答案】A【解析】因為SKIPIF1<0為銳角，所以SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0外接圓的半徑為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：A【變式5-2】（2022·遼寧葫蘆島·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在SKIPIF1<0中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0外接圓的半徑為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0外接圓的半徑為SKIPIF1<0，故選：A.【變式5-3】（2022·河南南陽·高三統(tǒng)考期中）在SKIPIF1<0中,角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0的外接圓面積為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由正弦定理可知,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)正弦定理可知SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的外接圓面積SKIPIF1<0，故選：D【變式5-4】（2023·湖南婁底·高三漣源市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在SKIPIF1<0中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的外接圓的面積為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0的外接圓的半徑為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的外接圓的面積為SKIPIF1<0，故選：B.【題型6證明三角形中恒等式或不等式】【例6】（2024上·江西贛州·高三統(tǒng)考期末）在SKIPIF1<0中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，SKIPIF1<0．（1）證明：SKIPIF1<0；（2）記邊AB和BC上的高分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，判斷SKIPIF1<0的形狀．【答案】（1）證明見解析；（2）直角三角形.【解析】（1）因為SKIPIF1<0，由正弦定理得，SKIPIF1<0，整理可得，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），所以SKIPIF1<0；（2）根據(jù)等面積法可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0及正弦定理可得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是直角三角形.【變式6-1】（2024·湖南長沙·統(tǒng)考一模）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所對的邊長分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0.（1）證明：SKIPIF1<0；（2）如圖，點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0的延長線上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)點SKIPIF1<0運動時，探究SKIPIF1<0是否為定值？【答案】（1）證明見解析；（2）SKIPIF1<0為定值.【解析】（1）因為SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0，再由余弦定得得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0.（2）因為SKIPIF1<0互補，所以SKIPIF1<0，結(jié)合余弦定理可得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為定值.【變式6-2】（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）記SKIPIF1<0的內(nèi)角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0．（1）證明：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【答案】（1）證明見解析；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的內(nèi)角，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），所以SKIPIF1<0.（2）由（1）得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及正弦定理SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），所以SKIPIF1<0.【變式6-3】（2024·河南焦作·高三統(tǒng)考期末）已知SKIPIF1<0中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且SKIPIF1<0．（1）證明：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】（1）證明見解析；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）證明：由正弦定理及條件可得SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0．（2）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．【變式6-4】（2024上·海南?？凇じ呷Ｄ现袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）記SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為SKIPIF1<0﹐已知SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，求B；（2）證明：SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）證明見解析【解析】（1）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，再由正弦定理可得SKIPIF1<0，然后根據(jù)余弦定理可知，SKIPIF1<0，化簡得：SKIPIF1<0，故原等式成立．【題型7距離、高度、角度的測量】滿分技巧解三角形的實際應(yīng)用問題的類型及解題策略1、求距離、高度問題（1）選定或確定要創(chuàng)建的三角形，要先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．有時需設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的量．（2）確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理．2、求角度問題（1）分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步，畫圖時，要明確仰角、俯角、方位角以及方向角的含義，并能準(zhǔn)確找到這些角．（2）將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，注意正、余弦定理的綜合應(yīng)用．【例7】（2023·江蘇南通·高三海門中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，某人為測量塔高SKIPIF1<0，在河對岸相距SKIPIF1<0的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0處分別測得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與塔底SKIPIF1<0在同一水平面內(nèi)），則塔高SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】在SKIPIF1<0中，由正弦定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.故選：A【變式7-1】（2023·福建廈門·高三湖濱中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖是隋唐天壇，古叫圜丘，它位于唐長安城明德門遺址東約950米，即今西安市雁塔區(qū)陜西師范大學(xué)以南．天壇初建于隋而廢棄于唐末，比北京明清天壇早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之處．某數(shù)學(xué)興趣小組為了測得天壇的直徑，在天壇外圍測得AB＝60米，BC＝60米，CD＝40米，∠ABC＝60°，∠BCD＝120°，據(jù)此可以估計天壇的最下面一層的直徑AD大約為(結(jié)果精確到1米)(參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0≈1.414，SKIPIF1<0≈1.732，SKIPIF1<0≈2.236，SKIPIF1<0≈2.646)（）A．53B．55C．57D．60【答案】A【解析】如圖，連接SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0（米）.故選：A【變式7-2】（2023·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測）某校學(xué)生參加課外實踐活動“測量一土坡的傾斜程度”，在坡腳A處測得SKIPIF1<0，沿土坡向坡頂前進(jìn)SKIPIF1<0后到達(dá)D處，測得SKIPIF1<0．已知旗桿SKIPIF1<0，土坡對于地平面的坡角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】在SKIPIF1<0中，由正弦定理可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，易知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0整理可得SKIPIF1<0，故選：D【變式7-3】（2022·吉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）位于燈塔A處正西方向相距SKIPIF1<0nmile的B處有一艘甲船需要海上救援，位于燈塔A處北偏東45°相距SKIPIF1<0nmile的C處的一艘乙船前往營救，則乙船的目標(biāo)方向線（由觀測點看目標(biāo)的視線）的方向是南偏西（）A．30°B．60°C．75°D．45°【答案】B【解析】依題意，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的延長線交于點SKIPIF1<0，如圖，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則乙船的目標(biāo)方向線（由觀測點看目標(biāo)的視線）的方向是南偏西60°，故選：B.【變式7-4】（2024·全國·高三專題練習(xí)）鄂州十景之一“二寶塔”中的文星塔位于文星路與南浦路交匯處，至今已有四百六十多年的歷史，該塔為八角五層樓閣式磚木混合結(jié)構(gòu)塔.現(xiàn)在在塔底共線三點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0處分別測塔頂?shù)难鼋菫镾KIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0m，則文星塔高為m.【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖所示，設(shè)建筑物的高為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.【題型8正余弦定理與三角函數(shù)綜合】【例8】（2024·甘肅蘭州·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0.（1）求函數(shù)SKIPIF1<0的最值及取得最值時SKIPIF1<0的取值集合；（2）設(shè)SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積．【答案】（1）答案見解析；（2）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，綜上當(dāng)SKIPIF1<0時，取到最小值SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，取到最大值SKIPIF1<0.（2）在SKIPIF1<0中，結(jié)合SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0(其它解舍去)，故由余弦定理得SKIPIF1<0，由已知得SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，聯(lián)立方程組SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0,當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.【變式8-1】（2023·四川綿陽·高三南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的最小正周期；（2）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別是角SKIPIF1<0的對邊，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0外接圓的半徑.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）2【解析】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最小正周期SKIPIF1<0；（2）由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由余弦定理得：SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0外接圓的半徑SKIPIF1<0.【變式8-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點D是線段EF上靠近點F的三等分點，且SKIPIF1<0．（1）求函數(shù)SKIPIF1<0的最小值；（2）在SKIPIF1<0中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，求a的值．【答案】（1）3；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點D是線段EF上靠近點F的三等分點，SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值，為SKIPIF1<0．（2）由（1）及SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【變式8-3】（2023·福建泉州·高三德化第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0（1）當(dāng)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最值，及取最值時對應(yīng)的SKIPIF1<0的值；（2）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為銳角，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積．【答案】（1）SKIPIF1<0,SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；（2）由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0為銳角，