考研數(shù)學(xué)二（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷2（共254題）

考研數(shù)學(xué)二（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷2（共9套）（共254題）考研數(shù)學(xué)二（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、函數(shù)f(x)在x=1處可導(dǎo)的充分必要條件是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：(A)不對，如存在，但f(x)在x=1處不連續(xù)，所以也不可導(dǎo)；(B)不對，因?yàn)榇嬖谥荒鼙ＷCf(x)在x=1處右導(dǎo)數(shù)存在；(C)不對，因?yàn)槎灰欢ù嬖冢谑莊(x)在x=1處不一定右可導(dǎo)，也不一定可導(dǎo)；存在，所以f(x)在x=1處可導(dǎo)．所以選(D)．2、設(shè)f(x)在R上是以T為周期的連續(xù)奇函數(shù)．則下列函數(shù)中不是周期函數(shù)的是()．A、∫axf(t)dtB、∫-xaf(t)dtC、∫-x2f(t)dt-∫x2f(t)dtD、∫x-xtf(t)dt標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：設(shè)φ(x)=∫-xxtf(t)dt=2∫0xtf(t)dt，φ(z+T)=2∫0x+Ttf(t)dt=2∫0xtf(t)dt+2∫xx+Ttf(t)dt≠φ(x)，選(D)．3、設(shè)則f(x，y)在(0，0)處()．A、連續(xù)但不可偏導(dǎo)B、可偏導(dǎo)但不連續(xù)C、可微D、一階連續(xù)可偏導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x，y)=0=f(0，0)，所以f(x，y)在(0，0)處連續(xù)；因?yàn)?，所以f’x(0，0)=0，根據(jù)對稱性，f’y(0，0)=0，即f(x，y)在(0，0)處可偏導(dǎo)；由，得f(x，y)在(0，0)處可微；當(dāng)(x，y)≠(0，0)時(shí)，f’x(x，y)=2xsin則因?yàn)椴淮嬖?，所以f’x(x，y)在點(diǎn)(0，0)處不連續(xù)，同理f’y(x，y)在點(diǎn)(0，0)處也不連續(xù)，選(C)．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)4、設(shè)=∫-∞atetdt，則a=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點(diǎn)解析：∫-∞atetdt=∫-∞atd(et)=tet｜a-∫-∞aetdt=aea-ea，由ea=aea-ea得a=2．5、當(dāng)x→0時(shí)，～cos2x-1，則a=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：-3知識點(diǎn)解析：因?yàn)閤→0時(shí)，x2，cos2x-1=(cosx+1)(cosx-1)～-x2．且～cos2x-1，所以a=-3．6、設(shè)f(x)為二階可導(dǎo)的偶函數(shù)，f(0)=1，f’’(0)=2且f’’(x)在x=0的鄰域內(nèi)連續(xù)，則=_______.標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f’(x)為奇函數(shù)，于是f’(0)=0，又因?yàn)閒’’(x)在x=0的鄰域內(nèi)連續(xù)，所以f(x)=f(0)+f’(0)x+x2+o(x2)=1+x2+o(x2)，于是7、曲線的斜漸近線為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=2x-4知識點(diǎn)解析：曲線的斜漸近線為y=2x-4．8、設(shè)f(lnx)=，則∫f(x)dx=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：-∫ln(1+ex)d(e-x)知識點(diǎn)解析：由則∫f(x)dx==-∫ln(1+ex)d(e-x)9、求=________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：10、計(jì)算∫01=__________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)11、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析12、設(shè)an=A，證明：數(shù)列{an}有界．標(biāo)準(zhǔn)答案：取ε0=1，因?yàn)閍n=A，根據(jù)極限定義，存在N＞0，當(dāng)n＞N時(shí)，有｜an-A｜＜1，所以｜an｜≤｜A｜+1．取M=max(｜a1｜，｜a2｜，…，｜aN｜，｜A｜+1}，則對一切的n，有｜an｜≤M．知識點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，任取x∈[a，b](i=1，2．…，n)，任取kt＞0(i=1．2，…n)，證明：存在ξ∈[a，b]，使得k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)-(k1+k2+…kn)／f(ξ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x)在[a，b]上連續(xù)，所以f(x)在[a，b]上取到最小值m和最大值M，顯然有m≤f(xi)≤M(i=1，2，…，n)，注意到ki＞0(i=1，2，…，n)，所以有kim≤kif(xi)≤kiM(i=1，2，…，n)，同向不等式相加，得(k1+k2+…+kn)m≤k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)≤(k1+k2+…+kn)M，即m≤≤M，由介值定理，存在ξ∈[a，b]，使得即k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)=(k1+k2+…+kn)f(ξ)．知識點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)x3-3xy+y3=3確定y為x的函數(shù)，求函數(shù)y=y(x)的極值點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：x3-3xy+y3=3兩邊對x求導(dǎo)得3x2-3y-3x，x≠y2，令得y=x2，代入x3-3xy+y3=3得x=-1或因?yàn)?1＞0，所以x=-1為極小值點(diǎn)，極小值為y=1；因?yàn)?-1＜0，所以為極大值點(diǎn)，極大值為x=y2，時(shí)≠0，此時(shí)y沒有極值．知識點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)f(x)在(-1，1)內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，且f’’(x)≠0．證明：(1)對(-1，1)內(nèi)任一點(diǎn)x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]；(2)標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)對任意x∈(-1，1)，根據(jù)微分中值定理，得f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]，其中0＜θ(x)＜1．因?yàn)閒’’(x)∈C(-1，1)且f’’(x)≠0，所以f’’(x)在(-1，1)內(nèi)保號，不妨設(shè)f’’(x)＞0，則f’(x)在(-1，1)內(nèi)單調(diào)增加，又由于x≠0，所以θ(x)是唯一的．(2)由泰勒公式，得f(x)=f(0)+f’(0)x+x2，其中ξ介于0與x之間，而f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]，所以有令x→0，再由二階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性及非零性，得知識點(diǎn)解析：暫無解析16、證明：當(dāng)x＞0時(shí)，(x2-1)lnx≥(x-1)2．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=(x2-1)lnx-(x-1)2，φ(1)=0．φ’(x)=2xlnx-x+2-，φ’(1)=0．φ’’(x)=2lnx+1+，φ’’(1)=2＞0．φ’’(x)=則故x=1為φ’’(x)的極小值點(diǎn)，由其唯一性得其也為最小值點(diǎn)，而最小值為φ’’(1)=2＞0，故φ’’(x)＞0(x＞0)．由故x=1為φ(x)的極小值點(diǎn)，也為最小值點(diǎn)，而最小值為φ(1)=0．所以x＞0時(shí)，φ(x)≥0，即(x2-1)lnx≥(x-1)2．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f’+(a)f’-(b)＜0．證明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：不妨設(shè)f’+(a)＞0，f’-(b)＜0，根據(jù)極限的保號性，由f’+(a)=＞0．則存在δ＞0(δ＜b-a)，當(dāng)0＜x-a＜δ時(shí)，＞0，即f(x)＞f(a)．所以存在x1∈(a，b)，使得f(x1)＞f(a)．同理由f’-(b)＜0，存在x2∈(a，b)，使得f(x2)＞f(b)．因?yàn)閒(x)在[a，b]上連續(xù)，且f(x1)＞f(a)，f(x2)＞f(b)，所以f(x)的最大值存(a，b)內(nèi)取到，即存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)為f(x)在[a，b]上的最大值，故f’(ξ)=0．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)f’(lnx)=求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令lnx=t，則f’(t)=當(dāng)t≤0時(shí)，f(t)=t+C1；當(dāng)t＞0時(shí)；當(dāng)t＞0時(shí)，f(t)=et+C2．顯然f’(t)為連續(xù)函數(shù)，所以f(t)也連續(xù)，于是有C1=1+C2，故f(x)=知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)f(x)在(0，+∞)內(nèi)連續(xù)且單調(diào)減少．證明：∫1n+1f(x)dx≤f(k)≤f(1)+∫1nf(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫1n-1f(x)dx=∫22f(x)dx+∫23f(x)dx+…+∫nn+1f(x)dx，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f(x)≤f(1)，兩邊積分得∫12f(x)dx≤f(1)，同理∫23f(x)dx≤f(2)，…，∫nn+1(x)dx≤f(n)，相加得∫1n+1f(x)dx≤f(k)；當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f(2)≤f(x)，兩邊積分得f(2)≤∫12f(x)dx，同理f(3)≤∫23f(x)dx，…，f(n)≤∫n-1nf(x)dx，相加得f(2)+…+f(n)≤∫1nf(x)dx，于是f(k)≤k(1)+∫1nf(x)dx．知識點(diǎn)解析：暫無解析20、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：，令-sinx=u，則知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)z=z(z，y)滿足證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：由則知識點(diǎn)解析：暫無解析22、已知f(x，y)=，設(shè)D為由x=0、y=0及x+y=t所圍成的區(qū)域，求F(t)=f(x，y)dxdy．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)t＜0時(shí)，F(xiàn)(t)=0：當(dāng)0≤t＜1時(shí)，F(xiàn)(t)=t2；當(dāng)1≤t＜2時(shí)，F(xiàn)(t)=f(x，y)dxdy=1-(2-t)2；當(dāng)t≥2時(shí)，F(xiàn)(t)=1，則知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)函數(shù)f(x)∈C[a，b]，且f(x)＞0，D為區(qū)域a≤x≤b，a≤y≤b．證明：≥(b-a)2．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榉e分區(qū)域關(guān)于直線y=x對稱，所以又因?yàn)閒(x)＞0，所以，從而=(b-a)2．知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)有微分方程y’-2y=φ(x)，其中φ(x)=在(-∞，+∞)求連續(xù)函數(shù)y(x)，使其在(-∞，1)及(1，+∞)內(nèi)都滿足所給的方程，且滿足條件y(0)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x＜1時(shí)，y’-2y=2的通解為y=C1e2x-1，由y(0)=0得C1=1，y=e2x-1；當(dāng)x＞1時(shí)，y’-2y=0的通解為y=C2e2x，根據(jù)給定的條件，y(1+0)=C2e2=y(1-0)=e2-1，解得C2=1-e-2，y=(1-e-2)e2x，補(bǔ)充定義y(1)=e2-1，則得在(-∞，+∞)內(nèi)連續(xù)且滿足微分方程的函數(shù)知識點(diǎn)解析：暫無解析25、用變量代換x=lnx將方程+e2xy=0化為y關(guān)于t的方程，并求原方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：的通解為y=C1cost+C2sint，故原方程的通解為y=C1cosex+C2sinex．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)1、函數(shù)f(x，y)在(x0，y0)處偏導(dǎo)數(shù)存在，則在該點(diǎn)函數(shù)f(x，y)()．A、有極限B、連續(xù)C、可微D、以上結(jié)論均不成立標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：取f(x，y)=顯然f(x，y)在(0，0)處偏導(dǎo)數(shù)存在，但不存在，所以應(yīng)選(D)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)2、設(shè)f(x，y，z)=exyz2，其中z=z(x，y)是由x+y+z+xyz=0確定的隱函數(shù)，則f’x(0，1，一1)=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：x+y+z+xyz=0兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo)得將x=0，y=1，z=一1代入得故fx’(0，1，一1)=1．3、已知標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo)得4、設(shè)2sin(x+2y一3z)=x+2y一3z，則標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo)得2cos(x+2y一3z)2sin(x+2y一3z)=x+2y一3z兩邊關(guān)于y求偏導(dǎo)得5、設(shè)f(x，y)可微，f(1，2)=2，f’x(1，2)=3，f’y(1，2)=4，φ(x)=f(x，f(x，2x))，則φ’(1)=____．標(biāo)準(zhǔn)答案：47知識點(diǎn)解析：φ’(x)=fx’(x，f(x，2x))+fy’(x，f(x，2x))．[fx’(x，2x)+2fy’(x，2x)]，則φ’(1)=fx’(1，f(1，2))+fy’(1，f(1，2))．[fx’(1，2)+2fy’(1，2)]=fx’(1，2)+fy’(1，2).[fx’(1，2)+2fy’(1，2)]=3+4(3+8)=47．6、設(shè)則2f’x(0，0)+f’y(0，0)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：一2知識點(diǎn)解析：f(x，y)=一3x+4y+o(ρ)，由二元函數(shù)可全微定義得fx’(0，0)=一3，fy’(0，0)=4，故2fx’(0，0)+fy’(0，0)=一2．7、由x=zey+z確定z=z(x，y)，則dz|(e,0)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：x=e，y=0時(shí)，z=1．x=xey+z兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo)得x=zey+z兩邊關(guān)于y求偏導(dǎo)得三、解答題(本題共24題，每題1.0分，共24分。)8、設(shè)f(x)=求∫02πf(x一π)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫02πf(x-π)dx=∫02πf(x-π)d(x-π)=∫-ππf(x)dx=∫-π0f(x)dx+∫0πf(x)d=∫-π0(-1)dx+∫0πxsinxdx=知識點(diǎn)解析：暫無解析9、設(shè)f(x)=求∫13f(x一2)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫13f(x一2)dx=∫13f(x一2)d(x一2)=∫-11f(x)dx知識點(diǎn)解析：暫無解析10、設(shè)f’(x)=arcsin(x一1)2且f(0)=0，求I=∫01f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(0)=0得f(x)=∫0xarcsin(t一1)2dt，則∫01f(x)dx=xf(x)|01一∫01xarcsin(x一1)2dx=f(1)一∫01[(x一1)+1]arcsin(x一1)2dx知識點(diǎn)解析：暫無解析11、設(shè)f(u)是連續(xù)函數(shù)，證明：∫0πxf(sinx)dx=標(biāo)準(zhǔn)答案：I=∫0πxf(sinx)dx∫π0(π一t)f(sint)(一dt)=π∫0πf(sint)dt—∫0πtf(sint)dt=π∫0πf(sinx)dx—∫02xf(sinx)dx=π∫0πf(sinx)dx—I，則∫0πxf(sinx)dx=知識點(diǎn)解析：暫無解析12、設(shè)f(x)在區(qū)間[0，1]上可積，當(dāng)0≤x＜y≤1時(shí)，|f(x)一f(y)|≤|arctanx一arctany|，又f(1)=0，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：由|f(x)|=|f(x)一f(1)|=|arctanx—arctan1|=|arctanx—|得知識點(diǎn)解析：暫無解析13、證明：∫0πxasinxdx.其中a＞0為常數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析14、證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)f(x)，g(x)為[a，b]上連續(xù)的增函數(shù)(0＜a＜b)，證明：∫abf(x)dx∫abg(x)dx≤(b一a)∫abf(x)g(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x，y)=[f(x)-f(y)][g(x)-g(y)]，D={(x，y)|a≤x≤b，a≤y≤b)，因?yàn)閒(x)，g(x)在[a，b]上為增函數(shù)，所以F(x，y)≥0，從而∫abdx∫abF(x，y)dy≥0，而∫abdx∫abF(x，y)dy=∫abdx∫ab[f(x)g(x)-f(x)g(y)-f(y)g(x)+f(y)g(y)]dy=(b一a)∫ab}f(x)g(x)dx—∫abf(x)dx∫abg(y)dy—∫abg(x)dx∫abf(y)dy+(b一a)∫abf(y)g(y)dy=2(b一a)∫abf(x)g(x)dx一2∫abf(x)dx∫abg(x)dx，故∫abf(x)dx∫abg(x)dx≤(b一a)∫abf(x)g(x)dx．知識點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)f(x)在[0，1]上可導(dǎo)，且|f’(x)|＜M，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，2π]上連續(xù)可微，f’(x)≥0，證明：對任意正整數(shù)n，有標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒’(x)≥0，所以f(0)≤f(2π)，從而f(2π)一f(0)≥0．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)f(x)在(一∞，+∞)上是導(dǎo)數(shù)連續(xù)的有界函數(shù)，|f(x)一f’(x)|≤1．證明：|f(x)|≤1．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x)有界，所以于是e-xf(x)|x+∞=∫x+∞[e-xf(x)]’dx，即一e-xf(x)=∫x+∞一e-x[f(x)一f’(x)]dx，兩邊取絕對值得e-x|f(x)|≤∫x+∞e-x|f(x)一f’(x)|dx≤∫x+∞e-xdx=e-x，故|f(x)|≤1．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)f(x)在[a，b]上二階可導(dǎo)，且f"(x)＜0，證明：∫abf(x)dx≥標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒"(x)＜0，所以f’(x)單調(diào)遞減，從而φ’(x)＞0(a＜x＜b)．知識點(diǎn)解析：暫無解析20、已知f(x)在[0，2]上二階連續(xù)可微，f(1)=0，證明：|∫02f(x)dx|≤其中標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析21、計(jì)算曲線(0≤x≤π)的弧長．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1)，直線l：x+y=t(t≥0)．S(t)為正方形區(qū)域D位于l左下方的面積，求∫0xS(t)dt(x≥0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析23、求曲線y=2e-x(x≥0)與x軸所圍成的圖形的面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：所圍成的面積為A=∫0+∞2e-xdx=2Γ(1)=2．知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)f(x)是(一∞．+∞)上的連續(xù)非負(fù)函數(shù)．且f(x)∫0xf(x一t)dt=sin1x，求f(x)在區(qū)間[0，π]上的平均值．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫0xf(x—t)dt∫x0f(u)(一du)=∫0xf(u)du，由f(x)∫0xf(u)du=sin4x得[(∫0xf(u)du)2]’=2sin4x，(∫0xf(u)du)2=∫0x2sin4xdx+C，取x=0得C=0，即(∫0xf(u)du)2=∫0x2sin4tdt知識點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)拋物線y=ax2+bx+c(a＜0)滿足：(1)過點(diǎn)(0，0)及(1，2)；(2)拋物線y=ax2+bx+c與拋物線y=一x2+2x所圍圖形的面積最小，求a，b，c的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由y=ax2+bx+c過點(diǎn)(0，0)及(1，2)得則y=ax2+(2-a)x．令ax2+(2一a)x=一x2+2x得x=0及所圍成的圖形面積為得a=一3，且當(dāng)a＜一3時(shí)，S’(a)＜0；當(dāng)a＞一3時(shí)，S’(a)＞0，故當(dāng)a=一3時(shí)，所圍成的面積最小，此時(shí)a=一3，b=5，c=0．知識點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)f(x)=∫-1x(1一|t|)dt(x＞一1)，求曲線y=f(x)與x軸所圍成的平面區(qū)域的面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析27、求曲線y=xe-x(x≥0)繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得延展到無窮遠(yuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)由y軸、y=x2(x≥0)及y=a(0＜a＜1)所圍成的平面圖形及由y=a，y=x2及x=1所圍成的平面圖形都繞z軸旋轉(zhuǎn)，所得旋轉(zhuǎn)體的體積相等，求a．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析29、設(shè)曲線在點(diǎn)(x0，y0)處有公共的切線，求：(1)常數(shù)a及切點(diǎn)坐標(biāo)；(2)兩曲線與x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：(2)所求體積為V=V1+V2，知識點(diǎn)解析：暫無解析30、設(shè)f(x，y)=試討論f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處的連續(xù)性，可偏導(dǎo)性和可微性．標(biāo)準(zhǔn)答案：=0=f(0，0)得f(x，y)在(0，0)處連續(xù)．即f(x，y)在(0，0)處可微．知識點(diǎn)解析：暫無解析31、設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)滿足：∫01[f(x)+xf(xt)]dt與x無關(guān)，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫01[f(x)+xf(xt)]dt=f(x)+∫01f(xt)f(xt)=f(x)+∫0xf(u)du，因?yàn)椤?1[f(x)+xf(xt)]dt與x無關(guān)，所以即f’(x)+f(x)=0，解得f(x)=Ce-x．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、累次積分f(rcosθ，rsinθ)rdr可以寫成()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：積分區(qū)域的直角坐標(biāo)形式為D={(x，y)|x2+y2≤x，y≥0}，則2、微分方程y”一y=ex+1的一個(gè)特解應(yīng)具有形式(式中a，b為常數(shù))()．A、aex+bB、axex+bC、aex+bxD、axex+bx標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：y"一y=0的特征方程為λ2一1=0，特征值為λ1=一1，λ2=1，y"一y=ex的特解形式為y1=axex，y"一y=1的特解形式為y2=b，故方程y"一y=ex+1的特解形式為y=axex+b，應(yīng)選(B)．3、在下列微分方程中以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3為任意常數(shù))為通解的是()．A、y"’+y"一4y’一4y=0B、y"’+y"+4y’+4y=0C、y"’一y"一4y’+4y=0D、y"’一y"+4y’一4y=0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因?yàn)橥ń鉃閥=C1ex+C2cos2x+C3sin2x，所以特征值為λ1=1，λ2,3=±2i，特征方程為(λ一1)(λ一2i)(λ+2i)=0，整理得λ3一λ2+4λ一4=0，對應(yīng)為微分方程為y"’一y"+4y’一4y=0，應(yīng)選(D)．二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)4、交換積分次序標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：5、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：6、設(shè)f(x)=D為一∞＜x＜+∞，一∞＜y＜+∞，則標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：7、設(shè)函數(shù)φ(u)可導(dǎo)且φ(0)=1，二元函數(shù)z=φ(x+y)exy滿足則φ(u)=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：令x+y=u，則三、解答題(本題共24題，每題1.0分，共24分。)8、求標(biāo)準(zhǔn)答案：交換積分次序得知識點(diǎn)解析：暫無解析9、將積分f(x，y)dxdy化成極坐標(biāo)形式，其中D為x2+y2=一8x所圍成的區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析10、已知f(x)可導(dǎo)，且滿足f(t)=+1，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：改變積分次序得原式化為f(t)=∫0tf(y)dy+1，兩邊求導(dǎo)得f’(t)一f(t)=0，解得f(t)=Cet，由f(0)=1得C=1，則f(x)=ex．知識點(diǎn)解析：暫無解析11、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析12、設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，并設(shè)∫01f(x)dx=a，求∫01dx∫x1f(x)f(y)dy．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=∫0xf(t)dt，F(xiàn)(1)=a，則∫01dx∫x1f(x)f(y)dy=∫01f(x)dx∫x1f(y)dy=∫01f(x)[F(1)-F(x)]dx=a∫01f(x)dx—∫01F(x)dF(x)=知識點(diǎn)解析：暫無解析13、計(jì)算其中D={(x,y)|y≥0，x2+y2≤1,x2+y2≤2x}．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)f(x，y)=其中D={(x，y)|x2+y2≥2x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)D：|x|≤1，|y|≤1，求標(biāo)準(zhǔn)答案：令D1={(x，y)|一1≤x≤1，一1≤y≤x}，D2={(x，y)|一1≤x≤1，x≤y≤1)，則知識點(diǎn)解析：暫無解析16、計(jì)算其中D={(x，y)|一1≤x≤1，0≤y≤2}．標(biāo)準(zhǔn)答案：令D1={(x，y)|一1≤x≤1，0≤y≤x2}，D2={(x，y)|一1≤x≤1，x2≤y≤2}，則知識點(diǎn)解析：暫無解析17、|x2+y2一4|dxdy，其中D：x2+y2≤9．標(biāo)準(zhǔn)答案：令D1={(x，y)|x2+y2≤4}，D2={(x，y)|4＜x2+y2≤9}，知識點(diǎn)解析：暫無解析18、計(jì)算(4一x2一y2)dxdy，其中D為由圓x2+y2=2y所圍成的平面閉區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：(0≤θ≤π，0≤r≤2sinθ)，則知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)D是由x≥0，y≥x與x2+(y一b)2≤b2，x2+(y一a)2≥a2(0＜a＜b)所圍成的平面區(qū)域，求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)D={(x，y)|x2+y2≤x)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析21、計(jì)算其中D：x2+y2≤x+y．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)f(x，y)=其中D={(x，y)||x|+|y|≤2}．標(biāo)準(zhǔn)答案：令D1={(x，y)|x+y≤1，x≥0，y≥0}，D2={(x，y)|1＜x+y≤2，x≥0，y≥0}，知識點(diǎn)解析：暫無解析23、計(jì)算二次積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)f(x)連續(xù)，且f(0)=0.f’(0)≠0，求其中D：x2+y2≤t2．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)函數(shù)y=y(x)滿足+o(△x)，且y(0)=0，求函數(shù)y=y(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)f(x)在(一∞，+∞)上有定義，且對任意實(shí)數(shù)a，b，都有等式f(a+b)=eaf(b)+ebf(a)成立，又f’(0)=1，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：取a=0，b=0得f(0)=0．由f(0)=0得C=0，故f(x)=xex．知識點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)當(dāng)u＞0時(shí)f(u)一階連續(xù)可導(dǎo)，且f(1)=0，又二元函數(shù)z=f(ex—ey)滿足求f(u)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(1)=0得C=0，故f(u)=lnu．知識點(diǎn)解析：暫無解析28、求微分方程=x2+y2滿足條件y|x=e=2e的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：將x=e，u=2代入得C=1，所求的特解為y2=2x2lnx+2x2．知識點(diǎn)解析：暫無解析29、微分方程=y(lny—lnx)的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：解得lnu一1=Cx，于是u=eCx+1，故通解為y=xeCx+1．知識點(diǎn)解析：暫無解析30、求微分方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析31、設(shè)求f(t)的表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)f(x)=在(-∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，且，則()．A、a＞0，b＞0B、a＜0，b＜0C、a≥0，b＜0D、a≤0，b＞0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)=在(-∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，所以a≥0，又因?yàn)閒(x)=0，所以b＜0，選(C)．2、f(x)在x0處可導(dǎo)，則｜f(x)｜在x0處()．A、可導(dǎo)B、不可導(dǎo)C、連續(xù)但不一定可導(dǎo)D、不連續(xù)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由f(x)在x0處可導(dǎo)得｜f(x)｜在x0處連續(xù)，但｜f(x)｜在x0處不一定可導(dǎo)，如f(x)=x在x=0處可導(dǎo)，但｜f(x)｜=｜x｜在x=0處不可導(dǎo)，選(C)．3、下列說法正確的是()．A、設(shè)f(x)在x0二階可導(dǎo)，則f’’(x)在x=x0處連續(xù)B、f(x)在[a，b]上的最大值一定是其極大值C、f(x)在(a，b)內(nèi)的極大值一定是其最大值D、若f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)在(a，b)內(nèi)有唯一的極值點(diǎn)，則該極值點(diǎn)一定為最值點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：令不存在，所以(A)不對；若最大值在端點(diǎn)取到則不是極大值，所以(B)不對；(C)顯然不對，選(D)．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)4、設(shè)f(x)一階連續(xù)可導(dǎo)，且f(0)=0，f’(0)≠0，則=_________.標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：因?yàn)樗?、設(shè)∫0yetdt+∫0xcostdt=xy確定函數(shù)y=y(x)，則=_____.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：∫0yetdt+∫0xcostdt=xy兩邊對x求導(dǎo)得則6、求∫xarctan=_______.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：7、設(shè)f(x)滿足等式xf’(x)-f(x)=，且f(1)=4，則∫01f(x)dx=_______.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：∫01f(x)dx=xf(x)｜01-∫01xf’(x)dx=f(1)-∫01[f(x)+dx=4-∫01f(x)dx+∫01(1-x)于是∫01(x)dx=2-8、設(shè)f(x)的一個(gè)原函數(shù)為xf’(x)dx=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：9、設(shè)a＞0，f(x)=g(x)=而D表示整個(gè)平面，則I=f(x)g(y-x)dxdy=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：a2知識點(diǎn)解析：由f(x)g(y-x)=得I=f(x)g(y-x)dxdy=a2∫01dx∫xx+1dy=a2．10、以y=C1ex+ex(C2cosx+C3sinx)為通解的三階常系數(shù)齊次線性微分方程為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y’’-3y’’+4y’-2y=0知識點(diǎn)解析：特征值為λ1=1，λ2=1±i，特征方程為(λ-1)(λ-1+i)(λ-1-i)=0，即λ3-3λ2+4λ-2=0，所求方程為y’’-3y’’+4y’-2y=0．三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)11、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析12、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：xx-(sinx)x=xx=1．當(dāng)x→0時(shí)，～x-sinx，則知識點(diǎn)解析：暫無解析13、求f(x)的間斷點(diǎn)并分類．標(biāo)準(zhǔn)答案：x=k(k=0，-1，-2，…)及x=1為f(x)的間斷點(diǎn)．因?yàn)閒(0-0)≠f(0+0)，所以x=0為跳躍間斷點(diǎn)；由得x=-2為可去間斷點(diǎn)；當(dāng)x=k(k=-1，-3，-4，…)時(shí)，由f(x)=∞得x=k(k=-1，-3，-4，…)為第二類間斷點(diǎn)；由=∞得x=1為第二類間斷點(diǎn)．知識點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)f(x)在[0，2]上連續(xù)，在(0，2)內(nèi)二階可導(dǎo)，且，又f(2)=，證明：存在ξ∈(0，2)，使得f’(ξ)+f’’(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：由得f(1)=-1，又，所以f’(1)=0．由積分中值定理得f(2)=f(x)dx=f(c)，其中c∈由羅爾定理，存在x0∈(c，2)(1，2)，使得f’(x0)=0．令φ(x)=exf’(x)，則φ(1)=φ(x0)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(1，x0)(0，2)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=ex[f’(x)+f’’(x)]且ex≠0，所以f’(ξ)+f’’(ξ)=0．知識點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，f(a)=f(b)=0，且f’+(a)＞0．證明：存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)＜0．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?f’-(a)＞0，所以存在δ＞0，當(dāng)0＜x-a＜δ時(shí)，有＞0，從而f(x)＞f(a)，于是存在c∈(a，6)，使得f(c)＞f(a)=0．由微分中值定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得再由微分中值定理及f(x)的二階可導(dǎo)性，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得知識點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)a＞0，討論方程aex=x2根的個(gè)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：aex=x2等價(jià)于x2e-x-a=0．令f(x)=x2e-x-a，由f’(x)=(2x-x2)e-x=0得x=0，x=2．當(dāng)x＜0時(shí)，f’(x)＜0；當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f’(x)＞0；當(dāng)x＞2時(shí)，f’(x)＜0，于是x=0為極小值點(diǎn)，極小值為f(0)=-a＜0；x=2為極大值點(diǎn)，極大值為f(2)=-a，又=-a＜0．(1)當(dāng)-a＞0，即0＜a＜時(shí)，方程有三個(gè)根；(2)當(dāng)-a=0，即a=時(shí)，方程有兩個(gè)根．(3)當(dāng)-a＜0，即a＞時(shí)，方程只有一個(gè)根．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)a1＜a2＜…＜an，且函數(shù)f(x)在[a1，an]上n階可導(dǎo)，c∈[a1，an]且f(a1)=f(a2)=…=f(an)=0．證明：存在ξ∈(a1，an)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)c=ai(i=1，2，…，n)時(shí)，對任意的ξ∈(a1，an)，結(jié)論成立；設(shè)c為異于a1，a2，…，an的數(shù)，不妨設(shè)a1＜c＜a2＜…＜an．令構(gòu)造輔助函數(shù)φ(x)=f(x)-k(x-a1)(x-a2)…(x-an)，顯然φ(x)在[a1，a2]上n階可導(dǎo)，且φ(a1)=φ(c)=φ(a2)=…=φ(an)=0，由羅爾定理，存在ξ1(1)∈(a1，c)，ξ2(1)∈(c，a2)，…，ξn(1)∈(an，an)，使得φ’(ξ1(1))=φ’(ξ2)=…=φ’(ξn)=0，φ’(x)在(a1，an)內(nèi)至少有n個(gè)不同零點(diǎn)，重復(fù)使用羅爾定理，則φ(n-1)(x)在(a1，an)內(nèi)至少有兩個(gè)不同零點(diǎn)，設(shè)為c1，c2∈(a1，an)，使得φ(n-1)(c1)=φ(n-1)(c2)=0，再由羅爾定理，存在ξ∈(c1，c2)(a1，an)，使得φ(n)(ξ)=0．而φ(n)(x)=f(n)(x)-n!k，所以f(n)(ξ)=n!k，從而有f(c)=f(n)(ξ)知識點(diǎn)解析：暫無解析18、標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?x2ex)’=(x2+2x)ex，所以知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)f(x)在(-a，a)(a＞0)內(nèi)連續(xù)，且f’(0)=2．(1)證明：對0＜x＜a，存在0＜θ＜1，使得∫0x(t)dt+∫0-xf(t)dt=x[f(θx)-f(-θx)]；(2)求標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)令F(x)=∫0xf(x)dt+∫0-xf(t)dt，顯然F(x)在[0，x]上可導(dǎo)．且F(0)=0，由微分中值定理，存在0＜θ＜1，使得F(x)=F(x)-F(0)=F’(θx)x，即∫0xf(t)dt+∫0-xf(t)dt=x[f(θx)-f(-θx)]．(2)令=A，由∫0xf(t)dt+∫0-xf(t)=x[f(θx)-f(-θx)，得于是知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)f(x)在[0，1]上二階可導(dǎo)，且f’’(x)＜0．證明：∫01(x2)dx≤標(biāo)準(zhǔn)答案：由泰勒公式，得與t之間，從而f(x2)≤，積分得∫01f(x2)dx≤知識點(diǎn)解析：暫無解析21、為清除井底污泥，用纜繩將抓斗放入井底，抓起污泥提出井口．設(shè)井深30m，抓斗自重400N，纜繩每米重50N，抓斗盛污泥2000N，提升速度為3m／s，在提升過程中，污泥以20N／s的速度從抓斗中漏掉．現(xiàn)將抓斗從井底提升到井口，問克服重力做功多少?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)拉力對空斗所做的功為W1，則W1=400×30=12000J．設(shè)拉力對繩所做的功為W2，任取[x，x+dx][0，30]，dW2=50(30-x)dx，則W2=∫030dW2=22500J．設(shè)拉力對污泥做功為W3，任取[t，t+dt][0，10]，dW3=(2000-20t)×3dt，則W3=∫0dW3=57000J，拉力克服重力所做的功為W=W1+W2+W3=91500J．知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)z=(x2+y2)sec2(x+y)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：由z=(x2+y2)sec2(x+y)，得z=esec2(x+y)ln(x2+y2)．則=esec2(x+y)ln(x2+y2)[2sec2(x+y)tan(x+y)ln(x2+y2)+sec2(x+y)]，=esec2(x+y)ln(x2+y2)[2sec2(x+y)tan(x+y)ln(x2+y2)+sec2(x+y)]．知識點(diǎn)解析：暫無解析23、計(jì)算I=xydxdy，其中D由y=-x，y=圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：將D分成兩部分D1，D2，其中D1={(x，y)｜0≤x≤1，知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)函數(shù)f(x)(x≥0)可微，且f(x)＞0．將曲線y=f(x)，x=1，x=a(a＞1)及x軸所圍成平面圖形繞z軸旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)體體積為[a2f(a)-f(1)]．若f(1)=，求：(1)f(x)；(2)f(x)的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由題設(shè)知，π∫1af2(x)dx=[a2f(a)-f(1)]，兩邊對a求導(dǎo)，得3f2(a)=2af(a)+a2f’(a)令=3u2-3u=ca3，即f(a)=，得c=-1，所以f(x)=(2)因?yàn)橛忠驗(yàn)闉闃O大值．知識點(diǎn)解析：暫無解析25、質(zhì)量為1g的質(zhì)點(diǎn)受外力作用作直線運(yùn)動(dòng)，外力和時(shí)間成正比，和質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度成反比，在t=10s時(shí)，速度等于50cm／s．外力為39．2cm／s2，問運(yùn)動(dòng)開始1min后的速度是多少?標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意得F=k，因?yàn)楫?dāng)t=10時(shí)，v=50，F(xiàn)=39．2，所以k=196，從而F=196，又因?yàn)镕=，分離變量得vdv=196tdt，所以v2=98t2+C，由v｜t=10=50，得C=-8550，于是知識點(diǎn)解析：暫無解析26、飛機(jī)在機(jī)場開始滑行著陸，在著陸時(shí)刻已失去垂直速度，水平速度為v0(m／s)，飛機(jī)與地面的摩擦系數(shù)為μ，且飛機(jī)運(yùn)動(dòng)時(shí)所受空氣的阻力與速度的平方成正比，在水平方向的比例系數(shù)為kx(kg.s2／m2)，在垂直方向的比例系數(shù)為ky(kg.s2／m2)．設(shè)飛機(jī)的質(zhì)量為m(kg)，求飛機(jī)從著陸到停止所需要的時(shí)間．標(biāo)準(zhǔn)答案：水平方向的空氣阻力Rx=kxv2，垂直方向的空氣阻力Ry=kyv2，摩擦力為W=μ(mg-Ry)，由牛頓第二定律，有+μg=0記A=，B=μg，顯然A＞0，故有分離變量得，兩邊積分得=-t+C，又當(dāng)t=0時(shí)，所以當(dāng)v=0時(shí)，知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)數(shù)列xn=則當(dāng)n→∞時(shí)，xn是A、無窮大量．B、無窮小量．C、有界變量．D、無界變量．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：暫無解析2、設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=a處可導(dǎo)，則函數(shù)|f(x)|在點(diǎn)x=a處不可導(dǎo)的充分條件是：A、f(a)=0且f’(a)=0．B、f(a)=0，且f’(a)≠0．C、f(a)＞0，f’(a)＞0．D、f’(a)＜0，且f’(a)＜0．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：暫無解析3、設(shè)f(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)=0，f’(0)≠0，F(xiàn)(x)=(x2一t2)f(t)出且當(dāng)x→0時(shí)，F(xiàn)’(x)xk是同階無窮小，則k等于A、AB、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：暫無解析4、設(shè)f(x，y)連續(xù)，且f(x，y)=xy+f(x，y)dxdy，其中D由y=0，y=x2，x=1所圍成，則f(x，y)等于A、xyB、2xyC、xy+D、xy+1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：暫無解析二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)5、已知f(x)=sinx，f[φ(x)]=1一x2，則φ(x)=________的定義域?yàn)開_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：arcsin(1一x2)，知識點(diǎn)解析：暫無解析6、=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析7、設(shè)∫xf(x)dx=ln(1+x2)+C，則=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(3x+x3)+C知識點(diǎn)解析：暫無解析8、設(shè)f(x)連續(xù)，且=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：6．知識點(diǎn)解析：暫無解析9、設(shè)z=xf()，f(u)可導(dǎo)，則=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：z知識點(diǎn)解析：暫無解析10、若z=f(x，y)可微，且f(x，y)=1，fx’(x，y)=x，則當(dāng)x≠0時(shí)，fy’(x，y)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析11、交換積分次序∫01dyf(x，y)dx=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析三、解答題(本題共19題，每題1.0分，共19分。)12、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析13、已知一ax一b)=0，求a，b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：a=一1，b=知識點(diǎn)解析：暫無解析14、已知=A(A≠0)，試確定常數(shù)a、b，使得當(dāng)x→0時(shí)，f(x)～ax6．標(biāo)準(zhǔn)答案：a=2A，b=3．知識點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程xsiny一ex+ey=0所確定，求|x=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：一2知識點(diǎn)解析：暫無解析16、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)p，q是大于1的正數(shù)，且=1，證明對于任意的x＞0，有≥x．標(biāo)準(zhǔn)答案：考慮f(x)=一x在x＞0上的最小值．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)f(x)在[a，b上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，試證存在ξ∈(a，b)，η∈(a，b)，使f’(ξ)=標(biāo)準(zhǔn)答案：利用拉格朗日中值定理和柯希中值定理．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析20、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析21、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析22、已知f(x)連續(xù)，∫01tf(x一t)dt=1一cosx，求標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)f(x)和g(x)在[a，b]上連續(xù)．試證：(∫abf(x)g(x)dx)2≤∫abf2(x)dx．∫abg2(x)dx.標(biāo)準(zhǔn)答案：考慮[f(x)+λg(x)]2dx≥0.知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)z=f(2x一y)+g(x，xy)，其中函數(shù)f(t)二階可導(dǎo)，g(u，υ)具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：一2f"(2x一y)+xg12"+g2’+yxg22".知識點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)f(u，υ)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足標(biāo)準(zhǔn)答案：x2+y2.知識點(diǎn)解析：暫無解析26、計(jì)算x2+y2一2y|dσ，其中D:x2+y2≤4．標(biāo)準(zhǔn)答案：9π知識點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，且∫01f(x)dx=A，求∫01dx∫01f(x)f(y)dy．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析28、求下列方程通解或滿足給定初始條件的特解：1)y’+1=xex+y．2)+x+sin(x+y)=03)y’+ytanx=cosx4)(1+x)y"+y’=05)yy"一(y’)2=y4，y(0)=1，y’(0)=06)f"+4y’+1=07)y"+9y=cos(2x+5)8)y"’一3y"+9y’+13y=e2xsin2x．標(biāo)準(zhǔn)答案：1)e一y=ex(C一x2)2)x(csc(x+y)一cot(x+y))=C3)y=(x+C)cosx4)y=C1ln|1+x|+C25)+C26)y=C1+C2e一4x一7)y=C1cos3x+C2sin3x+cos(2x+5)8)y=C1e一x+e2x知識點(diǎn)解析：暫無解析29、求分別滿足下列關(guān)系式的f(x)．1)f(x)=∫0xf(t)dt，其中f(x)為連續(xù)函數(shù)；2)f’(x)+xf’(一x)=x．標(biāo)準(zhǔn)答案：1)f(x)=0．2)x一arctanr+ln(1+x2)+C知識點(diǎn)解析：暫無解析30、設(shè)函數(shù)f(t)=且f(t)連續(xù)，試求f(t)．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(t)=(4πt2+1)知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)f(x)在x=a處二階可導(dǎo)，則等于()．A、-f’’(a)B、f’’(a)C、2f’’(a)D、f’’(a)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：選(D)．2、下列說法中正確的是()．A、若f’(x0)＜0，則f(x)在x0的鄰域內(nèi)單調(diào)減少B、若f(x)在x0取極大值，則當(dāng)x∈(x0-δ，x0)時(shí)，f(x)單調(diào)增加，當(dāng)x∈(x0，x0+δ)時(shí)，f(x)單調(diào)減少C、f(x)在x0取極值，則f(x)在x0連續(xù)D、f(x)為偶函數(shù)，f’’(0)≠0，則f(x)在x=0處一定取到極值標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：當(dāng)(n→∞)時(shí)，f’(x)=＞0，則f(x)在x=0的任意鄰域內(nèi)都不單調(diào)減少，(A)不對；f(x)在x=0處取得極大值，但其在x=0的任一鄰域內(nèi)皆不單調(diào)，(B)不對；f(x)在x=1處取得極大值，但f(x)在x=1處不連續(xù)，(C)不對；由f’’(0)存在，得f’(0)存在，又f(x)為偶函數(shù)，所以f’(0)=0，所以x=0一定為f(x)的極值點(diǎn)，選(D)．3、若由曲線，曲線上某點(diǎn)處的切線以及x=1，x=3圍成的平面區(qū)域的面積最小，則該切線是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：曲線y=在點(diǎn)處的切線方程為由于切線位于曲線的上方，所以由曲線，切線及x=1，x=3圍成的面積為當(dāng)t∈(0，2)時(shí)，S’(t)＜0；當(dāng)t∈(2，3)時(shí)，S’(t)＞0，則當(dāng)t=2時(shí)，S(t)取最小值，此時(shí)切線方程為，選(A)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)4、(1)設(shè)，則a=_______．(2)設(shè)x-(a+bcosx)sinx為x的5階無窮小，則a=______，b=_________．(3)設(shè)當(dāng)x→0時(shí)，f(x)=∫0x2ln(1+t)dt～g(x)=xa(ebx-1)，則a=________，b=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：ln2；；3，知識點(diǎn)解析：(1)=e3a，由e3a=8，得a=ln2．(2)x-(a+bcosx)sinx=x-asinx-sin2x=x-a[(x-+o(x5)]-+o(x5)]=(1-a-b)x+x5+o(x5)，則解得a=，b=(3)由再由g(x)=xa(ebx-1)～bxa+1得a=3，b=5、設(shè)在x=0處連續(xù)，則a=________，b=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：-1，1知識點(diǎn)解析：=a+4b，f(0)=3，因?yàn)閒(x)在x=0處連續(xù)，所以a+4b=3=2b+1，解得a=-1，b=1．6、設(shè)f(x)在x=a的鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)且f’(a)≠0，則=_____.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：7、求=________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：8、=_______.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：9、設(shè)f(x)=∫0xecostdt，求∫0πf(x)cosxdx=_____.標(biāo)準(zhǔn)答案：e-1-e知識點(diǎn)解析：∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)d(sinx)=f(x)sinx｜0π-∫0πf’(x)sinxdx=-∫0πecosxsinxdx=e｜0π=e-1-e.三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)10、設(shè)f(x)可導(dǎo)且f’’(0)=6，且標(biāo)準(zhǔn)答案：由=0得f(0)=0，f’(0)=0，=e3.知識點(diǎn)解析：暫無解析11、設(shè)f(x)=，求f(x)的間斷點(diǎn)并判斷其類型．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)的間斷點(diǎn)為x=kπ(k=0，±1，…)及x=kπ+(k=0，±1，…)．因?yàn)?，所以x=0為f(x)的可去間斷點(diǎn)；因?yàn)?，所以x=kπ(k=±1，±2，…)為f(x)的第二類間斷點(diǎn)；因?yàn)?k=0，±1，…)為f(x)的可去間斷點(diǎn)．知識點(diǎn)解析：暫無解析12、已知，求a，b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由ln(1+ax)=ax-+o(x2)，ebx=1+bx++o(x2)，cosx=1-+o(x2)得ln(1+ax)-ebx+cos=(a-b)x-x2+o(x2)，于是由解得知識點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)函數(shù)f(x)在x=1的某鄰域內(nèi)有定義，且滿足｜f(x)-2ex｜≤(x-1)2，研究函數(shù)f(x)在x=1處的可導(dǎo)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：把x=1代入不等式中，得f(1)=2e．當(dāng)x≠1時(shí)，不等式兩邊同除以｜z-1｜，得知識點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)．證明：存在ξ∈(a，b)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x)在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，所以有其中ξ1∈，ξ2∈兩式相加得f(a)+f(b)-[f’’(ξ1)+f’’(ξ2)]．因?yàn)閒’’(x)在(a，b)內(nèi)連續(xù)，所以f’’(x)在[ξ1，ξ2]上連續(xù)，從而f’’(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故m≤≤M，由介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2]故f(a)+f(b)-[f’’(ξ1)+f’’(ξ2)]=f’’(ξ)．知識點(diǎn)解析：暫無解析15、求由方程x2+y2-xy=0確定的函數(shù)在x＞0內(nèi)的極值，并指出是極大值還是極小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)法，得y’=令y’==0，得y=2x，再將y=2x代入原方程得x=，函數(shù)值為y=y’’=，y’=0代入y’’得為函數(shù)的極大值點(diǎn)，且極大值為y=.知識點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)函數(shù)y=f(x)二階可導(dǎo)，f’(x)≠0，且與x=φ(y)互為反函數(shù)．求φ’’(y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)楹瘮?shù)的一階導(dǎo)數(shù)與其反函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)互為倒數(shù)，所以φ’(y)=于是知識點(diǎn)解析：暫無解析17、∫02標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=，當(dāng)1＜x≤2時(shí)，=x2，則∫02=∫01xdx+∫12xdx=知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)f(x)在[0，a]上一階連續(xù)可導(dǎo)，f(0)=0，令｜f’(x)｜=M．證明：｜∫0af(x)dx｜≤M．標(biāo)準(zhǔn)答案：由微分中值定理得f(x)-f(0)=f’(ξ)x，其中ξ介于0與x之間，因?yàn)閒(0)=0，所以｜f(x)｜=｜f’(ξ)x｜≤Mx，x∈[0，a]，從而｜∫0af(x)dx｜≤∫0a｜f(x)｜dx≤∫0aMxdx≥M．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、證明：∫0πxasinxdx.，其中a＞0為常數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)椤?πxasinxdx=∫0πasinxdx=acosxdx．所以∫0πxasinxdx.a-cosxdx=acosxdx.a-cosxdx知識點(diǎn)解析：暫無解析20、沒u=f(x，y，xyz)，函數(shù)z=z(x，y)由exyz=∫xyzh(xy+z-t)dt確定，其中f連續(xù)可偏導(dǎo)，h連續(xù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：∫zyzh(xy+z-t)dt∫zxyh(u)(-du)=∫xyzf(u)du，解得=f’1+[yz+xy.f’3，由對稱性得=f’2+[xz+xy.f’3，=f’1+[xyz+x2y2.f’3=yf’2-[xyz+x2y2.f’3=xf’1-yf’2．知識點(diǎn)解析：暫無解析21、已知二元函數(shù)f(x，y)滿足且f(x，y)=g(u，v)，若=u2+v2，求a，b．標(biāo)準(zhǔn)答案：=(av2-bu2)+(au2-by2)=u2+v2，又=4，所以有(a+b)(v2-u2)+4(au2-bv2)=u2+v2，于是知識點(diǎn)解析：暫無解析22、計(jì)算(x2+y2)dxdy，其中D={(x，y)｜x2+y2≤4，x2+y2≥2x}．標(biāo)準(zhǔn)答案：(x2+y2)dxdy=(x2+y2)dxdy-(x2+y2)dxdy令(0≤θ≤2π，0≤r≤2)，而(x2+y2)dxdy=∫02πdθ∫02r3dr=8π，(x2+y2)dxdy=dθ∫02cosθr3dr=cos4θdθ=所以(x2+y2)dxdy=知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)且單調(diào)減少，且f(x)＞0．證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：等價(jià)于∫01f2(x)dx∫01xf(x)dx≥∫01f(x)dx∫01xf2(x)dx，等價(jià)于∫01f2(x)dx∫01yf(y)dy≥∫01f(x)dx∫01yf2(y)dy，或者∫01dx∫01yf(x)f(y)[f(x)-f(y)]ay≥0令I(lǐng)=∫01dx∫01yf(x)f(y)[f(x)-f(y)]dy，根據(jù)對稱性，I=∫01dx∫01xf(x)[f(y)[f(y)-f(x)]dy，2I=∫01dx∫01f(x)f(y)(y-x)[f(x)-f(y)]dy，因?yàn)閒(x)＞0且單調(diào)減少，所以(y-x)[f(x)-f(y)]≥0，于是2I≥0，或I≥0，所以知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)二階常系數(shù)線性微分方程y’’+ay’+by=cex有特解y=e2x+(1+x)ex．確定常數(shù)a，b，c，并求該方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：將y=e2x+(1+x)ex代入原方程得(4+2a+b)e2x+(3+2a+b)ex+(1+a+b)xex=cex，則有解得a=-3，b=2，c=-1，原方程為y’’-3y’+2y=-ex．原方程的特征方程為λ2-3λ+2=0，特征值為λ1=1，λ2=2，則y’’-3y’+2y=0的通解為y=C1ex+C2e2x，于是原方程的通解為y=C1e2x+C2e2x+e2x+(1+x)ex．知識點(diǎn)解析：暫無解析25、細(xì)菌的增長率與總數(shù)成正比．如果培養(yǎng)的細(xì)菌總數(shù)在24h內(nèi)由100增長到400，求前12h后的細(xì)菌總數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)t時(shí)刻細(xì)菌總數(shù)為S，則有=kS，S(0)=100，S(24)=400，S=Cekt，C=100，k=所以S=，S(12)=100eln2=200．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)f(x)=2x+3x一2，則當(dāng)x→0時(shí)A、f(x)與x是等價(jià)無窮小．B、f(x)與x是同階但非等價(jià)無窮?。瓹、f(x)是比x較高階的無窮?。瓺、f(x)是比x較低階的無窮?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：暫無解析2、設(shè)f(x)=則f(x)在點(diǎn)x=0處A、極限不存在．B、極限存在但不連續(xù)．C、連續(xù)但不可導(dǎo)．D、可導(dǎo)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：暫無解析3、設(shè)y=f(x)滿足f"(x)+2f’(x)+=0，且f’(x0)=0，則f(x)在A、x0某鄰域內(nèi)單調(diào)增加．B、x0某鄰域內(nèi)單調(diào)減少．C、x0處取得極小值．D、x0處取極大值．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：暫無解析4、若f(x)的一個(gè)原函數(shù)是arctanx，則xf(1一x1)dx=A、arctan(1一x2)+CB、xarctan(1一x2)+CC、arctan(1一x2)+CD、xarctan(1一x2)+C標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：暫無解析5、下列廣義積分中發(fā)散的是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：暫無解析6、二元函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)fx’(x0，y0)，fy’(x0，y0)存在是f(x，y)在該點(diǎn)連續(xù)的A、充分條件而非必要條件B、必要條件而非充分條件C、充分必要條件D、既非充分條件又非必要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：暫無解析二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)7、設(shè)函數(shù)f(x)=ax(a＞0，a≠1)，則ln[f(1)f(2)…f(n)]=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析8、設(shè)f(x)連續(xù)，且f(1+x)一3f(1一x)=8x(1+|x|)，則f’(1)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點(diǎn)解析：暫無解析9、設(shè)f(x)連續(xù)，且f(t)dt=x，則f(5)+∫05f(t)dt=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析10、設(shè)u=則du|(1，1，1)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：dx一dy知識點(diǎn)解析：暫無解析11、[(x+1)+2y2]dxdy=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析12、微分方程(y2+x)dx一2xydy=0的通解為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y2=x(ln|x|+C)知識點(diǎn)解析：暫無解析三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)13、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：暫無解析14、討論函數(shù)f(x)=的連續(xù)性，并指出間斷點(diǎn)的類型．標(biāo)準(zhǔn)答案：x=0為可去間斷點(diǎn)，x=1為跳躍間斷點(diǎn)，x=2k(k=±1，±2，…)為無窮間斷點(diǎn)，其余點(diǎn)處連續(xù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)f(x)=求f(n)(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)a＞1，n≥1，試證標(biāo)準(zhǔn)答案：利用拉格朗日中值定理．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、求證方程x+p+qcosx=0恰有一個(gè)實(shí)根，其中p，q為常數(shù)，且0＜q＜1．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=x+p+qcosx，注意=+∞，而f’(x)=1一qsinx＞0．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)f(x)在[a，b]上可導(dǎo)，在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，f(a)=f(b)=0，f’(a)．f’(b)＞0．試證：1)ξ∈(a，b)，使f(ξ)=0．2)η∈(a，b)，使f"(η)=f(η)．標(biāo)準(zhǔn)答案：1)利用連續(xù)函數(shù)介值定理證明，ξ∈(a，b)，使f(ξ)=0．2)先對輔助函數(shù)φ(x)=exf(x)用羅爾定理，再對輔助函數(shù)F(x)=e一x[f’(x)+f(x)]用羅爾定理．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析20、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析21、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，且f(0)=0，F(xiàn)(x)=∫0ztn一1f(xn一tn)dt，試求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)f(x)=∫一1x(1一|t|)dt(x≥一1)，求曲線y=f(x)與x軸所圍圖形面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)u=f(x，y，z)，φ(x2，ey，z)=0，y=sinx，其中f，φ都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析25、求函數(shù)z=xy(4一x一y)在x=1，y=0，x+y=6所圍閉區(qū)域D上的最大值與最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：，fmln(3，3)=一18知識點(diǎn)解析：暫無解析26、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析27、計(jì)算[1+yf(x2+y2)]dxdy，其中D是由y=x3，y=1，x=一1所圍成的區(qū)域，f(x，y)是連續(xù)函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析28、已知y1=3，y2=3+x2，y3=3+ex．是二階線性非齊次方程的解，求方程通解及方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：所求方程為(2x一x2)y"+(x2—2)y’+2(1一x)y=6(1一x)．通解為：y=C1x2+C2ex+3知識點(diǎn)解析：暫無解析29、設(shè)φ(x)連續(xù)，且φ(x)+∫0x(x一u)φ(u)du=ex+2x∫01φ(xu)du試求φ(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：φ(x)=ex+2xex+x2ex知識點(diǎn)解析：暫無解析30、在上半平面求一條向上凹的曲線，其上任一點(diǎn)P(x，y)處的曲率等于此曲線在該點(diǎn)的法線段PQ長度的導(dǎo)數(shù)(Q是法線與x軸的交點(diǎn))，且曲線在點(diǎn)(1，1)處的切線與x軸平行．標(biāo)準(zhǔn)答案：y+=e±(x一1)知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第8套一、解答題(本題共31題，每題1.0分，共31分。)1、設(shè)y=f(x)與y=sinx在原點(diǎn)相切，求標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意得f(0)=0，f’(0)=cosx|x=0=1，知識點(diǎn)解析：暫無解析2、設(shè)f(x)在(一∞，+∞)有定義，f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，f’(0)=a，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令x=0，y=0得f(0)=0．f(x)=x2+ax+C，由f(0)=0得C=0，故f(x)=x2+ax．知識點(diǎn)解析：暫無解析3、設(shè)f(x)可導(dǎo)，y=f(cos2x)，當(dāng)x=處取增量△x=一0．2時(shí)，△y的線性部分為0．2，求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析4、設(shè)y=xsin2x，求y’．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析5、設(shè)標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析6、設(shè)y=x(sinx)cosx，求dy．標(biāo)準(zhǔn)答案：lny=lnx+coslnsinx，兩邊微分得知識點(diǎn)解析：暫無解析7、設(shè)函數(shù)y=y(x)由2xy=x+y確定，求dy|x=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x=0時(shí)，y=1．2xy=x+y兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得知識點(diǎn)解析：暫無解析8、設(shè)函數(shù)y=y(x)由x+y=tany確定，求dy．標(biāo)準(zhǔn)答案：x+y=tany兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得知識點(diǎn)解析：暫無解析9、設(shè)y=y(x)由ln(x2+y)=x3y+sinx確定，求標(biāo)準(zhǔn)答案：x=0代入得y=1，ln(x2+y)=x3y+sinx兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得=3x2y+x3y’+cosx，將x=0，y=1代入得知識點(diǎn)解析：暫無解析10、求2y一x=(x—y)ln(x—y)確定的函數(shù)y=y(x)的微分dy．標(biāo)準(zhǔn)答案：2y—x=(x—y)ln(x—y)關(guān)于x求導(dǎo)得知識點(diǎn)解析：暫無解析11、設(shè)由sinxy+ln(y—x)=x確定函數(shù)y=y(x)，求y’(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：x=0時(shí)，y=1，sinxy+ln(y—x)=x兩邊對x求導(dǎo)得將x=0，y=1代入得．即y’(0)=1．知識點(diǎn)解析：暫無解析12、設(shè)由e-y+x(y—x)=1+x確定y=y(x)，求y"(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：x=0時(shí)，y=0．e-y+x(y—x)=1+x兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得一e-yy’+y一x+x(y’一1)=1，則y’(0)=一1；一e-yy’+y—x+x(y’一1)=1兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得e-y(y’)2一e-yy"+2(y’一1)+xy"=0，代入得y”(0)=一3．知識點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)y=y(x)由確定，求標(biāo)準(zhǔn)答案：x=0時(shí)，y=1．知識點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)siny+xey=0，當(dāng)y=0時(shí)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：y=0時(shí)，x=0．siny+xey=0兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得知識點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)y=y(x)由(x＞0)所確定，求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)x=x(t)由sint—∫tx(t)φ(u)du=0確定，φ(0)=φ’(0)=1且φ(u)＞0為可導(dǎo)函數(shù)，求x”(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：t=0時(shí)，x(0)=0．sint—∫tx(t)φ(u)du=0兩邊關(guān)于t求導(dǎo)得cost一φ[x(t)]x’(t)+φ(t)=0，取t=0得x’(0)=2；兩邊再關(guān)于t求導(dǎo)可得一sint一φ’[x(t)][x’(t)]2一φ[x(t)]x"(t)+φ’(t)=0，取t=0得x”(0)=一3．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、證明：曲線上任一點(diǎn)的切線的橫截距與縱截距之和為2．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程組標(biāo)準(zhǔn)答案：t=0時(shí)，x=0，y=一1，知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)標(biāo)準(zhǔn)答案：y=∫0tsin(t—s)2ds=一∫0tsin(t—s)2d(t一s)=∫0tsinu2du，知識點(diǎn)解析：暫無解析20、求對應(yīng)r=1+cosθ上點(diǎn)處的切線．標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線r=1+cosθ的參數(shù)方程為知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)y=y(x)由標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)f(x)=其中g(shù)(x)=∫0cosx(1+sin2t)dt，求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)y=exsinx，求y(n)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析24、標(biāo)準(zhǔn)答案：由A(2x一1)+B(x+1)=3—3x得解得A=一2．B=1．知識點(diǎn)解析：暫無解析25、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析26、f(x)=x4ln(1一x)，當(dāng)n＞4時(shí)，求f(n)(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)y=x2ln(1+2x)，求y(6)．標(biāo)準(zhǔn)答案：y(5)=C50x2[ln(1+2x)](5)+C512x[ln(1+2x)](4)+C522[ln(1+2x)](3)，知識點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)f(x)=求(0，2)內(nèi)使得f(2)-f(0)=2f’(ξ)成立的ξ．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f’(x)=-x，當(dāng)0＜ξ≤1時(shí)，由f(2)一f(0)=2f’(ξ)得一1=一2ξ，解得當(dāng)1＜ξ＜2時(shí)，由f(2)一f(0)=2f’(ξ)得一1=知識點(diǎn)解析：暫無解析29、設(shè)f(x)在[0，3]上連續(xù)，在(0，3)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1，證明：存在ξ∈(0，3)，使得f’(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x)在[0，3]上連續(xù)，所以f(x)在[0，3]上取到最小值m和最大值M．3m≤f(0)+f(1)+f(2)≤3M，即m≤1≤M，由介值定理，存在c∈[0，3]，使得f(c)=1．因?yàn)閒(c)=f(3)=1，所以由羅爾定理，存在ξ∈(c，3)(0，3)，使得f’(ξ)=0．知識點(diǎn)解析：暫無解析30、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)(a＞0)且f(a)=0，證明：存在ξ∈(a，b)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=(b一x)af(x)，因?yàn)棣?a)=φ(b)=0，所以存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=一a(b一x)a-1f(x)+(b一x)af’(x)，故f(ξ)=知識點(diǎn)解析：暫無解析31、解方程(3x2+2)y"=6xy’，已知其解與ex一1(x→0)為等價(jià)無窮?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：從而y’=C1(3x2+2)，解得y=C1x3+2C1x+C2，因?yàn)镃1x3+2C1x+C2～ex一1～x，所以．C2=0，知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第9套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且f’(0)＞0，則存在δ＞0使得()．A、對任意的x∈(0，δ)有f(x)＞f(0)B、對任意的x∈(0，δ)有f(x)＜f(0)C、當(dāng)x∈(0，δ)時(shí)，f(x)為單調(diào)增函數(shù)D、當(dāng)x∈(0，δ)時(shí)，f(x)是單調(diào)減函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒’(0)＞0，所以，根據(jù)極限的保號性，存在δ＞0，當(dāng)X∈(0，δ)時(shí)，有，即f(x)＞f(0)，選(A)．2、設(shè)f(x)為單調(diào)可微函數(shù)，g(x)與f(x)互為反函數(shù)，且f(2)=4，f’(2)=，f’(4)=6，則g’(4)等于()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因?yàn)間’(4)=，所以選(B)．3、設(shè)k＞0，則函數(shù)f(x)=的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()．A、0個(gè)B、1個(gè)C、2個(gè)D、3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，+∞)，由f’(x)==0得x=e，當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f’(x)＞0；當(dāng)x＞e時(shí)，f’(x)＜0，由駐點(diǎn)的唯一性知x=e為函數(shù)f(x)的最大值點(diǎn)，最大值為f(e)=k＞0，又，于是f(x)在(0，+∞)內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，選(C)．4、設(shè)f(x)，g(x)是連續(xù)函數(shù)，當(dāng)x→0時(shí)，f(x)與g(x)是等價(jià)無窮小，令F(x)=∫0x(x-t)dt，G(x)=∫01xg(xt)dt，則當(dāng)x→0時(shí)，F(xiàn)(x)是G(x)的()．A、高階無窮小B、低階無窮小C、同階但非等價(jià)無窮小D、等價(jià)無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：F(x)=∫0xf(x-t)dt=-∫0xf(x-t)d(x-t)=∫0xf(u)du，G(x)=∫01xg(xt)dt=∫0xg(u)du，則，選(D)．5、累次積分dθ∫0cosθrf(rcosθ，rsinθ)dr等于()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：積分所對應(yīng)的直角坐標(biāo)平面的區(qū)域?yàn)镈：0≤x≤1，0≤y≤，選(D)．6、設(shè)y(x)是微分方程y’’+(x-1)y’+x2y=ex滿足初