《高等數(shù)學》高職 全套教學課件

第1章函數(shù)的極限與連續(xù).pptx第2章導數(shù)與微分.pptx第3章導數(shù)的應用.pptx第4章不定積分.pptx第5章定積分及其應用.pptx第6章空間解析幾何.pptx第7章常微分方程.pptx全套可編輯PPT課件1.1初等函數(shù)1.2函數(shù)的極限1.3無窮小量和無窮大量1.4極限的運算1.5兩個重要極限1.6函數(shù)的連續(xù)性知識目標理解函數(shù)的定義,掌握函數(shù)的要素和函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性和有界性;了解反函數(shù),掌握復合函數(shù)的概念;熟練掌握基本初等函數(shù)的圖形,理解初等函數(shù)的概念;了解極限的定義,并能在學習過程中逐步加深對極限思想的理解,了解無窮大、無窮小的概念,尤其是無窮小;掌握極限的四則運算法則;了解極限的兩個存在準則(夾逼定理和單調(diào)有界定理),掌握兩個重要極限;掌握函數(shù)連續(xù)及間斷點的概念;了解初等函數(shù)的連續(xù)性,掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值定理、介值定理和根的存在性定理.能力目標會對函數(shù)進行復合、對復合函數(shù)進行分解,會判斷所給函數(shù)是否為初等函數(shù);會用極限的四則運算法則,求簡單函數(shù)的極限;會進行無窮小的比較,會利用兩個重要極限求函數(shù)的極限;會判斷函數(shù)間斷點的類型,能利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題,會建立簡單的實際問題的函數(shù)關系.素質(zhì)目標培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的綜合能力;培養(yǎng)學生的運算能力、抽象思維能力和邏輯推理能力;引導學生建立健康的目標,樹立正確的價值觀;追求創(chuàng)新思維,培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神;培養(yǎng)學生團隊協(xié)作、吃苦耐勞、無私奉獻的匠心品質(zhì).1.1初等函數(shù)在現(xiàn)實世界里,觀察某種自然現(xiàn)象或進行某項科學實驗的過程中,會遇到各種各樣的量,其中有些量在變化過程中保持不變,即取某個確定的數(shù)值,而另外一些量卻有變化.例如,一物體做勻速直線運動,那么時間與位移都是變量,而速度則為常量.又如,一密閉容器內(nèi)的氣體在加熱過程中,若考慮容器內(nèi)氣體的體積V、分子數(shù)n、絕對溫度T以及壓力P,其中體積V與分子數(shù)n兩個量在整個過程中保持不變,而絕對溫度T與壓力P則不斷變化.我們把某一變化過程中可取不同值的量稱為變量;在某一變化過程中保持不變的量稱為常量(或常數(shù)).通常用字母a,b,c等表示常量,用字母x,y,z,t等表示變量.應當注意,一個量究竟是常量還是變量是由該過程的具體條件來確定的.同一個量在此過程中是常量,而在彼過程中卻有可能是變量.如速度,在勻速運動中是常量,而在勻加速運動中是變量.1.1.1常量與變量1.1.1常量與變量

【例1】金屬圓周的周長l和半徑r的關系為l=2πr,當圓周受熱膨脹時,半徑r發(fā)生變化,周長l也隨之變化,當r在其變化范圍內(nèi)有確定值時,周長l也就確定.在這里r和l是變量,π和2是常量.

【例2】某一時期銀行的人民幣定期儲蓄存期與年利率如表1-1所示.表1-1給出了年利率與存期的關系.1.1.2區(qū)間與鄰域

1.區(qū)間

一個變量能取得的全部數(shù)值的集合,稱為這個變量的變化范圍或變域.今后我們常遇到的變域是區(qū)間.常見的區(qū)間有:開區(qū)間(a,b)={x|a<x<b};閉區(qū)間[a,b]={x|a≤x≤b};半開半閉區(qū)間[a,b)={x|a≤x<b},(a,b]={x|a<x≤b}.以上這些區(qū)間都稱為有限區(qū)間.有限區(qū)間右端點b與左端點a的差b-a,稱為該區(qū)間的長度.無窮區(qū)間:(-∞,a)={x|x<a},[a,+∞)={xx≥a},(-∞,b]={xx≤b},(a,+∞)={xx>a},(-∞,b)={xx<b},(-∞,+∞)={x-∞<x<+∞},即全體實數(shù)的集合R.其中,記號記號+∞讀作正無窮大,記號-∞讀作負無窮大,無窮區(qū)間的長度無限長.1.1.2區(qū)間與鄰域

2.鄰域

給定實數(shù)a,以點a為中心的任何開區(qū)間稱為點a的鄰域,記作U(a).設δ為給定的正數(shù),則稱開區(qū)間(a-δ,a+δ)為點a的δ鄰域,記作U(a,δ),即U(a,δ)=｛x|a-δ<x<a+δ｝.點a稱為鄰域的中心,δ稱為鄰域的半徑.如圖1-1所示.由于｛x|a-δ<x<a+δ｝=｛x||x-a|<δ｝,所以U(a,δ)=｛x||x-a|<δ｝表示與點a距離小于δ的一切點x的全體.有時會把點a的δ鄰域中的點a去掉,如圖1-2所示,此時稱為點a的去心δ鄰域,記作1.1.3函數(shù)概念

【例3】某產(chǎn)品專賣店,場租和人工為10000元,每件產(chǎn)品的進貨價為2000元/件,則該專賣店銷售量x(件)與總成本y(元)之間有下面關系式y(tǒng)=10000+2000x(x≥0).顯然,銷售量x取任何一個合理值,總成本y就有一個確定值與它對應,我們說總成本y是銷售量x的函數(shù).

【例5】(Excel表格中的函數(shù))如圖1-3所示,在Excel表格窗口中的第A列依次輸入5個數(shù),再在B1單元格中輸入公式“=A1^2+5”,回車后得到B1單元格的值為6,向下拖動,依次得到B2,B3,B4,B5單元格的值.1.1.3函數(shù)概念

定義1-1設x和y是兩個變量,若變量x在非空數(shù)集D內(nèi)任取一數(shù)值時,變量x依照某一規(guī)則f總有一個確定的數(shù)值y與之對應,則稱變量y為變量x的函數(shù),記作y=f(x),這里,x稱作自變量,y稱作因變量或函數(shù),f是函數(shù)符號,它表示y與x的對應規(guī)則.有時函數(shù)符號也可以用其他字母來表示,如y=g(x)或y=Q(x)等.集合D稱作函數(shù)的定義域,相應的y值的集合:R(f)={f(x)x∈D}稱作函數(shù)的值域.當自變量x在其定義域內(nèi)取定某個確定值x0時,因變量y按所給函數(shù)關系y=f(x)求出的對應值y0叫作當x=x0時的函數(shù)值(或函數(shù)在x0處的值),記作f(x0)或函數(shù)的定義域、對應法則是函數(shù)的兩個基本要素.從定義不難看出,兩個相同的函數(shù)具有相同的定義域和相同的對應法則.因而要判斷兩個函數(shù)是否相同,首先檢驗它們的定義域是否相同,其次再看它們的對應法則是否一致(對解析式進行恒等變換,看表達式是否一致).函數(shù)的表示法通常有三種:解析法、表格法、圖像法.1.1.3函數(shù)概念在實際問題中,函數(shù)的定義域是根據(jù)問題的實際意義確定的.在數(shù)學中,有時不考慮函數(shù)的實際意義,這時我們約定:函數(shù)的定義域就是自變量所能取得的使該函數(shù)解析式有意義的一切實數(shù).如果自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值時,對應的函數(shù)值都只有一個,這種函數(shù)稱為單值函數(shù),簡稱函數(shù),否則稱為多值函數(shù).以后若無特別說明,本書的函數(shù)都是指單值函數(shù).從例4可以看到,有時一個函數(shù)要用幾個式子表示.這種在自變量的不同變化范圍內(nèi),對應法則用不同式子來表示的函數(shù),通常稱為分段函數(shù).常見的還有1.1.3函數(shù)概念1.1.3函數(shù)概念1.1.4函數(shù)的幾種特性

1.函數(shù)的有界性定義1-2設函數(shù)y=f(x)在集合D上有定義,如果存在一個正數(shù)M,對所有的x∈D,恒有|f(x)|≤M,則稱函數(shù)f(x)在D上是有界的.如果不存在這樣的正數(shù)M,則稱f(x)在D上是無界的.例如,y=2sinx+3cosx+1在其定義域(-∞,+∞)內(nèi),都有|2sinx+3cosx+1|≤2|sinx|+3|cosx|+1≤6,所以y=2sinx+3cosx+1在(-∞,+∞)內(nèi)是有界的.1.1.4函數(shù)的幾種特性函數(shù)f(x)在[a,b]有界的幾何意義是:曲線y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)的部分,限制在兩條直線y=-M和y=M之間.(圖1-6)函數(shù)在(a,b)無界的幾何意義是:不管多大的M,在直線y=-M,y=M外都會有曲線y=f(x)在(a,b)內(nèi)的點.1.1.4函數(shù)的幾種特性對函數(shù)的有界性,要注意以下兩點:當函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)有界時,正數(shù)M的取法不是唯一的.

1.1.4函數(shù)的幾種特性2.函數(shù)的單調(diào)性

定義1-3設函數(shù)y=f(x)在數(shù)集D上有定義,如果對D上任意兩點x1,x2(滿足x1<x2),都有f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2)),則稱f(x)在D上單調(diào)增加(或單調(diào)減少).函數(shù)f(x)在數(shù)集D上單調(diào)增加、單調(diào)減少統(tǒng)稱為函數(shù)f(x)在數(shù)集D上單調(diào),如果D是區(qū)間,則稱該區(qū)間為f(x)的單調(diào)區(qū)間.單調(diào)增加函數(shù)的圖形是沿x軸正向上升的曲線(圖1-7),單調(diào)減少函數(shù)的圖形是沿x軸正向下降的曲線(圖1-8).1.1.4函數(shù)的幾種特性3.函數(shù)的奇偶性

定義1-4如果數(shù)集D滿足:對任意x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),則稱f(x)是數(shù)集D上的奇函數(shù)(或偶函數(shù)).奇函數(shù)的圖像關于原點對稱(圖1-9),偶函數(shù)的圖像關于y軸對稱(圖1-10).1.1.4函數(shù)的幾種特性4.函數(shù)的周期性定義1-5設函數(shù)y=f(x)在D上有定義,如果存在正數(shù)T,使得對任意x∈D,有x+T∈D,且f(x+T)=f(x)恒成立,則稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù),滿足等式f(x+T)=f(x)的最小正數(shù)T稱為函數(shù)的周期.

1.1.5基本初等函數(shù)1.常函數(shù)常函數(shù)y=C是定義在(-∞,+∞)上的函數(shù),對任意自變量x的取值,函數(shù)值都是同一常數(shù)C,所以,它的圖像是過點(0,C)且平行于x軸的直線(圖1-11),它是偶函數(shù).1.1.5基本初等函數(shù)

2.冪函數(shù)函數(shù)y=xa(a為實數(shù))叫作冪函數(shù).它的定義域和性質(zhì)隨a的不同而變化,但是在(0,+∞)內(nèi)冪函數(shù)總是有意義的,圖形都經(jīng)過點(1,1)(圖1-12,圖1-13).1.1.5基本初等函數(shù)

3.指數(shù)函數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)叫作指數(shù)函數(shù),它的定義域為(-∞,+∞),圖形過點(0,1),總在x軸的上方,即無論x為何值,總有ax>0.若a>1,y=ax是單調(diào)增函數(shù);若a<1,y=ax是單調(diào)減函數(shù).1.1.5基本初等函數(shù)

4.對數(shù)函數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)叫作對數(shù)函數(shù),圖形過點(1,0),總在y軸的右側.若a>1,則函數(shù)單調(diào)增加;若0<a<1,則函數(shù)單調(diào)減少.

1.1.5基本初等函數(shù)

5.三角函數(shù)例如函數(shù):y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx,y=cscx,統(tǒng)稱為三角函數(shù).函數(shù)y=sinx是定義域為(-∞,+∞),值域為[-1,1],周期為2π的有界奇函數(shù)(圖1-16).函數(shù)y=cosx是定義域為(-∞,+∞),值域為[-1,1],周期為2π的有界偶函數(shù)(圖1-17).1.1.5基本初等函數(shù)1.1.5基本初等函數(shù)

6.反三角函數(shù)例如函數(shù):y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx,統(tǒng)稱為反三角函數(shù)．函數(shù)y=arccosx是函數(shù)y=cosx(0≤x≤π)的反函數(shù),是定義域為[-1,1],值域為[0,π]的有界單調(diào)減少函數(shù)(圖1-21).1.1.5基本初等函數(shù)1.1.6反函數(shù)

定義1-6設有函數(shù)y=f(x),其定義域為D,值域為M,如果對于M中的每一個y值(y∈M),都可以從關系式y(tǒng)=f(x)確定唯一的x值(x∈D)與之對應,那么所確定的以y為自變量的函數(shù)x=φ(y)叫作函數(shù)y=f(x)的反函數(shù),它的定義域為M,值域為D.習慣上,函數(shù)的自變量都以x表示,所以反函數(shù)也可以表示為y=f-1(x).函數(shù)y=f(x)的圖形與其反函數(shù)y=f-1(x)的圖形關于直線y=x對稱.

【例9】函數(shù)y=2x與函數(shù)y=log2x互為反函數(shù),則它們的圖形在同一直角坐標系中是關于直線y=x對稱的.如圖1-24所示.1.1.7復合函數(shù)在實際應用中,我們常見的有基本初等函數(shù),以及由基本初等函數(shù)通過四則運算或組合而成的函數(shù).例如:y=sinx2就不是基本初等函數(shù),它是由基本初等函數(shù)y=sinu,u=x2通過中間變量u連接而成的一個函數(shù).這種通過基本初等函數(shù)組合而成的函數(shù)稱作復合函數(shù).

定義1-7設y是u的函數(shù)y=f(u),u是x的函數(shù)u=φ(x),而且當x在其定義域或該定義域的一部分取值時,所對應的u的值使得y=f(u)有定義,則稱y=f[φ(x)]是x的復合函數(shù),其中u=φ(x)為內(nèi)函數(shù),y=f(u)為外函數(shù),u為中間變量.

【例10】求下列函數(shù)的復合函數(shù).(1)y=u2,u=sinx;(2)y=lnu,u=cosv,v=2x-1.

解(1)y=u2=sin2x;

(2)y=lnu=lncosv=lncos(2x-1)1.1.7復合函數(shù)

解(1)y=sinu,u=x3;(3)y=3u,u=-x;

【例11】分析下列函數(shù)的復合過程.

(4)y=u3,u=lnv,v=2x+1.1.1.8初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次復合所構成的,并能用一個解析式表示的函數(shù)叫作初等函數(shù).例11中的四個函數(shù)都是初等函數(shù),而狄利克雷函數(shù)、符號函數(shù)與取整函數(shù)不是初等函數(shù).1.1.9建立函數(shù)關系舉例要想運用數(shù)學知識解決實際問題,通常要先把變量之間的函數(shù)關系式表示出來,然后進行分析和計算.即先建立函數(shù)關系,然后再進行計算.下面通過實例,說明建立函數(shù)關系的過程.

【例12】把直徑為d的圓木料鋸成截面為矩形的木材(圖1-25),列出矩形截面兩條邊之間的函數(shù)關系.

解設矩形截面的一條邊長為x,另一條邊長為y．1.2函數(shù)的極限1.2函數(shù)的極限著名數(shù)學家希爾伯特(Hilbert)曾說:沒有任何問題可以像無窮那樣深深地觸動人的情感,很少有別的觀念能像無窮那樣激勵理智產(chǎn)生富有成果的思想,也沒有任何其他的概念能像無窮那樣需要加以闡明.函數(shù)概念刻畫了變量之間的關系,而極限概念著重刻畫變量的變化趨勢,并且極限也是學習微積分的基礎和工具.微積分引入了無窮的概念.在微積分產(chǎn)生初期,人們對無窮的認識還比較膚淺,產(chǎn)生了一些矛盾(悖論).極限理論的建立,奠定了微積分的基礎,解決了矛盾,才使微積分正式成為數(shù)學的一部分.

【例1】

(芝諾悖論)阿基里斯是《荷馬史詩》中的善跑英雄,但奔跑中的阿基里斯永遠也無法超過在他前面慢慢爬行的烏龜.因為他必須首先到達烏龜?shù)某霭l(fā)點,而當他到達那一點時,烏龜又向前爬了.因而烏龜必定總是跑在前頭.1.2函數(shù)的極限分析產(chǎn)生悖論的原因是偷換概念,上述“烏龜總是跑在前頭”與“阿基里斯永遠也無法超過烏龜”是兩個不同的時間變化過程.事實上,設阿基里斯速度為10m/s,烏龜速度為1m/s,烏龜在阿基里斯前100m,不難計算,追擊時間就時間t的變化而言,“烏龜總是跑在前頭”時間的變化過程是時間t無限接近于T的過程,簡單記為t→T,而“阿基里斯永遠也無法超過烏龜”是指t無限增大的過程,可記為t→+∞.如圖1-26所示.1.2函數(shù)的極限從數(shù)量上觀察這兩個變化過程t=10,100,1000,10000,100000,…→+∞.t→T表示變量t變化時,t與實數(shù)T的差距越來越小,且差距無限趨于0.t→+∞表示變量t變化時,t的值無限增加,且能取到任意大的數(shù)值.t→T,t→+∞都是時間的一個無限變化過程.t能無限接近于T(t≠T),是因為實數(shù)的稠密性,即任意兩個不同實數(shù)間仍有其他實數(shù).1.2函數(shù)的極限

【例2】計算圓的面積.我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽,曾試圖從圓內(nèi)接正多邊形出發(fā)來計算半徑等于單位長度的圓的面積.他從圓內(nèi)接正六邊形開始,每次把邊數(shù)加倍,直覺地意識到邊數(shù)越多,內(nèi)接正多邊形的面積越接近于圓的面積.他曾正確地計算出圓內(nèi)接正3072邊形的面積,從而得到圓周率π的十分精確的結果π≈3.1416.他的算法用現(xiàn)代數(shù)學來表達,就是其中A為半徑等于R的圓面積,6·2n-1為劉徽計算方法中正多邊形的邊數(shù).1.2.1數(shù)列的極限

定義1-8如果當n無限增大時,數(shù)列{un}無限地趨近于一個確定的常數(shù)A,那么就稱A為數(shù)列{un}的極限,或稱數(shù)列{un}收斂于A,記為或者un→A,當n→∞時,其中“→”讀作“趨于”.極限存在的數(shù)列稱為收斂數(shù)列,極限不存在的數(shù)列稱為發(fā)散數(shù)列.1.2.1數(shù)列的極限1.2.2函數(shù)的極限1.2.2函數(shù)的極限定義1-9在自變量x按某個無限變化方式變化時(記為x→*),對應的函數(shù)值y=f(x)無限接近一個確定的常數(shù)A,則稱此常數(shù)A為函數(shù)y=f(x)在此變化條件下的極限,記為例3是通過函數(shù)值(數(shù)據(jù))的變化規(guī)律歸納得到極限.其實對一些簡單函數(shù),也可以通過其圖像的變化規(guī)律歸納得到極限.1.2.2函數(shù)的極限1.2.2函數(shù)的極限1.2.2函數(shù)的極限1.2.2函數(shù)的極限解通過觀察并結合函數(shù)的圖像(圖1-29,圖1-30,圖1-31)可知:1.2.2函數(shù)的極限1.3無窮小量和無窮大量1.3.1無窮小量1.無窮小量的概念

1.3.1無窮小量2.無窮小量的性質(zhì)性質(zhì)1有限個無窮小量的代數(shù)和是無窮小量.性質(zhì)2有界函數(shù)與無窮小量之積是無窮小量.性質(zhì)3常數(shù)與無窮小量之積是無窮小量.性質(zhì)4有限個無窮小量(自變量為同一變化過程時)之積是無窮小量.1.3.2無窮大量定義1-11如果當x→x0(或x→∞)時,函數(shù)f(x)的絕對值無限增大,那么稱f(x)為當x→x0(或x→∞)時的無窮大量,簡稱無窮大.理解無窮大量時應注意:(1)無窮大量是一個變量,是一個函數(shù),一個無論多么大的常數(shù),都不能作為無窮大量.(2)函數(shù)在變化過程中絕對值越來越大且可以無限增大時,才能稱為無窮大量.例如,當x→∞時,f(x)=xsinx可以無限增大但不是越來越大,所以不是無窮大量.(3)當我們說某個函數(shù)是無窮大量時,必須同時指出它的自變量變化過程.(4)無窮大量定義對數(shù)列也適用.(5)需要進一步說明的是,無窮大量是函數(shù)極限不存在的一種情形,這里使用了極限記號limf(x)=∞,但并不表示函數(shù)f(x)的極限存在.1.3.3無窮大與無窮小的關系1.3.4無窮小的比較我們知道兩個無窮小的代數(shù)和及乘積仍然是無窮小,但是兩個無窮小的商卻會出現(xiàn)不同的情況,例如,當x→0時,x,3x,x2都是無窮小,而兩個無窮小之比的極限的不同情況,反映了不同的無窮小趨向零的快慢程度.下面就以兩個無窮小之商的極限所出現(xiàn)的各種情況,來說明兩個無窮小的比較.設α與β為x在同一變化過程中的兩個無窮小,1.3.4無窮小的比較根據(jù)以上定義,可知當x→0時,x2是x的高階無窮小,即x2=o(x);反之x是x2的低階無窮小;x2與1-cosx是同階無窮小;x與sinx是等價無窮小,即x~sinx.1.3.4無窮小的比較1.3.5等價無窮小代換1.3.5等價無窮小代換1.4極限的運算1.4.1極限的基本性質(zhì)定理1-4(函數(shù)極限與無窮小的關系)函數(shù)f(x)以A為極限的充分必要條件是:f(x)可以表示為A與一個無窮小α之和.即limf(x)=A?f(x)=A+α,其中l(wèi)imα=0.定理1-5(極限的唯一性定理)具有極限的函數(shù),其極限是唯一的.定理1-６具有極限的數(shù)列是有界的.定理1-7(局部保號性定理)A>0(或A<0),則必存在x0的某一去心鄰域,當x在該鄰域時有f(x)>0(或f(x)<0).這個定理的幾何解釋如圖1-33所示,只要x充分接近x0,就能保證y=f(x)的圖像位于x軸上方,即f(x)>0.A<0的情形類似.1.4.2極限的四則運算定理1-8(極限的四則運算法則)設limf(x)和limg(x)都存在,則(1)lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x);(2)limf(x)g(x)=limf(x)limg(x);推論1若limf(x)存在,c為常數(shù),則limcf(x)=climf(x).推論2若limf(x)=A,n為自然數(shù),則lim[f(x)]n=[limf(x)]n=An.推論3推論4設Pn(x)和Qm(x)分別是x的n次多項式和m次多項式,且Qm(a)≠0,則1.4.2極限的四則運算1.4.2極限的四則運算1.5兩個重要極限1.5.1極限存在準則準則1(夾逼準則)如果g(x),f(x),h(x)對于點x0的某一鄰域內(nèi)的一切x(x0可以除外)恒有不等式g(x)≤f(x)≤h(x)成立,且準則2(單調(diào)有界準則)單調(diào)有界數(shù)列必有極限.1.5.2兩個重要極限1.5.2兩個重要極限1.5.2兩個重要極限1.6函數(shù)的連續(xù)性1.6.1連續(xù)函數(shù)的概念

先觀察圖1-35和圖1-36,從直觀上看函數(shù)y=f(x)和y=g(x)分別表示的曲線在橫坐標為x0的點M處的連續(xù)性,你發(fā)現(xiàn)當Δx→0時,兩個函數(shù)在點x0的增量Δy的變化趨勢有什么不同嗎?若你發(fā)現(xiàn)了它們的不同,就不難理解下面函數(shù)連續(xù)性的定義了.1.6.1連續(xù)函數(shù)的概念1.6.1連續(xù)函數(shù)的概念1.6.1連續(xù)函數(shù)的概念1.6.2函數(shù)的間斷點1.6.2函數(shù)的間斷點如果在間斷點x0處,函數(shù)f(x)在點x0處左右極限都存在,則x0是f(x)的第一類間斷點;凡不是第一類間斷點的點都稱為第二類間斷點.圖1-37,圖1-38和圖1-39的間斷點都是第一類間斷點,而圖1-40的間斷點是第二類間斷點.1.6.2函數(shù)的間斷點1.6.3初等函數(shù)的連續(xù)性利用初等函數(shù)的連續(xù)性可以幫助我們求極限,其法如下:1.6.3初等函數(shù)的連續(xù)性1.6.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

定理1-10(最大值最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.值得注意的是:如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù),或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點,那么定理不一定成立.定理1-10的兩個條件:(1)閉區(qū)間;(2)連續(xù)函數(shù),是必需的.

定理1-11(介值定理)設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),且f(a)≠f(b),則對于任一介于f(a)與f(b)之間的常數(shù)C,在開區(qū)間a,b內(nèi)至少有一點ξ,使得f(ξ)=C.即閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)可以取得介于區(qū)間端點函數(shù)值之間的一切值.其幾何意義是:連續(xù)曲線y=f(x)與直線y=C(C在f(a)與f(b)之間)至少有一個交點(圖1-42)1.6.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

推論1在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必能取得介于最大值與最小值之間的任何值.

推論2(零點定理)設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),且f(a)·f(b)<0,那么在開區(qū)間a,b內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個零點,即至少有一點ξ(a<ξ<b),使得f(ξ)=0.從圖1-43看,推論2是很明顯的,f(x)的圖像至少穿過x軸一次.這個推論常用來判斷方程是否有根.1.6.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

【例8】證明方程sinx-x+1=0在(0,π)內(nèi)至少存在一個實根.

證明設f(x)=sinx-x+1,由于f(x)是初等函數(shù),在[0,π]上連續(xù),又f(0)=1>0,f(π)=1-π<0,因此連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間端點處的函數(shù)值異號.由零點定理可知,f(x)在(0,π)內(nèi)至少存在一點ξ,使得f(ξ)=0,即ξ是方程f(x)=0的一個根,故方程sinx-x+1=0在(0,π)內(nèi)至少存在一個實根.2.1導數(shù)的概念2.2求導法則2.3高階導數(shù)、隱函數(shù)及參數(shù)式方程所確定的函數(shù)的導數(shù)2.4變化率問題2.5微分知識目標理解并掌握導數(shù)的概念;了解導數(shù)的物理意義(速度),幾何意義(切線斜率);掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式,導數(shù)的四則運算法則;掌握復合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)及參數(shù)式方程確定的函數(shù)的求導法則,對數(shù)求導法;理解可導性與連續(xù)性的關系;了解高階導數(shù)的概念;理解微分的概念,導數(shù)與微分之間的關系,以及一階微分的形式不變性;掌握微分在近似中的應用.能力目標能利用導數(shù)的定義求簡單函數(shù)的導數(shù);能熟練利用所學的求導公式、法則和方法求函數(shù)的導數(shù);會求初等函數(shù)的高階導數(shù);會求函數(shù)的微分.素質(zhì)目標事物是普遍聯(lián)系的,培養(yǎng)學生的辯證思維;引導學生建立健康的目標追求,樹立正確的價值觀;追求創(chuàng)新思維,培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神;培養(yǎng)學生認真細致、精益求精的工匠精神.2.1導數(shù)的概念

【引例1】變速直線運動的瞬時速度.2.1.1概念的引入設一質(zhì)點做變速直線運動,若質(zhì)點的運行路程s與運行時間t的關系為s=f(t),求質(zhì)點在時刻t0的“瞬時速度”.

分析如果質(zhì)點做勻速直線運動,給一個時間的增量Δt,那么質(zhì)點在時刻t0與時刻t0+Δt間隔內(nèi)的平均速度也就是質(zhì)點在時刻t0的“瞬時速度”.可我們要解決的問題沒有這么簡單,質(zhì)點做變速直線運動,它的運行速度時刻都在發(fā)生變化,那該怎么辦呢?首先在時刻t0任給時間一個增量Δt,考慮質(zhì)點由t0到t0+Δt這段時間的平均速度:當時間間隔Δt很小時,其平均速度就可以近似地看作時刻t0的瞬時速度.用極限思想來解釋就是:當Δt→0時,對平均速度取極限:如果這個極限存在的話,其極限值稱為質(zhì)點在時刻t0的瞬時速度.

定義2-１設函數(shù)y=f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)有定義,當自變量x在x0有一個改變量Δx時,相應的函數(shù)f(x)在點x0也有一個改變量Δy=f(x0+Δx)-f(x0),若2.1.2導數(shù)的定義

【例1】求函數(shù)f(x)=x2+x在點x0=0處的導數(shù).2.1.2導數(shù)的定義解由定義得:

定義2-2設M為函數(shù)y=f(x)所有可導點的集合,則對任意的x∈M,存在唯一確定的數(shù)f'(x)與之對應,這樣就建立起來一個函數(shù)關系,我們稱這個函數(shù)為y=f(x)的導函數(shù),記為

【例２】求函數(shù)y=2+5x-x2的導函數(shù),并計算出f'(1),f'(0).2.1.2導數(shù)的定義解按照導函數(shù)的定義可得2.1.2導數(shù)的定義

定義2-3設函數(shù)y=f(x)在點x0的某右鄰域(x0,x0+δ)內(nèi)有定義,若存在,則稱f(x)在點x0處右可導,該極限值稱為f(x)在x0處的右導數(shù),記為f'+(x0),即右導數(shù)和左導數(shù)統(tǒng)稱為單側導數(shù).根據(jù)左右極限和極限的關系,我們可以得到下面的結論.2.1.2導數(shù)的定義

定理2-1若函數(shù)y=f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)有定義,則f'(x0)存在的充要條件是f'+(x0)與f'-(x0)都存在,且f'+(x0)=f'-(x0).

定義2-4設函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)每一點都可導,則稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導;若函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導,且在點a右可導,在點b左可導,則稱函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上可導.2.1.3利用導數(shù)的定義求導數(shù)根據(jù)導數(shù)的定義,我們可以把導數(shù)的計算分為以下三個步驟.

【例4】設f(x)=C(C為常數(shù)),求f'(x)2.1.4導數(shù)的幾何意義由前面的例子可知,若函數(shù)y=f(x)在點x0處可導,則其導數(shù)f'(x0)的數(shù)值就等于曲線y=f(x)在點P0(x0,y0)處切線的斜率,這就是導數(shù)的幾何意義.由此可推出:若f'(x0)=0,此時曲線y=f(x)在點P0處的切線平行于x軸;若f'(x0)=±∞,此時曲線y=f(x)在點P0處的切線垂直于x軸.由導數(shù)的幾何意義,可以得到曲線在點P0(x0,y0)處的切線與法線方程.曲線在點P0(x0,y0)處的切線方程為:y-y0=f'(x0)(x-x0).當f'(x0)=0時,法線方程為:x=x0;當f'(x0)=±∞時,法線方程為:y=y0.2.1.4導數(shù)的幾何意義

【例8】求曲線y=x2在點(2,4)處的切線方程及法線方程.2.1.4導數(shù)的幾何意義導數(shù)在物理方面也有廣泛的應用,下面我們再列舉幾種導數(shù)的物理意義:2.1.5可導與連續(xù)的關系

定理2-2若函數(shù)f(x)在點x0處可導,則它在點x0處必連續(xù).

證明設函數(shù)f(x)在點x0處可導,且自變量x在x0處有一改變量Δx,相應地函數(shù)有一改變量Δy,由導數(shù)的定義可得2.1.5可導與連續(xù)的關系2.2求導法則2.2.1導數(shù)的四則運算2.2.1導數(shù)的四則運算推論1若函數(shù)u(x)可導,C為常數(shù),則C(u(x))'=Cu'(x).更一般地有:(u1u2…un)'=u'1u2…un+u1u'2…un+…+u1u2…u'n;(k1u1+k2u2+…+knun)'=k1u'1+k2u'2+…+knu'n.【例1】設f(x)=x4+2x2+6x+ln2,求f'(x).解由定理2-3式(1)可知:f'(x)=(x4)'+2·(x2)'+6·x'+(ln2)'=4x3+4x+6.一般地,多項式函數(shù)f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an的導數(shù)為:f'(x)=na0xn-1+(n-1)a1xn-2+…+2an-2x+an-1.2.2.2反函數(shù)的求導法則定理2-4設函數(shù)x=φ(y)在某區(qū)間Iy內(nèi)嚴格單調(diào)可導,且φ'(y)≠0,那么它的反函數(shù)y=f(x)在對應區(qū)間Ix內(nèi)也嚴格單調(diào)可導,且設x=φ(y)是直接函數(shù),y=f(x)是它的反函數(shù),則定理2-4可敘述為:反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù).2.2.3復合函數(shù)的求導法則定理2-5設y=f(φ(x))是由函數(shù)y=f(u)與u=φ(x)復合而成的,若u=φ(x)在x處可導,而y=f(u)在對應的u=φ(x)處可導,則復合函數(shù)y=f(φ(x))在x處也可導,且[f(φ(x))]'=f'(u)·φ'(x)=f'(φ(x))·φ'(x)推論1設函數(shù)y=f(u),u=φ(v),v=ψ(x)在所對應的各自自變量處可導,則復合函數(shù)y=f(φ(ψ(x)))在自變量x處可導,且2.2.3復合函數(shù)的求導法則上述法則一般稱為復合函數(shù)求導數(shù)的鏈式法則.2.2.4基本求導法則與導數(shù)公式

根據(jù)初等函數(shù)的定義可知,初等函數(shù)主要由基本初等函數(shù)、函數(shù)的四則運算和復合運算三部分構成,因此初等函數(shù)的求導必須熟悉:基本函數(shù)的求導及求導法則、復合函數(shù)的分解、復合函數(shù)及反函數(shù)的求導法則;為了熟練地應用它們,現(xiàn)把這些導數(shù)公式和求導法則歸納如下:(1)常數(shù)和基本函數(shù)的導數(shù)公式:(C)'=0(sinx)'=cosx(tanx)'=sec2x(secx)'=secx·tanx(ax)'=axlna(xμ)'=μxμ-1(cosx)'=-sinx(cotx)'=-csc2x(cscx)'=-cscx·cotx(ex)'=ex2.2.4基本求導法則與導數(shù)公式

(2)函數(shù)的和、差、積、商的求導法則:設u=u(x),v=v(x)都可導,則①[u(x)±v(x)]'=u'(x)±v'(x);②(Cu)'=Cu'(C是常數(shù));③[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x);(3)反函數(shù)的求導法則:設x=f(y)在Iy內(nèi)單調(diào)、可導,且f'(y)≠0,則它的反函數(shù)y=f-1(x)在區(qū)間Ix={x|x=f(y),y∈Iy}內(nèi)也是單調(diào)、可導的,而且2.2.4基本求導法則與導數(shù)公式

(4)復合函數(shù)的求導法則:設y=f(u),u=φ(x),而f(u)及φ(x)都可導,則復合函數(shù)y=f[φ(x)]的導數(shù)為【例18】設y=arcsin(2cos(x2-1)),求y'2.3高階導數(shù)、隱函數(shù)及參數(shù)式方程所確定的函數(shù)的導數(shù)2.3.1高階導數(shù)設一物體做直線運動,其運動方程為s=s(t),則由導數(shù)的定義和運動方程的意義可知,運動的速度方程為v=v(t)=s'(t),v(t)仍然是一個關于t的函數(shù),對于這個運動而言,其加速度a(t)=v'(t)=s'(t)',所以加速度a(t)可以看作s(t)的導數(shù)的導數(shù).函數(shù)y=f(x)的導數(shù)y'=f'(x)仍然是x的函數(shù),如果y'=f'(x)仍然可導,那么我們把y'=f'(x)的導數(shù)叫作函數(shù)y=f(x)的二階導數(shù),記作相應地,把y=f(x)的導數(shù)f'(x)叫作函數(shù)y=f(x)的一階導數(shù).類似地,二階導數(shù)的導數(shù),叫作三階導數(shù),三階導數(shù)的導數(shù)叫作四階導數(shù),…,一般地,n-1階導數(shù)的導數(shù)叫作n階導數(shù),分別記作y?,y(4),…,y(n)或函數(shù)y=f(x)具有n階導數(shù),也常說成函數(shù)f(x)為n階可導.如果函數(shù)f(x)在點x處具有n階導數(shù),那么f(x)在點x的某一鄰域內(nèi)必定具有一切低于n階的導數(shù).二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù).2.3.1高階導數(shù)

【例2】設y=x2e2x,求y″,y?.

解y'=2xe2x+x2e2x·2=2xe2x(1+x),y″=(2e2x+4xe2x)(1+x)+2xe2x=2e2x(2x2+4x+1),y?=4e2x(2x2+4x+1)+2e2x(4x+4)=4e2x(2x2+6x+3).

【例2】求對數(shù)函數(shù)ln1+x的n階導數(shù).2.3.2隱函數(shù)的求導法則

定義2-5由二元方程F(x,y)=0所確定的y與x的關系式稱為隱函數(shù).隱函數(shù)求導法則,就是指不需要從方程F(x,y)=0中解出y,而求y'.具體解法如下:(1)對方程F(x,y)=0的兩端同時關于x求導,在求導過程中把y看作x的函數(shù),也就是把它作為中間變量來看待.(有時也可以把x看作函數(shù),y看作自變量)(2)求導之后得到一個關于y'的一次方程,解此方程,便得y'的表達式.當然,在此表達式內(nèi)可能會含有y,這沒關系,讓它保留在式子中就可以了.

【例7】設xy+ex+ey-e=0,求y'.

解對xy+ex+ey-e=0兩邊關于x求導得:y+x·y'+ex+ey·y'=0,所以(x+ey)·y'=-(y+ex),即2.3.3對數(shù)求導法在某些情況下,求顯函數(shù)的導數(shù)時會利用兩邊取自然對數(shù)的方法把它化為隱函數(shù)來求導,這種方法就是對數(shù)求導法.即先對函數(shù)y=f(x)的兩邊取自然對數(shù),然后用隱函數(shù)的求導法則求出y',最后換回顯函數(shù).對數(shù)求導法是一種較實用,也是一種比較重要的求導方法,下面通過一些具體的例子來介紹這種求導方法的基本思路和使用對象.這類函數(shù)的一般形式為y=u(x)v(x),其中u(x),v(x)都可導,我們稱其為冪指函數(shù),在我們前面所介紹的公式和法則中,還沒有這類函數(shù)的導數(shù),下面我們就來解決它.2.3.3對數(shù)求導法對于一般形式的冪指函數(shù)y=u(x)v(x),其中u(x),v(x)關于x都可導,且u(x)>0,我們的求導方法為“等式兩邊先取自然對數(shù),再關于x求導數(shù)”,用此法后,先得到lny=v(x)lnu(x),進一步有其實,冪指函數(shù)的導數(shù)結果稍加整理一下,便有:y'=u(x)v(x)·lnu(x)·v'(x)+v(x)·u(x)v(x)-1·u'(x)前一部分是把u(x)v(x)作為指數(shù)函數(shù)求導數(shù)得到的結果;后一部分是把u(x)v(x)作為冪函數(shù)求導數(shù)得到的結果,因此,可以這么說:冪指函數(shù)的導數(shù)等于冪函數(shù)的導數(shù)與指數(shù)函數(shù)的導數(shù)之和.對冪指函數(shù)求導,有時可以直接根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)以及復合函數(shù)的求導法則求導,無須轉化為隱函數(shù).對y=xsinx有另一種簡便的解法,因為y=xsinx=(elnx)sinx=esinxlnx,所以它是由y=eu,u=sinxlnx復合而成的,故2.3.3對數(shù)求導法2.3.4參數(shù)式方程所確定的函數(shù)的導數(shù)我們知道,一般情況下參數(shù)式方程確定了y是x的函數(shù).在實際問題中,有時需要我們求方程(2-3)所確定的函數(shù)y對x的導數(shù).但從方程(2-3)中消去參數(shù)t有時會很困難,因此我們要找一種直接由方程(2-3)來求導數(shù)的方法.假設方程(2-3)所確定的函數(shù)是y=F(x),那么函數(shù)y=f(t)可以看成是由y=F(x)和x=φ(t)復合而成的,即y=f(t)=F(φ(t)).假定y=F(x)和x=φ(t)都可導,且于是根據(jù)復合函數(shù)的求導法則,就有2.3.4參數(shù)式方程所確定的函數(shù)的導數(shù)

【例13】已知圓的參數(shù)式方程為2.4變化率問題2.4變化率問題

工程師想要知道放射性元素的質(zhì)量隨時間變化的速率,醫(yī)師想要知道藥的劑量的變化怎樣影響人體對藥物的響應,經(jīng)濟學家想研究生產(chǎn)鋼的成本怎樣隨所生產(chǎn)鋼的噸數(shù)而變化.這些問題都是變化率問題,都可歸結為導數(shù).由導數(shù)定義知,f(x)關于x的瞬時變化率就是導數(shù).【例3】(曲柄連桿擺動的角速度)曲柄連桿機構,如圖2-4所示,當曲柄OC繞點O以等角速度ω旋轉時,求連桿BC繞滑塊B擺動的角速度.2.5微分2.5.1微分的概念【引例1】一邊長為x的正方形金屬薄片,受熱后邊長增加Δx,問其面積增加多少?

分析由已知可得受熱前的面積S=x2,那么,受熱后面積的增量是:ΔS=(x+Δx)2-x2=2xΔx+Δx2從幾何圖形(圖2-7)上,可以看出,面積的增量可分為兩個部分,一是兩個矩形的面積總和2xΔx(陰影部分),它是Δx的線性部分;二是右上角的正方形的面積Δx2,它是Δx的高階無窮小部分.這樣一來,當Δx非常微小的時候,面積增量的主要部分就是2xΔx,而Δx2可以忽略不計,也就是說,可以用2xΔx來代替面積的增量.從函數(shù)的角度來說,函數(shù)S=x2具有這樣的特征:任給自變量一個增量Δx,相應函數(shù)值的增量Δy可表示成關于Δx的線性部分(即2xΔx)與高階無窮小部分[即（Δx）2]的和.人們把這種特征從具體意義中抽象出來,再賦予它一個數(shù)學名詞———可微,從而產(chǎn)生了微分的概念.2.5.1微分的概念定義2-6設函數(shù)y=f(x)在點x0的某鄰域U(x0,δ)內(nèi)有定義,任給x0一個增量Δx(x0+Δx∈U(x0,δ)),得到相應函數(shù)值的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0),如果存在常數(shù)A,使得Δy=A·Δx+o(Δx),其中o(Δx)是比Δx高階的無窮小.那么稱函數(shù)y=f(x)在點x0處是可微的,稱A·Δx為y=f(x)在點x0處的微分.記作:dy

A·Δx通常稱為Δy=A·Δx+o(Δx)的線性主要部分.“線性”是因為A·Δx是Δx的一次函數(shù),“主要”是因為另一項o(Δx)是比Δx更高階的無窮小,在等式中它幾乎不起作用,而A·Δx在等式中起主要作用.

解決了微分的概念之后,接下來就要解決如何求微分的問題了.我們已經(jīng)知道了關系式2.5.1微分的概念定理2-6函數(shù)f(x)在點x0處可微的充要條件是:函數(shù)f(x)在點x0處可導,并且Δy=AΔx+o(Δx)中的A與f'(x0)相等.

證明〔必要性〕因為f(x)在點x0處可微,由定義2-6可知,存在常數(shù)A,使得:Δy=A·Δx+o(Δx).等式兩邊同時除以Δx得:再令Δx→0,取極限得:f'(x0)所以f(x)在點x0處可導且f'(x0)=A.〔充分性〕因為f(x)在點x0處可導,所以所以Δy=f'(x0)·Δx+a·Δx=f'(x0)·Δx+o(Δx).其中f'(x0)是與Δx無關的常數(shù),o(Δx)是比Δx高階的無窮小,由定義2-6可知,函數(shù)f(x)在點x0處可微.定理2-6說明一個事實:函數(shù)f(x)在點x0處可導和可微是等價的.函數(shù)y=f(x)在點x0處的微分可表示為:2.5.1微分的概念

若函數(shù)y=f(x)在定義域中任意點x處可微,則稱函數(shù)f(x)是可微函數(shù),它在x處的微分記作:dy或df(x).即dy=f'(x)·Δx.為了便于討論,在數(shù)學上有一個約定:自變量x的增量等于自變量的微分,即Δx=dx.因此函數(shù)y=f(x)的微分通常記為:dy=f'(x)dx.(2-4)注意到導數(shù)的一種表示符號為現(xiàn)在,函數(shù)的導數(shù)可以賦予一種新的解釋:導數(shù)就是函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx的商.因此,導數(shù)也叫作微商.【例1】求y=x3在x=1,Δx=0.01處的微分,并求相應的函數(shù)值的增量Δy.2.5.2微分的幾何意義

如圖2-8所示,設曲線方程為y=f(x),PT是曲線上點P(x,y)處的切線,且設PT的傾斜角為α,則tanα=f'(x).在曲線上取一點Q(x+Δx,y+Δy),則PM=Δx,MQ=Δy,MN=PM·tanα,所以MN=Δx·f'(x)=dy,因此函數(shù)的微分dy=f'(x)·Δx是:當x改變了Δx時,曲線過點P的切線縱坐標的改變量,這就是微分的幾何意義.2.5.3微分的運算法則

從微分與導數(shù)的關系dy=f'(x)dx可知,只要求出y=f(x)的導數(shù)f'(x),即可以求出y=f(x)的微分dy=f'(x)dx.由此我們可得到下列微分的基本公式和微分的運算法則:

1.基本初等函數(shù)的微分公式(1)dC=0;(3)d(ax)=axlnadx;(7)dsinx=cosxdx;(9)dtanx=sec2xdx;(11)dsecx=secxtanxdx;(2)dxα=αxα-1dx;(4)dex=exdx;(8)dcosx=-sinxdx;(10)dcotx=-csc2xdx;(12)dcscx=-cscxcotxdx;2.5.3微分的運算法則

2.函數(shù)四則運算的微分法則若u=u(x),v=v(x)可微,則(1)d(u±v)=du±dv;(3)d(uv)=vdu+udv;(2)d(Cu)=Cdu;

3.微分形式不變性設y=f(u),u=φ(x)都可微,則復合函數(shù)y=f[φ(x)]的微分為:dy={f[φ(x)]}'dx=f'(u)φ'(x)dx=f'(u)du.上式與式(2-4)在形式上是一樣的,可見不論u是自變量還是中間變量,函數(shù)y=f(u)的微分總保持同一形式,這個性質(zhì)稱為微分形式不變性.這一性質(zhì)在復合函數(shù)求微分時非常有用.2.5.3微分的運算法則

【例3】設y=x3lnx+exsinx,求dy.

解dy=d(x3lnx)+d(exsinx)=lnx·d(x3)+x3·d(lnx)+sinx·d(ex)+ex·d(sinx)=3x2lnxdx+x2dx+exsinxdx+excosxdx=[x2(3lnx+1)+ex(sinx+cosx)]dx.

【例4】設函數(shù)y=lnsin(ex+1),求dy2.5.4微分在近似計算中的應用在實際問題中,經(jīng)常會遇到一些復雜的計算,下面我們利用微分來近似,它可以使計算簡便.由前面的討論知道,當Δx很小時,函數(shù)y=f(x)在點x0處的改變量Δy可以用函數(shù)的微分dy來近似,即Δy=f(x0+Δx)-f(x0)≈f'(x0)Δx=dy,(2-5)于是得近似計算公式:f(x0+Δx)≈f(x0)+f'(x0)Δx(當|Δx|很小時),(2-6)以上結果在近似計算中被廣泛地應用,公式(2-5)常用來近似計算函數(shù)y=f(x)在點x0附近函數(shù)值的改變量,公式(2-6)常用來近似計算函數(shù)y=f(x)在點x0附近的點的函數(shù)值.如果在式(2-6)中令x0=0,有f(x)≈f0+f'(0)x,(2-7)由式(2-7)可推出工程上常用的幾個近似公式(設|x|很小):2.5.4微分在近似計算中的應用

【例8】某家有一機械掛鐘,鐘擺的周期為1秒.在冬季,擺長縮短了0.01厘米,這只掛鐘每天大約快多少時間?3.1微分中值定理3.2洛必達法則3.4函數(shù)的極值與最值3.5曲線的凹凸性及拐點3.3函數(shù)的單調(diào)性3.6函數(shù)圖形的描繪3.7曲線的曲率知識目標理解羅爾(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)中值定理,了解柯西(Cauchy)中值定理;掌握函數(shù)極值的概念;掌握函數(shù)凹凸性及拐點的概念;掌握曲線漸近線的概念.能力目標

素質(zhì)目標具有辯證和歷史思維;具有探索與鉆研精神;具有精益求精的工匠精神.3.1微分中值定理

定理3-1(羅爾定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導,且f(a)=f(b),那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ∈(a,b),使得f'(ξ)=03.1.1羅爾定理

【例1】證明:方程5x4-4x+1=0在0與1之間至少有一個實根.

證明不難發(fā)現(xiàn)方程左端5x4-4x+1是函數(shù)f(x)=x5-2x2+x的導數(shù)f'(x)=5x4-4x+1.函數(shù)f(x)=x5-2x2+x在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導,且f(0)=f(1),由羅爾定理可知,在0與1之間至少有一點c,使得f'(c)=0,即方程5x4-4x+1=0在0與1之間至少有一個實根.3.1.2拉格朗日中值定理

定理3-2(拉格朗日中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導,那么至少存在一點ξ∈(a,b),使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a).結論也可寫成:拉格朗日公式精確地表達了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)某點處的導數(shù)之間的關系.設在點x處有一個增量Δx,得到點x+Δx,在以x和x+Δx為端點的區(qū)間上應用拉格朗日中值定理,有f(x+Δx)-f(x)=f'(x+θΔx)·Δx(0<θ<1)即Δy=f'(x+θΔx)·Δx.這準確地表達了Δy和Δx這兩個增量之間的關系,故該定理又稱為微分中值定理.

推論1如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)的導數(shù)恒為零,那么f(x)在I內(nèi)是一個常數(shù).3.1.2拉格朗日中值定理證明在I內(nèi)任取一點x0,然后再取一個異于x0的任一點x,在以x0,x為端點的區(qū)間J上,f(x)滿足:(1)連續(xù);(2)可導,從而在J內(nèi)存在一點ξ,使得f(x)-f(x0)=f'(ξ)(x-x0)又因為在I上,f'(x)≡0?f'(ξ)=0,所以f(x)-f(x0)=0?f(x)=f(x0).可見,f(x)在I上的每一點都有:f(x)=C.

推論2

如果f'(x)-g'(x)≡0,則f(x)≡g(x)+C(C為常數(shù)).證明令F(x)=f(x)-g(x),因為F'(x)=f'(x)-g'(x)≡0,則F(x)=f(x)-g(x)≡C,即f(x)≡g(x)+C.3.1.3柯西中值定理

定理3-3若f(x),F(x)滿足:在[a,b]上連續(xù);在(a,b)內(nèi)可導;F'(x)在(a,b)內(nèi)恒不為0;F(a)≠F(b);則在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ,使得3.2洛必達法則

洛必達法則1如果f(x),g(x)在點x0的某去心鄰域內(nèi)可導,g'(x)≠0,且滿足條件:

洛必達法則2

如果f(x),g(x)在點x0的某去心鄰域內(nèi)可導,g'(x)≠0,且滿足條件:

3.2.3“0·∞”“∞-∞”型未定式3.2.4“00”“∞0”“1∞”型未定式3.3函數(shù)的單調(diào)性3.3.1函數(shù)單調(diào)性判別法

定理3-4(函數(shù)單調(diào)性判別法)設函數(shù)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導.(1)如果在(a,b)內(nèi)有f'(x)>0,則f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加;(2)如果在(a,b)內(nèi)有f'(x)<0,則f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)減少.

證明只證(1)[(2)可類似證得]在[a,b]上任取兩點x1,x2(x1<x2),應用拉格朗日中值定理,得f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1)(x1<ξ<x2).由于x2-x1>0,因此,如果在(a,b)內(nèi)有f'(x)>0,那么也有f'(ξ)>0,于是f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1)>0,從而f(x1)<f(x2),因此函數(shù)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加.3.3.1函數(shù)單調(diào)性判別法

【例1】討論y=ex-x-1的單調(diào)性.

解因函數(shù)的定義域為(-∞,+∞),且y'=ex-1,在(-∞,0)內(nèi),y'<0,y=ex-x-1在(-∞,0)內(nèi)單調(diào)減少;在(0,+∞)內(nèi),y'>0,y=ex-x-1在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)增加.3.3.2單調(diào)區(qū)間求法

定義3-1若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的,則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.導數(shù)等于零的點和不可導點,可能是單調(diào)區(qū)間的分界點.用f'(x)=0及f'(x)不存在的點來劃分f(x)的定義區(qū)間,然后判斷區(qū)間內(nèi)導數(shù)的符號.就能保證f'(x)在各個部分區(qū)間內(nèi)保持固定的符號,因而函數(shù)f(x)在每個部分區(qū)間上單調(diào).3.3.2單調(diào)區(qū)間求法3.4函數(shù)的極值與最值3.4.1函數(shù)的極值及其求法1.函數(shù)極值的定義定義3-2設y=f(x)的在x0的某鄰域內(nèi)有定義,若對于該鄰域內(nèi)的任一點x(x≠x0),都有f(x)<f(x0)(f(x)>f(x0)),則稱f(x0)是f(x)的一個極大值(極小值),點x0是f(x)的一個極大值點(極小值點).極大值、極小值統(tǒng)稱為極值,極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點.如圖3-7所示,x1,x3,x5是函數(shù)y=f(x)的極小值點,x2,x4是y=f(x)的極大值點.

應當指出函數(shù)的極值是一個局部概念,它只代表與極值點鄰近的點的函數(shù)值相比是較大或較小,而不意味著在整個區(qū)間是最大或最小值.有時極大值比極小值還要小,如圖3-7所示,x5處的函數(shù)值f(x5)比x2處的函數(shù)值f(x2)還要大.3.4.1函數(shù)的極值及其求法2.極值的判定與求法定理3-5(極值存在的必要條件)f(x)在點x0可導,且在x0取得極值,則f'(x0)=0.通常把f'(x0)=0的點,即導數(shù)為零的點稱為駐點.

定理3-6(第一充分條件)設f(x)在點x0處連續(xù),在x0的某一鄰域內(nèi)可導.(1)如果當x<x0時,f'(x)>0;而當x>x0時,f'(x)<0,則f(x)在x0處取得極大值.(2)如果當x<x0時,f'(x)<0;而當x>x0時,f'(x)>0,則f(x)在x0處取得極小值.(3)如果在x0的左右兩側,f'(x)符號相同,則f(x)在x0處無極值.

定理3-7(第二充分條件)設f(x)在點x0處具有二階導數(shù),且f'(x0)=0,f″(x0)≠0,則(1)當f″(x0)<0時,f(x)在點x0處取得極大值;(2)當f″(x0)>0時,f(x)在點x0處取得極小值.3.4.1函數(shù)的極值及其求法【例1】求函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x+5的極值.

解(1)f(x)的定義域為(-∞,+∞);(2)f'(x)=3x2-6x-9;(3)令f'(x)=0,得駐點x1=-1,x2=3;(4)列表3-2討論:3.4.2函數(shù)的最大值與最小值

對于一個閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)f(x),它的最大值與最小值只能在極值點和端點處取得,因此,只要求出所有的極值及端點值,它們之中最大的就是最大值,最小的就是最小值.求函數(shù)最大(小)值的步驟:(1)求駐點和不可導點;(2)求區(qū)間端點及駐點和不可導點的函數(shù)值,比較大小,最大者就是最大值,最小者就是最小值.3.4.2函數(shù)的最大值與最小值【例3】求函數(shù)y=2x3+3x2-12x+14在[-3,4]上的最大值與最小值.

解令f'(x)=6(x+2)(x-1)=0,得駐點x1=-2,x2=1.f(-3)=23,f(-2)=34,f(1)=7,f(4)=142,比較得最大值為f(4)=142,最小值為f(1)=7.

特別值得指出的是:若f(x)在一個區(qū)間(有限或無限,開或閉)內(nèi)可導且只有一個駐點x0,并且這個駐點x0是函數(shù)f(x)的極值點,那么,當f(x0)是極大值時,f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最大值(圖3-8);當f(x0)是極小值時,f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最小值(圖3-9).3.5曲線的凹凸性及拐點3.5.1凹凸性的概念

如圖3-12所示,曲線弧是向上彎曲的,曲線位于切線的上方;如圖3-13所示,曲線弧是向下彎曲的,曲線位于切線的下方.

關于曲線的彎曲方向,給出如下定義:

定義3-3在某一區(qū)間內(nèi)如果曲線弧總是位于其任一點切線的上方,則稱這條曲線弧在該區(qū)間內(nèi)是凹的;如果曲線弧總是位于其任一點切線的下方,則稱這條曲線弧在該區(qū)間內(nèi)是凸的.3.5.2凹凸性的判別法定理3-8設函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)具有二階導數(shù).(1)如果在(a,b)內(nèi),f″(x)>0,那么曲線在(a,b)內(nèi)是凹的;(2)如果在(a,b)內(nèi),f″(x)<0,那么曲線在(a,b)內(nèi)是凸的.【例1】判斷曲線y=x3的凹凸性.

解因為y'=3x2,y″=6x,所以當x∈(-∞,0)時,y″<0,此時曲線是凸的;當x∈(0,+∞)時,y″>0,此時曲線是凹的.定義3-4連續(xù)曲線y=f(x)上凹的曲線弧與凸的曲線弧的分界點,稱為曲線y=f(x)的拐點.【例3】曲線y=x4是否有拐點?

解y'=4x3,y″=12x2.當x≠0時,y″>0,在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)曲線是凹的,因此曲線無拐點.3.6函數(shù)圖形的描繪3.6.1漸近線

如果曲線上的一點沿著曲線趨于無窮遠時,該點與某條直線l的距離趨于零,則稱直線l為該曲線的一條漸近線.用極限定義如下:

1.豎直漸近線(垂直于x軸的漸近線)2.水平漸近線3.6.1漸近線3.6.2函數(shù)圖像的描繪利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖像,其步驟為:1.確定函數(shù)f(x)的定義域,對函數(shù)進行奇偶性、周期性等性態(tài)的討論;2.求出函數(shù)一階導數(shù)f'(x)和二階導數(shù)f″(x),求出方程f'(x)=0和f″(x)=0在函數(shù)定義域內(nèi)的全部實根,用這些根和函數(shù)的間斷點或導數(shù)不存在的點把函數(shù)的定義域分為若干個子區(qū)間,列表確定函數(shù)在各子區(qū)間上的單調(diào)性、凹凸性、函數(shù)的極值點、曲線的拐點;3.確定函數(shù)圖像的漸近線;4.有時根據(jù)需要,要補充一些輔助點;5.根據(jù)上述討論,在直角坐標平面上畫出漸近線,標出曲線上的極值點、拐點,以及所補充的輔助點,再依曲線的單調(diào)性、凹凸性,將這些點用光滑的曲線連接起來.3.6.2函數(shù)圖像的描繪

【例3】畫出函數(shù)y=x3-x2-x+1的圖形.

3.6.2函數(shù)圖像的描繪3.7曲線的曲率3.7.1曲率的概念3.7.2曲率計算公式【例1】求半徑為R的圓的曲率.解用定義來做,因為圓每個點的曲率是一樣的,所以平均曲率為在該點的曲率,我們?nèi)≌麍A,對應的弧長為2πR,所轉過的角為2π,所以3.7.2曲率計算公式

【例2】計算雙曲線xy=1在點(1,1)處的曲率.3.7.3曲率圓與曲率半徑

4.1不定積分的概念和性質(zhì)4.2積分的基本公式和法則4.4分部積分法4.5積分表的使用4.3換元積分法知識目標理解原函數(shù)和不定積分的概念;熟悉不定積分的相關性質(zhì);熟記不定積分的基本公式.能力目標熟練掌握不定積分的三種基本解法:直接積分法,換元法和分部積分法;會利用積分表求解不定積分.素質(zhì)目標幫助學生克服困境,樹立遠大理想;具有精益求精的工匠精神;具有批判與懷疑精神、創(chuàng)造和創(chuàng)新精神、實踐和探索精神.4.1不定積分的概念和性質(zhì)

【引例1】(自由落體)已知真空中的自由落體在任意時刻t的運動速度為v=v(t)=gt,其中g是常量,表示重力加速度,又知當時間t=0時,位移s=0,求該自由落體的運動規(guī)律.4.1.1原函數(shù)與不定積分的概念

分析由物理知識我們知道,物體運動的位移s=s(t)對時間t的導數(shù),就是這一物體的速度v=v(t),即s'(t)=v(t),現(xiàn)在我們要解決相反的問題,即已知物體的速度函數(shù)v(t),如何求位移函數(shù)s=s(t)?

定義4-1設函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(a,b)上的已知函數(shù),如果存在一個函數(shù)F(x),使得對于該區(qū)間上的每一個點都滿足F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,則稱函數(shù)F(x)是f(x)在該區(qū)間上的一個原函數(shù).4.1.1原函數(shù)與不定積分的概念

定理4-1如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有原函數(shù)F(x),則F(x)+C(C為任意常數(shù))也是f(x)在I上的原函數(shù),且f(x)的任一原函數(shù)均可表示成F(x)+C的形式.4.1.1原函數(shù)與不定積分的概念

證明定理的前一部分結論是顯然的,事實上F(x)+C'=f(x).現(xiàn)只證后一部分結論.設G(x)是f(x)在區(qū)間I上的任一個原函數(shù),令φ(x)=G(x)-F(x),則φ'(x)=G'(x)-F'(x).

由于G'(x)=f(x),F'(x)=f(x),從而在I上恒有φ'(x)=0,得φ(x)=C(C為任意常數(shù)),即G(x)=F(x)+C.這就是說,只要找到f(x)的一個原函數(shù),那么它的全體原函數(shù)均能找到.

定義4-2若F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù),那么表達式F(x)+C(C為任意常數(shù))稱為f(x)在I上的不定積分,記為∫f(x)dx,即∫f(x)dx=F(x)+C,其中,x稱為積分變量,f(x)稱為被積函數(shù),f(x)dx稱為被積表達式,C為任意常數(shù)∫,稱為積分號.4.1.1原函數(shù)與不定積分的概念

【例1】求∫2xdx.

解由于x2'=2x,所以x2是2x的一個原函數(shù).因此∫2xdx=x2+C.4.1.2不定積分的性質(zhì)

性質(zhì)1

求不定積分與求導數(shù)(或微分)互為逆運算.(∫f(x)dx)'=f(x),d(∫f(x)dx)=f(x)dx

(4-1)∫f'(x)dx=f(x)+C,∫df(x)=f(x)+C

(4-2)也就是說,不定積分的導數(shù)(或微分)等于被積函數(shù)(或被積表達式),如(∫sinxdx)'=(-cosx+C)'=sinx.對一個函數(shù)的導數(shù)(或微分)求不定積分,其結果與此函數(shù)僅相差一個積分常數(shù).如∫d(sinx)=∫cosxdx=sinx+C.4.1.2不定積分的性質(zhì)

性質(zhì)2

不為零的常數(shù)因子可以提到積分號之前,即∫kf(x)dx=k∫f(x)dx(常數(shù)k≠0).

(4-3)如∫2exdx=2∫exdx=2ex+C.

性質(zhì)3

兩個函數(shù)代數(shù)和的不定積分等于它們不定積分的代數(shù)和,即∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx.

(4-4)如∫（3x2+ex

）dx=∫3x2dx+∫exdx=x3+ex+C.式(4-4)可以推廣到任意有限多個函數(shù)的代數(shù)和的情形,即∫[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx=∫f1(x)dx±∫f2(x)dx±…±∫fn(x)dx.

(4-5)4.2積分的基本公式和法則4.2積分的基本公式和法則4.2積分的基本公式和法則

4.2積分的基本公式和法則類似地,可以推導出其他基本積分公式,如下所示.4.2積分的基本公式和法則4.3換元積分法4.3.1第一類換元積分法(湊微分法)

【引例3】(質(zhì)子速度)一質(zhì)子運動(圖4-3)的加速度a(t)=-10(1+2t)-1(單位:m/s2).如果質(zhì)子的初始速度為0,即v(0)=0m/s,求時刻t質(zhì)子的運動速度函數(shù)v(t).

分析由物理知識可知,速度關于時間的導數(shù)就是加速度,即v'(t)=a(t).則質(zhì)子的速度函數(shù)可表示為4.3.1第一類換元積分法(湊微分法)4.3.1第一類換元積分法(湊微分法)

定理4-2(第一類換元積分法)

若∫f(u)du=F(u)+C,且u=φ(x)有連續(xù)導數(shù),則∫f[φ(x)]φ'(x)dx=F[φ(x)]+C第一類換元積分法也叫湊微分法,用更具體的式子來表示就是4.3.1第一類換元積分法(湊微分法)

【例1】

求∫(3x+1)4dx.4.3.2第二類換元積分法4.3.2第二類換元積分法4.3.2第二類換元積分法定理4-3(第二類