《近世代數(shù)》課程教學(xué)大綱

《近世代數(shù)》課程教學(xué)大綱一、大綱說明課程名稱:近世代數(shù)課程名稱（英文）：ModernAlgebra適用專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)課程性質(zhì)：限選總學(xué)時(shí)：64，其中理論課學(xué)時(shí):60，實(shí)驗(yàn)課學(xué)時(shí):4學(xué)分：4先修課程：高等代數(shù).二、本課程的地位、性質(zhì)和任務(wù)

近世代數(shù)課程是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門專業(yè)限選課，是一門現(xiàn)代數(shù)學(xué)課，是數(shù)學(xué)專業(yè)較抽象的一門課程。本課程主要講現(xiàn)代代數(shù)學(xué)的研究對(duì)象、研究方法。它的內(nèi)容包括三個(gè)基本的代數(shù)結(jié)構(gòu)：群、環(huán)、域。它不僅是一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課,

也是學(xué)習(xí)代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何、代數(shù)拓?fù)涞然A(chǔ)數(shù)學(xué)課程及計(jì)算代數(shù)、編碼等應(yīng)用數(shù)學(xué)課程所必需的一門基礎(chǔ)課。它的基本概念、理論和方法不僅在數(shù)學(xué)中占有及其重要的地位，而且在其它學(xué)科中也有廣泛的應(yīng)用，如理論物理、結(jié)構(gòu)化學(xué)、計(jì)算機(jī)等學(xué)科。其研究的方法和觀點(diǎn)，對(duì)其他學(xué)科有很大的影響。通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生較好地掌握近世代數(shù)的基本內(nèi)容、理論和方法，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的基本思想和方法的理解，增強(qiáng)學(xué)生的抽象思維、邏輯推理能力，培養(yǎng)學(xué)生能利用代數(shù)學(xué)的理論知識(shí)對(duì)實(shí)際問題構(gòu)建代數(shù)模型，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力。近世代數(shù)是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)一門必修的專業(yè)基礎(chǔ)課，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)之一。通過本課的學(xué)習(xí)，能夠使學(xué)生掌握群、環(huán)、域的基礎(chǔ)知識(shí)，深刻理解和體會(huì)公化這一現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想方法，同時(shí)掌握代數(shù)的一些基本方法：集合、運(yùn)算、運(yùn)算性質(zhì)，特殊元素，特殊子對(duì)象，商對(duì)象，同態(tài)同構(gòu)，為學(xué)生的進(jìn)一步學(xué)習(xí)提供理論基礎(chǔ)和方法保證，加深對(duì)中等數(shù)學(xué)中代數(shù)體系的理解。本課程的學(xué)習(xí)需要一定集合論和高等代數(shù)的基礎(chǔ)，對(duì)數(shù)論、組合論、離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有一定的幫助。三、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)要求基本概念

第一節(jié)集合1、教學(xué)目的和要求

理解集合的概念，了解元素與集合之間的關(guān)系、集合的相等、集合的運(yùn)算等。2、教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)

集合的概念，集合的運(yùn)算、相等。3、重點(diǎn)和難點(diǎn)

集合相等的證明。

第二節(jié)映射(1課時(shí))

教學(xué)目的和要求

理解映射的概念，掌握如何驗(yàn)證映射相等。

教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)

映射的基本概念。

重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：映射的基本知識(shí)。

難點(diǎn)：映射相等。

代數(shù)運(yùn)算

教學(xué)目的和要求

掌握代數(shù)運(yùn)算的概念以及它與映射的關(guān)系，掌握有限集合的運(yùn)算表。

教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)

代數(shù)運(yùn)算的概念，運(yùn)算表。

重點(diǎn)和難點(diǎn)

代數(shù)運(yùn)算的概念。

結(jié)合律

教學(xué)目的和要求

掌握結(jié)合律的定義，結(jié)合次序。

第五節(jié)交換律

教學(xué)目的和要求

理解交換律的定義。

第六節(jié)分配律

教學(xué)目的和要求

理解分配律的定義，左右分配律。

教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)

分配律的定義。一一映射、變換

教學(xué)目的和要求

掌握滿射、單射、一一映射、變換、單射變換、滿射變換及一一變換的的概念以及驗(yàn)證的方法。

教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)

單射，滿射，一一映射，變換。

重點(diǎn)和難點(diǎn)

驗(yàn)證單射、滿射。

同態(tài)

教學(xué)目的和要求

掌握同態(tài)映射、同態(tài)滿射的概念，理解同態(tài)在研究問題中的意義和作用。

教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)

同態(tài)滿射。

重點(diǎn)和難點(diǎn)

同態(tài)的概念。

同構(gòu)、自同構(gòu)

教學(xué)目的和要求

掌握同構(gòu)、自同構(gòu)的概念，理解同構(gòu)的意義，能區(qū)分同態(tài)與同構(gòu)的差別，理解兩個(gè)具有同構(gòu)關(guān)系的集合之間的關(guān)系，并能判定給定的映射和運(yùn)算是否是同構(gòu)關(guān)系，能建立兩個(gè)集合之間的同構(gòu)映射。

教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)

同構(gòu)映射。

等價(jià)關(guān)系與集合的分類

教學(xué)目的和要求

掌握關(guān)系、等價(jià)關(guān)系、分類、全體代表團(tuán)、剩余類等概念，理解等價(jià)關(guān)系與集合分類之間的關(guān)系、等價(jià)類的意義。

教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)

等價(jià)關(guān)系，等價(jià)類的性質(zhì)。

重點(diǎn)和難點(diǎn)

等價(jià)類，全體代表團(tuán)。第二章群論

群的定義

教學(xué)目的和要求

了解群的第一、第二定義，并掌握兩者之間的等價(jià)轉(zhuǎn)換，理解左、右單位元，左、右逆元的意義，掌握有限群、無限群、群的階和交換群的概念，并會(huì)驗(yàn)證一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)是否為群。

教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)

群的定義，群的基本概念。

重點(diǎn)和難點(diǎn)

群的概念，如何驗(yàn)證一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)是群。

單位元、逆元、消去律

教學(xué)目的和要求

掌握單位元、逆元的存在性和唯一性，了解消去律的定義，能熟練掌握群中元素的階的概念，會(huì)計(jì)算群中元素的階。

教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)

單位元，逆元，元素的階。

重點(diǎn)和難點(diǎn)

元素的階。

有限群的另一定義

1、教學(xué)目的和要求

掌握有限群的定義，并會(huì)應(yīng)用它。2、教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)

有限群的定義

群的同態(tài)

教學(xué)目的和要求

掌握群同態(tài)、群同構(gòu)的概念，掌握和一個(gè)群同態(tài)的集合也成群的證明，掌握群同態(tài)的有關(guān)性質(zhì)，并能證明在同態(tài)滿射下，單位元的象也是單位元，元a的逆元的象是a的象的逆元。

教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)

群的同態(tài)，群同態(tài)的性質(zhì)。

重點(diǎn)和難點(diǎn)

群同態(tài)的性質(zhì)。

變換群

教學(xué)目的和要求

熟練掌握變換符號(hào)的運(yùn)用和變換的乘法，能證明可以成群的變換只包含一一變換，且單位元一定是恒等變換。了解變換群的定義和性質(zhì)。掌握任何一個(gè)群都同一個(gè)變換群同構(gòu)的定理的證明并理解。

教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)

變換群，凱萊定理。

重點(diǎn)和難點(diǎn)

凱萊定理。

置換群

教學(xué)目的和要求

理解置換與置換群的定義與性質(zhì)，掌握每一個(gè)n元置換都可以寫成若干個(gè)互相沒有共同數(shù)字的（不相連）的循環(huán)置換的乘積的證明與運(yùn)用。理解有限群與置換群的之間的關(guān)系。

教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)

置換群。

重點(diǎn)和難點(diǎn)

置換的乘法，置換的性質(zhì)。

循環(huán)群

教學(xué)目的和要求

掌握循環(huán)群的定義和性質(zhì)，熟練掌握剩余類加群，并能證明任一循環(huán)群可以與整數(shù)加群或模為n的剩余類加群同構(gòu)。以及與循環(huán)群同態(tài)的群的性質(zhì)。

教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)

循環(huán)群，生成元，模n的剩余類加群。

重點(diǎn)和難點(diǎn)

循環(huán)群的結(jié)構(gòu)

子群

教學(xué)目的和要求

了解子群的定義，掌握群的子集成群的充分而且必要的條件與判定定理，并能掌握找出已知群的子群的一般方法，了解群與子群中的單位元與逆元的關(guān)系，以及子群與子群之間的關(guān)系。

教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)

子群的概念，子群判別定理。

重點(diǎn)和難點(diǎn)

驗(yàn)證子群的方法。

子群的陪集

教學(xué)目的和要求

掌握陪集的定義，以及與等價(jià)關(guān)系和分類之間的關(guān)系，了解子群與陪集之間的映射關(guān)系，并能證明有限群的階能被元的階整除的定理，以及階為素?cái)?shù)的群一定為循環(huán)群的證明。

教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)

子群的陪集，lagrange定理。

重點(diǎn)和難點(diǎn)Lagrange定理，陪集。

不變子群、商群

教學(xué)目的和要求

了解不變子群的定義，能掌握一個(gè)群的子群是不變子群的充分必要條件的定理，理解商群的定義。

教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)

不變子群的概念，驗(yàn)證不變子群的方法。

重點(diǎn)和難點(diǎn)

驗(yàn)證不變子群的方法，商群。

同態(tài)與不變子群

教學(xué)目的和要求

能證明一個(gè)群同它的每一個(gè)商群同態(tài)的定理，了解核的定義，掌握兩個(gè)具有同態(tài)關(guān)系的群之間子群或不變子群的象的性質(zhì)。并能將子群或不變子群的性質(zhì)運(yùn)用到循環(huán)群、變換群等中。

教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)

同態(tài)基本定理，群同態(tài)的性質(zhì)。

重點(diǎn)和難點(diǎn)

同態(tài)基本定理的理解，同態(tài)的兩個(gè)群的子群和不變子群之間的關(guān)系。環(huán)和域

加群、環(huán)的定義

教學(xué)目的和要求

掌握加群的定義，熟悉環(huán)的定義、環(huán)中的運(yùn)算規(guī)則。

教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)

加群的定義，環(huán)的定義，環(huán)中的運(yùn)算。

重點(diǎn)和難點(diǎn)

加群、環(huán)上的運(yùn)算。

交換律、單位元、零因子、整環(huán)

教學(xué)目的和要求

理解交換環(huán)的定義，熟悉單位元、逆元和零因子的性質(zhì)并能熟練運(yùn)用，掌握消去律與零因子之間的關(guān)系。

教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)

單位元，逆元，零因子，剩余類環(huán)。

重點(diǎn)和難點(diǎn)

環(huán)有無零因子的判斷，剩余類環(huán)。

除環(huán)、域

教學(xué)目的和要求

掌握除環(huán)、域的定義，理解環(huán)、交換環(huán)、有單位元環(huán)、無零因子環(huán)、整環(huán)、除環(huán)、域的之間的關(guān)系，掌握四元數(shù)除環(huán)。

教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)

環(huán)的類型。

重點(diǎn)和難點(diǎn)

域、四元數(shù)除環(huán)。

無零因子環(huán)的特征

教學(xué)目的和要求

熟悉無零因子環(huán)中的計(jì)算規(guī)則，掌握無零因子環(huán)的特征的性質(zhì)、。

教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)

特征，有限域。

重點(diǎn)和難點(diǎn)

無零因子環(huán)的特征的性質(zhì)。

子環(huán)、環(huán)的同態(tài)

教學(xué)目的和要求

理解子環(huán)、子除環(huán)的定義，并能寫出子整環(huán)、子域的概念，熟悉除環(huán)的子集作成子除環(huán)的條件，了解同態(tài)、同構(gòu)環(huán)之間的性質(zhì)，并對(duì)環(huán)、除環(huán)的中心有一定的了解。

教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)

子環(huán)，環(huán)的同態(tài)，挖補(bǔ)定理。

重點(diǎn)和難點(diǎn)

環(huán)的同態(tài)，挖補(bǔ)定理。

多項(xiàng)式環(huán)

教學(xué)目的和要求

掌握多項(xiàng)式環(huán)的定義，熟悉多項(xiàng)式環(huán)中的未定元、次數(shù)以及系數(shù)、無關(guān)未定元的概念，理解含么交換環(huán)必有未定元存在。

教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)

多項(xiàng)式環(huán)的基本概念，環(huán)上的未定元。

重點(diǎn)和難點(diǎn)

含么交換環(huán)上必有未定元的證明。

理想

教學(xué)目的和要求

理解理想的概念，以及零理想、單位理想和主理想的構(gòu)成，能判斷一個(gè)環(huán)是否是理想子環(huán)，和理想子環(huán)是否為主理想子環(huán)。

教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)

理想，生成理想。3、重點(diǎn)和難點(diǎn)

理想、主理想的驗(yàn)證。

剩余類環(huán)、同態(tài)與理想

教學(xué)目的和要求

理解一個(gè)環(huán)的所有模的剩余類作成的集合也是環(huán)，且原來的環(huán)與它同態(tài)。了解在環(huán)的同態(tài)映射下的兩個(gè)環(huán)之間的關(guān)系、性質(zhì)，掌握環(huán)的同態(tài)基本定理。

教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)

剩余類環(huán)，環(huán)的同態(tài)基本定理。

重點(diǎn)和難點(diǎn)

對(duì)剩余類環(huán)、環(huán)同態(tài)基本定理的理解。

最大理想

教學(xué)目的和要求

理解什么是最大理想，由最大理想怎么構(gòu)造域。

教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)

最大理想，最大理想的作用。

重點(diǎn)和難點(diǎn)

驗(yàn)證一個(gè)理想是否為最大理想。

商域

教學(xué)目的和要求

掌握商域的概念和構(gòu)造、沒有零因子的交換環(huán)一定是一個(gè)域的子環(huán)，并掌握同構(gòu)的環(huán)的商域也同構(gòu)。

教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)

商域的概念，如何得到商域。

重點(diǎn)和難點(diǎn)

商域構(gòu)造的理解。整環(huán)里的因子分解

素元、唯一分解

教學(xué)目的和要求

掌握整除、單位、相伴元和平凡因子、真因子、素元的概念，以及掌握整環(huán)中不等于零的元有真因子的充分而且必要的條件，掌握唯一分解的定義，了解整環(huán)中的元是否都有唯一分解。

教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)

素元，因子，唯一分解。

重點(diǎn)和難點(diǎn)

唯一分解概念的理解。

唯一分解環(huán)

教學(xué)目的和要求

知道唯一分解環(huán)的定義和性質(zhì)，以及公因子、最大公因子的概念和定理，了解互素的概念。理解判別唯一分解環(huán)的方法。

教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)

唯一分解環(huán)的概念和性質(zhì)，唯一分解環(huán)的判別方法。

重點(diǎn)和難點(diǎn)

唯一分解環(huán)的判別。

主理想環(huán)

教學(xué)目的和要求

理解主理想環(huán)的概念和引理，能證明主理想環(huán)是唯一分解環(huán)。

教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)

主理想環(huán)的性質(zhì)結(jié)論。

重點(diǎn)和難點(diǎn)

理想升鏈，主理想環(huán)是唯一分解環(huán)的證明。

歐氏環(huán)

教學(xué)目的和要求

了解歐氏環(huán)的定義，理解歐氏環(huán)是主理想環(huán)、唯一分解環(huán)的證明，并能證明域一定是一個(gè)歐氏環(huán)。

教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)

歐氏環(huán)的定義，歐氏算法，主理想環(huán)、歐氏環(huán)、唯一分解環(huán)之間的關(guān)系。

重點(diǎn)和難點(diǎn)

歐氏算法的理解，歐氏環(huán)的驗(yàn)證。

多項(xiàng)式環(huán)的因子分解

教學(xué)目的和要求

知道本原多項(xiàng)式的定義，理解本原多項(xiàng)式的性質(zhì)，和本原多項(xiàng)式的唯一分解性，并對(duì)唯一分解環(huán)有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。

教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)

本原多項(xiàng)式，本原多項(xiàng)式的性質(zhì)，系數(shù)為唯一分解環(huán)的多項(xiàng)式環(huán)為唯一分解環(huán)。

重點(diǎn)和難點(diǎn)

有關(guān)本原多項(xiàng)式的結(jié)論，系數(shù)為唯一分解環(huán)的多項(xiàng)式環(huán)為唯一分解環(huán)。

因子分解與多項(xiàng)式的根

教學(xué)目的和要求

了解多項(xiàng)式的根和性質(zhì)，掌握重根和導(dǎo)數(shù)的定理和推論。

教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)

多項(xiàng)式的根、重根及判別法。四、課程特色

該課程在教材、教學(xué)方法和教學(xué)手段等方面都具有非常鮮明的特色。其一，針對(duì)學(xué)院的特點(diǎn)，本課程以講授為主，由于該課程較抽象，在教學(xué)中要注重多舉例子、多講習(xí)題、多加思考；注重對(duì)教材內(nèi)容中各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的理解。其二，根據(jù)教學(xué)實(shí)踐的需要和學(xué)院學(xué)生的實(shí)際情況，運(yùn)用現(xiàn)代化教學(xué)手段，制作了大批用于配合教學(xué)的多媒體課件和網(wǎng)絡(luò)教學(xué)課件，建立起近世代數(shù)課程網(wǎng)站。其三，注重對(duì)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法與教學(xué)手段的改革，認(rèn)真總結(jié)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，不斷提高教師自身的教學(xué)水平和理論知識(shí)。其四，突出教材內(nèi)容所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想、方法，加強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力；注重對(duì)學(xué)生證明技巧、證明思路的訓(xùn)練；增加以學(xué)生為主體的啟發(fā)式、討論式教學(xué)方法；讓學(xué)生多加練習(xí)、多加思考，提出問題，體現(xiàn)了學(xué)院培養(yǎng)創(chuàng)新性應(yīng)用型人才的特點(diǎn)。其五，課程師資隊(duì)伍建設(shè)成效顯著，作為數(shù)學(xué)類必修課的精品課程《近世代數(shù)》，從課程建設(shè)的一開始，我們就注重教師隊(duì)伍的建設(shè)，注重人員素質(zhì)的綜合提高，使教師隊(duì)伍在年齡、知識(shí)、學(xué)歷與職稱等方面結(jié)構(gòu)合理。本課程非常注重對(duì)青年教師的培養(yǎng)。線性代數(shù)目前的教學(xué)力量很強(qiáng)，除有主講教授、副教授數(shù)

外，也有數(shù)名剛從學(xué)校畢業(yè)不久的青年教師。為了提高課程教學(xué)的整體水平，他們還做了大量傳、幫、帶工作。除組織青年教師聽老教師講課以外，每年還要舉行多次的交流探討活動(dòng)，組織他們參與教材、課件的編寫制作，使他們盡快提高水平，學(xué)會(huì)低起點(diǎn)、有坡度、有水平的教學(xué)方法，努力提高教學(xué)效果。五、學(xué)時(shí)分配

第一章節(jié)目錄課時(shí)分配

第一章基本概念第一節(jié)集合0.58第二節(jié)映射0.5第七節(jié)一一映射、變換1第三節(jié)代數(shù)運(yùn)算0.5第四節(jié)結(jié)合律0.5第五節(jié)交換律0.5第六節(jié)分配律0.5第八節(jié)同態(tài)1第九節(jié)

同構(gòu)、自同構(gòu)1第十節(jié)

等價(jià)關(guān)系與集合的分類2

第二章群論第一節(jié)群的定義120第二節(jié)單位元、逆元、消去律1第三節(jié)有限群的另一定義1第四節(jié)群的同態(tài)1第五節(jié)變換群2第六節(jié)置換群2第七節(jié)循環(huán)群2第八節(jié)子群2第九節(jié)

子群的陪集2第十節(jié)

不變子群、商群2第十一節(jié)同態(tài)與不變子群2習(xí)題課2

第三章環(huán)與域第一節(jié)加群、環(huán)的定義118第二節(jié)交換律、單位元、零因子、整環(huán)2第三節(jié)除環(huán)、域1第四節(jié)無零因子環(huán)的特征2第五節(jié)子環(huán)、環(huán)的同態(tài)2第六節(jié)多項(xiàng)式環(huán)2第七節(jié)理想2第八節(jié)剩余類環(huán)、同態(tài)與理想1第九節(jié)

最大的理想2第十節(jié)

商域1習(xí)題課2

第四章整環(huán)里的因子分解第一節(jié)素元、唯一分解214第二節(jié)唯一分解環(huán)2第三節(jié)主理想環(huán)2第四節(jié)歐氏環(huán)2第五節(jié)多項(xiàng)式環(huán)的因子分解2第六節(jié)因子分解與多項(xiàng)式的根2習(xí)題課2

總課時(shí)數(shù)60六、教材及相關(guān)教學(xué)網(wǎng)站推薦教材：張禾瑞.近世代數(shù)基礎(chǔ).北京:高教出版社,2000.參考文獻(xiàn)：[1]劉紹學(xué).近世代數(shù)基礎(chǔ).北京:高教出版社,2001.[2]吳品三.抽象代數(shù).北京:高教出版社,1984.[3]楊子胥.近世代數(shù).北京:高教出版社,2001.[4]韓士安,林磊.近世代數(shù).北京:科學(xué)出版社,2008.[5]樊輝,劉宏偉.抽象代數(shù).北京:科學(xué)出版社,2008.[6]聶靈沼,丁石孫.代數(shù)學(xué)引論.北京:高等教育出版社,1988.[7]T.W.Hungerford.Algebra.

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抽象代數(shù)基礎(chǔ)教程(