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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在中,,,,點(diǎn)滿足,則等于()A.10 B.9 C.8 D.72.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則這個(gè)幾何體的體積為()A. B.C. D.3.已知函數(shù),對(duì)任意的,,當(dāng)時(shí),,則下列判斷正確的是()A. B.函數(shù)在上遞增C.函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸是 D.函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是4.已知定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足(且),若,則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B. C. D.5.兩圓和相外切,且,則的最大值為()A. B.9 C. D.16.下列函數(shù)中,既是奇函數(shù),又是上的單調(diào)函數(shù)的是()A. B.C. D.7.某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計(jì)如圖所示,下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是().A.收入最高值與收入最低值的比是B.結(jié)余最高的月份是月份C.與月份的收入的變化率與至月份的收入的變化率相同D.前個(gè)月的平均收入為萬(wàn)元8.若復(fù)數(shù)滿足(是虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.9.設(shè)為定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),(為常數(shù)),則不等式的解集為()A. B. C. D.10.已知是虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.11.已知是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)()A. B. C.2 D.12.已知等差數(shù)列中,則()A.10 B.16 C.20 D.24二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè),滿足約束條件,則的最大值為_(kāi)_____.14.如圖所示,在直角梯形中,,、分別是、上的點(diǎn),,且(如圖①).將四邊形沿折起,連接、、(如圖②).在折起的過(guò)程中,則下列表述:①平面;②四點(diǎn)、、、可能共面;③若,則平面平面;④平面與平面可能垂直.其中正確的是__________.15.假如某人有壹元、貳元、伍元、拾元、貳拾元、伍拾元、壹佰元的紙幣各兩張,要支付貳佰壹拾玖(219)元的貨款,則有________種不同的支付方式.16.如圖,養(yǎng)殖公司欲在某湖邊依托互相垂直的湖岸線、圍成一個(gè)三角形養(yǎng)殖區(qū).為了便于管理,在線段之間有一觀察站點(diǎn),到直線,的距離分別為8百米、1百米,則觀察點(diǎn)到點(diǎn)、距離之和的最小值為_(kāi)_____________百米.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且(1)求數(shù)列{a(2)求數(shù)列{1Sn}的前18.(12分)某動(dòng)漫影視制作公司長(zhǎng)期堅(jiān)持文化自信,不斷挖掘中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的動(dòng)漫題材,創(chuàng)作出一批又一批的優(yōu)秀動(dòng)漫影視作品,獲得市場(chǎng)和廣大觀眾的一致好評(píng),同時(shí)也為公司贏得豐厚的利潤(rùn).該公司年至年的年利潤(rùn)關(guān)于年份代號(hào)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表(已知該公司的年利潤(rùn)與年份代號(hào)線性相關(guān)).年份年份代號(hào)年利潤(rùn)(單位:億元)(Ⅰ)求關(guān)于的線性回歸方程,并預(yù)測(cè)該公司年(年份代號(hào)記為)的年利潤(rùn);(Ⅱ)當(dāng)統(tǒng)計(jì)表中某年年利潤(rùn)的實(shí)際值大于由(Ⅰ)中線性回歸方程計(jì)算出該年利潤(rùn)的估計(jì)值時(shí),稱(chēng)該年為級(jí)利潤(rùn)年,否則稱(chēng)為級(jí)利潤(rùn)年.將(Ⅰ)中預(yù)測(cè)的該公司年的年利潤(rùn)視作該年利潤(rùn)的實(shí)際值,現(xiàn)從年至年這年中隨機(jī)抽取年,求恰有年為級(jí)利潤(rùn)年的概率.參考公式:,.19.(12分)設(shè)數(shù)列,其前項(xiàng)和,又單調(diào)遞增的等比數(shù)列,,.(Ⅰ)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)若,求數(shù)列的前n項(xiàng)和,并求證:.20.(12分)己知等差數(shù)列的公差,,且,,成等比數(shù)列.(1)求使不等式成立的最大自然數(shù)n;(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求證:.21.(12分)超級(jí)病菌是一種耐藥性細(xì)菌,產(chǎn)生超級(jí)細(xì)菌的主要原因是用于抵抗細(xì)菌侵蝕的藥物越來(lái)越多,但是由于濫用抗生素的現(xiàn)象不斷的發(fā)生,很多致病菌也對(duì)相應(yīng)的抗生素產(chǎn)生了耐藥性,更可怕的是,抗生素藥物對(duì)它起不到什么作用,病人會(huì)因?yàn)楦腥径鹂膳碌难装Y,高燒、痙攣、昏迷直到最后死亡.某藥物研究所為篩查某種超級(jí)細(xì)菌,需要檢驗(yàn)血液是否為陽(yáng)性,現(xiàn)有n()份血液樣本,每個(gè)樣本取到的可能性均等,有以下兩種檢驗(yàn)方式:(1)逐份檢驗(yàn),則需要檢驗(yàn)n次;(2)混合檢驗(yàn),將其中k(且)份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn),若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性,這k份的血液全為陰性,因而這k份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了,如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性,為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽(yáng)性,就要對(duì)這k份再逐份檢驗(yàn),此時(shí)這k份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為次,假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中,每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性都是獨(dú)立的,且每份樣本是陽(yáng)性結(jié)果的概率為p().(1)假設(shè)有5份血液樣本,其中只有2份樣本為陽(yáng)性,若采用逐份檢驗(yàn)方式,求恰好經(jīng)過(guò)2次檢驗(yàn)就能把陽(yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)的概率;(2)現(xiàn)取其中k(且)份血液樣本,記采用逐份檢驗(yàn)方式,樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為,采用混合檢驗(yàn)方式,樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為.(i)試運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí),若,試求p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式;(ii)若,采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)期望值更少,求k的最大值.參考數(shù)據(jù):,,,,22.(10分)如圖所示,三棱柱中,平面,點(diǎn),分別在線段,上,且,,是線段的中點(diǎn).(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)若,,,求直線與平面所成角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】
利用已知條件,表示出向量,然后求解向量的數(shù)量積.【詳解】在中,,,,點(diǎn)滿足,可得則==【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算,關(guān)鍵是利用基向量表示所求向量.2.B【解析】
還原幾何體可知原幾何體為半個(gè)圓柱和一個(gè)四棱錐組成的組合體,分別求解兩個(gè)部分的體積,加和得到結(jié)果.【詳解】由三視圖還原可知,原幾何體下半部分為半個(gè)圓柱,上半部分為一個(gè)四棱錐半個(gè)圓柱體積為:四棱錐體積為:原幾何體體積為:本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查三視圖的還原、組合體體積的求解問(wèn)題,關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確還原幾何體,從而分別求解各部分的體積.3.D【解析】
利用輔助角公式將正弦函數(shù)化簡(jiǎn),然后通過(guò)題目已知條件求出函數(shù)的周期,從而得到,即可求出解析式,然后利用函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.【詳解】,又,即,有且僅有滿足條件;又,則,,函數(shù),對(duì)于A,,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,由,解得,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,當(dāng)時(shí),,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,由,故D正確.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì),熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.4.D【解析】
根據(jù)函數(shù)的奇偶性用方程法求出的解析式,進(jìn)而求出,再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,即可求出結(jié)論.【詳解】依題意有,①,②①②得,又因?yàn)?,所以,在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查求函數(shù)的解析式、函數(shù)的性質(zhì),要熟記復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法,屬于中檔題.5.A【解析】
由兩圓相外切,得出,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì),即可得出答案.【詳解】因?yàn)閮蓤A和相外切所以,即當(dāng)時(shí),取最大值故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了由圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù),屬于中檔題.6.C【解析】
對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證即得答案.【詳解】對(duì)于,,是偶函數(shù),故選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于,,定義域?yàn)椋谏喜皇菃握{(diào)函數(shù),故選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;又時(shí),.綜上,對(duì),都有,是奇函數(shù).又時(shí),是開(kāi)口向上的拋物線,對(duì)稱(chēng)軸,在上單調(diào)遞增,是奇函數(shù),在上是單調(diào)遞增函數(shù),故選項(xiàng)正確;對(duì)于,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞增,但,在上不是單調(diào)函數(shù),故選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的基本性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.7.D【解析】由圖可知,收入最高值為萬(wàn)元,收入最低值為萬(wàn)元,其比是,故項(xiàng)正確;結(jié)余最高為月份,為,故項(xiàng)正確;至月份的收入的變化率為至月份的收入的變化率相同,故項(xiàng)正確;前個(gè)月的平均收入為萬(wàn)元,故項(xiàng)錯(cuò)誤.綜上,故選.8.B【解析】
利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡(jiǎn),由此求得.【詳解】依題意,所以.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.9.D【解析】
由可得,所以,由為定義在上的奇函數(shù)結(jié)合增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù),可知在上單調(diào)遞增,注意到,再利用函數(shù)單調(diào)性即可解決.【詳解】因?yàn)樵谏鲜瞧婧瘮?shù).所以,解得,所以當(dāng)時(shí),,且時(shí),單調(diào)遞增,所以在上單調(diào)遞增,因?yàn)?,故有,解?故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式,考查學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用能力,是一道中檔題.10.B【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則,直接計(jì)算,即可得出結(jié)果.【詳解】.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法,熟記運(yùn)算法則即可,屬于基礎(chǔ)題型.11.A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算求解即可.【詳解】.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.12.C【解析】
根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到,再計(jì)算得到答案.【詳解】已知等差數(shù)列中,故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),是數(shù)列的??碱}型.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.29【解析】
由約束條件作出可行域,化目標(biāo)函數(shù)為以原點(diǎn)為圓心的圓,數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解,聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo),代入目標(biāo)函數(shù)得答案.【詳解】由約束條件作出可行域如圖:聯(lián)立,解得,目標(biāo)函數(shù)是以原點(diǎn)為圓心,以為半徑的圓,由圖可知,此圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí),半徑最大,此時(shí)也最大,最大值為.所以本題答案為29.【點(diǎn)睛】線性規(guī)劃問(wèn)題,首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開(kāi)放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線,其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等,最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍.14.①③【解析】
連接、交于點(diǎn),取的中點(diǎn),證明四邊形為平行四邊形,可判斷命題①的正誤;利用線面平行的性質(zhì)定理和空間平行線的傳遞性可判斷命題②的正誤;連接,證明出,結(jié)合線面垂直和面面垂直的判定定理可判斷命題③的正誤;假設(shè)平面與平面垂直,利用面面垂直的性質(zhì)定理可判斷命題④的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于命題①,連接、交于點(diǎn),取的中點(diǎn)、,連接、,如下圖所示:則且,四邊形是矩形,且,為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),且,且,四邊形為平行四邊形,,即,平面,平面,平面,命題①正確;對(duì)于命題②,,平面,平面,平面,若四點(diǎn)、、、共面,則這四點(diǎn)可確定平面,則,平面平面,由線面平行的性質(zhì)定理可得,則,但四邊形為梯形且、為兩腰,與相交,矛盾.所以,命題②錯(cuò)誤;對(duì)于命題③,連接、,設(shè),則,在中,,,則為等腰直角三角形,且,,,且,由余弦定理得,,,又,,平面,平面,,,、為平面內(nèi)的兩條相交直線,所以,平面,平面,平面平面,命題③正確;對(duì)于命題④,假設(shè)平面與平面垂直,過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作,平面平面,平面平面,,平面,平面,平面,,,,,,,又,平面,平面,.,平面,平面,.,,顯然與不垂直,命題④錯(cuò)誤.故答案為:①③.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何綜合問(wèn)題,涉及線面平行、面面垂直的證明、以及點(diǎn)共面的判斷,考查推理能力,屬于中等題.15.1【解析】
按照個(gè)位上的9元的支付情況分類(lèi),三個(gè)數(shù)位上的錢(qián)數(shù)分步計(jì)算,相加即可.【詳解】9元的支付有兩種情況,或者,①當(dāng)9元采用方式支付時(shí),200元的支付方式為,或者或者共3種方式,10元的支付只能用1張10元,此時(shí)共有種支付方式;②當(dāng)9元采用方式支付時(shí):200元的支付方式為,或者或者共3種方式,10元的支付只能用1張10元,此時(shí)共有種支付方式;所以總的支付方式共有種.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查了分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理,屬于中檔題.做題時(shí)注意分類(lèi)做到不重不漏,分步做到步驟完整.16.【解析】
建系,將直線用方程表示出來(lái),再用參數(shù)表示出線段的長(zhǎng)度,最后利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求函數(shù)最小值.【詳解】以為原點(diǎn),所在直線分別作為軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則.設(shè)直線,即,則,所以,所以,,則,則,當(dāng)時(shí),,則單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,則單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),最短,此時(shí).故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)an=2n【解析】
(1)先設(shè)出數(shù)列的公差為d,結(jié)合題中條件,求出首項(xiàng)和公差,即可得出結(jié)果.(2)利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和.【詳解】解:(1)設(shè)公差為d的等差數(shù)列{an}且a1+a則有:a1解得:a1=3,所以:a(2)由于:an所以:Sn則:1S則:Tn=1【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn):數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用,裂項(xiàng)相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力,屬于基礎(chǔ)題型.18.(Ⅰ),該公司年年利潤(rùn)的預(yù)測(cè)值為億元;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)求出和的值,將表格中的數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式,求得和的值,進(jìn)而可求得關(guān)于的線性回歸方程,然后將代入回歸直線方程,可得出該公司年年利潤(rùn)的估計(jì)值;(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回歸直線方程計(jì)算出從年至年這年被評(píng)為級(jí)利潤(rùn)年的年數(shù),然后利用組合計(jì)數(shù)原理結(jié)合古典概型的概率可得出所求事件的概率.【詳解】(Ⅰ)根據(jù)表中數(shù)據(jù),計(jì)算可得,,,又,,,關(guān)于的線性回歸方程為.將代入回歸方程得(億元),該公司年的年利潤(rùn)的預(yù)測(cè)值為億元.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知年至年的年利潤(rùn)的估計(jì)值分別為、、、、、、、(單位:億元),其中實(shí)際利潤(rùn)大于相應(yīng)估計(jì)值的有年.故這年中被評(píng)為級(jí)利潤(rùn)年的有年,評(píng)為級(jí)利潤(rùn)年的有年.記“從年至年這年的年利潤(rùn)中隨機(jī)抽取年,恰有年為級(jí)利潤(rùn)年”的概率為,.【點(diǎn)睛】本題考查利用最小二乘法求回歸直線方程,同時(shí)也考查了古典概型概率的計(jì)算,涉及組合計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.19.(1),;(2)詳見(jiàn)解析.【解析】
(1)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),也滿足,∴,∵等比數(shù)列,∴,∴,又∵,∴或(舍去),∴;(2)由(1)可得:,∴,顯然數(shù)列是遞增數(shù)列,∴,即.)20.(1);(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)根據(jù),,成等比數(shù)列,有,結(jié)合公差,,求得通項(xiàng),再解不等式.(2)根據(jù)(1),用裂項(xiàng)相消法求和,然后研究其單調(diào)性即可.【詳解】(1)由題意,可知,即,∴.又,,∴,∴.∴,∴,故滿足題意的最大自然數(shù)為.(2),∴...從而當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,且,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,且,所以,由,知不等式成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的基本運(yùn)算和裂項(xiàng)相消法求和,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.21.(1)(2)(i)(,且).(ii)最大值為4.【解析】
(1)設(shè)恰好經(jīng)過(guò)2次檢驗(yàn)?zāi)馨殃?yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)為事件A,利用古典概型、
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