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文檔簡介
2025屆安徽省滁州市第三中學(xué)高三學(xué)業(yè)水平考試試題數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知向量,,當(dāng)時,()A. B. C. D.2.是虛數(shù)單位,則()A.1 B.2 C. D.3.運(yùn)行如圖所示的程序框圖,若輸出的值為300,則判斷框中可以填()A. B. C. D.4.若復(fù)數(shù),其中為虛數(shù)單位,則下列結(jié)論正確的是()A.的虛部為 B. C.的共軛復(fù)數(shù)為 D.為純虛數(shù)5.展開式中x2的系數(shù)為()A.-1280 B.4864 C.-4864 D.12806.已知展開式中第三項的二項式系數(shù)與第四項的二項式系數(shù)相等,,若,則的值為()A.1 B.-1 C.8l D.-817.已知函數(shù)()的最小值為0,則()A. B. C. D.8.已知函數(shù),滿足對任意的實數(shù),都有成立,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.9.2019年10月1日,為了慶祝中華人民共和國成立70周年,小明、小紅、小金三人以國慶為主題各自獨立完成一幅十字繡贈送給當(dāng)?shù)氐拇逦瘯?,這三幅十字繡分別命名為“鴻福齊天”、“國富民強(qiáng)”、“興國之路”,為了弄清“國富民強(qiáng)”這一作品是誰制作的,村支書對三人進(jìn)行了問話,得到回復(fù)如下:小明說:“鴻福齊天”是我制作的;小紅說:“國富民強(qiáng)”不是小明制作的,就是我制作的;小金說:“興國之路”不是我制作的,若三人的說法有且僅有一人是正確的,則“鴻福齊天”的制作者是()A.小明 B.小紅 C.小金 D.小金或小明10.已知不重合的平面和直線,則“”的充分不必要條件是()A.內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B.且C.且 D.內(nèi)的任何直線都與平行11.若為過橢圓中心的弦,為橢圓的焦點,則△面積的最大值為()A.20 B.30 C.50 D.6012.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點橫坐標(biāo)的和為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若奇函數(shù)滿足,為R上的單調(diào)函數(shù),對任意實數(shù)都有,當(dāng)時,,則________.14.如果函數(shù)(,且,)在區(qū)間上單調(diào)遞減,那么的最大值為__________.15.已知,則_____16.在直角坐標(biāo)系中,已知點和點,若點在的平分線上,且,則向量的坐標(biāo)為___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求不等式的解集;(2)若的解集包含,求的取值范圍.18.(12分)如圖,已知平面與直線均垂直于所在平面,且.(1)求證:平面;(2)若,求與平面所成角的正弦值.19.(12分)在新中國成立70周年國慶閱兵慶典中,眾多群眾在臉上貼著一顆紅心,以此表達(dá)對祖國的熱愛之情,在數(shù)學(xué)中,有多種方程都可以表示心型曲線,其中有著名的笛卡爾心型曲線,如圖,在直角坐標(biāo)系中,以原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線,其極坐標(biāo)方程為(),M為該曲線上的任意一點.(1)當(dāng)時,求M點的極坐標(biāo);(2)將射線OM繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)與該曲線相交于點N,求的最大值.20.(12分)設(shè)直線與拋物線交于兩點,與橢圓交于兩點,設(shè)直線(為坐標(biāo)原點)的斜率分別為,若.(1)證明:直線過定點,并求出該定點的坐標(biāo);(2)是否存在常數(shù),滿足?并說明理由.21.(12分)在四棱錐中,底面是平行四邊形,底面.(1)證明:;(2)求二面角的正弦值.22.(10分)過點P(-4,0)的動直線l與拋物線相交于D、E兩點,已知當(dāng)l的斜率為時,.(1)求拋物線C的方程;(2)設(shè)的中垂線在軸上的截距為,求的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】
根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算,求出,,即可求解.【詳解】,.故選:A.本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、誘導(dǎo)公式、二倍角公式、同角間的三角函數(shù)關(guān)系,屬于中檔題.2.C【解析】
由復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則求出,再由模長公式,即可求解.【詳解】由.故選:C.本題考查復(fù)數(shù)的除法和模,屬于基礎(chǔ)題.3.B【解析】
由,則輸出為300,即可得出判斷框的答案【詳解】由,則輸出的值為300,,故判斷框中應(yīng)填?故選:.本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題,解題時應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程,以便得出正確的結(jié)論,是基礎(chǔ)題.4.D【解析】
將復(fù)數(shù)整理為的形式,分別判斷四個選項即可得到結(jié)果.【詳解】的虛部為,錯誤;,錯誤;,錯誤;,為純虛數(shù),正確本題正確選項:本題考查復(fù)數(shù)的模長、實部與虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的分類的知識,屬于基礎(chǔ)題.5.A【解析】
根據(jù)二項式展開式的公式得到具體為:化簡求值即可.【詳解】根據(jù)二項式的展開式得到可以第一個括號里出項,第二個括號里出項,或者第一個括號里出,第二個括號里出,具體為:化簡得到-1280x2故得到答案為:A.求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略:(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第項,再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項,求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項,再由通項寫出第項,由特定項得出值,最后求出其參數(shù).6.B【解析】
根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì),可求得,再通過賦值求得以及結(jié)果即可.【詳解】因為展開式中第三項的二項式系數(shù)與第四項的二項式系數(shù)相等,故可得,令,故可得,又因為,令,則,解得令,則.故選:B.本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì),以及通過賦值法求系數(shù)之和,屬綜合基礎(chǔ)題.7.C【解析】
設(shè),計算可得,再結(jié)合圖像即可求出答案.【詳解】設(shè),則,則,由于函數(shù)的最小值為0,作出函數(shù)的大致圖像,結(jié)合圖像,,得,所以.故選:C本題主要考查了分段函數(shù)的圖像與性質(zhì),考查轉(zhuǎn)化思想,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.8.B【解析】
由題意可知函數(shù)為上為減函數(shù),可知函數(shù)為減函數(shù),且,由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意知函數(shù)是上的減函數(shù),于是有,解得,因此,實數(shù)的取值范圍是.故選:B.本題考查利用分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù),一般要分析每支函數(shù)的單調(diào)性,同時還要考慮分段點處函數(shù)值的大小關(guān)系,考查運(yùn)算求解能力,屬于中等題.9.B【解析】
將三個人制作的所有情況列舉出來,再一一論證.【詳解】依題意,三個人制作的所有情況如下所示:123456鴻福齊天小明小明小紅小紅小金小金國富民強(qiáng)小紅小金小金小明小紅小明興國之路小金小紅小明小金小明小紅若小明的說法正確,則均不滿足;若小紅的說法正確,則4滿足;若小金的說法正確,則3滿足.故“鴻福齊天”的制作者是小紅,故選:B.本題考查推理與證明,還考查推理論證能力以及分類討論思想,屬于基礎(chǔ)題.10.B【解析】
根據(jù)充分不必要條件和直線和平面,平面和平面的位置關(guān)系,依次判斷每個選項得到答案.【詳解】A.內(nèi)有無數(shù)條直線與平行,則相交或,排除;B.且,故,當(dāng),不能得到且,滿足;C.且,,則相交或,排除;D.內(nèi)的任何直線都與平行,故,若,則內(nèi)的任何直線都與平行,充要條件,排除.故選:.本題考查了充分不必要條件和直線和平面,平面和平面的位置關(guān)系,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.11.D【解析】
先設(shè)A點的坐標(biāo)為,根據(jù)對稱性可得,在表示出面積,由圖象遏制,當(dāng)點A在橢圓的頂點時,此時面積最大,再結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,即可求解.【詳解】由題意,設(shè)A點的坐標(biāo)為,根據(jù)對稱性可得,則的面積為,當(dāng)最大時,的面積最大,由圖象可知,當(dāng)點A在橢圓的上下頂點時,此時的面積最大,又由,可得橢圓的上下頂點坐標(biāo)為,所以的面積的最大值為.故選:D.本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單的幾何性質(zhì),以及三角形面積公式的應(yīng)用,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,以及化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.12.B【解析】
根據(jù)兩個函數(shù)相等,求出所有交點的橫坐標(biāo),然后求和即可.【詳解】令,有,所以或.又,所以或或或,所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點的橫坐標(biāo)的和,故選B.本題主要考查三角函數(shù)的圖象及給值求角,側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
根據(jù)可得,函數(shù)是以為周期的函數(shù),令,可求,從而可得,代入解析式即可求解.【詳解】令,則,由,則,所以,解得,所以,由時,,所以時,;由,所以,所以函數(shù)是以為周期的函數(shù),,又函數(shù)為奇函數(shù),所以.故答案為:本題主要考查了換元法求函數(shù)解析式、函數(shù)的奇偶性、周期性的應(yīng)用,屬于中檔題.14.18【解析】
根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),分一次函數(shù)和一元二次函數(shù)的對稱性和單調(diào)區(qū)間的關(guān)系建立不等式,利用基本不等式求解即可.【詳解】解:①當(dāng)時,,在區(qū)間上單調(diào)遞減,則,即,則.②當(dāng)時,,函數(shù)開口向上,對稱軸為,因為在區(qū)間上單調(diào)遞減,則,因為,則,整理得,又因為,則.所以即,所以當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.綜上所述,的最大值為18.故答案為:18本題主要考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性和均值不等式.利用均值不等式求解要注意”一定,二正,三相等”.15.【解析】
化簡得,利用周期即可求出答案.【詳解】解:,∴函數(shù)的最小正周期為6,∴,,故答案為:.本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】
點在的平分線可知與向量共線,利用線性運(yùn)算求解即可.【詳解】因為點在的平線上,所以存在使,而,可解得,所以,故答案為:本題主要考查了向量的線性運(yùn)算,利用向量的坐標(biāo)求向量的模,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2).【解析】
(1)對范圍分類整理得:,分類解不等式即可.(2)利用已知轉(zhuǎn)化為“當(dāng)時,”恒成立,利用絕對值不等式的性質(zhì)可得:,問題得解.【詳解】當(dāng)時,,當(dāng)時,由得,解得;當(dāng)時,無解;當(dāng)時,由得,解得,所以的解集為(2)的解集包含等價于在上恒成立,當(dāng)時,等價于恒成立,而,∴,故滿足條件的的取值范圍是本題主要考查了含絕對值不等式的解法,還考查了轉(zhuǎn)化能力及絕對值不等式的性質(zhì),考查計算能力,屬于中檔題.18.(1)見解析;(2)【解析】
(Ⅰ)證明:過點作于點,∵平面⊥平面,∴平面又∵⊥平面∴∥,又∵平面∴∥平面(Ⅱ)∵平面∴,又∵∴∴∴點是的中點,連結(jié),則∴平面∴∥,∴四邊形是矩形設(shè),得:,又∵,∴,從而,過作于點,則∴是與平面所成角∴,∴與平面所成角的正弦值為考點:面面垂直的性質(zhì)定理;線面平行的判定定理;線面垂直的性質(zhì)定理;直線與平面所成的角.點評:本題主要考查了線面平行的證明和直線與平面所成的角,屬立體幾何中的??碱}型,較難.本題也可以用向量法來做:用向量法解題的關(guān)鍵是;首先正確的建立空間直角坐標(biāo)系,正確求解平面的一個法向量.注意計算要仔細(xì)、認(rèn)真.≌19.(1)點M的極坐標(biāo)為或(2)【解析】
(1)令,由此求得的值,進(jìn)而求得點的極坐標(biāo).(2)設(shè)出兩點的極坐標(biāo),利用勾股定理求得的表達(dá)式,利用三角函數(shù)最值的求法,求得的最大值.【詳解】(1)設(shè)點M在極坐標(biāo)系中的坐標(biāo),由,得,∵∴或,所以點M的極坐標(biāo)為或(2)由題意可設(shè),.由,得,.故時,的最大值為.本小題主要考查極坐標(biāo)的求法,考查極坐標(biāo)下兩點間距離的計算以及距離最值的求法,屬于中檔題.20.(1)證明見解析(0,2);(2)存在,理由見解析【解析】
(1)設(shè)直線l的方程為y=kx+b代入拋物線的方程,利用OA⊥OB,求出b,即可知直線過定點(2)由斜率公式分別求出,,聯(lián)立直線與拋物線,橢圓,再由根與系數(shù)的關(guān)系得,,,代入,,化簡即可求解.【詳解】(1)證明:由題知,直線l的斜率存在且不過原點,故設(shè)由可得,.,,故所以直線l的方程為故直線l恒過定點.(2)由(1)知設(shè)由可得,,即存在常數(shù)滿足題意.本題主要考查了直線與拋物線、橢圓的位置關(guān)系,直線過定點問題,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.21.(1)見解析(2)【解析】
(1)利用正弦定理求得,由此得到,結(jié)合證得平面,由此證得.(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用平面和平面的法向量,計算出二面角的余弦值,再轉(zhuǎn)化為正弦值.【詳解】(1)在中,由正弦定理可得:,,底面,平面,;(2)以為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,,設(shè)平面的法向量為,由可得:,令,則,設(shè)平面的法向量為,由可得:,令,則,設(shè)二面角的平面角為,由圖可知為鈍角,則,,故二面角的正弦值為.本小題主要考查線線垂直的證明,考查空間向量法求二面角,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.22.;【解析】
根據(jù)題意,求出直線方程并與拋物線方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理,結(jié)合,
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