新教材蘇教版必修第二冊1 4 .4 用樣本估計總體

第14章統(tǒng)計

14.4用樣本估計總體

14.4.2用樣本估計總體的離散程度參數(shù)

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一極差、方差、標準差的計算

1.下列說法正確的是（）

A.在兩組數(shù)據(jù)中，平均值較大的一組方差較大

B.平均數(shù)反映數(shù)據(jù)的集中趨勢，方差則反映數(shù)據(jù)離平均值的波動大小

C.方差的求法是求出各個數(shù)據(jù)與平均值的差的平方后再求和

D.在記錄兩個人射擊環(huán)數(shù)的兩組數(shù)據(jù)中，方差大的表示射擊水平高

2.（2021江蘇省前黃高級中學高一期中）一個樣本數(shù)據(jù)如

下32,23,34,27,42,44,35,27,29,36,則該樣本的中位數(shù)、眾數(shù)和極差分別為

（）

,27,21.5,27,23

,27,23.5,27,21

3.（2021江蘇李集中學高一期中）已知某8個數(shù)的平均數(shù)為5,方差為s；現(xiàn)又加入一

個新數(shù)據(jù)5,此時這9個數(shù)的平均數(shù)為五方差為與，則（）

A.S2<2,%=5B.S2=2,%=5

C.s2>2,%<5D.S2<2,%<5

4.高鐵、掃碼支付、共享單車、網(wǎng)購并稱中國“新四大發(fā)明”，近日對全國100個城

市的共享單車和掃碼支付的使用人數(shù)進行大數(shù)據(jù)分析,每個城市中共享單車使用的

人數(shù)分別為馬慫照,…,為。。,它們的平均數(shù)為五方差為4每個城市中掃碼支付使用的

人數(shù)分別為2荀+3,2蒞+3,2旗+3,…,2芯。。+3,它們的平均數(shù)為方差為人，則/聲〃分

別為（深度解析）

I+3.2/+3%,2s

X+3,4S2+3X+3,4S

5.（2021江蘇濱海中學高一月考）2020年年初，新冠肺炎疫情襲擊全國，口罩成為重

要的抗疫物資.為了確保口罩供應，某工廠口罩生產(chǎn)線高速運轉(zhuǎn),工人加班加點生產(chǎn).

設(shè)該工廠連續(xù)5天生產(chǎn)的口罩數(shù)依次為荀,嗎否,苞田（單位:十萬只），若這組數(shù)據(jù)的方

差為1.44,且在，筠，蟾，媚,好的平均數(shù)為4,則該工廠這5天平均每天生產(chǎn)口罩

十萬只.

題組二極差、方差、標準差的簡單應用

6.在某次考試中，要對甲、乙兩名同學的學習成績進行比較,甲同學的平均分歹田=76,

甲

方差s2=4,乙同學的平均分元7=77,方差s2=10,則同學的平均成績好，

甲乙乙

同學的各科發(fā)展均衡.

7.從甲、乙兩種棉荏黃牛查拙」（懣逝量即跑桃置僵便喇如下表：

甲25414037221419392142

乙27164427441640401640

⑴哪種棉花苗長得高一些？

（2）哪種棉花苗長得整齊一些？

8.（2021江蘇泰興中學高一期中）某校醫(yī)務室隨機抽查了高一10位男同學的體重

（單位:kg）如下74,71,72,68,76,73,67,70,65,74.

⑴估計高一所有男同學體重的平均數(shù)、中位數(shù)、方差、標準差；

⑵在高一10位男同學的體重中，位于區(qū)-s*+s］內(nèi)的有幾個?所占的百分比是多少？

能力提升練

題組一極差、方差、標準差的計算

1.（2020江蘇六合高級中學高一期末在一個容量為5的樣本5,7,8,■，■中（數(shù)

據(jù)均為正整數(shù)），已算出其平均數(shù)為8,但墨水污損了后面兩個數(shù)據(jù)，其中一個數(shù)據(jù)的

十位數(shù)字為1,那么這組數(shù)據(jù)的方差52可能的最大值是（）

2.（2020重慶沙坪壩高一期中，嫡）某工藝品廠要制作一批鼠年迎春徽章，每一個經(jīng)

檢驗合格的徽章售出后能產(chǎn)生4元錢的純利潤.統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，每個工人每天制作的合

格品個數(shù)的平均值為300,方差為25,那么每個工人每天能為工廠貢獻的純利潤的

標準差為（）

3.（多選）（2021江蘇啟東中學高一月考,*7）在發(fā)生公共衛(wèi)生事件期間,有專業(yè)機構(gòu)認

為該事件在一段時間內(nèi)沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標志為“連續(xù)10天，每天新增疑

似病例不超過7人”.過去io日,從艮a〃四地新增疑似病例數(shù)據(jù)信息如下,則一

定符合沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染標志的是（）

AJ地:中位數(shù)為2,極差為5

B.￡地:總體平均數(shù)為2,眾數(shù)為2

C.C地:總體平均數(shù)為1,總體方差大于0

D.〃地:總體平均數(shù)為2,總體方差為3

4.（2021江蘇北郊高級中學高一期中,母）某市有15個旅游景點，經(jīng)計算潢金周期間

各個景點的旅游人數(shù)平均為20萬，標準差為s,后來經(jīng)核實，發(fā)現(xiàn)甲、乙兩處景點統(tǒng)

計的人數(shù)有誤，甲景點實際為20萬，被誤統(tǒng)計為15萬,乙景點實際為18萬,被誤統(tǒng)

計成23萬，更正后重新計算彳導到標準差為則s與s的大小關(guān)系為（）

A.s-S\B.s（si

C.s>sD.不能確定

（-x=3

5.（2020江蘇沛縣第一中學學情檢測,*）已知函數(shù)?幻=卜；’若關(guān)于x的

日，%H3,

方程/（幻=網(wǎng)/GR）恰有3個不同的實數(shù)根藥,劉,條,則數(shù)據(jù)芯,豆,豆的標準差

為.

6.（2020江蘇南京燕子磯中學階段測試,"）已知數(shù)據(jù)荀,劉,瑪…，荀。的平均數(shù)為6,標

準差為何，則數(shù)據(jù)荀,蒞,…,泰的平均數(shù)的取值范圍是.

題組二樣本數(shù)字特征的綜合應用

7.（2020江蘇張家港外國語學校高一階段測試，箱）PM2.5是衡量空氣質(zhì)量的重要指

標.如圖是某地9月1日到10日的PM2.5日均值（單位:口g/m）的折線圖，則下列說

法錯誤的是（）

PM2.5日均值/"g/m3)

128

A.這10天中PM2.5日均值的眾數(shù)為33ug/m3

B.這10天中PM2.5日均值的中位數(shù)是32Hg/m3

C.這10天中PM2.5日均值的中位數(shù)大于平均數(shù)

D.這10天中PM2.5日均值前4天的方差大于后4天的方差

8.（2020江蘇徐州第一中學高一階段測試,封）甲、乙、丙三名同學在一項集訓中的

40次測試分數(shù)都在［50,100］內(nèi),將他們的測試分數(shù)分別繪制成頻率直方圖，如圖所示,

記甲、乙、丙的分數(shù)標準差分別為see,則它們的大小關(guān)系為（）

甲

A.Si>S2>S3B.si>s3>s2

C.S3>S1>S2D.S3>S2>Sl

9.（2020甘肅西北師大附中高三月考,箱）某種治療新型冠狀病毒肺炎的復方中藥產(chǎn)

品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標值衡量，質(zhì)量指標值越大表明質(zhì)量越好,為了提高產(chǎn)品質(zhì)量，

我國醫(yī)療科研專家攻堅克難，新研發(fā)出力、￡兩種新配方，從兩種新配方生產(chǎn)的產(chǎn)品

中隨機抽取數(shù)量相同的樣本，測量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標值，規(guī)定指標值小于85時為

廢品指標值在［85,115）內(nèi)為一等品，大于H5為特等品.現(xiàn)把測量數(shù)據(jù)整理如下，其

中￡配方的廢品有6件.

1配方的頻數(shù)分布表

質(zhì)量指標

[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125]

值分組

頻數(shù)8(336248

8配方的頻率直方圖

⑴求的值；

（2）試確定Z配方和￡配方哪一種好.（說明:在統(tǒng)計圖中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間

的中點值作為代表）

10.（2021江蘇無錫第一中學高一期中,*）某玻璃工藝品加工廠有2條生產(chǎn)線用于

生產(chǎn)某款產(chǎn)品，每條生產(chǎn)線一天能生產(chǎn)200件該產(chǎn)品，該產(chǎn)品市場評級規(guī)定:評分在

10分及以上的為A等品，低于10分的為￡等品.廠家將A等品售價定為2000元/

件,￡等品售價定為1200兀/件.

下面是檢驗員對現(xiàn)有生產(chǎn)線上隨機抽取的16件產(chǎn)品的評分：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

16116116

經(jīng)計算得完二1Z區(qū)=9.97,/=^￡（兄-?2=f%?-%2=0.045,其中茍為抽取的第［'件

16t=i16i=i'16i=i1

產(chǎn)品的評分"=1,2,…,16.

該廠計劃通過增加生產(chǎn)工序來改進生產(chǎn)工藝，已知對一條生產(chǎn)線增加生產(chǎn)工序每年

需花費1500萬元,改進后該條生產(chǎn)線產(chǎn)能不變，但生產(chǎn)出的每件產(chǎn)品評分均提高

0.05.已知該廠現(xiàn)有一筆1500萬元的資金.

⑴若廠家用這1500萬元改進一條生產(chǎn)線，根據(jù)隨機抽取的16件產(chǎn)品的評分：

①估計改進后該生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中力等品所占的比例；

②估計改進后該廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品評分的平均數(shù)和方差；

（2）某金融機構(gòu)向該廠推銷一款年收益率為8.2瞰理財產(chǎn)品,請你利用所學知識分

析，將這1500萬元用于購買該款理財產(chǎn)品所獲得的收益，與通過改進一條生產(chǎn)線使

產(chǎn)品評分提高所增加的收益相對比，一年后哪種方案的收益更大？（一年按365天計

算）

答案全解全析

第14章統(tǒng)計

14.4用樣本估計總體

14.4.2用樣本估計總體的離散程度參數(shù)

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.B選項A中,平均值的大小與方差的大小無必然聯(lián)系;選項C中，求和后還需除以

數(shù)據(jù)的個數(shù);選項D中，方差越大,成績越不穩(wěn)定，水平越低;易知選項B正確.

2.A將這些數(shù)由小到大排列為23,27,27,29,32,34,35,36,42,44,

所以眾數(shù)為27,中位數(shù)為三=33,極差為44-23=21.

故選A.

3.B根據(jù)題意彳導連容=5,號至鏟，解得/=2.

故選B.

4.D由題意得土'=21+3a'2=2七=452.

解題模板

若一組數(shù)據(jù)鳥慫…區(qū)的平均數(shù)為反方差為s；則數(shù)據(jù)。為+6,3+6,...,叫+6的平均

數(shù)為a彳+6,方差為烈.

5.答案1.6

解析由題意可得全當出=4,

則x：+/+亭M+卷=20,

設(shè)該工廠這5天平均每天生產(chǎn)口罩為土十萬只，

固（巧-元）2+（冷氣）2+…+（%5一元）2一144

(芯-可一+(蒞-￥)~+…+(照-土)2=(君+/+…+姥)-2±(xi+蒞+...+羔)+51"=l.44X5=7.2,艮|120_

10x+5x=7.2,

解得聲1.6(負值舍去).故答案為1.6.

6.答案乙;甲

解析3代表平均水平，因為舞＜功,所以乙同學的平均成績好.s'表示相對于平均成

績的集中與分散、穩(wěn)定與波動的大小,因為端＜s)所以甲同學的各科發(fā)展均衡.

7.解析設(shè)甲種棉花苗株高的平均數(shù)為土甲，方差為乙種棉花苗株高的平均數(shù)為是,

方差為

(1)土甲=/X(25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)=30(cm),

^z=_LX(27+16+44+27+44+16+40+40+16+40)=31(cm),

金心乙,..乙種棉花苗長得高一些.

???1?

TCJ

2222222

(2)S^=^X[(25-30)+(41-30)+(40-30)+(37-30)+(22-30)+(14-30)+(19-30)+(39-

30)2+(21-30)2+(42-30)2],

^=JlX[(27-31)2+(16-31)2+(44-31)2+(27-31)2+(44-31)2+(16-31)2+(40-31)2+(40-

31)2+(16-31)2+(40-31)2]=128.8,

?s甲＜s乙，

...甲種棉花苗長得整齊一些.

8.解析(1)這10位男同學體重的平均數(shù)

x=iX(74+71+72+68+76+73+67+70+65+74)=71(kg).

將這10位男同學的體重從小到大重新排列為65,67,68,70,71,72,73,74,74,76,位于

正中間的兩個數(shù)是71,72,

所以這10位男同學體重的中位數(shù)為早=71.5(kg),這10位男同學體重的方差

22222222

S=±X[(74-71)+(71-71)+(72-71)+(68-71)+(76-71)+(73-71)+(67-71)+(70-

71)2+(65-71)2+(74-71)2]=ll(kg2),

標準差衿序=VH(kg).

(2)由(1)知，氏一sm+s]=[71-VH,71+VH],

所以在高一10位男同學的體重中，有7位男同學的體重位于區(qū)間[71-舊,71+洞內(nèi),

所占的百分比為70%.

能力提升練

1.C設(shè)這組數(shù)據(jù)的最后2個數(shù)分別是10+M0WK9,x￡N),y,

則5+7+8+10+廣戶8X5,

得x+尸10,故尸10-X.

s=i[9+l+0+(2+%)2+(2-^)2]

4(2/+18),

當A=9時,s?最大，最大值為36.

2.B設(shè)每個工人每天制作的合格品個數(shù)為-<^1■jXn,則裝工1+應：…+如=300,

1

?二（％1-元）+（%2-元）---h（%nW）=

每個工人每天制作的合格品利潤(單位:元)為4科4在,…,4羽則利潤的平均數(shù)

X'=4%1+%+…+4%=4千1200,

方差s

（4X1一4元）+（4X24X）+…+（4xn-4x）

(打一土)？+(必一五)2"|---)"(%n-M)

二16X25=400,故s=777=V400=20.

3.AD選項A中,因為4地中位數(shù)為2,極差為5,所以最大值不會大于2+5=7,滿足每

天新增疑似病例不超過7人，故A符合；

選項B中，若￡地過去10日新增疑似病例分別為0,0,0,2,2,2,2,2,2,8,則滿足總體平

均數(shù)為2,眾數(shù)為2,但不滿足每天新增疑似病例不超過7人，故B不符合；

選項C中,若C地過去10日新增疑似病例分別為0,0,0,0,0。0,0,1,9,則滿足總體平

均數(shù)為1,總體方差大于0,但不滿足每天新增疑似病例不超過7人，故C不符合.

選項D中,假設(shè)至少有一天新增疑似病例超過7人，不妨設(shè)為8人，則方差大于

得X(8-2)2=3.6〉3,與題設(shè)矛盾,故假設(shè)不成立，故D符合.

故選AD.

4.C記除甲、乙兩處景點外的其余13個景點的旅游人數(shù)分別為曲羽,….兩次

統(tǒng)計所得的旅游總?cè)藬?shù)沒有變，即兩次統(tǒng)計的各個景點旅游人數(shù)的平均數(shù)是相同的,

2222

設(shè)為1，貝US=[(15-x)+(23-x)+(x3-x)++(x15-x)],

2222

[(.20-x)+(18-X)+(X3-X)+---+(X15-X)],

若比較s與SI的大小，只需比較(15-才+(23-才與(20-才+(18-才的大小即可，而(15-

'『+(23—MP—(20—土)2—(18—土y=30>0,所以s>a.

故選C.

5.答案V6

解析如圖所示，作出函數(shù)4止①的圖象和直線尸械加GR).

?關(guān)于云的方程("eR)恰有3個不同的實數(shù)根荀,也,正,不妨設(shè)X1<X2<X3.

...只有當爐取寸，兩個函數(shù)的圖象才有3個不同的交點,...劉二?.

令々三,解得戶0或A=6,

||3

??毛二0,石一6.

...為,如田的平均數(shù)為審=3.

數(shù)據(jù)劉,劉,劉的方差為gX［（0-3）2+（3-3）2+（6-3）>6.

數(shù)據(jù)X1,涇，吊的標準差為遙.

6.答案［6-2V5.6+2V5］

解析由9（苞-6）2+（劉-6）'+…+（芯（）-6）］=20,

得/+年+…+4（）-12（荀+蒞+...+xu））+360=200,即吊+,+…+xjo=56O,

設(shè)￡i,&,…,吊的平均數(shù)為名涇,為,…，荀。的平均數(shù)為6,則b=\2-a,

結(jié)合方差的定義得（荀-靖+（劉-4+…+（爸-apeo,

展開得君+/+...+蛙-2a（石+通+…+%）+5才20,

即4+/+...+卷-2a?5a+5a2>0,

即…+城N5a;

同理兄+*+…+4o2562=5（12-a）；

所以4+君+…+425a'+5（12-a）,艮|156025才+5（12-a）；艮|1才一12&+16?0,解得6-2Vs

WaW6+2新,故數(shù)據(jù)為,至,…,羔的平均數(shù)的取值范圍為［6-2芯,6+26］.

7.C由題圖可知,眾數(shù)為33ug/m：中位數(shù)為32口g/m;故A,B中說法正確;因為受極

端值128ug/n?的影響，所以平均數(shù)應大于中位數(shù)，故C中說法錯誤;因為前4天曲

線比后4天曲線波動大，所以前4天的方差大于后4天的方差，故D中說法正確.

8.B根據(jù)題中的三個頻率直方圖知，甲數(shù)據(jù)的兩端數(shù)字較多,絕大部分數(shù)字都處在

兩端，數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)遠，最分散,其方差最大；

乙數(shù)據(jù)絕大部分數(shù)字都在平均數(shù)左右，數(shù)據(jù)最集中，其方差最??；

丙數(shù)據(jù)是單峰的,每一個小矩形的差別比較小，數(shù)字分布均勻,數(shù)據(jù)不如甲偏離平均

數(shù)大，方差比甲數(shù)據(jù)的方差小,比乙數(shù)據(jù)的方差大.

綜上可知S1>S3>S2.

9.解析⑴依題意，知配方樣本容量相同，設(shè)為億￡配方的廢品有6件，由￡配

方的頻率直方圖彳導廢品的頻率為：=0.006X10,

解得77=100,

.3100-(8+36+24+8)=24.

由(0.006+加0.038+0.022+0.008)X10=1,得b=0.026,

因此,a的值為24力的值為0.026.

⑵由⑴及A配方的頻數(shù)分布表得A配方質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)

--80x8+90x24+100x36+110x24+120x8

支4100

=100(件)，

質(zhì)量指標值的樣本方差

s：=擊X[(-20)2X8+(-10)2X24+0X36+102X24+202X8]=112(件2),

由￡配方的頻率直方圖得

￡配方質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)

右=80X0.06+90X0.26+100X0.38+110X0.22+120X0.08=100(件),

質(zhì)量指標值的樣本方差

4=(-20)2X0.06+(-10)2X0.26+02X0.38+102X0.22+202X0.08=104(件2),

,XA~XB<SA^S^

兩種配方質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)相等，但A配方質(zhì)量指標值的穩(wěn)定性比￡差,

，選擇￡配方比較好.

10.解析(1)①改進后，隨機抽取的16件產(chǎn)品的評分依次變?yōu)?/p>

10.0010.1710.0110.0110.069.9710.0310.09

10.319.9610.1810.079.2710.0910.1010.00

其中,2等品共有13個，

所以估計改進后該生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)