2012高考數(shù)學(xué)常用公式及結(jié)論

PAGEPAGE27高考數(shù)學(xué)常用公式及結(jié)論1.元素與集合的關(guān)系,.2.德摩根公式.3.包含關(guān)系4.容斥原理.5．集合的子集個(gè)；真子集有–1個(gè)；非空子集有–1個(gè)；非空真子集有–2個(gè).6.二次函數(shù)的解析式的三種形式(1)一般式;(2)頂點(diǎn)式;(3)兩點(diǎn)式.7.解不等式①含有絕對值的不等式當(dāng)a>0時(shí)，有.或②分式不等式和絕對值不等式（1），（2）④簡單的高次不等式――數(shù)軸標(biāo)根法步驟：（1）化為標(biāo)準(zhǔn)型：各因式x的系數(shù)和指數(shù)為1。（2）在數(shù)軸上標(biāo)出根，（3）連線：按從右到左，從上到下順序，重根時(shí)“奇穿偶彎”（4）寫出解集⑤指數(shù)不等式與對數(shù)不等式(1)當(dāng)時(shí),;.(2)當(dāng)時(shí),;10.一元二次方程的實(shí)根分布設(shè)，則（1）方程在區(qū)間內(nèi)有根的充要條件為或；（2）方程在區(qū)間內(nèi)有根的充要條件為或（3）方程在一根大于m，一根小于m(即)的充要條件為（4）方程的兩根在區(qū)間內(nèi)的充要條件為（5）方程的兩根有且僅有一個(gè)在區(qū)間內(nèi)的充要條件為.12.真值表ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假13.常見結(jié)論的否定形式原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論反設(shè)詞是不是至少有一個(gè)一個(gè)也沒有都是不都是至多有一個(gè)至少有兩個(gè)大于不大于至少有個(gè)至多有（）個(gè)小于不小于至多有個(gè)至少有（）個(gè)對所有，成立存在某，不成立或且對任何，不成立存在某，成立且或14.四種命題的相互關(guān)系原命題互逆逆命題若ｐ則ｑ若ｑ則ｐ互互互為為互否否逆逆否否否命題逆否命題若非ｐ則非ｑ互逆若非ｑ則非ｐ15.充要條件（1）充分條件：若，則是充分條件.（2）必要條件：若，則是必要條件.（3）充要條件：若，且，則是充要條件.注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.16、判斷兩個(gè)函數(shù)是不是同一個(gè)函數(shù)：看定義域和對應(yīng)法則是不是完全相同。17.函數(shù)的單調(diào)性(1)設(shè)那么上是增函數(shù)；上是減函數(shù).18.如果函數(shù)和都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)也是減函數(shù);如果函數(shù)和在其對應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù)是增函數(shù).19、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性設(shè)都是單調(diào)函數(shù)，則(稱復(fù)合函數(shù))也是單調(diào)函數(shù)，并且當(dāng)外函數(shù)在上為增函數(shù)時(shí)，復(fù)合函數(shù)與內(nèi)層函數(shù)在上有相同的單調(diào)增減性，當(dāng)外函數(shù)在上為減函數(shù)時(shí)，復(fù)合函數(shù)與內(nèi)層函數(shù)在上有相反的單調(diào)增減性，（即同增同減為增，一增一減為減）20．奇偶函數(shù)的圖象特征:奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;反過來，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)．21.若函數(shù)是偶函數(shù)，則；若函數(shù)是偶函數(shù)，則.22.對于函數(shù)(),恒成立,則函數(shù)的對稱軸是函數(shù);23.若,則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱;若,則函數(shù)為周期為的周期函數(shù).25.函數(shù)的圖象的對稱性(1)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.26.兩個(gè)函數(shù)圖象的對稱性(1)函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線(即軸)對稱.(2)函數(shù)和的圖象關(guān)于直線y=x對稱.27.若將函數(shù)的圖象右移、上移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象；若將曲線的圖象右移、上移個(gè)單位，得到曲線的圖象.28、求反函數(shù)的步驟：①解關(guān)于x的方程,達(dá)到用y來表示x的目的；②在所得的式子中的x換成y,y換成x;③求出反函數(shù)的定義域（即原函數(shù)的值域）。29、關(guān)于反函數(shù)的性質(zhì)：①②③④⑤⑥若點(diǎn)在的圖象上，又在的圖象上，則在的圖象上；⑦證明的圖象關(guān)于直線y=x對稱，只需證得反函數(shù)和相同。⑧原函數(shù)和反函數(shù)的定義域和值域相反。30．互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系：①.②具有相同的單調(diào)性32、函數(shù)解析式的求法：①定義法：例如，②變量代換法：例如，③待定系數(shù)法：例如，（）④函數(shù)方程法：將作為一個(gè)未知數(shù)來考慮，建立方程（組），消去另一個(gè)未知數(shù)便得的表達(dá)式。形如，的解析式（方法是用）33、函數(shù)定義域的求法：①分式的分母不得為0；②偶次方根的被開方數(shù)不小于0，0取0次方?jīng)]有意義；③對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于0；④指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于0且不等于1；⑤如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算而得到的，那么它們的定義域是各基本函數(shù)定義域的交集。34、函數(shù)值域的求法：①直接法、配方法、換元法例如：根號里是兩次函數(shù)的配方直接求，根號里是一次函數(shù)的用換元法。即：形如或求二次復(fù)合的函數(shù)的值域可用配方法形如的函數(shù)令使之變形為二次函數(shù)，配方后求之；對于含的結(jié)構(gòu)函數(shù)可利用三角代換②分式函數(shù)的求法：用反函數(shù)或分離常數(shù)法，結(jié)論為形式把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的二次方程通過方程有實(shí)根，判別式，從而求得原函數(shù)的值域，這種方法叫判別式③利用函數(shù)單調(diào)性：在上是遞減函數(shù)，在上時(shí)是遞增函數(shù)，也稱這個(gè)函數(shù)的“打鉤”函數(shù)。④數(shù)形結(jié)合求得。35.幾個(gè)常見的函數(shù)方程(1)正比例函數(shù),.(2)指數(shù)函數(shù),.(3)對數(shù)函數(shù),.(4)冪函數(shù),.36.幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定a>0)（1），則的周期T=a；（2），或，或,則的周期T=2a；37.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)（，且）.(2)（，且）.38．根式的性質(zhì)（1）.（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.39．有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1).(2).(3).若a＞0，p是一個(gè)無理數(shù)，則ap表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)冪都適用.40.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式.41、指數(shù)函數(shù)圖象及性質(zhì)一般地，指數(shù)函數(shù)y=ax在底數(shù)a>1及0<a<1這兩種情況下的圖象和性質(zhì)如下表所示：a>10<a<1圖象性質(zhì)⑴定義域?yàn)椋?-∞,+∞)；值域?yàn)椋?0,+∞).⑵過點(diǎn)(0,1)，即x=0時(shí)，y=a0=1.⑶若x>0，則ax>1;若x<0，則ax<1.⑶若x>0，則ax<1;若x<0，則ax>1.⑷在R上是增函數(shù).⑷在R上是減函數(shù)42.對數(shù)的換底公式(,且,,且,).推論(,且,,且,,).43．對數(shù)的四則運(yùn)算法則若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則(1);(2);(3).44.設(shè)函數(shù),記.若的定義域?yàn)?則，且;若的值域?yàn)?則，且.對于的情形,需要單獨(dú)檢驗(yàn).45.對數(shù)換底不等式及其推廣推論:設(shè)，，，且，則（1）.（2）.46.平均增長率的問題如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為，則對于時(shí)間的總產(chǎn)值，有.47、函數(shù)的圖象變換：利用基本初等函數(shù)的圖象來變換 平移變換：伸縮變換：對稱變換：48.數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法⑴遞推公式：用累加法，例如：⑵遞推公式：用疊乘法，例如：⑶遞推公式:用換元法或經(jīng)驗(yàn)公式：結(jié)合已知求出m再利用等比數(shù)列求。⑷已知?jiǎng)t(數(shù)列的前n項(xiàng)的和為).49.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：；推廣：變式：其前n項(xiàng)和公式為.50等差數(shù)列的判定方法1、定義法：對于數(shù)列，若(常數(shù))，則數(shù)列是等差數(shù)列。2．等差中項(xiàng)：對于數(shù)列，若，則數(shù)列是等差數(shù)列。51.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；推廣：其前n項(xiàng)的和公式為或.52等比數(shù)列的判定方法定義法：對于數(shù)列，若，則數(shù)列是等比數(shù)列。2．等比中項(xiàng)：對于數(shù)列，若，則數(shù)列是等比數(shù)列。53.等比差數(shù)列:的通項(xiàng)公式為；其前n項(xiàng)和公式為.54、等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)：在等差數(shù)列中若則有，若則有等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和，等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和則有等差數(shù)列的前n項(xiàng)和也構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，即為等差數(shù)列，公差為前m項(xiàng)的和與后m項(xiàng)的和為在等差數(shù)列中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，即為等差數(shù)列，公差為⑥．設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是奇數(shù)項(xiàng)的和，是偶數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的和，是前n項(xiàng)的和，則有如下性質(zhì)：前n項(xiàng)的和當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，其中d為公差；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，則，，，，（其中是等差數(shù)列的中間一項(xiàng)）。等比數(shù)列的性質(zhì)：①在等比數(shù)列中若則有，若則有②在等比數(shù)列中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即為等比數(shù)列，公比為③等比數(shù)列的前n項(xiàng)和也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即為等比數(shù)列，公差為55、數(shù)列的前n項(xiàng)和的通常解法：①直接利用等差、等比數(shù)列求和公式求和，注意等比時(shí)分討論。②錯(cuò)位相減法：主要利用開一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和，即③分組轉(zhuǎn)化法：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解④裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)；常見的拆項(xiàng)公式有：,⑤倒序相加法：把數(shù)列正著寫和倒著寫再相加。⑥公式法：56.分期付款(按階貸款)每次還款元(貸款元,次還清,每期利率為).44．常見三角不等式（1）若，則.(2)若，則.(3).45.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，=，.46.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式奇變偶不變，符號看象限(n為偶數(shù))(n為奇數(shù))(n為偶數(shù))(n為奇數(shù))(n為偶數(shù))(n為奇數(shù))(n為偶數(shù))(n為奇數(shù))47.和角與差角公式;;.(平方正弦公式);.=(輔助角所在象限由點(diǎn)的象限決定,).48.二倍角公式...50.三角函數(shù)的周期公式函數(shù)，x∈R及函數(shù)，x∈R(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期；函數(shù)，(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期.51.正弦定理

.52.余弦定理;;.53.面積定理（1）（分別表示a、b、c邊上的高）.（2）.(3).54.三角形內(nèi)角和定理在△ABC中，有.55.簡單的三角方程的通解...57.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律設(shè)λ、μ為實(shí)數(shù)，那么(1)結(jié)合律：λ(μa)=(λμ)a;(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.58.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：(1)a·b=b·a（交換律）;(2)（a）·b=（a·b）=a·b=a·（b）;(3)（a+b）·c=a·c+b·c.59.平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．60．向量平行的坐標(biāo)表示

設(shè)a=,b=，且b0，則ab(b0).53.a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)a·b=|a||b|cosθ．61.a·b的幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．62.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)設(shè)a=,b=，則a+b=.(2)設(shè)a=,b=，則a-b=.(3)設(shè)A，B,則.(4)設(shè)a=，則a=.(5)設(shè)a=,b=，則a·b=.63.兩向量的夾角公式(a=,b=).64.平面兩點(diǎn)間的距離公式=(A，B).65.向量的平行與垂直設(shè)a=,b=，且b0，則A||bb=λa.ab(a0)a·b=0.66.線段的定比分公式

設(shè)，，是線段的分點(diǎn),是實(shí)數(shù)，且，則（）.67.三角形的重心坐標(biāo)公式△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、,則△ABC的重心的坐標(biāo)是.68.點(diǎn)的平移公式.注:圖形F上的任意一點(diǎn)P(x，y)在平移后圖形上的對應(yīng)點(diǎn)為，且的坐標(biāo)為.69.“按向量平移”的幾個(gè)結(jié)論（1）點(diǎn)按向量a=平移后得到點(diǎn).(2)函數(shù)的圖象按向量a=平移后得到圖象,則的函數(shù)解析式為.(3)圖象按向量a=平移后得到圖象,若的解析式,則的函數(shù)解析式為.(4)曲線:按向量a=平移后得到圖象,則的方程為.(5)向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然為m=.70.三角形五“心”向量形式的充要條件設(shè)為所在平面上一點(diǎn)，角所對邊長分別為，則（1）為的外心.（2）為的重心.（3）為的垂心.（4）為的內(nèi)心.（5）為的的旁心.1.常用不等式：（1）(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號)．（2）(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號)．可推廣到n個(gè)成立。（3）（4）柯西不等式:（5）.注意：左等號成立的是,右等號成立是.注意：左等號成立的是,右等號成立是（6）2、比例的幾個(gè)性質(zhì)比例基本性質(zhì)：；反比定理：更比定理：；合比定理；分比定理：；合分比定理：合比定理：等比定理：若，，則3、已知都是正數(shù)，則有(極值定理)（1）若積是定值，則當(dāng)時(shí)和有最小值；（2）若和是定值，則當(dāng)時(shí)積有最大值.注：（一正二定三等）等號不成立時(shí)利用函數(shù)單調(diào)性求最值（在上是減函數(shù)，在上時(shí)是增函數(shù)，也稱這個(gè)函數(shù)的“打鉤”函數(shù)）4.一元二次不等式，如果與同號，則其解集在兩根之外；如果與異號，則其解集在兩根之間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.；.5.含有絕對值的不等式當(dāng)a>0時(shí)，有.或.6.無理不等式（1）.（2）（3）.（4）7、分式不等式和絕對值不等式（1），（2）8、簡單的高次不等式――數(shù)軸標(biāo)根法步驟：（1）化為標(biāo)準(zhǔn)型：各因式x的系數(shù)和指數(shù)為1。（2）在數(shù)軸上標(biāo)出根，（3）連線：按從右到左，從上到下順序，重根時(shí)“奇穿偶彎”（4）寫出解集9.指數(shù)不等式與對數(shù)不等式(1)當(dāng)時(shí),;.(2)當(dāng)時(shí),;10.斜率公式傾斜角的范圍：（、）.的方向向量為或，k為直線的斜率。11、幾何中有關(guān)公式①數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離公式：或②直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)間距離公式：③若點(diǎn)P分有向線段成定比λ，則λ=④若點(diǎn)，點(diǎn)P分有向線段成定比λ，則：λ==；=，=⑤若，則△ABC的重心G的坐標(biāo)是12.直線的五種方程（1）點(diǎn)斜式(直線過點(diǎn)，且斜率為)．（2）斜截式(b為直線在y軸上的截距).（3）兩點(diǎn)式()(、()).(4)截距式(分別為直線的橫、縱截距，)（5）一般式(其中A、B不同時(shí)為0).13.兩條直線的平行和垂直(1)若，①;②.(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不為零,①；②；14、與平行的直線方程可巧設(shè)為：與垂直的直線方程可巧設(shè)為：15.夾角公式(1)直線，則直線與的夾角θ滿足：(2).(,,).直線時(shí)，直線l1與l2的夾角是.16.到的角公式(逆時(shí)針方向)兩直線的夾角范圍是：(1).(，,)(2).(,,).直線時(shí)，直線l1到l2的角是.17．四種常用直線系方程(1)定點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過定點(diǎn)的直線系方程為(除直線),其中是待定的系數(shù);經(jīng)過定點(diǎn)的直線系方程為,其中是待定的系數(shù)．(2)共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過兩直線,的交點(diǎn)的直線系方程為(除)，其中λ是待定的系數(shù)．(3)平行直線系方程：直線中當(dāng)斜率k一定而b變動(dòng)時(shí)，表示平行直線系方程．與直線平行的直線系方程是()，λ是參變量．(4)垂直直線系方程：與直線(A≠0，B≠0)垂直的直線方程是,λ是參變量．18.點(diǎn)到直線的距離和兩平行線間的距離公式點(diǎn),直線：的距離：.兩條平行線與的距離：19、對稱問題：1）、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱：點(diǎn)(x，y)關(guān)于點(diǎn)(a，b)的對稱點(diǎn)為(2a-x，2b-y)2）、點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)設(shè)點(diǎn)A（xo,yo）關(guān)于直線Ax+By+C＝0的對稱點(diǎn)為，則求出3）、直線關(guān)于點(diǎn)的對稱直線是與已知直線平行的直線4）、直線關(guān)于直線的對稱直線：①平行時(shí)用兩平行線距離公式求得；②相交時(shí)用到角公式求斜率5）、曲線關(guān)于點(diǎn)（或直線）的對稱曲線：利用所求曲線上的任一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)（或直線）的對稱點(diǎn)在已知曲線上6）、幾種特殊的對稱關(guān)系點(diǎn)（x，y）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為（x，－y）點(diǎn)（x，y）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為（－x，y）點(diǎn)（x，y）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為（－x，－y）點(diǎn)（x，y）關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)為（y，x）點(diǎn)（x，y）關(guān)于直線y=－x的對稱點(diǎn)為（－y，－x）點(diǎn)（x，y）關(guān)于直線y=x＋m的對稱點(diǎn)為（y-m，x+m）點(diǎn)（x，y）關(guān)于直線y=－x＋m的對稱點(diǎn)為（m－y，－x+m）20.或所表示的平面區(qū)域設(shè)直線，則或所表示的平面區(qū)域是：若，當(dāng)與同號時(shí)，表示直線的上方的區(qū)域；當(dāng)與異號時(shí)，表示直線的下方的區(qū)域.簡言之,同號在上,異號在下.若，當(dāng)與同號時(shí)，表示直線的右方的區(qū)域；當(dāng)與異號時(shí)，表示直線的左方的區(qū)域.簡言之,同號在右,異號在左.21.（或）所表示的平面區(qū)域設(shè)曲線（），則或所表示的平面區(qū)域是：所表示的平面區(qū)域上下兩部分；所表示的平面區(qū)域上下兩部分.22、求曲線方程的步驟：（1）建系、設(shè)點(diǎn)（2）列式（3）代換（4）化簡相關(guān)點(diǎn)法：主動(dòng)點(diǎn)與被動(dòng)的關(guān)系23.圓的四種方程（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）圓的一般方程(＞0).（3）圓的參數(shù)方程（）.（4）圓的直徑式方程(圓的直徑的端點(diǎn)是、).24.圓系方程(1)過點(diǎn),的圓系方程是,其中是直線的方程,λ是待定的系數(shù)．(2)過直線:與圓:的交點(diǎn)的圓系方程是,λ是待定的系數(shù)．(3)過圓:與圓:的交點(diǎn)的圓系方程是,λ是待定的系數(shù)．當(dāng)時(shí)，L:表示兩圓公共弦所在直線的方程。20、切線長公式：過圓外一點(diǎn)引圓（標(biāo)準(zhǔn)方程，一般方程）的切線長為:25.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種，若，則點(diǎn)在圓外;點(diǎn)在圓上;點(diǎn)在圓內(nèi).26.直線與圓的位置關(guān)系14、研究圓與直線的位置關(guān)系最常用的方法有兩種：=1\*GB3①代數(shù)法：（判別式法）：Δ>0，=0，<0，等價(jià)于直線與圓相交、相切、相離；=2\*GB3②幾何法：（圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系）：距離大于半徑、等于半徑、小于半徑，等價(jià)于直線與圓相離、相切、相交。直線與圓的位置關(guān)系有三種:;;.其中.27.兩圓位置關(guān)系的判定方法設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，;;;;.28.圓的切線方程(1)已知圓．①若已知切點(diǎn)在圓上，則切線只有一條，其方程是.當(dāng)圓外時(shí),表示過兩個(gè)切點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程．②過圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為，再利用相切條件求k，這時(shí)必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線．③斜率為k的切線方程可設(shè)為，再利用相切條件求b，必有兩條切線．(2)已知圓．①過圓上的點(diǎn)的切線方程為;②斜率為的圓的切線方程為.29、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式是：和。30、橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是，離心率是，通徑的長是。兩準(zhǔn)線間的距離為其中31.橢圓的參數(shù)方程是（）。32、在過橢圓焦點(diǎn)的弦中最長的是長軸，最短的是垂直于長軸的弦.33、若點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，是其左、右焦點(diǎn)，則點(diǎn)P的焦半徑的長是和.34、橢圓上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)所成的張角時(shí)，則它圍成的三角形面積35、直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，M是弦AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則有（利用設(shè)而不求方法證明）36．橢圓的的內(nèi)外部（1）點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部.（2）點(diǎn)在橢圓的外部.37.橢圓的切線方程(1)橢圓上一點(diǎn)處的切線方程是.（2）過橢圓外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是.（3）橢圓與直線相切的條件是.38、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式是：和。39、雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是，離心率是，通徑的長是，兩準(zhǔn)線間的距離為,漸近線方程是。其中。40、若點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，是其左、右焦點(diǎn)，則點(diǎn)P的焦半徑的長是和.當(dāng)P在右半支時(shí)焦半徑公式去絕對值不變，當(dāng)P在左半支時(shí)焦半徑公式去絕對值時(shí)要加上負(fù)號。41、雙曲線上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)所成的張角時(shí)，則它圍成的三角形面積42、直線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，M是弦AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則有（利用設(shè)而不求方法證明）43.雙曲線的內(nèi)外部(1)點(diǎn)在雙曲線的內(nèi)部.(2)點(diǎn)在雙曲線的外部.44.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系(1）若雙曲線方程為漸近線方程：.(2)若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為（）(3)若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為（，焦點(diǎn)在x軸上，，焦點(diǎn)在y軸上）.與雙曲線共焦點(diǎn)的雙曲線系方程是45.雙曲線的切線方程(1)雙曲線上一點(diǎn)處的切線方程是.（2）過雙曲線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是.（3）雙曲線與直線相切的條件是.46、等軸雙曲線的離心率為，漸近線方程為：47、雙曲線的共軛雙曲線分別是雙曲線與共軛雙曲線的離心率分別為則有48、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式是：（P＞0）拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)：（1）P的幾何意義：焦參數(shù)P是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以P恒為正數(shù)。（2）方程右邊一次項(xiàng)的變量與焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的名稱相同，一次項(xiàng)系數(shù)的符號決定拋物線的開口方向。（3）焦點(diǎn)的非零坐標(biāo)是一次項(xiàng)系數(shù)的。49、拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是：，準(zhǔn)線方程是：。過該拋物線的焦點(diǎn)且垂直于拋物線對稱軸的弦（通徑）的長：。50.拋物線的焦半徑公式點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，則點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)的距離（稱為焦半徑）：.51、已知過拋物線（P＞0）的焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B具有下列性質(zhì)：或(為AB的傾斜角)，52.拋物線上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為P或P，其中.53.二次函數(shù)的圖象是拋物線：（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）焦點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）準(zhǔn)線方程是.55.拋物線的切線方程(1)拋物線上一點(diǎn)處的切線方程是.（2）過拋物線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是.（3）拋物線與直線相切的條件是.56.兩個(gè)常見的曲線系方程(1)過曲線,的交點(diǎn)的曲線系方程是(為參數(shù)).(2)共焦點(diǎn)的有心圓錐曲線系方程,其中.當(dāng)時(shí),表示橢圓;當(dāng)時(shí),表示雙曲線.57.直線與圓錐曲線相交的弦長公式或（弦端點(diǎn)A，由方程消去y得到，,為直線的傾斜角，為直線的斜率）.58.圓錐曲線的兩類對稱問題（1）曲線關(guān)于點(diǎn)成中心對稱的曲線是.（2）曲線關(guān)于直線成軸對稱的曲線是.59.“四線”一方程對于一般的二次曲線，用代，用代，用代，用代，用代即得方程，曲線的切線，切點(diǎn)弦，中點(diǎn)弦，弦中點(diǎn)方程均是此方程得到.109．證明直線與直線的平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面平行；（4）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（5）轉(zhuǎn)化為面面平行.110．證明直線與平面的平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為線線平行；（3）轉(zhuǎn)化為面面平行.111．證明平面與平面平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為線面平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面垂直.112．證明直線與直線的垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為相交垂直；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（3）轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；（4）轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.113．證明直線與平面垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；（2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；（3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；（4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面；（5）轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直.114．證明平面與平面的垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直.115.空間向量的加法與數(shù)乘向量運(yùn)算的運(yùn)算律(1)加法交換律：a＋b=b＋a．(2)加法結(jié)合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．(3)數(shù)乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．116.平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣始點(diǎn)相同且不在同一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對角線所表示的向量.117.共線向量定理對空間任意兩個(gè)向量a、b(b≠0)，a∥b存在實(shí)數(shù)λ使a=λb．三點(diǎn)共線.、共線且不共線且不共線.118.共面向量定理向量p與兩個(gè)不共線的向量a、b共面的存在實(shí)數(shù)對,使．推論空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的存在有序?qū)崝?shù)對,使，或?qū)臻g任一定點(diǎn)O，有序?qū)崝?shù)對，使.119.對空間任一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)A、B、C，滿足（），則當(dāng)時(shí)，對于空間任一點(diǎn)，總有P、A、B、C四點(diǎn)共面；當(dāng)時(shí)，若平面ABC，則P、A、B、C四點(diǎn)共面；若平面ABC，則P、A、B、C四點(diǎn)不共面．四點(diǎn)共面與、共面（平面ABC）.120.空間向量基本定理如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．推論設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x，y，z，使.121.射影公式已知向量=a和軸，e是上與同方向的單位向量.作A點(diǎn)在上的射影，作B點(diǎn)在上的射影，則〈a，e〉=a·e122.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a＝，b＝則(1)a＋b＝；(2)a－b＝；(3)λa＝(λ∈R)；(4)a·b＝；123.設(shè)A，B，則=.124．空間的線線平行或垂直設(shè)，，則；.125.夾角公式設(shè)a＝，b＝，則cos〈a，b〉=.推論，此即三維柯西不等式.126.四面體的對棱所成的角四面體中,與所成的角為,則.127．異面直線所成角=（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量）128.直線與平面所成角(為平面的法向量).129.若所在平面若與過若的平面成的角,另兩邊,與平面成的角分別是、,為的兩個(gè)內(nèi)角，則.特別地,當(dāng)時(shí),有.130.若所在平面若與過若的平面成的角,另兩邊,與平面成的角分別是、,為的兩個(gè)內(nèi)角，則.特別地,當(dāng)時(shí),有.131.二面角的平面角或（，為平面，的法向量）.132.三余弦定理設(shè)AC是α內(nèi)的任一條直線，且BC⊥AC，垂足為C，又設(shè)AO與AB所成的角為，AB與AC所成的角為，AO與AC所成的角為．則.133.三射線定理若夾在平面角為的二面角間的線段與二面角的兩個(gè)半平面所成的角是,,與二面角的棱所成的角是θ，則有;(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立).134.空間兩點(diǎn)間的距離公式若A，B，則=.135.點(diǎn)到直線距離(點(diǎn)在直線上，直線的方向向量a=，向量b=).136.異面直線間的距離(是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點(diǎn)，為間的距離).137.點(diǎn)到平面的距離（為平面的法向量，是經(jīng)過面的一條斜線，）.138.異面直線上兩點(diǎn)距離公式..（）.(兩條異面直線a、b所成的角為θ，其公垂線段的長度為h.在直線a、b上分別取兩點(diǎn)E、F，,,).139.三個(gè)向量和的平方公式140.長度為的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為，夾角分別為,則有.（立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）.141.面積射影定理.(平面多邊形及其射影的面積分別是、，它們所在平面所成銳二面角的為).142.斜棱柱的直截面已知斜棱柱的側(cè)棱長是,側(cè)面積和體積分別是和,它的直截面的周長和面積分別是和,則①.②.143．作截面的依據(jù)三個(gè)平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線交于一點(diǎn)或互相平行.144．棱錐的平行截面的性質(zhì)如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比（對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊對應(yīng)成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對應(yīng)邊的比的平方）；相應(yīng)小棱錐與小棱錐的側(cè)面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比．145.歐拉定理(歐拉公式)(簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F).（1）=各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地,若每個(gè)面的邊數(shù)為的多邊形，則面數(shù)F與棱數(shù)E的關(guān)系：；（2）若每個(gè)頂點(diǎn)引出的棱數(shù)為，則頂點(diǎn)數(shù)V與棱數(shù)E的關(guān)系：.146.球的半徑是R，則其體積,其表面積．147.球的組合體(1)球與長方體的組合體:長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.(2)球與正方體的組合體:正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長,正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長,正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.(3)球與正四面體的組合體:棱長為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為,外接球的半徑為.149.分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）.150.分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）.151.排列數(shù)公式==.(，∈N*，且)．注:規(guī)定.152.排列恒等式(1）;（2）;（3）;（4）;（5）.(6).153.組合數(shù)公式===(∈N*，，且).154.組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)(1)=;(2)+=.注:規(guī)定.155.組合恒等式（1）;（2）;（3）;（4）=;（5）.(6).(7).(8).(9).(10).156.排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系.157．單條件排列以下各條的大前提是從個(gè)元素中取個(gè)元素的排列.（1）“在位”與“不在位”①某（特）元必在某位有種；②某（特）元不在某位有（補(bǔ)集思想）（著眼位置）（著眼元素）種.（2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰）①定位緊貼：個(gè)元在固定位的排列有種.②浮動(dòng)緊貼：個(gè)元素的全排列把k個(gè)元排在一起的排法有種.注：此類問題常用捆綁法；③插空：兩組元素分別有k、h個(gè)（），把它們合在一起來作全排列，k個(gè)的一組互不能挨近的所有排列數(shù)有種.（3）兩組元素各相同的插空個(gè)大球個(gè)小球排成一列，小球必分開，問有多少種排法？當(dāng)時(shí)，無解；當(dāng)時(shí)，有種排法.（4）兩組相同元素的排列：兩組元素有m個(gè)和n個(gè)，各組元素分別相同的排列數(shù)為.158．分配問題（1）(平均分組有歸屬問題)將相異的、個(gè)物件等分給個(gè)人，各得件，其分配方法數(shù)共有.（2）(平均分組無歸屬問題)將相異的·個(gè)物體等分為無記號或無順序的堆，其分配方法數(shù)共有.（3）(非平均分組有歸屬問題)將相異的個(gè)物體分給個(gè)人，物件必須被分完，分別得到，，…，件，且，，…，這個(gè)數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)共有.（4）(非完全平均分組有歸屬問題)將相異的個(gè)物體分給個(gè)人，物件必須被分完，分別得到，，…，件，且，，…，這個(gè)數(shù)中分別有a、b、c、…個(gè)相等，則其分配方法數(shù)有.（5）(非平均分組無歸屬問題)將相異的個(gè)物體分為任意的，，…，件無記號的堆，且，，…，這個(gè)數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)有.（6）(非完全平均分組無歸屬問題)將相異的個(gè)物體分為任意的，，…，件無記號的堆，且，，…，這個(gè)數(shù)中分別有a、b、c、…個(gè)相等，則其分配方法數(shù)有.（7）(限定分組有歸屬問題)將相異的（）個(gè)物體分給甲、乙、丙，……等個(gè)人，物體必須被分完，如果指定甲得件，乙得件，丙得件，…時(shí)，則無論，，…，等個(gè)數(shù)是否全相異或不全相異其分配方法數(shù)恒有.159．“錯(cuò)位問題”及其推廣貝努利裝錯(cuò)箋問題:信封信與個(gè)信封全部錯(cuò)位的組合數(shù)為.推廣:個(gè)元素與個(gè)位置,其中至少有個(gè)元素錯(cuò)位的不同組合總數(shù)為.160．不定方程的解的個(gè)數(shù)(1)方程（）的正整數(shù)解有個(gè).(2)方程（）的非負(fù)整數(shù)解有個(gè).(3)方程（）滿足條件(,)的非負(fù)整數(shù)解有個(gè).(4)方程（）滿足條件(,)