模型10、水平面圓周運動模型 （解析版）

模型10、水平面圓周運動模型【模型特點】由物體的重力與彈力的合力充當(dāng)向心力，向心力的方向水平。也可以說是其中彈力的水平分力供應(yīng)向心力（彈力的豎直分力和重力互為平衡力）【模型解題】1、解決圓周運動問題(動力學(xué)分析)的主要步驟

(1)審清題意，確定爭辯對象;明確物體做圓周運動的平面是至關(guān)重要的一環(huán).

(2)分析物體的運動狀況，即物體的線速度、角速度、周期、軌道平面、圓心、半徑等;分析物體的受力狀況，畫出受力示意圖，確定向心力的來源;

(4)依據(jù)牛頓運動定律及向心力公式列方程.用極限法分析圓周運動的臨界問題

（1）有些題目中有“剛好”、“恰好”、“正好”等字眼，明顯表明題述的過程中存在著臨界點.

（2）若題目中有“取值范圍”、“多長時間”、“多大距離”等詞語，表明題述的過程中存在著“起止點”，而這些起止點往往就是臨界狀態(tài)，

（3）若題目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明題述的過程中存在著極值，這些極值點也往往是臨界狀態(tài).【模型訓(xùn)練】【例1】如圖所示，水平圓盤半徑為R，可視為質(zhì)點的物塊A在圓盤邊緣處，與圓盤一起圍繞過圓心O的豎直軸勻速轉(zhuǎn)動。某時刻在O的正上方有一個可視為質(zhì)點的小球以初速度v沿OA方向水平拋出。若小球直接擊中物塊A，重力加速度為g，不計空氣阻力。則下列說法正確的是（）A．物塊A處于平衡狀態(tài)B．物塊A所受摩擦力恒定C．小球拋出時距離O點的高度肯定為D．圓盤轉(zhuǎn)動角速度大小肯定為【答案】C【詳解】AB．物塊A與圓盤一起圍繞過圓心O的豎直軸勻速轉(zhuǎn)動，指向圓心的靜摩擦力供應(yīng)向心力，處于非平衡狀態(tài)，A錯誤，B錯誤；C．小球做平拋運動，小球在水平方向上做勻速直線運動，則平拋運動的時間t=豎直方向做自由落體運動，則小球拋出時距O的高度C正確；D．依據(jù)ωt=2nπ得圓盤轉(zhuǎn)動的角速度ω=（n=1、2、3…）D錯誤。故選C。變式1.1（多選）半徑R＝1m的水平圓盤繞過圓心O的豎直軸勻速轉(zhuǎn)動，A為圓盤邊緣上一點，在O點的正上方將一個可視為質(zhì)點的小球以4m/s的速度水平拋出，半徑OA方向恰好與該初速度的方向相同，如圖所示。若小球與圓盤只碰一次，且落在A點，則圓盤轉(zhuǎn)動的角速度大小不行能是（）A．2πrad/s B．4πrad/s C．6πrad/s D．8πrad/s【答案】ABC【詳解】小球平拋運動的時間小球平拋運動的時間和圓盤轉(zhuǎn)動的時間相等，則有解得當(dāng)時，，當(dāng)時，，隨著增大，增大，故ABC不行能，D可能。故選ABC。變式1.2（多選）半徑為R的水平圓盤繞過圓心O的豎直軸勻速轉(zhuǎn)動，A為圓盤邊緣上一點，在O的正上方有一個可視為質(zhì)點的小球以初速度v水平拋出時，半徑OA恰好與v的方向相同，如圖所示，若要使小球與圓盤只碰一次，且落在A，重力加速度為g，則圓盤轉(zhuǎn)動的角速度可能為（

）A． B． C． D．【答案】CD【詳解】小球做平拋運動，在水平方向上做勻速直線運動，則運動的時間為小球與圓盤只碰一次，且落在A點，滿足聯(lián)立解得CD正確。故選CD?！纠?】如圖所示，甲、乙、丙三個物塊放在水平轉(zhuǎn)盤上，隨轉(zhuǎn)盤一起繞中心軸做勻速圓周運動，甲、乙、丙的質(zhì)量分別為、、，離中心軸的距離分別為、、，與轉(zhuǎn)盤的動摩擦因數(shù)分別為0.4、0.2、0.2，當(dāng)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動的角速度增大，最先滑動的物塊是（）A．甲物塊 B．乙物塊 C．丙物塊 D．乙物塊和丙物塊【答案】C【詳解】當(dāng)物塊剛好要滑動時，由得則因此最先滑動的是丙物塊。故選C。變式2.1如圖所示，水平放置的圓盤繞過圓心的豎直軸勻速轉(zhuǎn)動，質(zhì)量分別為、的物塊、（均視為質(zhì)點）放置在圓盤上隨圓盤一起做勻速圓周運動的半徑分別為、，與圓盤間的動摩擦因數(shù)分別為、，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，現(xiàn)使轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)速漸漸緩慢增大，則比先滑動的條件肯定是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】A．由牛頓其次定律與圓周運動規(guī)律：當(dāng)剛要相對圓盤滑動時當(dāng)剛要相對圓盤滑動時可得，兩物塊相對圓盤開頭滑動的臨界角速度與質(zhì)量、無關(guān)，A錯誤；BCD．當(dāng)比先滑動時，則有即整理可得故BC錯誤，D正確。故選D。變式2.2水平轉(zhuǎn)臺兩個質(zhì)量相等的物體A和B，A、B與轉(zhuǎn)軸距離分別為、，當(dāng)轉(zhuǎn)盤和物塊繞豎直轉(zhuǎn)軸勻速轉(zhuǎn)動時，物塊與轉(zhuǎn)盤始終保持相對靜止（）A．A線速度比B線速度大 B．A角速度比B角速度大C．當(dāng)轉(zhuǎn)速增大時，A比B先滑動 D．當(dāng)轉(zhuǎn)速增大時，B比A先滑動【答案】D【詳解】AB．兩物塊隨轉(zhuǎn)盤一起轉(zhuǎn)動，角速度相等，由可知，因B的轉(zhuǎn)動半徑大，則B的線速度比A的線速度大，故AB均錯誤；CD．當(dāng)物塊隨轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動即將相對滑動時，由最大靜摩擦力供應(yīng)向心力，有可知臨界角速度為因B的轉(zhuǎn)動半徑大，則B物體的臨界角速度較小，即B比A先滑動，故C錯誤，D正確。故選D。【例3】如圖所示，質(zhì)量均為m的a、b兩小球用不行伸長的等長輕質(zhì)繩子懸掛起來，使小球a在豎直平面內(nèi)來回搖擺，小球b在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，連接小球b的繩子與豎直方向的夾角和小球a搖擺時繩子偏離豎直方向的最大夾角都為θ，重力加速度為g，則下列說法正確的是（）A．a(chǎn)、b兩小球都是所受合外力充當(dāng)向心力B．a(chǎn)、b兩小球圓周運動的半徑之比為tanθC．b小球受到的繩子拉力為D．a(chǎn)小球運動到最高點時受到的繩子拉力為【答案】C【詳解】A．分析可知，a小球在最低點時由重力與繩子拉力的合力供應(yīng)向心力，而在下落或上升過程中均由重力沿著與繩中拉力方向相反的分力和繩中拉力的合力供應(yīng)向心力，而b小球運動過程中，向心力由重力與繩中拉力的合力供應(yīng)，故A錯誤；B．將小球看成質(zhì)點，則a小球做圓周運動的半徑為繩長，b小球做圓周運動的半徑為，則可得故B錯誤；C．對b小球受力分析如圖所示由此可得故C正確；D．對a小球在最高點受力分析如圖所示當(dāng)小球運動至最高點時速度為零，沿著繩子的方向合力為零，此時有故D錯誤。故選C。變式3.1如圖所示，質(zhì)量為m的小球用不行伸長的輕繩懸于B點，現(xiàn)使小球在水平面內(nèi)做以O(shè)為圓心的勻速圓周運動，若小球穩(wěn)定轉(zhuǎn)動時繩子與豎直方向的夾角為，重力加速度為g，則（

）A．小球的加速度保持不變B．小球受到的合外力為零C．小球做勻速圓周運動需要的向心力為D．只要圓錐擺的高度OB相同，小球運動的周期時間肯定相等【答案】D【詳解】A．小球的加速度大小保持不變，但是方向不斷變化，選項A錯誤；B．小球做勻速圓周運動，則受到的合外力不為零，選項B錯誤；C．小球做勻速圓周運動需要的向心力為，選項C錯誤；D．依據(jù)可得即只要圓錐擺的高度OB相同，小球運動的周期時間肯定相等，選項D正確。故選D。變式3.2水平面上固定一半球形的玻璃器皿，器皿的軸呈豎直狀態(tài)，在距離軸心不同的位置，有兩個質(zhì)量相同的光滑小球a、b做勻速圓周運動，軌道平面均水平。則有關(guān)各物理量的關(guān)系，下列說法正確的是（）A．b對玻璃器皿的壓力大 B．b做勻速圓周運動的周期大C．b做勻速圓周運動的角速度大 D．兩球的向心加速度相等【答案】B【詳解】A.小球在半球形容器內(nèi)做勻速圓周運動，圓心在水平面內(nèi)，受到自身重力mg和內(nèi)壁的彈力N，合力方向指向半球形的球心。受力如圖，有幾何關(guān)系可知設(shè)球體半徑為R，則圓周運動的半徑為Rsinθ，向心力得到角速度向心加速度a=gtanθ小球a的彈力和豎直方向夾角θ大，所以a對內(nèi)壁的壓力大，故A錯誤；C.由上分析得a的角速度大，故C錯誤；B.周期則a的周期小，故B正確；D.由上分析得a的向心加速度大，故D錯誤。故選B?！纠?】如圖所示，有一可繞豎直中心軸轉(zhuǎn)動的水平圓盤，原長為L、勁度系數(shù)為k的輕彈簧一端固定于軸O上，另一端連接質(zhì)量為m的小物塊A。當(dāng)圓盤靜止時，把彈簧拉長后將物塊放在圓盤上，使物塊能保持靜止的彈簧的最大長度為，已知最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等，轉(zhuǎn)動過程中彈簧伸長始終在彈性限度內(nèi)，則：（1）若開頭時彈簧處于原長L時，當(dāng)圓盤的角速度為多大時，物塊A將開頭滑動？（2）若物塊與圓盤一起勻速轉(zhuǎn)動的周期，物塊恰好不受摩擦力作用，此時彈簧的伸長量x2為多大？（3）若彈簧的長度時，物塊與圓盤能一起勻速轉(zhuǎn)動，試求轉(zhuǎn)動角速度的可能值?！敬鸢浮浚?）；（2）；（3）【詳解】（1）開頭時物塊處于靜止?fàn)顟B(tài)，依據(jù)平衡條件圓盤開頭轉(zhuǎn)動時，A所受靜摩擦力供應(yīng)向心力，若滑塊不滑動，則有當(dāng)最大靜摩擦力供應(yīng)向心力時，物塊開頭滑動，則有聯(lián)立解得圓盤的角速度為（2）設(shè)彈簧伸長x2，則有聯(lián)立解得（3）當(dāng)角速度最小時，摩擦力的方向與彈簧的拉力方向相反，則解得當(dāng)角速度最大時，摩擦力的方向與彈簧的彈力的方向相同，則解得所以角速度需要滿足變式4.1如圖所示，圓盤可繞過圓心O的豎直軸在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，物體P放在圓盤上，一輕質(zhì)彈簧一端連接物體P，另一端固定在豎直軸上。已知物體的質(zhì)量，彈簧的自然長度，勁度系數(shù)，物體與圓盤表面的動摩擦因數(shù)，P可看作質(zhì)點，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，取。當(dāng)圓盤以角速度轉(zhuǎn)動時，P與圓盤相對靜止，彈簧恰處于原長位置。求：（1）此時P對圓盤的作用力都有哪些，各為多大？（2）保持圓盤角速度不變，為使P與圓盤保持相對靜止，彈簧長度的取值范圍多大？（假設(shè)彈簧均未超出彈性限度）【答案】（1）P對圓盤的壓力大小為，對圓盤的靜摩擦力大小為；（2）【詳解】（1）當(dāng)圓盤以角速度轉(zhuǎn)動時，P與圓盤相對靜止，彈簧恰處于原長位置，P受力如圖所示豎直方向依據(jù)受力平衡可得水平方向依據(jù)牛頓其次定律可得依據(jù)牛頓第三定律可知，P對圓盤的壓力大小為，對圓盤的靜摩擦力大小為。（2）當(dāng)彈簧處于壓縮狀態(tài)，P受到指向圓心的最大靜摩擦力時，設(shè)此時彈簧的壓縮量為，則有聯(lián)立解得對應(yīng)彈簧的長度為當(dāng)彈簧處于伸長狀態(tài)，P受到背向圓心的最大靜摩擦力時，設(shè)此時彈簧的伸長量為，則有聯(lián)立解得對應(yīng)彈簧的長度為為使P與圓盤保持相對靜止，彈簧長度的取值范圍為變式4.2如圖所示，有一可繞豎直中心軸轉(zhuǎn)動的水平圓盤，上面放置勁度系數(shù)的彈簧，彈簧的一端固定于軸0上，另一端連接質(zhì)量的小物塊A，物塊與盤間的動摩擦因數(shù)，開頭時彈簧未發(fā)生形變，長度，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，取。則：（1）當(dāng)圓盤的轉(zhuǎn)動周期時，物塊在初始位置與圓盤一起勻速轉(zhuǎn)動，求物塊受到的向心力大??；（2）圓盤的角速度多大時，物塊A將開頭滑動？（3）當(dāng)圓盤角速度緩慢地增加到時，彈簧的伸長量是多少？（彈簧始終在彈性限度內(nèi)且物塊未脫離圓盤）【答案】（1）0.5N；（2）；（3）【詳解】（1）有向心力公式可得解得（2）設(shè)轉(zhuǎn)盤的角速度為時，物塊A開頭滑動，則可得解得（3）設(shè)此時彈簧伸長量為，可得解得【例5】如圖所示，餐桌中心是一個半徑為r＝1.5m的圓盤，圓盤可繞中心軸轉(zhuǎn)動，近似認為圓盤與餐桌在同一水平面內(nèi)且兩者之間的間隙可忽視不計。已知放置在圓盤邊緣的小物體與圓盤間的動摩擦因數(shù)為μ1＝0.6，與餐桌間的動摩擦因數(shù)為μ2＝0.225，餐桌離地面的高度為h＝0.8m。設(shè)小物體與圓盤以及餐桌之間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度g取10m/s2。（1）緩慢增大圓盤的角速度，物體從圓盤上甩出，為使物體不滑落到地面上，餐桌半徑R的最小值為多大？（2）若餐桌的半徑，則在圓盤角速度緩慢增大時，物體從圓盤上被甩出后滑落到地面上的位置到從圓盤甩出點的水平距離L為多少？【答案】（1）2.5m；（2）2.1m【詳解】（1）由題意可得，當(dāng)物體滑到餐桌邊緣時速度恰好減為零，對應(yīng)半徑最小，設(shè)物體在餐桌上滑動的位移為s，物體在餐桌上做勻減速運動的加速度為a，則解得物體在餐桌上滑動的初速度為可得解得因此由幾何關(guān)系可得（2）設(shè)餐桌上滑動的末速度為，由題意可得由于餐桌半徑為所以可得物體做平拋運動時間為t，則解得變式5.1現(xiàn)在的餐桌多用團聚桌，如圖餐桌上放一半徑為r=1.2m可繞中心軸轉(zhuǎn)動的電動圓盤，近似認為餐桌與圓盤在同一水平面內(nèi)，忽視兩者之間的間隙。將m=0.6kg某餐盤放置在圓盤邊緣，該餐盤與圓盤的動摩擦因數(shù)為μ=0.75，設(shè)餐盤與圓盤之間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。重力加速度g取10m/s2，求：（1）當(dāng)圓盤以n=2r/min的轉(zhuǎn)速緩慢轉(zhuǎn)動時，物體受到的靜摩擦力大?。ǎ?；（2）緩慢增大圓盤的轉(zhuǎn)速，物體從圓盤上剛好甩出時圓盤的角速度?！敬鸢浮浚?）；（2）2.5rad/s【詳解】（1）依題意，當(dāng)圓盤以的轉(zhuǎn)速緩慢轉(zhuǎn)動時，可得則物體受到的靜摩擦力大?。?）緩慢增大圓盤的轉(zhuǎn)速，物體從圓盤上剛好甩出時，有可得此時圓盤的角速度變式5.2如圖所示，某餐廳的餐桌接受的是電動餐桌，其中心是一個在電動機帶動下可以勻速轉(zhuǎn)動、半徑為R的圓盤，圓盤與餐桌在同一水平面上，放置在圓盤邊緣的小瓷碟與圓盤間的動摩擦因數(shù)為0.5，與餐桌間的動摩擦因數(shù)為0.25，餐桌高也為R．設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，瓷碟的大小不計，重力加速度為g.(1)為使瓷碟不滑到餐桌上，圓盤的角速度ω的最大值為多少?(2)緩慢增大圓盤的角速度.瓷碟從圓盤上甩出，為使瓷碟不滑落到地面，餐桌半徑的最小值為多大?(3)若餐桌半徑，則在圓盤角速度緩慢增大時，瓷碟從圓盤上被甩出后滑落到地面上的位置到圓盤中心的水平距離L為多少?【答案】(1)(2)(3)【詳解】(1)為使瓷碟不從圓盤上滑出，向心力不能大于最大靜摩擦力，即：解得：；(2)瓷碟從圓盤上滑出時的速：度瓷碟滑到餐桌邊緣速度減小到0時，恰不滑落到地面依據(jù)勻變速直線運動規(guī)律：，其中可得滑過的位移：如圖所示：餐桌最小半徑；(3)若餐桌半徑，由幾何關(guān)系可得瓷碟在餐桌上滑行的距離依據(jù)勻變速直線運動規(guī)律：可得瓷碟離開桌邊的速度：依據(jù)平拋運動規(guī)律：，可知瓷碟離開桌邊后的水平位移：如圖所示：由幾何關(guān)系可得，落地點到圓盤中心的水平距離：．點睛：本題主要考查了圓周運