模型11、豎直面圓周運(yùn)動(dòng)（解析版）

模型11、豎直面圓周運(yùn)動(dòng)【模型特點(diǎn)】物體做圓周運(yùn)動(dòng)的速率是時(shí)刻在轉(zhuǎn)變的,由于機(jī)械能守恒，物體在最高點(diǎn)處的速率最小，在最底點(diǎn)處的速率最大。

物體在最低點(diǎn)處向心力向上，而重力向下，所以彈力必定向上且大于重力;

而在最高點(diǎn)處，向心力向下，重力也向下，所以彈力的方向可能有三種狀況。(1)彈力只可能向下，如繩拉球。這種狀況下有,即否則不能通過最高點(diǎn)。

(2)彈力只可能向上，如車過橋。在這種狀況下有,即(3)彈力既可能向上又可能向下，如管內(nèi)轉(zhuǎn)(或桿連球)。這種狀況下，速度大小v可以取任意值?？梢赃M(jìn)一步爭(zhēng)辯:①當(dāng)v=0時(shí)，,

為支持力，沿半徑背離圓心②當(dāng)時(shí)，;,背離圓心，隨v的增大而減?、郛?dāng)時(shí)，④當(dāng)時(shí)，;指向圓心并隨v的增大而增大?！灸Ｐ徒忸}】豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的求解思路

(1)定模型:首先推斷是輕繩模型還是輕桿模型，兩種模型過最高點(diǎn)的臨界條件不同.確定臨界點(diǎn):,對(duì)輕繩模型來說是能否通過最高點(diǎn)的臨界點(diǎn)，而對(duì)輕桿模型來說是表現(xiàn)為支持力還是拉力的臨界點(diǎn).

(3)爭(zhēng)辯狀態(tài):通常狀況下豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)只涉及最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀況.(4)受力分析:對(duì)物體在最高點(diǎn)或最低點(diǎn)時(shí)進(jìn)行受力分析，依據(jù)牛頓其次定律列出方程,。

(5)過程分析:應(yīng)用動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒定律將初、末兩個(gè)狀態(tài)聯(lián)系起來列方程.【模型訓(xùn)練】【例1】如圖所示，是一個(gè)固定在桌面上處于豎直狀態(tài)的光滑大圓環(huán)，大圓環(huán)上套著一個(gè)小圓環(huán)。小圓環(huán)由靜止開頭從最高點(diǎn)下滑到最低點(diǎn)的過程中，下列說法正確的是（）A．小圓環(huán)所受支持力先做負(fù)功后做正功 B．支持力的沖量為零C．小圓環(huán)所受重力的瞬時(shí)功領(lǐng)先增大后減小 D．支持力的功領(lǐng)先增大后減小【答案】C【詳解】A．小圓環(huán)在運(yùn)動(dòng)過程中只受到重力和支持力作用，且支持力始終沿半徑方向，初始階段背離圓心，之后指向圓心，支持力方向始終與速度方向垂直，所以支持力始終不做功，A錯(cuò)誤；B．依據(jù)動(dòng)量定理可知，動(dòng)量的變化量等于重力沖量與支持力沖量的矢量和，由于初末速度沿水平方向，即動(dòng)量變化沿水平方向，而重力沖量豎直向下，所以支持力的沖量確定不為零，B錯(cuò)誤；C．小圓環(huán)在下滑過程中，豎直方向的速度先增加后減小，所以重力的瞬時(shí)功領(lǐng)先增大后減小，C正確；D．因支持力始終不做功，故支持力的功率始終為零，D錯(cuò)誤。故選C。變式1.1如圖所示,豎直固定的圓環(huán)軌道半徑為R,在環(huán)的最低點(diǎn)放置一個(gè)小球,給小球一水平向右的瞬時(shí)速度v,小球會(huì)在環(huán)內(nèi)運(yùn)動(dòng)．不計(jì)一切摩擦,重力加速度為g,為保證小球運(yùn)動(dòng)過程中不脫離軌道,瞬時(shí)速度v可能為A． B．C． D．【答案】A【詳解】小球在環(huán)內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，恰好通過最高點(diǎn)時(shí)，，從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過程中，依據(jù)動(dòng)能定理可知，，解得；小球在圓心所在水平線以下做運(yùn)動(dòng)時(shí)，，解得；小球不脫離軌道，速度v滿足解得，，A.在速度范圍內(nèi)，所以A滿足題意，故A正確；B.不在速度范圍內(nèi)，所以B不滿足題意，故B錯(cuò)誤；C.不在速度范圍內(nèi)，所以C不滿足題意，故C錯(cuò)誤；D.不在速度范圍內(nèi)，所以D不滿足題意，故D錯(cuò)誤；變式1.2如圖，豎直環(huán)A半徑為r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右兩側(cè)各有一，擋板固定寵愛地上，B不能左右運(yùn)動(dòng)，在環(huán)的最低點(diǎn)靜放有一小球C，A、B、C的質(zhì)量均為m，現(xiàn)給小球一水平向右的瞬時(shí)速度v，小球會(huì)在環(huán)內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)，為保證小球能通過環(huán)的最高點(diǎn)，且不會(huì)使環(huán)在豎直方向上跳起（不計(jì)小球與環(huán)的摩擦阻力），小球在最低點(diǎn)的瞬時(shí)速度必需滿足A．最小值,最大值 B．最小值,最大值C．最小值,最大值 D．最小值,最大值【答案】C【詳解】在最高點(diǎn)，速度最小時(shí)有：解得：從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)的過程中，機(jī)械能守恒，設(shè)最低點(diǎn)的速度為v1′，依據(jù)機(jī)械能守恒定律，有：解得：要使不會(huì)使環(huán)在豎直方向上跳起，環(huán)對(duì)球的壓力最大為：F=2mg從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)的過程中，機(jī)械能守恒，設(shè)此時(shí)最低點(diǎn)的速度為v2′，在最高點(diǎn)，速度最大時(shí)有：依據(jù)機(jī)械能守恒定律有：解得：所以為保證小球能通過環(huán)的最高點(diǎn)，且不會(huì)使木板離開地面，在最低點(diǎn)的初速度范圍為：A．最小值，最大值，與結(jié)論不相符，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

B．最小值，最大值，與結(jié)論不相符，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；C．最小值，最大值，與結(jié)論相符，選項(xiàng)C正確；

D．最小值，最大值，與結(jié)論不相符，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；【例2】如圖所示，質(zhì)量為m的汽車，沿半徑為R的半圓形拱橋運(yùn)動(dòng)，當(dāng)汽車通過拱橋最高點(diǎn)B時(shí)速度大小為v，則此時(shí)（）A．汽車速度越大，對(duì)拱形橋壓力越大B．在B點(diǎn)的速度最小值為C．若汽車速度等于，汽車將做平拋運(yùn)動(dòng)，越過橋后落地點(diǎn)與B點(diǎn)的水平距離為D．若汽車對(duì)橋頂?shù)膲毫椋嚨乃俣却笮椤敬鸢浮緾【詳解】A．當(dāng)汽車通過拱橋最高點(diǎn)B時(shí)速度大小為v，設(shè)此時(shí)橋頂對(duì)汽車的支持力為FN，由牛頓其次定律可得解得

可知汽車速度越大，拱形橋?qū)ζ嚨闹С至υ叫?，由牛頓第三定律，可知汽車對(duì)拱形橋壓力越小，A錯(cuò)誤；B．當(dāng)汽車在B點(diǎn)的速度為時(shí)，由以上計(jì)算可知，此時(shí)橋?qū)ζ嚨闹С至κ橇?，即汽車的最大速度是，B錯(cuò)誤；C．若汽車速度等于，汽車與橋頂無(wú)相互作用力，汽車將做平拋運(yùn)動(dòng)，越過橋后到落地點(diǎn)，下落的高度則有解得

落地點(diǎn)與B點(diǎn)的水平距離為C正確；D．若汽車對(duì)橋頂?shù)膲毫?，由牛頓第三定律，可知橋頂對(duì)汽車的支持力大小為，由牛頓其次定律可得解得汽車的速度大小為D錯(cuò)誤。故選C。變式2.1如圖所示，一汽車過半徑均為50m的圓弧形凹橋和凸橋，在凹橋的最低處和凸橋的最高處的速度大小均為10m/s，取重力加速度大小g=10m/s2，則在凸橋的最高處和凹橋的最低處汽車對(duì)橋面的壓力大小之比為（）A．3:2 B．2:3 C．2:1 D．3:1【答案】B【詳解】在最高點(diǎn)，依據(jù)牛頓其次定律在最低點(diǎn)，依據(jù)牛頓其次定律解得故選B。變式2.2如圖所示，汽車通過拱橋最高點(diǎn)時(shí)（

）A．汽車隊(duì)橋的壓力等于汽車所受的重力B．汽車隊(duì)橋的壓力大于汽車所受的重力C．汽車速度越大，它對(duì)橋面的壓力就越大D．汽車速度越大，它對(duì)橋面的壓力就越小【答案】D【詳解】汽車通過拱橋最高點(diǎn)時(shí)由重力和支持力的合力供應(yīng)向心力解得依據(jù)牛頓第三定律可知對(duì)橋面的壓力<mg，汽車速度越大，它對(duì)橋面的壓力就越小。故選D。【例3】在豎直平面內(nèi)光滑圓軌道的外側(cè)，有一小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）以某一水平速度從最高點(diǎn)A動(dòng)身沿圓軌道運(yùn)動(dòng)，至B點(diǎn)時(shí)脫離軌道，最終落在水平面上的C點(diǎn)，圓軌道半徑為，重力加速度為，不計(jì)空氣阻力。下列說法中正確的是（）A．小球從A點(diǎn)動(dòng)身的速度大小B．小球經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度大小C．小球經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)速度變化率大小為D．小球落在C點(diǎn)時(shí)的速度方向豎直向下【答案】C【詳解】A．依據(jù)題意可知，小球在A點(diǎn)沒有脫離軌道，則小球?qū)A軌道的壓力不為零，由牛頓其次定律有解得故A錯(cuò)誤；B．依據(jù)題意可知，小球在B點(diǎn)脫離軌道，則小球?qū)A軌道的壓力為零，只受重力作用，設(shè)此時(shí)小球與圓心的連線與豎直方向的夾角為，由牛頓其次定律有解得故B錯(cuò)誤；C．依據(jù)題意可知，小球在B點(diǎn)脫離軌道，則小球?qū)A軌道的壓力為零，只受重力作用，小球的加速度為，即小球經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)速度變化率大小為，故C正確；D．依據(jù)題意可知，小球在B點(diǎn)脫離軌道，速度方向?yàn)樾毕蛳?，只受重力作用，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，小球落地時(shí)，水平方向速度不為零，則小球落在C點(diǎn)時(shí)的速度方向不行能豎直向下，故D錯(cuò)誤。故選C。變式3.1如圖所示，質(zhì)量為m的物體從半徑為R的半球形碗邊向碗底滑動(dòng)，滑到最低點(diǎn)時(shí)的速度為v，若物體與碗的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，則物體滑到最低點(diǎn)時(shí)受到的摩擦力的大小是（）A．μmg B． C． D．【答案】D【詳解】物體滑到最低點(diǎn)時(shí)得物體滑到最低點(diǎn)時(shí)受到的摩擦力的大小變式3.2如圖所示，上表面光滑，半徑為的半圓柱體放在水平面上，小物塊位于半圓柱體頂端，若給小物塊一水平速度，重力加速度取，下列說法正確的是（）A．小物塊將沿半圓柱體表面滑下來B．小物塊落地時(shí)水平位移大小為C．小物塊落地速度大小為D．小物塊落地時(shí)速度方向與水平地面成角【答案】C【詳解】A．設(shè)小物塊在半圓柱體頂端做圓周運(yùn)動(dòng)的臨界速度為，則重力剛好供應(yīng)向心力時(shí)，由牛頓其次定律得解得由于所以小物塊將離開半圓柱體做平拋運(yùn)動(dòng)，故A錯(cuò)誤；B．小物塊做平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)豎直方向滿足水平位移為聯(lián)立解得故B錯(cuò)誤；C．小物塊落地時(shí)豎直方向分速度大小為落地時(shí)速度的大小為聯(lián)立解得故C正確；D．由于故落地時(shí)速度方向與水平地面成角，滿足解得故D錯(cuò)誤。故選C。【例4】如圖所示，可視為質(zhì)點(diǎn)的、質(zhì)量為m的小球，在半徑為R的豎直放置的光滑圓形管道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，下列有關(guān)說法中正確的是（）A．小球能夠到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)的最小速度為0B．小球能夠通過最高點(diǎn)時(shí)的最小速度為C．假如小球在最高點(diǎn)時(shí)的速度大小為2，則此時(shí)小球?qū)艿赖膬?nèi)壁有作用力D．假如小球在最低點(diǎn)時(shí)的速度大小為，則小球通過最低點(diǎn)時(shí)與管道內(nèi)壁有相互作用力【答案】A【詳解】AB．圓形管道內(nèi)能支撐小球，小球能夠通過最高點(diǎn)時(shí)的最小速度為0，故A正確，B錯(cuò)誤；C．設(shè)管道對(duì)小球的彈力大小為，方向豎直向下。由牛頓其次定律得解得方向向下，依據(jù)牛頓第三定律得知：小球?qū)艿赖膹椓Ψ较蜇Q直向上，即小球?qū)艿赖耐獗谟凶饔昧Γ瑢?duì)管道的內(nèi)壁沒有作用力，故C錯(cuò)誤；D．在最低點(diǎn)，依據(jù)牛頓其次定律，有解得所以小球通過最低點(diǎn)時(shí)對(duì)管道的外壁有作用力，故D錯(cuò)誤。故選A。變式4.1如圖所示，小球在豎直放置的光滑圓形管道內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，小球直徑略小于管道的尺寸，內(nèi)側(cè)壁半徑為R，小球半徑為r，則下列說法正確的是（）A．小球通過最高點(diǎn)時(shí)的最小速度B．小球通過最低點(diǎn)時(shí)的最小速度C．小球在水平線ab以下的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，內(nèi)側(cè)管壁對(duì)小球肯定無(wú)作用力D．小球在水平線ab以上的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，外側(cè)管壁對(duì)小球肯定有作用力【答案】C【詳解】A．由于管道在最高點(diǎn)可以對(duì)小球產(chǎn)生向上的支持力，由牛頓其次定律當(dāng)時(shí)，速度最小，解得故A錯(cuò)誤；B．小球從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過程中，重力做正功，小球速度增大，所以通過最低點(diǎn)的速度大于0，故B錯(cuò)誤；C．小球在與圓心等高的水平線ab以下的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，豎直向下的重力沿半徑方向的分力沿半徑向外，小球所需的向心力是沿半徑向圓心的，所以小球肯定受到外側(cè)管壁指向圓心的作用力，內(nèi)側(cè)管壁對(duì)小球肯定無(wú)作用力，故C正確；D．小球在與圓心等高的水平線ab以上的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，豎直向下的重力沿半徑方向的分力沿半徑向圓心，小球所需的向心力也是沿半徑向圓心的；若小球的速度較小，重力沿半徑方向上的分力大于或等于小球做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，外側(cè)管壁對(duì)小球就沒有作用力，故D錯(cuò)誤。故選C。變式4.2如圖所示，在豎直平面內(nèi)的光滑圓形管道的半徑為（管徑遠(yuǎn)小于），小球、大小相同，質(zhì)量均為，直徑均略小于管徑，均能在管中無(wú)摩擦運(yùn)動(dòng)。兩球先后以相同速度v通過管道最低點(diǎn)，且當(dāng)小球在最低點(diǎn)時(shí)，小球在最高點(diǎn)，重力加速度為，以下說法正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，小球在管道最高點(diǎn)對(duì)管道壓力為0B．速度至少為，才能使兩球在管內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)C．當(dāng)小球在最高點(diǎn)對(duì)管道無(wú)壓力時(shí)，小球比小球所需向心力大D．只要兩小球能在管內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，就有小球在最低點(diǎn)對(duì)管道的壓力比小球在最高點(diǎn)對(duì)管道的壓力大【答案】A【詳解】AC．當(dāng)小球在最高點(diǎn)對(duì)軌道無(wú)壓力時(shí)，所需要的向心力從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)，由機(jī)械能守恒可得對(duì)于球，在最低點(diǎn)時(shí)，所需要的向心力聯(lián)立解得小球比小球所需向心力大，故C錯(cuò)誤，A正確；B．小球在最高點(diǎn)的速度只要大于零，小球即可通過最高點(diǎn)，最高點(diǎn)的臨界速度為0，依據(jù)機(jī)械能守恒定律得解得即速度至少為，才能使兩球在管內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，故B錯(cuò)誤；D．由B分析可知，若，兩小球恰能在管內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，小球在最高點(diǎn)對(duì)軌道的壓力大小小球在最低點(diǎn)時(shí)有解得小球在最低點(diǎn)對(duì)軌道的壓力比小球在最高點(diǎn)對(duì)軌道的壓力大，故D錯(cuò)誤。故選A。【例5】一豎直平面內(nèi)半徑為R的光滑圓軌道如圖所示，一質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）在大小恒定、方向始終指向圓心的外力的作用下，在圓軌道外側(cè)沿著軌道做圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球通過最低點(diǎn)B時(shí)，小球的速度大?。╣為重力加速度大?。?，軌道對(duì)小球的彈力大小為2mg，求：（1）外力的大??；（2）小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)所受的彈力大小?！敬鸢浮浚?）8mg；（2）8mg【詳解】（1）設(shè)外力大小為F，小球在最低點(diǎn)時(shí)，由牛頓其次定律有解得F=8mg（2）施加的外力始終指向圓心，外力不做功，故小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過程機(jī)械能守恒，有解得設(shè)小球在A點(diǎn)受到的彈力大小為FA，當(dāng)小球通過A點(diǎn)時(shí)，由牛頓其次定律有解得變式5.1長(zhǎng)l＝0.5m的輕繩，其一端連接著一個(gè)零件A，A的質(zhì)量m＝2kg?，F(xiàn)讓A在豎直平面內(nèi)繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示。（g＝10m/s2）求：（1）假如A恰好能到達(dá)最高點(diǎn)，此時(shí)A的速度為多少？（2）當(dāng)A在最高點(diǎn)的速度為4m/s時(shí)，A對(duì)繩子的作用力為多少？【答案】（1）；（2）【詳解】（1）A恰好能到達(dá)最高點(diǎn)，則有代入已知數(shù)據(jù)求得