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專題01指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)考點串講考點串講考點一、實數(shù)指數(shù)冪(1)n次方根:如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.正數(shù),負數(shù)的n次方根是一個負數(shù),這時a的n次方根用符號eq\r(n,a)表示.當n為偶數(shù)時,正數(shù)的n次方根有兩個,這兩個數(shù)互為相反數(shù).這時,正數(shù)a的正的n次方根用符號eq\r(n,a)表示,負的n次方根用符號-eq\r(n,a)表示.正的n次方根與負的n次方根可以合并寫成±eq\r(n,a).負數(shù)沒有偶次方根.0的n(n∈N*)次方根是0,記作eq\r(n,0)=0.(2)根式:式子eq\r(n,a)叫做根式,這里n叫做根指數(shù),a叫做被開方數(shù).n為奇數(shù)時,eq\r(n,an)=a;n為偶數(shù)時,eq\r(n,an)=|a|.(3)實數(shù)指數(shù)冪的有關概念:零指數(shù)冪:a0=1,這里a≠0.負整數(shù)指數(shù)冪:a-n=eq\f(1,an)(a≠0,n∈N*).正分數(shù)指數(shù)冪:aeq\s\up6(\f(m,n))=eq\r(n,am)(a>0,m,n∈N*,且n>1).負分數(shù)指數(shù)冪:aeq\s\up6(-\f(m,n))=eq\f(1,\r(n,am))(a>0,m,n∈N*,且n>1).0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.(4)實數(shù)指數(shù)冪的運算法則:;;.考點二、指數(shù)函數(shù)(1)指數(shù)函數(shù)的概念一般地,函數(shù)(且)叫做指數(shù)函數(shù),其中指數(shù)x是自變量,定義域是R,a是指數(shù)函數(shù)的底數(shù).結(jié)構(gòu)特征:底數(shù):大于零且不等于1的常數(shù);指數(shù):僅有自變量;系數(shù):的系數(shù)是1.(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象性質(zhì)定義域值域過定點單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)奇偶性非奇非偶函數(shù)考點三、對數(shù)及對數(shù)函數(shù)(1)對數(shù)①對數(shù)的定義:若,則叫做以為底的對數(shù),記作,其中叫做底數(shù),叫做真數(shù).負數(shù)和零沒有對數(shù).對數(shù)式與指數(shù)式的互化:.②幾個重要的對數(shù)恒等式,,.③常用對數(shù)與自然對數(shù)常用對數(shù):,即;自然對數(shù):,即(其中…).=4\*GB3④對數(shù)的運算法則:如果,那么加法:減法:數(shù)乘:對數(shù)恒等式:常用變形:換底公式:(2)對數(shù)函數(shù)①對數(shù)函數(shù)的概念一般地,函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù),其中x是自變量,函數(shù)的定義域是(0,+∞).②特殊的對數(shù)函數(shù)常用對數(shù)函數(shù):以10為底的對數(shù)函數(shù).自然對數(shù)函數(shù):以無理數(shù)e為底的對數(shù)函數(shù).③對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象性質(zhì)定義域:值域:過定點,即時,在上增函數(shù)在上是減函數(shù)當時,,當時,當時,,當時,=4\*GB3④不同底的對數(shù)函數(shù)圖象的相對位置一般地,對于底數(shù)a>1的對數(shù)函數(shù),在區(qū)間(1,+∞)內(nèi),底數(shù)越大越靠近x軸;對于底數(shù)0<a<1的對數(shù)函數(shù),在區(qū)間(1,+∞)內(nèi),底數(shù)越小越靠近x軸.熱考題型熱考題型類型一、實數(shù)指數(shù)冪的運算法則【例1】設,下列計算中正確的是()A.B.C. D.【答案】B【解析】對于A,,錯誤;對于B,,正確;對于C,,錯誤;對于D,,錯誤,故選:B.【變式1】已知,則()A. B. C. D.【答案】B【解析】因為,所以,故選:B.【變式2】化簡結(jié)果為()A.a(chǎn) B.b C. D.【答案】A【解析】根據(jù)實數(shù)指數(shù)冪的運算公式,可得:,故選:A.類型二、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征【例1】若函數(shù)是指數(shù)函數(shù),則()A.且 B. C.或 D.【答案】D【解析】若函數(shù)是指數(shù)函數(shù),則,解得,或,又指數(shù)函數(shù)的底數(shù)且,故.故選:.【例2】若函數(shù)是對數(shù)函數(shù),則.【答案】5【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義有,解得.故答案為:5.【變式1】函數(shù)是指數(shù)函數(shù),則()A.或B.C.D.且【答案】C【解析】由指數(shù)函數(shù)定義知,同時,且,所以解得.故選:C【變式2】已知對數(shù)函數(shù),則.【答案】2【解析】由對數(shù)函數(shù)的定義,可得,解得.故答案為:2.類型三、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)恒過定點【例1】函數(shù)的圖象一定過定點.【答案】【解析】函數(shù),由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),令,可得,當時,可得,圖象一定過定點.故答案為:.【例2】函數(shù)曲線恒過定點()A.B.C.D.【答案】C【解析】因為對數(shù)函數(shù)恒過點,所以函數(shù)曲線恒過點.故選:C.【變式1】函數(shù)的圖象恒過的定點是.【答案】【解析】指數(shù)函數(shù)恒過定點,令得,此時,故函數(shù)的圖象恒過的定點是.故答案為:.【變式2】函數(shù)(且)的圖象恒過定點.【答案】【解析】因為函數(shù)(且),令,解得,所以,即函數(shù)恒過點.故答案為:.類型四、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的比較大小【例1】已知,,,則的大小關系是(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】構(gòu)造可知單調(diào)遞增,,,構(gòu)造可知單調(diào)遞減,,,構(gòu)造可知單調(diào)遞減,,,所以,故選:A.【變式1】設,,,則()A.B.C.D.【答案】A【解析】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增,則,即,所以;因為函數(shù)在單調(diào)遞增,則,所以;因為函數(shù)在上單調(diào)遞減,則,所以,綜上,.故選:A.【變式2】已知,則a,b,c的大小關系為()A.B.C.D.【答案】C【解析】由于,故.故選:C.類型五、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖像【例1】函數(shù)的圖象大致為(
)A.B.C. D.【答案】A【解析】因為,所以單調(diào)遞增,且恒過點,故A為正確答案.故選:A.【例2】已知函數(shù)(且,,為常數(shù))的圖象如圖,則下列結(jié)論正確的是()A.,B.,C.,D.,【答案】D【解析】因為函數(shù)為減函數(shù),所以,又因為函數(shù)圖象與軸的交點在正半軸,所以,即,又因為函數(shù)圖象與軸有交點,所以,所以,故選:D.【變式1】函數(shù)的圖象大致是(
)A.B.C. D.【答案】D【解析】由,得函數(shù)是以為底數(shù)的指數(shù)函數(shù),且函數(shù)為減函數(shù),故D選項符合題意,故選:D.【變式2】函數(shù)與函數(shù)且的圖象大致是()A.B.C. D.【答案】B【解析】函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,且過定點(0,1+a),當0<a<1時,1<1+a<2,即f(x)與y軸交點縱坐標介于1和2之間,此時過定點(1,0)且在單調(diào)遞減,沒有符合的選項;當a>1時,1+a>2,即f(x)與y軸交點縱坐標大于2,此時g(x)過定點(1,0)且在單調(diào)遞增,符合的選項為B.故選B.類型六、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的綜合【例1】已知函數(shù),其中是指數(shù)函數(shù).(1)求的表達式;(2)解不等式:.【答案】(1);(2)【解析】解:(1)是指數(shù)函數(shù)
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