專題03 簡(jiǎn)單幾何體（4考點(diǎn)串講+6熱考題型）（高教版2021·基礎(chǔ)模塊下冊(cè)）（解析版）

專題03簡(jiǎn)單幾何體考點(diǎn)串講考點(diǎn)串講考點(diǎn)一、直觀圖的畫(huà)法1、空間幾何體的直觀圖的繪制方法：（1）畫(huà)軸.在平面圖形中取互相垂直的軸和軸，兩軸相交于點(diǎn),畫(huà)直觀圖時(shí)，把它們分別畫(huà)成對(duì)應(yīng)的軸與軸，兩軸交于點(diǎn),且使”(或）,它們確定的平面表示水平面；（2）畫(huà)底面.已知圖形中，平行于軸軸或軸的線段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行于軸、軸或軸的線段；（3）畫(huà)側(cè)棱.已知圖形中平行于軸或軸的線段，在直觀圖中保持長(zhǎng)度不變，平行于軸的線段，長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半；（4）成圖.連線成圖以后，擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖.簡(jiǎn)記為：①畫(huà)軸；②畫(huà)底面；③畫(huà)側(cè)棱；④成圖.2、斜二測(cè)畫(huà)法保留了原圖形中的三個(gè)性質(zhì)：（1）平行性不變，即在原圖中平行的線在直觀圖中仍然平行；（2）共點(diǎn)性不變，即在原圖中相交的直線仍然相交；（3）平行于，軸的長(zhǎng)度不變．考點(diǎn)二、多面體（棱柱、棱錐）1、棱柱（1）棱柱的概念名稱定義圖形及表示相關(guān)概念棱柱有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱如圖可記作：棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′底面：兩個(gè)互相平行的面?zhèn)让妫浩溆喔髅鎮(zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點(diǎn)：側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)（2）棱柱的分類按底面多邊形邊數(shù)來(lái)分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……按側(cè)棱是否與底面垂直：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四邊形的四棱柱也叫做平行六面體.（3）棱柱的性質(zhì)側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形；兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形；過(guò)不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形；直棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)與高相等且側(cè)面、對(duì)角面都是矩形．2、棱錐（1）棱錐的概念名稱定義圖形及表示相關(guān)概念棱錐有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐如圖可記作：棱錐S—ABCD底面：多邊形面?zhèn)让妫河泄岔旤c(diǎn)的各個(gè)三角形面?zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點(diǎn)：各側(cè)面的公共頂點(diǎn)（2）棱錐的分類按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱錐、四棱錐……底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐.（3）正棱錐的性質(zhì)側(cè)棱相等，側(cè)面是全等的等腰三角形；棱錐的高、斜高和斜高在底面上的射影構(gòu)成一個(gè)直角三角形；棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面上的射影也構(gòu)成一個(gè)直角三角形；斜高、側(cè)棱及底面邊長(zhǎng)的一半也構(gòu)成一個(gè)直角三角形；側(cè)棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底面邊長(zhǎng)的一半也構(gòu)成一個(gè)直角三角形．考點(diǎn)三、旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓柱、球）1、圓柱定義以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體圖示及相關(guān)概念軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；高：在軸上的邊(或它的長(zhǎng)度)；底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面；側(cè)面：不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面；母線：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊.2、圓錐定義以直角三角形一直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將直角三角形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體.圖示及相關(guān)概念軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸高：在軸上的邊(或它的長(zhǎng)度)底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面?zhèn)让妫翰淮怪庇谳S的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面母線：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊3、球球面及球的定義球面可以看成一個(gè)半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面；球面圍成的幾何體，稱為球．球面也可以看成：空間中到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.圖示及相關(guān)概念球心：形成球面的半圓的圓心；半徑：連接球面上一點(diǎn)和球心的線段；直徑：連接球面上兩點(diǎn)且通過(guò)球心的線段；大圓與小圓：球面被經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓稱為球的大圓，被不經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓稱為球的小圓.考點(diǎn)四、簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積（1）柱體、錐體的表面積直棱柱、正棱錐的側(cè)面積：S直棱柱側(cè)＝Ch，S正棱錐側(cè)＝eq\f(1,2)Ch′(其中C為底面周長(zhǎng)，h為高，h′為斜高)．圓柱、圓錐的側(cè)面積：S圓柱側(cè)＝2πrl，S圓錐側(cè)＝πrl(其中r為底面半徑，l為母線長(zhǎng))．柱的表面積等于側(cè)面積與兩個(gè)底面積的和，錐體的表面積等于側(cè)面積與一個(gè)底面積的和．（2）柱體、錐體的體積棱柱、棱錐的體積：V棱柱＝Sh，V棱錐＝eq\f(1,3)Sh(其中S為底面積，h為高)．圓柱、圓錐的體積：V圓柱＝πr2h，V圓錐＝eq\f(1,3)πr2h(其中r為底面圓的半徑，h為高)．（3）球的表面積與體積半徑為R的球的表面積：S球＝4πR2．半徑為R的球的體積：V球＝eq\f(4,3)πR3．（4）球的截面的性質(zhì)球心和截面圓心的連線垂直于截面；球心到截面的距離d與球的半徑R及截面圓的半徑r之間滿足關(guān)系式：.熱考題型熱考題型類型一、直觀圖的畫(huà)法【例1】如圖，平行四邊形是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中,，則原圖形的面積是（

）A．4 B． C． D．【答案】B【解析】平行四邊形中，，所以平行四邊形的面積為，所以原平面圖形的面積是：.故選：B.【變式1】如圖所示，正方形的邊長(zhǎng)為2cm，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長(zhǎng)是（）A．16cmB．cmC．8cm D．cm【答案】A【解析】由斜二測(cè)畫(huà)法，原圖形是平行四邊形，，又，，，所以，周長(zhǎng)為.故選：A．【變式2】如圖，是水平放置的的斜二測(cè)畫(huà)法的直觀圖，其中，則是（）A．鈍角三角形 B．等腰三角形，但不是直角三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】C【解析】將其還原成原圖，設(shè)，則可得，，從而，所以，即，故是等腰直角三角形.故選：C.類型二、棱柱、棱錐的表面積【例1】已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)面的對(duì)角線長(zhǎng)是，則這個(gè)正四棱柱的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意側(cè)棱長(zhǎng)為，所以表面積為：．故選：A.【例2】棱長(zhǎng)都是3的正四面體的表面積為（

）A． B． C． D．54【答案】A【解析】因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為3，所以正四面體的表面積為.故選：A.【變式1】已知直棱柱的底面周長(zhǎng)為12，高為4，則這個(gè)棱柱的側(cè)面積等于___________.【答案】48【解析】因?yàn)橹崩庵牡酌嬷荛L(zhǎng)為12，高為4，所以這個(gè)棱柱的側(cè)面積為.故答案為：48.【變式2】已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為6，側(cè)棱長(zhǎng)為5，則此棱錐的側(cè)面積為（

）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】D【解析】正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為6，側(cè)棱長(zhǎng)為5，則其斜高，所以正四棱錐的側(cè)面積.故選：D.類型三、棱柱、棱錐的體積【例1】已知正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為2，則該三棱柱的體積為_(kāi)__________.【答案】6【解析】由題設(shè)，所以該三棱柱的體積為.故答案為：6.【例2】如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為1，則三棱錐D-ACD1的體積是（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】三棱錐D-ACD1的體積等于三棱錐D1-ACD的體積，三棱錐D1-ACD的底面ACD是直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，高D1D=1，∴三棱錐D-ACD1的體積為V=×1×1×1=.故選：A.【變式1】正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為4，底面邊長(zhǎng)為6，則此三棱柱的體積為_(kāi)___________.【答案】【解析】作出圖示如下圖所示：因?yàn)?，所以，所以此三棱柱的體積為.故答案為：.【變式2】已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，則該正四棱錐的體積等于（

）A． B． C． D．4【答案】A【解析】如圖，正四棱錐，，，則，則該正四棱錐的體積.故選：A.類型四、圓柱、圓錐的表面積【例1】用一個(gè)寬2厘米、長(zhǎng)3厘米的矩形卷一個(gè)圓柱，則此圓柱的側(cè)面積為（

）平方厘米.A．5 B．6 C．8 D．12【答案】B【解析】用一個(gè)寬2厘米、長(zhǎng)3厘米的矩形卷一個(gè)圓柱，所以此圓柱的側(cè)面積為矩形的面積平方厘米.故選：B.【例2】已知圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，則該圓錐表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形可知：圓錐的底面圓半徑，母線長(zhǎng)，所以圓錐的表面積為.故選：D.【變式1】已知圓柱的軸截面是面積為100的正方形，則該圓柱的側(cè)面積為（

）A． B．200 C． D．【答案】C【解析】由題意，圓柱的軸截面是面積為100的正方形，可得圓柱的軸截面邊長(zhǎng)為10，所以圓柱的底面半徑為5，母線長(zhǎng)為10，所以側(cè)面積為.故選：C.【變式2】已知圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為120°的扇形，則該圓錐的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，則，解得，則該圓錐的表面積為.故選：C.類型五、圓柱、圓錐的體積【例1】已知底面直徑和高相等的圓柱的底面積為，則圓柱的體積為_(kāi)_____．【答案】【解析】依題意，圓柱的底面圓半徑，有，解得，則圓柱的高，所以圓柱的體積.故答案為：.【例2】已知某圓錐的母線長(zhǎng)為2，其軸截面為直角三角形，則圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，圓錐的底面半徑，圓錐的高，所以圓錐的體積.故選：A.【變式1】以邊長(zhǎng)為2的正方形一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到的幾何體的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】以邊長(zhǎng)為2的正方形一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到的幾何體為圓柱，圓柱的高為，底面半徑為，所以該圓柱的體積為.故選：C.【變式2】一個(gè)圓錐的表面積為，它的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為_(kāi)__________.【答案】【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則，即，由圓心角的計(jì)算公式，即，解得，所以高，體積.故答案為：.類型六、球的表面積和體積【例1】長(zhǎng)?寬?高分別為1，2，3的長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為.【答案】【解析】設(shè)球的半徑為，由于長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為其外接球的直徑，則，故該球的表面積為.故答案為：.【例2】表面積為24的正方體的頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的體積為_(kāi)___________