專(zhuān)題12 數(shù)列通項(xiàng)與數(shù)列求和的綜合應(yīng)用（3知識(shí)點(diǎn)+5重難點(diǎn)+12方法技巧+2易錯(cuò)易混）（原卷版）-2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)

專(zhuān)題12數(shù)列通項(xiàng)與數(shù)列求和的綜合應(yīng)用（思維構(gòu)建+知識(shí)盤(pán)點(diǎn)+重點(diǎn)突破+方法技巧+易混易錯(cuò)）知識(shí)點(diǎn)1數(shù)列的遞推公式1、遞推公式：如果已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開(kāi)始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．2、通項(xiàng)公式和遞推公式的異同點(diǎn)不同點(diǎn)相同點(diǎn)通項(xiàng)公式可根據(jù)某項(xiàng)的序號(hào)n的值，直接代入求出an都可確定一個(gè)數(shù)列，也都可求出數(shù)列的任意一項(xiàng)遞推公式可根據(jù)第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))的值，通過(guò)一次(或多次)賦值，逐項(xiàng)求出數(shù)列的項(xiàng)，直至求出所需的an，也可通過(guò)變形轉(zhuǎn)化，直接求出an知識(shí)點(diǎn)2數(shù)列通項(xiàng)公式的求法1、觀察法：已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對(duì)所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫(xiě)出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)．2、公式法（1）使用范圍：若已知數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式構(gòu)造兩式作差求解．（2）用此公式時(shí)要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個(gè)表達(dá)，（要先分和兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一）．3、累加法：適用于an＋1＝an＋f(n)，可變形為an＋1－an＝f(n)要點(diǎn)：利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解4、累乘法：適用于an＋1＝f(n)an，可變形為eq\f(an＋1,an)＝f(n)要點(diǎn)：利用恒等式an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)(an≠0，n≥2，n∈N*)求解5、構(gòu)造法：對(duì)于不滿足an＋1＝an＋f(n)，an＋1＝f(n)an形式的遞推關(guān)系，常采用構(gòu)造法要點(diǎn)：對(duì)所給的遞推公式進(jìn)行變形構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行求解類(lèi)型一：形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式：（1）若時(shí)，數(shù)列{}為等差數(shù)列；（2）若時(shí)，數(shù)列{}為等比數(shù)列；（3）若且時(shí)，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過(guò)待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來(lái)求．方法有如下兩種：法一：設(shè)，展開(kāi)移項(xiàng)整理得，與題設(shè)比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得，即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得法二：由得兩式相減并整理得即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．求出的通項(xiàng)再轉(zhuǎn)化為累加法便可求出類(lèi)型二：形如型的遞推式：（1）當(dāng)為一次函數(shù)類(lèi)型（即等差數(shù)列）時(shí)：法一：設(shè)，通過(guò)待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得法二：當(dāng)?shù)墓顬闀r(shí)，由遞推式得：，兩式相減得：，令得：轉(zhuǎn)化為類(lèi)型Ⅴ㈠求出，再用累加法便可求出（2）當(dāng)為指數(shù)函數(shù)類(lèi)型（即等比數(shù)列）時(shí)：法一：設(shè)，通過(guò)待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得法二：當(dāng)?shù)墓葹闀r(shí)，由遞推式得：—①，，兩邊同時(shí)乘以得—②，由①②兩式相減得，即，構(gòu)造等比數(shù)列。法三：遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）或（其中p，q，r均為常數(shù)）時(shí)，要先在原遞推公式兩邊同時(shí)除以，得：，引入輔助數(shù)列（其中），得：，再結(jié)合第一種類(lèi)型。6、取倒數(shù)法：an＋1＝eq\f(pan,qan＋r)(p，q，r是常數(shù))，可變形為eq\f(1,an＋1)＝eq\f(r,p)·eq\f(1,an)＋eq\f(q,p)要點(diǎn)：①若p＝r，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列，且公差為eq\f(q,p)，可用公式求通項(xiàng)；②若p≠r，則轉(zhuǎn)化為an＋1＝san＋t型，再利用待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列求解7、三項(xiàng)遞推構(gòu)造：適用于形如型的遞推式用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列的形式求解．方法為：設(shè)，比較系數(shù)得，可解得，于是是公比為的等比數(shù)列，這樣就化歸為型．8、不動(dòng)點(diǎn)法（1）定義：方程的根稱(chēng)為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．利用函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，可將某些遞推關(guān)系所確定的數(shù)列化為等比數(shù)列或較易求通項(xiàng)的數(shù)列，這種求數(shù)列通項(xiàng)的方法稱(chēng)為不動(dòng)點(diǎn)法．（2）在數(shù)列中，已知，且時(shí)，（是常數(shù)），=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列；=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，數(shù)列為常數(shù)數(shù)列；=3\*GB3③當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等比數(shù)列；=4\*GB3④當(dāng)時(shí)，稱(chēng)是數(shù)列的一階特征方程，其根叫做特征方程的特征根，這時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式為：；（3）形如，，（是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項(xiàng)，其特征方程為（*）．（1）若方程（*）有二異根、，則可令（、是待定常數(shù)）；（2）若方程（*）有二重根，則可令（、是待定常數(shù)）．(其中、可利用，求得)知識(shí)點(diǎn)3數(shù)列求和的方法1、公式法（1）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，推導(dǎo)方法：倒序相加法．（2）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，推導(dǎo)方法：乘公比，錯(cuò)位相減法．（3）一些常見(jiàn)的數(shù)列的前n項(xiàng)和：①；②；③；=4\*GB3④2、分組轉(zhuǎn)化法求和（1）適用范圍：某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個(gè)可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，注意在含有字母的數(shù)列中對(duì)字母的討論．（2）常見(jiàn)類(lèi)型：=1\*GB3①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列；=2\*GB3②通項(xiàng)公式為an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn，n為奇數(shù)，,cn，n為偶數(shù)))的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列.3、并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱(chēng)之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類(lèi)型，可采用兩項(xiàng)合并求解．例如，．4、倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的．5、裂項(xiàng)相消法求和：如果一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)為分式或根式的形式，且能拆成結(jié)構(gòu)相同的兩式之差，那么通過(guò)累加將一些正、負(fù)項(xiàng)相互抵消，只剩下有限的幾項(xiàng)，從而求出該數(shù)列的前n項(xiàng)和．6、錯(cuò)位相減法求和：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法來(lái)求.重難點(diǎn)01三項(xiàng)遞推法求數(shù)列的通項(xiàng)公式【典例1】（23-24高三上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列，則an的通項(xiàng)公式為.【典例2】（23-24高三上·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，且，，則.重難點(diǎn)02不動(dòng)點(diǎn)法求數(shù)列的通項(xiàng)公式【典例1】（23-24高三上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則．【典例2】（23-24高三上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則．重難點(diǎn)03數(shù)列新定義問(wèn)題1、數(shù)列新定義問(wèn)題的特點(diǎn)：通過(guò)給出一個(gè)新的數(shù)列的概念，或約定一種新的運(yùn)算，或給出幾個(gè)新的模型來(lái)創(chuàng)設(shè)全新的問(wèn)題情境，在閱讀、理解題目含義的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，或達(dá)到靈活解題的目的。2、數(shù)列新定義問(wèn)題的解題思路：遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按要求逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使問(wèn)題得以解決?！镜淅?】（23-24高三上·湖南邵陽(yáng)·月考）如果數(shù)列滿足：且則稱(chēng)為n階“歸化”數(shù)列.(1)若某3階“歸化”數(shù)列是等差數(shù)列，且單調(diào)遞增，寫(xiě)出該數(shù)列的各項(xiàng)；(2)若某11階“歸化”數(shù)列是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)若為n階“歸化”數(shù)列，求證【典例2】（23-24高三下·江蘇無(wú)錫·月考）如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都大于3，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)列為“型數(shù)列”.(1)若數(shù)列滿足，判斷是否為“型數(shù)列”，并說(shuō)明理由；(2)已知正項(xiàng)數(shù)列為“型數(shù)列”，，數(shù)列滿足，n∈N*，是等比數(shù)列，公比為正整數(shù)，且不是“型數(shù)列”，①求證：數(shù)列為遞增數(shù)列；②求數(shù)列的通項(xiàng)公式.重難點(diǎn)04兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)問(wèn)題兩個(gè)不同的數(shù)列，含有一些公共項(xiàng)，這些公共項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列，根據(jù)新數(shù)列特征，求指定項(xiàng)、通項(xiàng)或求和等問(wèn)題，求解時(shí)注意明確公共項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)。當(dāng)公共項(xiàng)數(shù)量有限時(shí)，可分別列出兩個(gè)數(shù)列的若干項(xiàng)，進(jìn)而找到公共項(xiàng)；當(dāng)公共項(xiàng)數(shù)量無(wú)限時(shí)，可設(shè)數(shù)列的第項(xiàng)或數(shù)列的第項(xiàng)相等，建立與的關(guān)系，再考慮確定取值情況，從而解決問(wèn)題?！镜淅?】（23-24高三下·黑龍江哈爾濱·第五次模擬）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)積為，數(shù)列bn滿足，（，）．(1)求數(shù)列an，b(2)將數(shù)列an，bn中的公共項(xiàng)從小到大排列構(gòu)成新數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【典例2】（22-23高三上·重慶·月考）已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，且，若．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)由，的公共項(xiàng)構(gòu)成的新數(shù)列記為，求數(shù)列的前5項(xiàng)之和．重難點(diǎn)05數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題是高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容，考查方式主要有三種：（1）判斷數(shù)列問(wèn)題中的一些不等關(guān)系，可以利用數(shù)列的單調(diào)性比較大小，或者是借助數(shù)列對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性比較大??；（2）以數(shù)列為載體，考查不等式的恒成立問(wèn)題，此類(lèi)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題；（3）考查與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問(wèn)題，此類(lèi)問(wèn)題大多還要借助函數(shù)取證明，或者直接利用放縮法證明?！镜淅?】（23-24高三下·山東煙臺(tái)·三模）在數(shù)列中，已知，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：.【典例2】（23-24高三下·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.一、已知Sn求an的三個(gè)步驟（1）利用a1＝S1求出a1.（2）當(dāng)n≥2時(shí)，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表達(dá)式．（3）看a1是否符合n≥2時(shí)an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫(xiě)；否則應(yīng)寫(xiě)成分段的形式，即an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問(wèn)題向兩個(gè)不同的方向轉(zhuǎn)化．（1）利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解．（2）利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．【典例1】（23-24高三下·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）數(shù)列an的前項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高三下·安徽合肥·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)，且滿足，則（

）A． B． C． D．【典例3】（23-24高三上·河南·期中）在數(shù)列中，，，，則（

）A． B．15 C． D．10二、累加法求通項(xiàng)公式形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：【典例1】（23-24高三上·廣東中山·第三次模擬）在數(shù)列中，，，則的值為.【典例2】（23-24高三下·河北唐山·二模）已知數(shù)列滿足，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【典例3】（23-24高三下·山西·三模）已知數(shù)列對(duì)任意均有.若，則（

）A．530 B．531 C．578 D．579三、累乘法求通項(xiàng)公式形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：【典例1】（23-24高三下·浙江溫州·一模）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，則.【典例2】（23-24高三下·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，其中，則（

）A． B． C． D．四、形如的構(gòu)造法形如（為常數(shù)，且）的遞推式，可構(gòu)造，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解．也可以與類(lèi)比式作差，由，構(gòu)造為等比數(shù)列，然后利用疊加法求通項(xiàng)．【典例1】（23-24高三上·河南焦作·開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，，則滿足的最小正整數(shù)．【典例2】（23-24高三上·遼寧沈陽(yáng)·月考）已知數(shù)列滿足，，則滿足不等式的k（k為正整數(shù)）的值為．五、形如的構(gòu)造法形如，）的遞推式，當(dāng)時(shí)，兩邊同除以轉(zhuǎn)化為關(guān)于的等差數(shù)列；當(dāng)時(shí)，兩邊人可以同除以得，轉(zhuǎn)化為．【典例1】（23-24高三上·江西宜春·開(kāi)學(xué)考試 ）已知正項(xiàng)數(shù)列中，，則數(shù)列的通項(xiàng)（

）A． B．C． D．【典例2】（23-24高三上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.六、形如的構(gòu)造法通過(guò)配湊轉(zhuǎn)化為，通過(guò)待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得【典例1】（23-24高三下·廣東·月考）在數(shù)列中，，且，則的通項(xiàng)公式為．【典例2】（23-24高三上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.七、取倒數(shù)法求通項(xiàng)對(duì)于，取倒數(shù)得．當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列；當(dāng)時(shí)，令，則，可用待定系數(shù)法求解．【典例1】（23-24高三上·湖北仙桃·月考）已知數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)公式．【典例2】（23-24高三上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．八、倒序相加法求數(shù)列的前n項(xiàng)和如果一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的．求和時(shí)可以將正著寫(xiě)與倒著寫(xiě)的兩個(gè)式子相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和．【典例1】（23-24高三下·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A．-8088 B．-8090 C．-8092 D．-8094【典例2】（23-24高三下·上?！つM預(yù)測(cè)）已知，數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，令，求數(shù)列的前2024項(xiàng)和.九、并項(xiàng)求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可兩兩結(jié)合求解，則稱(chēng)之為并項(xiàng)求和．一般地，若數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)或幾項(xiàng)的和是同一個(gè)常數(shù)或有規(guī)律可循，可使用并項(xiàng)求和法．形如an＝(－1)nf(n)類(lèi)型，可采用兩項(xiàng)合并求解．【典例1】（23-24高三下·江蘇蘇州·月考）已知數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【典例2】（23-24高三下·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)證明：是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前100項(xiàng)和．十、分組轉(zhuǎn)化法求數(shù)列的前n項(xiàng)和數(shù)列的通項(xiàng)較復(fù)雜時(shí)，把原數(shù)列的每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)(或多項(xiàng))的和或差，從而將原數(shù)列分解成兩個(gè)(或多個(gè))數(shù)列的和或差，這兩個(gè)(或多個(gè))數(shù)列常常是等差數(shù)列、等比數(shù)列，或是有規(guī)律的數(shù)列(其和易求)．求出這兩個(gè)(或多個(gè))數(shù)列的和，再相加或相減，得到原數(shù)列和的方法便是分組求和法．【典例1】（23-24高三下·山東·二模）已知數(shù)列，中，，，是公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【典例2】（23-24高三下·山西·三模）已知等差數(shù)列的公差，前項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.十一、裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和1、用裂項(xiàng)法求和的裂項(xiàng)原則及規(guī)律（1）裂項(xiàng)原則：一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．（2）消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)．【注意】利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，既要注意檢驗(yàn)通項(xiàng)公式裂項(xiàng)前后是否等價(jià)，又要注意求和時(shí)，正負(fù)項(xiàng)相消消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫(xiě)未被消去的項(xiàng)．2、裂項(xiàng)相消法中常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）【典例1】（23-24高三下·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的公差不為0，其前n項(xiàng)和為，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【典例2】（24-25高三上·廣東·開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為的前項(xiàng)和，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，記的前項(xiàng)和為，求證：．【典例3】（23-24高三下·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）在等差數(shù)列an（）中，，.(1)求an(2)若，數(shù)列的bn前項(xiàng)和為，證明.【典例4】（23-24高三下·新疆·三模）若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)和前一項(xiàng)的比值組成的新數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)列是一個(gè)“二階等比數(shù)列”，如：1，3，27，729，…….已知數(shù)列是一個(gè)二階等比數(shù)列，，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.十二、錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和1、解題步驟2、注意解題“3關(guān)鍵”①要善于識(shí)別題目類(lèi)型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形．②在