專題12 數(shù)列通項與數(shù)列求和的綜合應(yīng)用（3知識點+5重難點+12方法技巧+2易錯易混）（原卷版）-2025高考數(shù)學一輪復習知識

專題12數(shù)列通項與數(shù)列求和的綜合應(yīng)用（思維構(gòu)建+知識盤點+重點突破+方法技巧+易混易錯）知識點1數(shù)列的遞推公式1、遞推公式：如果已知數(shù)列{an}的第1項(或前幾項)，且從第二項(或某一項)開始的任一項an與它的前一項an－1(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式．2、通項公式和遞推公式的異同點不同點相同點通項公式可根據(jù)某項的序號n的值，直接代入求出an都可確定一個數(shù)列，也都可求出數(shù)列的任意一項遞推公式可根據(jù)第一項(或前幾項)的值，通過一次(或多次)賦值，逐項求出數(shù)列的項，直至求出所需的an，也可通過變形轉(zhuǎn)化，直接求出an知識點2數(shù)列通項公式的求法1、觀察法：已知數(shù)列前若干項，求該數(shù)列的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個通項．2、公式法（1）使用范圍：若已知數(shù)列的前項和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項可用公式構(gòu)造兩式作差求解．（2）用此公式時要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個表達，（要先分和兩種情況分別進行運算，然后驗證能否統(tǒng)一）．3、累加法：適用于an＋1＝an＋f(n)，可變形為an＋1－an＝f(n)要點：利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解4、累乘法：適用于an＋1＝f(n)an，可變形為eq\f(an＋1,an)＝f(n)要點：利用恒等式an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)(an≠0，n≥2，n∈N*)求解5、構(gòu)造法：對于不滿足an＋1＝an＋f(n)，an＋1＝f(n)an形式的遞推關(guān)系，常采用構(gòu)造法要點：對所給的遞推公式進行變形構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列進行求解類型一：形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式：（1）若時，數(shù)列{}為等差數(shù)列；（2）若時，數(shù)列{}為等比數(shù)列；（3）若且時，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求．方法有如下兩種：法一：設(shè)，展開移項整理得，與題設(shè)比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得，即構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得法二：由得兩式相減并整理得即構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列．求出的通項再轉(zhuǎn)化為累加法便可求出類型二：形如型的遞推式：（1）當為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時：法一：設(shè)，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得法二：當?shù)墓顬闀r，由遞推式得：，兩式相減得：，令得：轉(zhuǎn)化為類型Ⅴ㈠求出，再用累加法便可求出（2）當為指數(shù)函數(shù)類型（即等比數(shù)列）時：法一：設(shè)，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得法二：當?shù)墓葹闀r，由遞推式得：—①，，兩邊同時乘以得—②，由①②兩式相減得，即，構(gòu)造等比數(shù)列。法三：遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）或（其中p，q，r均為常數(shù)）時，要先在原遞推公式兩邊同時除以，得：，引入輔助數(shù)列（其中），得：，再結(jié)合第一種類型。6、取倒數(shù)法：an＋1＝eq\f(pan,qan＋r)(p，q，r是常數(shù))，可變形為eq\f(1,an＋1)＝eq\f(r,p)·eq\f(1,an)＋eq\f(q,p)要點：①若p＝r，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列，且公差為eq\f(q,p)，可用公式求通項；②若p≠r，則轉(zhuǎn)化為an＋1＝san＋t型，再利用待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列求解7、三項遞推構(gòu)造：適用于形如型的遞推式用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列的形式求解．方法為：設(shè)，比較系數(shù)得，可解得，于是是公比為的等比數(shù)列，這樣就化歸為型．8、不動點法（1）定義：方程的根稱為函數(shù)的不動點．利用函數(shù)的不動點，可將某些遞推關(guān)系所確定的數(shù)列化為等比數(shù)列或較易求通項的數(shù)列，這種求數(shù)列通項的方法稱為不動點法．（2）在數(shù)列中，已知，且時，（是常數(shù)），=1\*GB3①當時，數(shù)列為等差數(shù)列；=2\*GB3②當時，數(shù)列為常數(shù)數(shù)列；=3\*GB3③當時，數(shù)列為等比數(shù)列；=4\*GB3④當時，稱是數(shù)列的一階特征方程，其根叫做特征方程的特征根，這時數(shù)列的通項公式為：；（3）形如，，（是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項，其特征方程為（*）．（1）若方程（*）有二異根、，則可令（、是待定常數(shù)）；（2）若方程（*）有二重根，則可令（、是待定常數(shù)）．(其中、可利用，求得)知識點3數(shù)列求和的方法1、公式法（1）等差數(shù)列的前n項和，推導方法：倒序相加法．（2）等比數(shù)列的前n項和，推導方法：乘公比，錯位相減法．（3）一些常見的數(shù)列的前n項和：①；②；③；=4\*GB3④2、分組轉(zhuǎn)化法求和（1）適用范圍：某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，注意在含有字母的數(shù)列中對字母的討論．（2）常見類型：=1\*GB3①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列；=2\*GB3②通項公式為an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn，n為奇數(shù)，,cn，n為偶數(shù)))的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列.3、并項求和法：一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．例如，．4、倒序相加法：如果一個數(shù)列{an}的前n項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項和公式即是用此法推導的．5、裂項相消法求和：如果一個數(shù)列的通項為分式或根式的形式，且能拆成結(jié)構(gòu)相同的兩式之差，那么通過累加將一些正、負項相互抵消，只剩下有限的幾項，從而求出該數(shù)列的前n項和．6、錯位相減法求和：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用錯位相減法來求.重難點01三項遞推法求數(shù)列的通項公式【典例1】（23-24高三上·全國·專題練習）已知數(shù)列，則an的通項公式為.【典例2】（23-24高三上·全國·模擬預測）已知數(shù)列滿足，且，，則.重難點02不動點法求數(shù)列的通項公式【典例1】（23-24高三上·全國·專題練習）已知數(shù)列滿足，，則．【典例2】（23-24高三上·全國·專題練習）已知數(shù)列滿足，，則．重難點03數(shù)列新定義問題1、數(shù)列新定義問題的特點：通過給出一個新的數(shù)列的概念，或約定一種新的運算，或給出幾個新的模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情境，在閱讀、理解題目含義的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，或達到靈活解題的目的。2、數(shù)列新定義問題的解題思路：遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按要求逐條分析、運算、驗證，使問題得以解決?！镜淅?】（23-24高三上·湖南邵陽·月考）如果數(shù)列滿足：且則稱為n階“歸化”數(shù)列.(1)若某3階“歸化”數(shù)列是等差數(shù)列，且單調(diào)遞增，寫出該數(shù)列的各項；(2)若某11階“歸化”數(shù)列是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項公式；(3)若為n階“歸化”數(shù)列，求證【典例2】（23-24高三下·江蘇無錫·月考）如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的比都大于3，則稱這個數(shù)列為“型數(shù)列”.(1)若數(shù)列滿足，判斷是否為“型數(shù)列”，并說明理由；(2)已知正項數(shù)列為“型數(shù)列”，，數(shù)列滿足，n∈N*，是等比數(shù)列，公比為正整數(shù)，且不是“型數(shù)列”，①求證：數(shù)列為遞增數(shù)列；②求數(shù)列的通項公式.重難點04兩個數(shù)列的公共項問題兩個不同的數(shù)列，含有一些公共項，這些公共項組成一個新數(shù)列，根據(jù)新數(shù)列特征，求指定項、通項或求和等問題，求解時注意明確公共項的項數(shù)。當公共項數(shù)量有限時，可分別列出兩個數(shù)列的若干項，進而找到公共項；當公共項數(shù)量無限時，可設(shè)數(shù)列的第項或數(shù)列的第項相等，建立與的關(guān)系，再考慮確定取值情況，從而解決問題?！镜淅?】（23-24高三下·黑龍江哈爾濱·第五次模擬）已知數(shù)列an的前n項積為，數(shù)列bn滿足，（，）．(1)求數(shù)列an，b(2)將數(shù)列an，bn中的公共項從小到大排列構(gòu)成新數(shù)列，求數(shù)列的通項公式．【典例2】（22-23高三上·重慶·月考）已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，且，若．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)設(shè)由，的公共項構(gòu)成的新數(shù)列記為，求數(shù)列的前5項之和．重難點05數(shù)列與不等式的綜合問題數(shù)列與不等式的綜合問題是高考考查的熱點內(nèi)容，考查方式主要有三種：（1）判斷數(shù)列問題中的一些不等關(guān)系，可以利用數(shù)列的單調(diào)性比較大小，或者是借助數(shù)列對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性比較大??；（2）以數(shù)列為載體，考查不等式的恒成立問題，此類問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題；（3）考查與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問題，此類問題大多還要借助函數(shù)取證明，或者直接利用放縮法證明?！镜淅?】（23-24高三下·山東煙臺·三模）在數(shù)列中，已知，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，為數(shù)列的前n項和，證明：.【典例2】（23-24高三下·廣東廣州·模擬預測）已知數(shù)列的前項和為，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.一、已知Sn求an的三個步驟（1）利用a1＝S1求出a1.（2）當n≥2時，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表達式．（3）看a1是否符合n≥2時an的表達式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫；否則應(yīng)寫成分段的形式，即an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向兩個不同的方向轉(zhuǎn)化．（1）利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解．（2）利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．【典例1】（23-24高三下·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）數(shù)列an的前項和為，則（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高三下·安徽合肥·三模）已知數(shù)列的前項和為，首項，且滿足，則（

）A． B． C． D．【典例3】（23-24高三上·河南·期中）在數(shù)列中，，，，則（

）A． B．15 C． D．10二、累加法求通項公式形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：【典例1】（23-24高三上·廣東中山·第三次模擬）在數(shù)列中，，，則的值為.【典例2】（23-24高三下·河北唐山·二模）已知數(shù)列滿足，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【典例3】（23-24高三下·山西·三模）已知數(shù)列對任意均有.若，則（

）A．530 B．531 C．578 D．579三、累乘法求通項公式形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：【典例1】（23-24高三下·浙江溫州·一模）已知正項數(shù)列滿足，則.【典例2】（23-24高三下·全國·模擬預測）已知數(shù)列滿足，其中，則（

）A． B． C． D．四、形如的構(gòu)造法形如（為常數(shù)，且）的遞推式，可構(gòu)造，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解．也可以與類比式作差，由，構(gòu)造為等比數(shù)列，然后利用疊加法求通項．【典例1】（23-24高三上·河南焦作·開學考試）已知數(shù)列滿足，，則滿足的最小正整數(shù)．【典例2】（23-24高三上·遼寧沈陽·月考）已知數(shù)列滿足，，則滿足不等式的k（k為正整數(shù)）的值為．五、形如的構(gòu)造法形如，）的遞推式，當時，兩邊同除以轉(zhuǎn)化為關(guān)于的等差數(shù)列；當時，兩邊人可以同除以得，轉(zhuǎn)化為．【典例1】（23-24高三上·江西宜春·開學考試 ）已知正項數(shù)列中，，則數(shù)列的通項（

）A． B．C． D．【典例2】（23-24高三上·全國·專題練習）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為.六、形如的構(gòu)造法通過配湊轉(zhuǎn)化為，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得【典例1】（23-24高三下·廣東·月考）在數(shù)列中，，且，則的通項公式為．【典例2】（23-24高三上·全國·專題練習）設(shè)數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為.七、取倒數(shù)法求通項對于，取倒數(shù)得．當時，數(shù)列是等差數(shù)列；當時，令，則，可用待定系數(shù)法求解．【典例1】（23-24高三上·湖北仙桃·月考）已知數(shù)列，則數(shù)列的通項公式．【典例2】（23-24高三上·全國·單元測試）已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項公式為．八、倒序相加法求數(shù)列的前n項和如果一個數(shù)列{an}的前n項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項和公式即是用此法推導的．求和時可以將正著寫與倒著寫的兩個式子相加，就得到一個常數(shù)列的和．【典例1】（23-24高三下·四川成都·模擬預測）已知，則（

）A．-8088 B．-8090 C．-8092 D．-8094【典例2】（23-24高三下·上?！つM預測）已知，數(shù)列的前項和為，點均在函數(shù)的圖象上.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，令，求數(shù)列的前2024項和.九、并項求和法求數(shù)列的前n項和一個數(shù)列的前n項和可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和．一般地，若數(shù)列中相鄰兩項或幾項的和是同一個常數(shù)或有規(guī)律可循，可使用并項求和法．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．【典例1】（23-24高三下·江蘇蘇州·月考）已知數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前項和.【典例2】（23-24高三下·遼寧·模擬預測）已知數(shù)列的前項和為，且．(1)證明：是等比數(shù)列，并求其通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前100項和．十、分組轉(zhuǎn)化法求數(shù)列的前n項和數(shù)列的通項較復雜時，把原數(shù)列的每一項拆成兩項(或多項)的和或差，從而將原數(shù)列分解成兩個(或多個)數(shù)列的和或差，這兩個(或多個)數(shù)列常常是等差數(shù)列、等比數(shù)列，或是有規(guī)律的數(shù)列(其和易求)．求出這兩個(或多個)數(shù)列的和，再相加或相減，得到原數(shù)列和的方法便是分組求和法．【典例1】（23-24高三下·山東·二模）已知數(shù)列，中，，，是公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.【典例2】（23-24高三下·山西·三模）已知等差數(shù)列的公差，前項和為，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.十一、裂項相消法求數(shù)列的前n項和1、用裂項法求和的裂項原則及規(guī)律（1）裂項原則：一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止．（2）消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項．【注意】利用裂項相消法求和時，既要注意檢驗通項公式裂項前后是否等價，又要注意求和時，正負項相消消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項．2、裂項相消法中常見的裂項技巧（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）【典例1】（23-24高三下·陜西榆林·模擬預測）已知等差數(shù)列的公差不為0，其前n項和為，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．【典例2】（24-25高三上·廣東·開學考試）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，為的前項和，且．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，記的前項和為，求證：．【典例3】（23-24高三下·湖北武漢·模擬預測）在等差數(shù)列an（）中，，.(1)求an(2)若，數(shù)列的bn前項和為，證明.【典例4】（23-24高三下·新疆·三模）若一個數(shù)列從第二項起，每一項和前一項的比值組成的新數(shù)列是一個等比數(shù)列，則稱這個數(shù)列是一個“二階等比數(shù)列”，如：1，3，27，729，…….已知數(shù)列是一個二階等比數(shù)列，，，.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.十二、錯位相減法求數(shù)列的前n項和1、解題步驟2、注意解題“3關(guān)鍵”①要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形．②在