8.5空間直線平面的平行（講義）

8.5空間直線、平面的平行TOC\o"13"\h\u知識(shí)點(diǎn)1：直線與直線的平行 201基本事實(shí)4及其應(yīng)用 302等角定理及其應(yīng)用 5知識(shí)點(diǎn)2：直線與平面平行 803直線與平面平行的判定定理及其應(yīng)用 804直線與平面平行的性質(zhì)定理及其應(yīng)用 11知識(shí)點(diǎn)3：平面與平面平行 1405平面與平面平行的判定定理及其應(yīng)用 1506平面與平面平行的性質(zhì)定理及其應(yīng)用 19 26

課堂目標(biāo)關(guān)鍵詞掌握基本事實(shí)4、等角定理的內(nèi)容及應(yīng)用(重點(diǎn)).掌握直線與平面平行的判定定理、性質(zhì)定理(重點(diǎn)、難點(diǎn)).掌握平面與平面平行的判定定理、性質(zhì)定理(重點(diǎn)).①基本事實(shí)4、等角定理②線線平行、線面平行、面面平行知識(shí)點(diǎn)1：直線與直線的平行1.基本事實(shí)4文字語(yǔ)言平行于同一條直線的兩條直線__平行__圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言直線a，b，c，a∥b，b∥c?__a∥c__作用證明兩條直線平行說(shuō)明基本事實(shí)4表述的性質(zhì)通常叫做平行線的__傳遞性__2.空間等角定理文字語(yǔ)言如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角__相等或互補(bǔ)__符號(hào)語(yǔ)言A′C′∥AC，A′B′∥AB?∠B′A′C′＝∠BAC或∠B′A′C′＋∠BAC＝180°圖形語(yǔ)言作用判斷或證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ)01基本事實(shí)4及其應(yīng)用【點(diǎn)撥】規(guī)律總結(jié)【點(diǎn)撥】規(guī)律總結(jié)證明空間中兩條直線平行的方法：(1)利用平面幾何的知識(shí)(三角形與梯形的中位線、平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等)來(lái)證明；(2)找到一條直線c，使得a∥c，同時(shí)b∥c，由基本事實(shí)4可得到a∥b.【典例1】已知空間四邊形中，分別是、的中點(diǎn)，且．（1）判斷四邊形的形狀，并加以證明；（2）求證：平面．【答案】（1）菱形，證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）可證明，從而可得四邊形為菱形.（2）可證，從而可證明平面.【詳解】（1）因?yàn)?，故，同理，故，故四邊形為平行四邊形，同理可證：，而，故，故四邊形為菱形.（2）因?yàn)?，故，而平面，平面，故平?【變式11】如圖，已知分別是空間四邊形的邊的中點(diǎn).（1）求證：四點(diǎn)共面；（2）若四邊形是矩形，求證：.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)中位線定理證明，，得到，即可證明四點(diǎn)共面；（2）根據(jù)矩形關(guān)系有，結(jié)合中位線關(guān)系，，即可證明.【詳解】（1）在中，分別是的中點(diǎn)，.同理，則，故四點(diǎn)共面.（2）由（1）知，同理.又∵四邊形是矩形，.故【點(diǎn)睛】此題考查通過(guò)平行關(guān)系證明四點(diǎn)共面，利用等角定理通過(guò)兩條直線的平行線垂直，證得已知兩條直線垂直.【變式12】如圖，在空間四邊形中，分別是的中點(diǎn)，且對(duì)角線．求證：四邊形是菱形．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】結(jié)合三角形中位線性質(zhì)可證得四邊形為平行四邊形，并得到，由此可得結(jié)論.【詳解】分別是的中點(diǎn)，，，四邊形為平行四邊形；又，，，四邊形為菱形.02等角定理及其應(yīng)用【點(diǎn)撥】規(guī)律總結(jié)【點(diǎn)撥】規(guī)律總結(jié)證明兩個(gè)角相等常有以下三種途徑：①三角形相似；②三角形全等；③空間等角定理．依據(jù)等角定理證明兩角相等的步驟：①證明兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行；②證明兩個(gè)角的兩邊的方向都相同或者都相反．【典例2】在如圖所示的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1分別是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中點(diǎn)，

求證：(1)；(2)∠EA1F＝∠E1CF1.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【詳解】試題分析：(1)連接，，由三角形中位線定理可得，，根據(jù)正方體的性質(zhì)可得，故而可得結(jié)論；（2）取的中點(diǎn)，連接，首先證明四邊形是平行四邊形，得到，再證四邊形是平行四邊形及平行的傳遞性，得到，同理得，結(jié)合角兩邊的方向相反，進(jìn)而可得結(jié)論成立.試題解析：(1)連接，，在中，因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，所以，同理，在正方體中，因?yàn)?，，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，所?(2)取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，同理可證：，又與兩邊的方向均相反，所以.點(diǎn)睛：本題主要考查了公理4即線線平行的傳遞性，等角定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，得到線線平行主要用到三角形中位線定理，平行四邊形推論以及線線平行的傳遞性，證明兩角相等即證明角對(duì)應(yīng)的兩邊分別平行且方向相同或相反.【變式21】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，M，N分別為AD，AB，C1D1，B1C1的中點(diǎn)．求證：A1P∥CN，A1Q∥CM，且∠PA1Q＝∠MCN.【答案】證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及等角定理，即可得到答案；【詳解】證明：如圖，取A1B1的中點(diǎn)K，連接BK，KM.易知四邊形MKBC為平行四邊形，所以CM∥BK.因?yàn)锳1K∥BQ且A1K＝BQ，所以四邊形A1KBQ為平行四邊形，從而A1Q∥BK.由基本事實(shí)4有A1Q∥CM.同理可證A1P∥CN.因?yàn)椤螾A1Q與∠MCN對(duì)應(yīng)邊分別平行，且方向相反，所以∠PA1Q＝∠MCN.【變式22】如圖，，分別是正方體的棱，的中點(diǎn)，求證：.【答案】證明見(jiàn)解析【分析】先證明四邊形為平行四邊形，可得，，進(jìn)而可得四邊形是平行四邊形，可得，同理可證，由等角定理即可求證.【詳解】如圖，連接，因?yàn)?，分別是棱，的中點(diǎn)，所以，且.所以四邊形為平行四邊形.所以，且.又因?yàn)?，且，所以，?所以四邊形是平行四邊形.所以；同理可證；又與方向相同，所以.知識(shí)點(diǎn)2：直線與平面平行直線與平面平行的判定定理文字語(yǔ)言如果平面外一條直線與__此平面內(nèi)的一條直線平行__，那么該直線與此平面平行圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言直線與平面平行的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言一條直線與一個(gè)平面__平行__，如果過(guò)該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言03直線與平面平行的判定定理及其應(yīng)用【點(diǎn)撥】規(guī)律總結(jié)【點(diǎn)撥】規(guī)律總結(jié)用直線與平面平行的判定定理判斷或證明直線a和平面α平行時(shí)，必須同時(shí)具備三個(gè)條件：(1)直線a在平面α外，即a?α；(2)直線b在平面α內(nèi)，即b?α；(3)兩直線a，b平行，即a∥b.利用直線和平面平行的判定定理證明線面平行的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行，常利用平行四邊形、三角形中位線、基本事實(shí)4等．【典例3】如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，為中點(diǎn).（1）求證:平面；（2）求證:平面.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）通過(guò)證明得線面平行；（2）連接交于，連接，通過(guò)證明得線面平行.【詳解】（1）由題：四棱錐的底面為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面；（2）連接交于，連接，如圖：底面為平行四邊形，是中點(diǎn)，為中點(diǎn)，所以，平面，平面，所以平面.【點(diǎn)睛】此題考查線面平行的證明，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確尋找出線線平行，證明題注意書寫規(guī)范.【變式31】如圖，在正方體中，與交于點(diǎn)，求證：(1)直線平面；(2)直線平面．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】(1)根據(jù)題意，先證得四邊形是平行四邊形，從而證得，即可證得線面垂直；(2)連接BD，交AC于O，連接，只需證明，即可證得線面垂直；【詳解】（1）證明：直線在平面外，因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以，而是平面?nèi)的直線，根據(jù)判定定理可知，直線平面．（2）證明：如圖，連接BD，交AC于O，連接，易知，則四邊形是平行四邊形，所以，所以在平面上，根據(jù)判定定理可知，平面．【變式32】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分別為PB，PD，PC的中點(diǎn)．(1)求證：QN平面PAD；(2)記平面CMN與底面ABCD的交線為l，試判斷直線l與平面PBD的位置關(guān)系，并證明．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)l平面PBD，證明見(jiàn)解析【分析】（1）推導(dǎo)出QNAD，由此能證明QN平面PAD；（2）連接BD，則MNBD，從而MN平面ABCD，由線面平行的性質(zhì)得MNl，從而BDl，由此能證明l平面PBD．【詳解】（1）證明：∵底面ABCD是菱形，N，M，Q分別為PB，PD，PC的中點(diǎn)．∴QNBC，BCAD，∴QNAD，∵QN平面PAD，AD?平面PAD，∴QN平面PAD；（2）直線l與平面PBD平行，證明如下：∵M(jìn)，N分別為PD，PB的中點(diǎn)，∴MNBD，∵BD?平面ABCD，MN平面ABCD，∴MN平面ABCD，∵平面CMN與底面ABCD的交線為l，∴由線面平行的性質(zhì)得MNl，∵M(jìn)NBD，∴BDl，∵，且BD?平面PBD，平面PBD，∴l(xiāng)平面PBD．04直線與平面平行的性質(zhì)定理及其應(yīng)用【點(diǎn)撥】解題技巧【點(diǎn)撥】解題技巧(1)直線與平面平行的性質(zhì)定理中有三個(gè)條件：①直線a和平面α平行，即a∥α；②直線a在平面β內(nèi)，即a?β；③平面α，β相交，即α∩β＝b.這三個(gè)條件缺一不可．(2)利用直線與平面平行的性質(zhì)定理解題的步驟：①確定(或?qū)ふ?一條直線平行一個(gè)平面；②確定(或?qū)ふ?過(guò)這條直線并且與這個(gè)平行平面相交的平面；③確定交線；④由定理得出結(jié)論．【典例4】如圖，已知四邊形是平行四邊形，點(diǎn)是平面外一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，過(guò)和作平面交平面于.(1)求證：平面(2)求證：.【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)詳見(jiàn)解析.【分析】（1）連接交于，利用線面平行的判定定理即得；（2）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理即得.【詳解】（1）連接交于，連結(jié)，因?yàn)槭瞧叫兴倪呅?，所以為中點(diǎn).因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）因?yàn)槠矫妫诌^(guò)和作平面交平面于，所以.【變式41】如圖，在正方體中，.

(1)求證：∥平面；(2)求點(diǎn)到面的距離.【答案】(1)答案見(jiàn)詳解(2)【分析】（1）利用線面平行的判定定理證明即可；（2）利用等體積法即求解即可.【詳解】（1）∵∥,平面，平面，∴∥平面（2）連接,設(shè)點(diǎn)到面的距離為，由已知可得,由正方體的性質(zhì)可知平面,則,∵，∴，解得，即點(diǎn)到面的距離為.

【變式42】如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面ABCD為矩形，E、F、H分別為AB、CD、PD的中點(diǎn)．求證：平面AFH∥平面PCE.【答案】詳見(jiàn)解析.【詳解】試題分析:由FH∥PC，所以FH∥平面PCE,由四邊形AECF為平行四邊形，所以AF∥CE，可得AF∥平面PCE,進(jìn)而可得平面AFH∥平面PCE.試題解析:因?yàn)镕為CD的中點(diǎn)，H為PD的中點(diǎn)，所以FH∥PC，所以FH∥平面PCE.又AE∥CF且AE＝CF，所以四邊形AECF為平行四邊形，所以AF∥CE，所以AF∥平面PCE.由FH?平面AFH，AF?平面AFH，F(xiàn)H∩AF＝F，所以平面AFH∥平面PCE.知識(shí)點(diǎn)3：平面與平面平行平面與平面平行的判定定理文字語(yǔ)言如果一個(gè)平面內(nèi)的__兩條相交直線__與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言平面與平面平行的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面__相交__，那么兩條交線__平行__圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言作用由平面與平面平行可以得出直線與直線平行05平面與平面平行的判定定理及其應(yīng)用【點(diǎn)撥】誤區(qū)防錯(cuò)【點(diǎn)撥】誤區(qū)防錯(cuò)平面與平面平行的判定定理中的平行于一個(gè)平面內(nèi)的“兩條相交直線”是必不可少的．面面平行的判定定理充分體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，即把面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行．【典例5】如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面，若存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，理由見(jiàn)解析【分析】（1）利用三角形中位線證明線線平行，結(jié)合線面平行判定定理，從而得線面平行；（2）結(jié)合面面平行判定定理來(lái)確定動(dòng)點(diǎn)位置，并證明面面平行.【詳解】（1）如圖，連接交于，連接.

因?yàn)闉檎襟w，底面為正方形，對(duì)角線，交于點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以在中，是的中位線，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）當(dāng)上的點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，即滿足平面平面，理由如下：連接，，

因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?由（1）知平面，又因?yàn)?，，平面，所以平面平?【變式51】如圖所示，兩條異面直線，與兩平行平面，分別交于點(diǎn)，和，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，求證：平面【答案】證明見(jiàn)解析【分析】過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，，，，，根據(jù)面面平行的性質(zhì)得到，，即可得到平面，再利用面面平行的性質(zhì)即可得到平面?！驹斀狻窟^(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，，，，，如圖所示：因?yàn)椋?，確定平面.則平面，平面，因?yàn)?，所?又分別為，的中點(diǎn)，所以，，，所以.又分別為，的中點(diǎn)，所以，且，所以，因?yàn)?，所以平?又平面，所以平面.【變式52】如圖，，直線AC分別交平面，，于點(diǎn)A，B，C，直線DF分別交平面，，于點(diǎn)D，E，F(xiàn)．求證：．【答案】證明過(guò)程見(jiàn)解析【分析】分兩種情況，作出輔助線，由面面平行的性質(zhì)得到線線平行，進(jìn)而得到對(duì)應(yīng)邊成比例，證明出結(jié)論.【詳解】當(dāng)直線AC與直線DF共面時(shí)，如圖所示，連接AD，BE，CF，則由面面平行可知：AD∥BE∥CF，則由平行線分線段成比例可得：；當(dāng)直線AC與直線DF異面時(shí)，如下圖，過(guò)點(diǎn)D作∥AC交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，連接AD，BM，CN，ME，NF，由面面平行的性質(zhì)可得：AD∥BM∥CN，ME∥NF，所以，，從而.06平面與平面平行的性質(zhì)定理及其應(yīng)用【點(diǎn)撥】規(guī)律總結(jié)【點(diǎn)撥】規(guī)律總結(jié)已知兩個(gè)平面平行，雖然一個(gè)平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個(gè)平面，但是這兩個(gè)平面內(nèi)的所有直線并不一定相互平行，它們可能是平行直線，也可能是異面直線，但不可能是相交直線．平面與平面平行的性質(zhì)定理提供了證明線線平行的另一種方法，應(yīng)用時(shí)要緊扣與兩個(gè)平行平面都相交的第三個(gè)平面．利用面面平行的性質(zhì)定理判斷兩直線平行的步驟：(1)找兩個(gè)平面，使這兩個(gè)平面分別經(jīng)過(guò)這兩條直線中的一條；(2)判定這兩個(gè)平面平行(此條件有時(shí)題目會(huì)直接給出)；(3)找一個(gè)平面，使這兩條直線都在這個(gè)平面上；(4)由定理得出結(jié)論．【典例6】如圖，在三棱柱中，M是的中點(diǎn)，平面平面，平面．求證：

(1)；(2)N為AC的中點(diǎn)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由面面平行的性質(zhì)得到線線平行；（2）證明出四邊形為平行四邊形，從而證明出結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以．?）三棱柱中，，且，因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，又M是的中點(diǎn)，所以，所以N為AC的中點(diǎn)．【變式61】如圖，在四棱柱中，底面為梯形，，平面與交于點(diǎn)．求證：．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)四棱柱性質(zhì)可證明平面平面，再利用面面平行的性質(zhì)定理即可證明.【詳解】由四棱柱可知，，平面，平面，所以平面；又，平面，平面，所以平面；又，平面，平面；所以平面平面，又平面平面，平面平面，所以.【變式62】如圖，多面體ABCGDEF中，AB，AC，AD兩兩垂直，平面平面DEFG，平面平面ADGC，，.(1)證明：四邊形ABED是正方形；(2)判斷點(diǎn)B，C，F(xiàn)，G是否共面，并說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)B，C，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面，理由見(jiàn)解析【分析】（1）利用面面平行的性質(zhì)定理可證明出，，據(jù)此可證明出四邊形是平行四邊形，再由且可證明出四邊形是正方形；（2）取的中點(diǎn)，連接、，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，再證明出四邊形為平行四邊形，可得出，利用平行線的傳遞性可得出，由此可證明出、、、四點(diǎn)共面.【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫鍰EFG，平面平面，平面平面，所以由面面平行的性質(zhì)定理得，同理，所以四邊形ABED為平行四邊形.又，，所以平行四邊形ABED是正方形.（2）點(diǎn)B，C，F(xiàn)，G共面.理由如下：如圖，取DG的中點(diǎn)P，連接PA，PF.因?yàn)槠矫嫫矫鍭DGC，平面平面，平面平面，所以由面面平行的性質(zhì)定理，得，同理.因?yàn)镻為DG的中點(diǎn)，，，所以，，則四邊形EFPD為平行四邊形，所以且.又，，所以且，所以四邊形ABFP為平行四邊形，所以.因?yàn)镻為DG的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)椋运倪呅蜛CGP為平行四邊形，所以，所以.故B，C，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面.07平行關(guān)系的綜合應(yīng)用【點(diǎn)撥】規(guī)律總結(jié)【點(diǎn)撥】規(guī)律總結(jié)線線平行、線面平行、面面平行這三種關(guān)系是緊密相連的，可以進(jìn)行轉(zhuǎn)換．相互間的轉(zhuǎn)換關(guān)系如下．【典例7】如圖所示，為所在平面外一點(diǎn)，M、N、G分別為、、的重心．(1)求證：平面平面ACD；(2)若是邊長(zhǎng)為2的正三角形，判斷的形狀并求的面積．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解.(2)正三角形，.【分析】（1）利用三角形重心性質(zhì)，結(jié)合面面平行性質(zhì)定理可證；（2）根據(jù)三角形重心性質(zhì)，利用相似比可求解.【詳解】（1）記的中點(diǎn)分別為，連接，因?yàn)镸、N、G分別為、、的重心，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理平面，又，平面，所以平面平面ACD.（2）因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2正三角形，分別為的中點(diǎn)，所以，又，，所以，所以，同理，所以為正三角形，.【變式71】如圖所示，在四棱錐中，平面，，E是PD的中點(diǎn).

(1)求證：；(2)求證：平面；(3)若M是線段上一動(dòng)點(diǎn)，則線段上是否存在點(diǎn)N，使平面？說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)存在，證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理即可證明；（2）由中位線、線面平行的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，再根據(jù)線面平行的判定即可證明；（3）根據(jù)線面、面面平行的性質(zhì)定理和判斷定理即可判斷存在性.【詳解】（1）在四棱錐中，平面，平面，平面，平面平面，所以；（2）如下圖，取為中點(diǎn)，連接，由E是PD的中點(diǎn)，所以且，由（1）知，又，所以且，所以四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面，則平面.

（3）取中點(diǎn)N，連接，，因?yàn)镋，N分別為，的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，線段存在點(diǎn)N，使得平面，理由如下：由（2）知：平面，又，平面，平面，所以平面平面，又M是上的動(dòng)點(diǎn)，平面，所以平面，所以線段存在點(diǎn)N，使得平面.【變式72】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，與交于點(diǎn)，點(diǎn)分別在線段上，，求證：平面平面.

【答案】證明見(jiàn)解析【分析】依據(jù)題給條件，利用面面平行判定定理即可證得平面平面.【詳解】在梯形ABCD中，因?yàn)锳DBC，所以=2，又=2，所以O(shè)NBCAD.又因?yàn)锳D?平面PAD，ON平面PAD，所以O(shè)N平面PAD.在△PAC中，=2，所以O(shè)MAP，又因?yàn)锳P?平面PAD，OM平面PAD，所以O(shè)M平面PAD，又因?yàn)镺M?平面OMN，ON?平面OMN，且OMON=O，所以平面MNO平面PAD.一、單選題1．已知為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，對(duì)于下列四個(gè)命題：①；②；③；④．其中正確命題的個(gè)數(shù)有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)線、面位置關(guān)系結(jié)合線、面平行的判定定理分析判斷.【詳解】對(duì)于①：因?yàn)槊婷嫫叫械呐卸ǘɡ硪笙嘟?，若沒(méi)有，則可能相交，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②：因?yàn)榫€面平行的判定定理要求，若沒(méi)有，則可能，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：根據(jù)線、面位置關(guān)系可知：//，或異面，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④：根據(jù)線、面位置關(guān)系可知：//，或異面，故④錯(cuò)誤；故選：A.2．已知，是兩個(gè)不同的平面，l，m是兩條不同的直線，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，則，則D．若，，，，則【答案】C【分析】根據(jù)線面、面面的位置關(guān)系，結(jié)合平面的基本性質(zhì)及線面平行性質(zhì)判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】A：若，，則，錯(cuò)；B：若，，則或，錯(cuò)；C：由，，，根據(jù)線面平行的性質(zhì)知，對(duì)；D：如下圖，，，，，有相交，錯(cuò).

故選：C3．若直線a不平行于平面，且，則下列結(jié)論成立的是（

）．A．內(nèi)的所有直線與a是異面直線 B．內(nèi)不存在與a平行的直線C．內(nèi)存在唯一一條直線與a平行 D．內(nèi)的所有直線與a都相交【答案】B【分析】根據(jù)直線和平面的位置關(guān)系對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】設(shè)，A選項(xiàng)，內(nèi)過(guò)點(diǎn)的直線與共面，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，內(nèi)，不過(guò)點(diǎn)的直線與異面，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

BC，若存在，則由于，所以，這與已知矛盾，所以B選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B4．已知直線和，平面，且，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】結(jié)合線面平行的判定以及性質(zhì)判斷“”和“”的邏輯推理關(guān)系，即可得答案.【詳解】由題意知，，，根據(jù)線面平行的判定定理可得；當(dāng)時(shí)，，則和可能異面，不一定平行，故“”是“”的充分不必要條件，故選：A5．已知，，是三個(gè)不同的平面，，是兩條不同的直線，且，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)面面平行的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得解.【詳解】由，，若，由面面平行的性質(zhì)知：，必要性成立；由，，若，則或相交，充分性不成立．相交情況如下：故選：B.二、填空題6．已知平面α∥β∥γ，兩條直線l、m分別與平面α、β、γ相交于點(diǎn)A、B、C與D、E、F.已知AB＝6，則AC＝【答案】15【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)可以得到線線平行，從而利用平行線分線段成比例即可求解.【詳解】如圖，連接與平面交于點(diǎn)，連接，，且平面，平面，，同理可得，所以故答案為：157．如圖，平面α平面β，△PAB所在的平面與α，β分別交于CD和AB，若PC=2，CA=3，CD=1，則AB=.

【答案】/2.5【分析】由面面平行可得線線平行，可得，可求AB的長(zhǎng).【詳解】由平面α∥平面β，平面PAB∩平面α=CD，平面PAB∩平面β=AB，∴AB∥CD，∴，∵PC=2，CA=3，CD=1，∴，∴.故答案為：.

8．如圖，在正方體中，，E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，若平面，則.【答案】【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，可得到，即可求的長(zhǎng).【詳解】根據(jù)題意，因?yàn)槠矫?，平面，且平面平面所?又是的中點(diǎn)，所以是的中點(diǎn).因?yàn)樵谥?，，?故答案為：9．A是所在平面外一點(diǎn)，M是的重心，N是的中線AF上的點(diǎn)，并且平面BCD，當(dāng)時(shí)，．

【答案】4【分析】先根據(jù)線面平行性質(zhì)得出，再根據(jù)中位線從而求出，再由重心得到，計(jì)算求解即可.【詳解】因?yàn)槠矫?，平面，平面平?所以，M是的重心，N是的中線AF上的點(diǎn)，所以E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，N是的重心,所以，又因?yàn)镸，N分別是和的重心，所以且,所以.故答案為：4.10．在空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別邊上的中點(diǎn)，則直線EG和FH的位置關(guān)系是．【答案】相交【分析】根據(jù)平面的性質(zhì)結(jié)合線線位置關(guān)系分析判斷.【詳解】∵E、F、G、H分別是四邊上的中點(diǎn)，∴，即，同理可得：，故E、F、G、H四點(diǎn)共面，且為平行四邊形，則直線EG和FH的位置關(guān)系是相交.故答案為：相交.三、解答題11．如圖，四棱錐中，底面．底面為菱形，且，，E，M，N分別為棱的中點(diǎn)．F為上的動(dòng)點(diǎn)，(1)求證：平面；(2)若三棱錐的體積為2，求棱的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】由已知，可利用E，M，N分別為棱的中點(diǎn)．分別證明、，然后再證明平面、平面，從而得到平面平面，然后再證平面；先利用解三角形求解出的面積，然后利用等體積法，根據(jù)已知體積，計(jì)算出點(diǎn)F到平面的距離，即可求解出的長(zhǎng).【詳解】（1）證明：因?yàn)镋，M為的中點(diǎn)，則，又平面，平面，所以平面，M，N分別為棱的中點(diǎn)，所以又平面，平面，所以平面，又因?yàn)?，所以平面平面平面，所以平面．?）底面為菱形，則，因?yàn)?，在中，由余弦定理得，則設(shè)點(diǎn)F到平面的距離為a，又平面．則．由得，解得，則．12．如圖，在長(zhǎng)方體中，E，M，N分別是的中點(diǎn)，求證：平面.

【答案】證明見(jiàn)解析【分析】取CD的中點(diǎn)K可得，，根據(jù)線