2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大題題型歸納：專(zhuān)題01 三角函數(shù)與三角恒等變換（解析）

專(zhuān)題01三角函數(shù)與三角恒等變換一、三角函數(shù)1．如圖，P,Q是以原點(diǎn)為圓心的單位圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),若它們同時(shí)從點(diǎn)A(1,0)出發(fā)，沿逆時(shí)針?lè)较蜃鲃蚪撬俣冗\(yùn)動(dòng),其角速度分別為π3,π6（單位：弧度/秒），M為線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)，記經(jīng)過(guò)x(I)求y=f(x)的函數(shù)解析式；(II)將f(x)圖象上的各點(diǎn)均向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=g(x)的圖象，求函數(shù)g=g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間．【答案】（Ⅰ）f（x）＝cosπ12x，（0≤x≤6），（Ⅱ）[2，8]【分析】（Ⅰ）依題意可知∠POA=π3x，∠QOA=π6x，∠MOQ=π3x?π6x2（Ⅱ）依題意可知g（x）＝cos（π12x?π6）（2≤x≤8），由2kπ≤π12x?π6≤2kπ+π，求得【詳解】解：（Ⅰ）依題意可知∠POA=π3x，∠QOA=∵|OP|＝|OQ|＝1，∴|OM|＝|OQ|?cos∠MOQ＝cos∠MOQ，∴∠MOQ=π3x?π6x2=π12x，∴f即f（x）＝cosπ12x，（0≤x（Ⅱ）依題意可知g（x）＝cosπ12（x﹣2）＝cos（π12x?π由2kπ≤π12x?π6≤2kπ+π，得24k故函數(shù)y＝g（x）在[2，8]上的單調(diào)遞減區(qū)間為[2，8]．【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形中的邊角關(guān)系，余弦函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．設(shè)函數(shù)f(x)=4cosxsin（Ⅰ）當(dāng)x∈[0,π2]（Ⅱ）已知函數(shù)y=f(x)的圖象與直線(xiàn)有交點(diǎn)，求相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的最短距離.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）π3【詳解】試題分析：（Ⅰ）先根據(jù)兩角差正弦公式、二倍角公式、配角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù)f(x)=2sin(2x?π試題解析：（Ⅰ）解：因?yàn)?/p>

=2sin(2x?π因?yàn)?≤x≤π所以?π所以?3即?3其中當(dāng)x=5π12時(shí)，取到最大值2；當(dāng)時(shí)，取到最小值，所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?（Ⅱ）依題意，得2sin(2x?π3)=1所以2x?π3=所以x=π4+kπ或x=所以函數(shù)y=f(x)的圖象與直線(xiàn)的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)間的最短距離為π3.

考點(diǎn)：兩角差正弦公式、二倍角公式、配角公式，三角函數(shù)性質(zhì)3．已知tanα=12（1）求sinα（2）求sin2【答案】(1)?55;(2)【解析】（1）由同角三角函數(shù)的關(guān)系可得2sinα=cosα，結(jié)合sin2α+cos2α=1，α（2）利用誘導(dǎo)公式將原式化簡(jiǎn)，代入sinα，cosα的值可得答案.【詳解】解：(1)由tanα=12，可得tanα=sinα可得2sinα=cosαsin2α+cos2故sinα的值為?5(2)sin2代入sinα=?55，可得原式=4【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用及誘導(dǎo)公式，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性，屬于基礎(chǔ)題型.4．如圖，某市準(zhǔn)備在道路EF的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)比賽道，賽道的前一部分為曲線(xiàn)段FBC．該曲線(xiàn)段是函數(shù)y=Asinωx+2π3A＞0，ω＞0，x∈?4，0時(shí)的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為B?1，2，賽道的中間部分為長(zhǎng)3千米的直線(xiàn)跑道CD，且CD(1)求ω的值和∠DOE的大??；(2)若要在圓弧賽道所對(duì)應(yīng)的扇形ODE區(qū)域內(nèi)建一個(gè)“矩形草坪”，矩形的一邊在道路EF上，一個(gè)頂點(diǎn)在半徑OD上，另外一個(gè)頂點(diǎn)P在圓弧DE上，求“矩形草坪”面積的最大值，并求此時(shí)P點(diǎn)的位置．【答案】（1）ω=π6；∠DOE=π4【分析】(1)依題意,得A=2,T4=3，根據(jù)周期公式T=2πω可得ω(2)由(1)可知OD=OP，矩形草坪的面積S關(guān)于θ的函數(shù)，有0<θ≤π【詳解】(1)由條件可得A=2，T4=3，∵T=2πω，∴ω=π6，∴曲線(xiàn)段FBC的解析式為y=2sinπ6(2)由(1)，可知OD=6故OP=6，設(shè)∠POE=θ,0<θ≤π4，“矩形草坪”的面積為∵0<θ≤π4,故當(dāng)2θ+π4=π2此時(shí)x故面積最大值為：Smax=32?3，【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)際問(wèn)題中，由y=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定函數(shù)的解析式，常規(guī)步驟為：由函數(shù)的最值確定A的值，由函數(shù)所過(guò)的特殊點(diǎn)確定周期T，利用周期公式求ω，再把函數(shù)所給的點(diǎn)(一般用最值點(diǎn))的坐標(biāo)代入求φ，從而求出函數(shù)的解析式；還考查了實(shí)際問(wèn)題中的最值的求解，解題關(guān)鍵是要把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)求解5．在△ABC中，內(nèi)角A，B?，??C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）求sin2B+【答案】(Ⅰ)?1(Ⅱ)?3【分析】(Ⅰ)由題意結(jié)合正弦定理得到a,b,c的比例關(guān)系，然后利用余弦定理可得cosB的值(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得sin2B,cos2B的值，然后利用兩角和的正弦公式可得sin2B+【詳解】(Ⅰ)在△ABC中，由正弦定理bsinB=c又由3csinB=4asinC，得3bsinC=4asinC，即3b=4a.又因?yàn)閎+c=2a，得到b=43a由余弦定理可得cosB=a2+(Ⅱ)由(Ⅰ)可得sinB=1?從而sin2B=2sinBcosB=?158，故sin2B+【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正弦定理?余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí).考查計(jì)算求解能力.6．已知函數(shù)f(x)=2cos2ωx?1+23sinωxcos（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;（2）已知函數(shù)y=g(x)的圖象是由y=f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，然后再向左平移2π3個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，若g(2α+π3【答案】（1）?2π3【解析】（1）首先化簡(jiǎn)函數(shù)fx=2sin2ωx+π6，再根據(jù)x=π3是函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸，代入求ω，再求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）先根據(jù)函數(shù)圖象變換得到g【詳解】（1）fx當(dāng)x=π3時(shí)，ω×2π∵0<ω<1，∴ω=1即fx=2sinx+解得：?2π3+2kπ≤x≤函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是?2π（2）gxg2α+π3∵α∈0,π2，α+sinα=sinα+=【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的圖象變換，以及y=Asinωx+φ的性質(zhì)，屬于中檔題型，y=Asinx+φ的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（或縮短）到原來(lái)的1ω倍，得到函數(shù)的解析式是y=Asinωx+φ，若y=Asinωx向右（或左）平移φ（φ>0）個(gè)單位，得到函數(shù)的解析式是7．已知函數(shù)f(x)=2sin(1)若fx1≤fx≤f(2)已知0<ω<5，函數(shù)f(x)圖象向右平移π6個(gè)單位，得到函數(shù)gx的圖象，x=π3是gx的一個(gè)零點(diǎn)，若函數(shù)gx在[m,n]（(3)已知函數(shù)?(x)=acos(2x?π6)?2a+3(a>0)，在第（2）問(wèn)條件下，若對(duì)任意x1∈[0,【答案】(1)?π12+(2)13π9(3)0,8【分析】（1）由fx1≤fx≤fx2，x1?x2min=π2可求得函數(shù)f【詳解】（1）∵f(x)=2sin(2ωx+π6)+1又∵fx1≤fx≤fx2，故T=2π2ω=π當(dāng)ω=1時(shí)，fx=2sin2x+π6+1，由當(dāng)ω=?1時(shí)，fx=2sin?2x+π6+1，由綜上所述，fx的對(duì)稱(chēng)中心為?π12（2）∵函數(shù)fx圖象向右平移π6個(gè)單位，得到函數(shù)∴g(x)=2sin2ωx+又∵x=π3是g(π3)=2sin∴π3ω+π解得ω=3+6kk∈Z或ω=5+6k由0<ω<5可得ω=3∴g(x)=2sin6x?5π6令gx=0即6x?5π6=?π6+2k1π若函數(shù)gx在[m,n]（m,n∈R且m<n）上恰好有10個(gè)零點(diǎn)，故要使n?m最小，須m、n恰好為gx的零點(diǎn)，故n?m（3）由（2）知g(x)=2sin6x?5π6+1，對(duì)任意x1∈[0,π當(dāng)x2∈[0,π當(dāng)x1∈[0,π由{y|y=h(x)}?{y|y=g(x)}可得a>0?故實(shí)數(shù)a的取值范圍為0,8【點(diǎn)睛】本題第（3）小問(wèn)為不等式的恒成立問(wèn)題，解決方法如下：一般地，已知函數(shù)y=fx,x∈（1）若?x1∈a,b，?x（2）若?x1∈a,b，?x（3）若?x1∈a,b，?x（4）若?x1∈a,b，?x2∈8．已知函數(shù)g(x)=sinx?π6，?(x)=cosx，從條件(1)f(x)的最小正周期；(2)f(x)在區(qū)間0,?【答案】(1)選條件①π；選條件②2π(2)選條件①?12；選條件【分析】選條件①：f(x)=g(x)??（1）利用兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)可得f(x)=12由周期公式可得答案；（2）根據(jù)x的范圍求得sin2x?選條件②：f(x)=g(x)+?（1）利用兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)可得f(x)=sinx+由周期公式可得答案；（2）根據(jù)x的范圍求得sinx+【詳解】（1）選條件①：f(x)=g(x)??（1）f(x)=sinx?π6cosx===1所以f(x)的最小正周期是π.選條件②：f(x)=g(x)+?f(x)=sinx?π==sinx+所以f(x)最小正周期是2π.（2）選條件①：f(x)=g(x)??因?yàn)?≤x≤π所以?π6≤2x?π所以?12≤sin2x?所以?12≤12當(dāng)2x?π6=?π6，即x=0選條件②：f(x)=g(x)+?因?yàn)?≤x≤π所以π6≤x+π6所以12≤sinx+π當(dāng)x+π6=π6，即x=09．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且cosB=(1)求C；(2)若c=2a，求sinB【答案】(1)π(2)3【分析】（1）首先利用正弦定理將邊化角，再根據(jù)兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式計(jì)算可得；（2）利用正弦定理將邊化角即可得到sinA，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出cosA，最后根據(jù)sinB=sinA+C【詳解】（1）解：因?yàn)閏osB=a即2ccosB=2a?b，由正弦定理可得2sinCcosB=2sinA?sinB，又sinA=sinπ?即2sinCcosB=2sinB+C所以2sinCcosB=2sinBcosC+2cosBsinC?sinB，即2sinBcosC=sinB，因?yàn)閟inB>0，所以cosC=12，又C∈（2）解：因?yàn)閏=2a，所以sinA=1因?yàn)閏>a，所以cosA=1?所以sinB=sin10．已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)?ω>0,|φ|<π2，x=π(1)從條件①、條件②、條件③中選一個(gè)作為已知，使得f(x)的解析式存在，并求出其解析式；條件①：函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A0,條件②：π3,0是條件③：5π12,0(2)根據(jù)（1）中確定的f(x)，求函數(shù)y=f(x)?【答案】(1)f(x)=sin(2x+(2)?【分析】（1）根據(jù)題意得到0<ω≤2和π6再根據(jù)選擇的條件得到第三個(gè)方程，分析方程組即可求解；（2）先求出2x+π【詳解】（1）因?yàn)閒(x)在區(qū)間π6,2π因?yàn)門(mén)=2πω，且ω>0，解得0<ω≤2；又因?yàn)閤=π所以π6若選條件①：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A0,12因?yàn)閨φ|<π2，所以φ=π6，所以當(dāng)k=0時(shí)，ω=2，滿(mǎn)足題意，故f(x)=sin(2x+π若選條件②：因?yàn)棣?,0是f(x)的對(duì)稱(chēng)中心，所以所以π6×ω+φ=kπ+π若條件③：因?yàn)?π12,0是f(x)的對(duì)稱(chēng)中心，所以所以π6×ω+φ=kπ+π20<ω≤2（2）由（1）知，f(x)=sin(2x+π所以y=f(x)x∈0,π2等價(jià)于所以2x+π6∈即函數(shù)y=f(x)x∈0,π11．已知向量a=(1)當(dāng)a//b時(shí)，求(2)設(shè)函數(shù)f(x)=2(a+b)?b，已知在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b【答案】(1)8(2)3【分析】（1）由a//b，可得tanx=?34，化簡(jiǎn)（2）由題意利用向量的數(shù)量積運(yùn)算和三角函數(shù)恒等變換公式化簡(jiǎn)可得f(x)=2sin2x+π4+32，再利用正弦定理可求得A=π【詳解】（1）因?yàn)閍=sinx,3所以sinxcosx=?3所以cos=（2）因?yàn)閍=所以a+所以f(x)=2(=2sinxcosx+2=sin2x+cos2x+=2在△ABC中，a=3所以由正弦定理得asinA=bsinB，因?yàn)閍<b，所以角A為銳角，所以A=π所以f(x)+4cos2A+==2因?yàn)閤∈0，π3所以sin11π因?yàn)閟in11π所以6?所以3?1所以3?1所以f(x)+4cos2A+π6(12．已知3π4<α<π(1)求tanα(2)求sinα+(3)求2sin【答案】(1)?(2)?(3)?【分析】（1）根據(jù)tanα＋1tana=?103（2）利用弦化切，將sinα+cosαsinα?cosα化為tanα+1（3）利用1=sin2α+cos2α，將【詳解】（1）由tanα＋1tana=?解得tanα=?3或?1因?yàn)?π4<α<π，故?1<tanα<0，則（2）sinα+cosαsinα?cosα（3）2=213．已知函數(shù)fx(1)求fx(2)若對(duì)任意x∈t,π3，都有f【答案】(1)?(2)0,【分析】（1）fx的解析式可化簡(jiǎn)為fx=sin2x?π（2）對(duì)恒成立的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化后，結(jié)合2x?π3的范圍可得?π【詳解】（1）f=sinxcosx+令?解之得?∴fx的單調(diào)遞增區(qū)間為（2）對(duì)任意x∈t,π3∵2x?π∴?π∴0≤t<π∴實(shí)數(shù)t的范圍為0,π14．已知函數(shù)f(1)求函數(shù)fx(2)將函數(shù)y=fx的圖象向左平移π12個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變?橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，得到函數(shù)y=gx的圖象，求y=g【答案】(1)最小正周期為π，對(duì)稱(chēng)軸方程為x=?π12(2)0,【分析】（1）利用兩角和差的正余弦公式與輔助角公式化簡(jiǎn)可得fx（2）根據(jù)三角函數(shù)圖形變換的性質(zhì)可得gx【詳解】（1）fxf=2cos2xcos所以函數(shù)fx的最小正周期為π令2x+π6=kπ，k∈Z，得函數(shù)fx（2）將函數(shù)y=fx的圖象向左平移π12個(gè)單位后所得圖象的解析式為所以gx令2kπ?x+π所以?π3+2kπ?x?所以y=gx在0,2π上的單調(diào)遞減區(qū)間為0,15．已知函數(shù)f(x)=b?(a+c(1)求f(x)的解析式及對(duì)稱(chēng)中心和單調(diào)減區(qū)間；(2)不等式|f(x)?m|<3在x∈π8,【答案】(1)fx=2+2sin(2)(?1,5?【分析】(1)利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和正余弦的二倍角公式可得f(x)，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解；(2)由題意可得：f(x)?3<m<f(x)+3在x∈π8,π2【詳解】（1）f(x)===2+cos2x?sin2x=2+2令2x+3π4又令π2所以單調(diào)減區(qū)間是?（2）∵不等式|f(x)?m|<3在x∈π∴?3<f(x)?m<3，即f(x)?3<m<f(x)+3在x∈π∴f(x)因?yàn)閤∈π8,當(dāng)2x+3π4=3π2最小值為f(x)當(dāng)2x+3π4=π，即x=最大值為f(x)即m>2?3m<2?2+3即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(?1,5?16．已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)若θ∈?π8,3【答案】(1)函數(shù)fx的對(duì)稱(chēng)中心為kπ2+π8,1，(2)tanθ=1【分析】(1)根據(jù)三角恒等變換公式化簡(jiǎn)函數(shù)fx的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)fx的對(duì)稱(chēng)中心及最小正周期；(2)由(1)可得sin2θ?【詳解】（1）f=1?cos=1+sin2x+2sin=1+sin2x+sin2x?=1+sin2x?cos2x，=2令2x?π4=kπ，k∈Z，可得x=又fkπ所以函數(shù)fx的對(duì)稱(chēng)中心為kπ2+函數(shù)fx的最小正周期T=（2）因?yàn)閒θ=6所以sin2θ?所以22所以sin2θ?cos2θ=1所以10sinθcosθ?5cos所以4sin因?yàn)棣取?π8故2tan所以2tanθ?1tanθ+3所以tanθ=?3或tanθ=1又θ∈?π817．已知函數(shù)f(x)=Asin(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)將函數(shù)y=f(x)圖象上所有的點(diǎn)向右平移π4個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=g(x)的圖象.當(dāng)x∈0,13π6時(shí)，方程g(x)?a=0恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，x【答案】(1)f(x)=2sin(2)a∈[2,3]，x【分析】（1）由三角函數(shù)圖象的最大值與最小值，求出A=2,B=3，得到最小正周期，求出ω=2πT=2（2）先根據(jù)平移變換和伸縮變換得到g(x)=2sinx?π6+3，令t=x?π6∈【詳解】（1）由圖示得：A+B=5?A+B=1，解得：A=又T2=712π-所以f(x)=2sin(2x+φ)+3.又因?yàn)閒(x)過(guò)點(diǎn)π12,5，所以5=2sin2×所以π6+φ=π又|φ|<π2，所以φ=π（2）y=f(x)圖象上所有的點(diǎn)向右平移π4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到f(x)=2sin將所得圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到g(x)=2sinx?當(dāng)x∈0,13π6令t=x?π6∈令?(t)=2sint+3，在t∈?π在t∈3π且???3π所以a∈[2,3]時(shí)，.當(dāng)x∈0,13π6因?yàn)?(t)?a=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根t且t1,t2關(guān)于t=π則t1兩式相加得：t1即x1?π18．已知y=fx為奇函數(shù)，其中f(1)求函數(shù)y=fx的最小正周期和f(2)若fα2=?【答案】(1)π，f(2)4?3【分析】（1）根據(jù)2cos2xcosθ=0列關(guān)于θ的等式，即可求出解析式，得到周期；（2）根據(jù)fα2=?45【詳解】（1）因?yàn)閥=fx所以fx化簡(jiǎn)得到求出2cos2xcosθ=0θ∈0,π，所以fx=?sin2x，最小正周期是（2）若f∵α∈所以sin19．已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)同時(shí)滿(mǎn)足下列四個(gè)條件中的三個(gè)：①f(?π6)=0(1)給出函數(shù)f(x)的解析式，并說(shuō)明理由；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】(1)f(x)=2sin(2x+π(2)[kπ+【分析】（1）由A>0,0<φ<π2可以排除條件②，再利用條件（2）運(yùn)用整體思想直接代入正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間即可求解.【詳解】（1）依題意，若函數(shù)f(x)滿(mǎn)足條件②，則f(0)=Asinφ=?1，這與A>0,0<φ<π2矛盾，所以f(x)不能滿(mǎn)足條件所以f(x)應(yīng)滿(mǎn)足條件①③④由條件④得2πω=π，且ω>0，所以由條件③得A=2，再由條件①得f(?π且0<φ<π2，所以所以f(x)=2sin(2x+π（2）由2kπ+π得kπ+π所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+π20．已知函數(shù)fx=2sinωx+φ（(1)求fx的解析式，并求f(2)若對(duì)任意x∈t,π3，都有f【答案】(1)fx=2sin(2)π【分析】（1）先求出fx的周期，再代點(diǎn)進(jìn)去求出φ，從而得到fx的解析式后，進(jìn)而利用整體法即可求得（2）先根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)絕對(duì)值內(nèi)的表達(dá)式，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解不等式即可.【詳解】（1）由圖象可得fx的最小正周期T=47π12?π3=π，由2×7π12+φ=3π2+2kπ，又因?yàn)棣?lt;π2，得φ=π由2kπ?π2≤2x+π3≤2kπ+π所以函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為kπ?（2）f=2sin由fxfx?π6∵x∈t,π3，作出y=sinx的部分圖像如下：結(jié)合圖像可知：5π6≤4t?π所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為π4二、三角恒等變換21．已知函數(shù)f(x)=cos(1)如果f(α)=43，試求(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)19(2)遞增區(qū)間是(2kπ?5π4,2kπ?【分析】（1）利用二倍角公式、和角的正弦公式及輔助角公式變形函數(shù)f(x)，再利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式求解作答.（2）根據(jù)給定函數(shù)的定義域，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性求解作答.【詳解】（1）函數(shù)f(x)=cos2xsin(x+π4)f(x)=cos2x?sin2所以sin2α=?cos(2α+π（2）由（1）知，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x∈R|x≠kπ?π4,k∈Z}由2kπ?π<x+π4<2kπ,k∈Z由2kπ<x+π4<2kπ+π,k∈Z所以函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(2kπ?5π4,2kπ?22．設(shè)fx(1)判斷函數(shù)y=f(2)求函數(shù)y=fxfx?【答案】(1)非奇非偶函數(shù)，π(2)1+【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)y=f（2）化簡(jiǎn)y=fxfx?π4【詳解】（1）由題意得fx故y==1?cos(2x+3π2)=1?sin2x，令g(x)=1?sin2x由于g(?x)=1?sin2(?x)=1+sin2x不恒等于g(x)，也不等于?g(x)，故y=f其最小正周期為2π2（2）由題意可得y=f==sin(2x?π因?yàn)閤∈[0,π2]，所以2x?故sin(2x?π4)+即函數(shù)y=fxfx?π423．設(shè)函數(shù)fx=Asinωxcosωx+cos2ωx(1)求函數(shù)fx(2)當(dāng)x∈0,π2，若函數(shù)g條件①：fx條件②：fx的最小值為?條件③：fx的圖象的相鄰兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心之間的距離為π【答案】(1)選擇條件②③，f(2)1,【分析】（1）由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的奇偶性可排除條件①，先利用輔助角公式化簡(jiǎn)fx（2）根據(jù)x的取值范圍得到2x+π6的取值范圍，再求出函數(shù)fx在0,π2上的單調(diào)性，依題意y=f【詳解】（1）若選擇條件①，因?yàn)閒x=A由fx=f?x可得Asin2ωx=0對(duì)x∈R所以選擇條件②③.由題意可得fx其中cosφ=AA2因?yàn)閒x的最小值為?12，所以?所以sinφ=12，設(shè)?π由fx的圖象的相鄰兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心之間的距離為π2，可得所以T=2π2ω=π所以fx（2）當(dāng)x∈0,π2令π6≤2x+π6≤π2且12≤sin2x+令π2≤2x+π6≤7π6且?12≤sin因?yàn)楹瘮?shù)gx=fx?m恰有兩個(gè)零點(diǎn)，所以y=fx所以1≤m<32，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為24．已知函數(shù)f(x)=2sinωxcosφ+2sinφ?4sin2ωx2sinφω>0,φ<π，其圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸與相鄰對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)相差π4，______，從以下兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在空白橫線(xiàn)中.①(1)求函數(shù)fx(2)將函數(shù)fx圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的1tt>0倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=gx的圖象，若函數(shù)y=gx【答案】(1)f(x)=2sin(2x?(2)13【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)可得f(x)=2sin(ωx+φ)，根據(jù)最小正周期求出ω，若選①，則根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移變換求得φ，可得解析式；若選②，則根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求得φ，即得解析式；（2）根據(jù)三角函數(shù)的伸縮變換可得gx=2sin2tx?【詳解】（1）由題意可得f(x)=2sinωxcosφ+2sinφ?4=2sinωxcosφ+2sinφ?sinφ(2?2cosωx)=2sinωxcosφ+2cosωxsinφ，=2sin(ωx+φ)，由于其圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸與相鄰對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)相差π4，故T=4×故f(x)=2sin(2x+φ).若選①，函數(shù)fx的圖象向左平移π3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為由題意知該函數(shù)為偶函數(shù)，故23由于φ<π且f0<0，即sinφ<0故f(x)=2sin(2x?π若選②，函數(shù)fx的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為π12,0則π6由于φ<π且fπ6>0，即故f(x)=2sin(2x?π（2）由題意可得gx由于y=gx在區(qū)間0,π3即t∈1325．設(shè)函數(shù)fx=2sin2ωx+23(1)求函數(shù)fx(2)在△ABC中，已知fA=3，且B=2C，求【答案】(1)f(x)=2sin(5(2)14【分析】（1）應(yīng)用倍角正余弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)式，根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸有2ωπ?π6=（2）由題設(shè)得sin(53A?π6【詳解】（1）因?yàn)閒x所以fx由題意2ωπ?π6=π2+kπ且由ω∈12,1，則k=1所以f(x)=2sin(5（2）由f(A)=2sin(53A?π6所以53A?π6∈(?所以B+C=π?A=3π5，而B(niǎo)=2C，故所以sinC=sin4C，且A=2C，所以cosAcosCsinC=cos2CcosCsinC=1所以cosAcosC=126．已知扇形OAB的半徑為1，∠AOB=π3，P是圓弧上一點(diǎn)（不與A，B重合），過(guò)P作PM⊥OA,PN⊥OB，M，

(1)若PM=12，求(2)設(shè)∠AOP=x，PM，PN的線(xiàn)段之和為y，求y的取值范圍．【答案】(1)12(2)(3【分析】（1）在直角△POM與直角△PON中，利用銳角三角函數(shù)的定義求解作答.（2）由（1）中信息，把y用x的函數(shù)表示出，再借助正弦函數(shù)的性質(zhì)求解作答.【詳解】（1）在△POM中，PM⊥OA，則sin∠POM=PMOP=則∠POM=π6，從而在△PON中，PN⊥OB，所以PN=OPsin∠PON=1×sinπ（2）依題意，∠PON=∠AOB?∠POM=PM=OPsin∠POM=sinx,PN=OPsin∠PON=sin(π因此y=sinx+sin(π顯然x+π3∈(所以y的取值范圍是(327．設(shè)函數(shù)fx=3(1)若fx的最小正周期為π，求f(2)若函數(shù)fx圖像在0,π3【答案】(1)?π3(2)1【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)表達(dá)式，然后根據(jù)最小正周期公式算出ω，然后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求解；（2）利用正弦函數(shù)y=sinx的對(duì)稱(chēng)軸公式求參數(shù)的范圍.【詳解】（1）由題意，fx又0<ω<2，于是2π2ω=π，則ω=1，則根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，令2x+π解得?π3+kπ,π6（2）當(dāng)x∈0,π3注意到題干0<ω<2，則2πω3根據(jù)正弦函數(shù)y=sinx的對(duì)稱(chēng)軸x=kπ+π顯然只有k=0時(shí)一條對(duì)稱(chēng)軸x=π于是2πω3+π結(jié)合0<ω<2可得128．在①函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)x=π②函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)Pπ③函數(shù)y=f(x)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q2這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并解答．問(wèn)題：已知函數(shù)f(x)=2sinωxcos(1)求函數(shù)fx(2)函數(shù)fx在π注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）首先得出f(x)=2sin(ωx+φ)，根據(jù)最小正周期為π得出ω，選①：根據(jù)y=sinx的對(duì)稱(chēng)軸x=kπ+π2(k∈Z)，結(jié)合φ的范圍即可求得f(x)；選②：根據(jù)y=sinx的對(duì)稱(chēng)中心(kπ,0)(k∈Z)，結(jié)合φ的范圍即可求得f(x)；選③：將點(diǎn)的坐標(biāo)代入f(x)，得出φ=2kπ+π6（2）根據(jù)函數(shù)解析式，求出2x+φ的范圍，結(jié)合y=sinx的圖像，即可求出f(x)的最大值與最小值．【詳解】（1）由題意得f(x)=2(sinωxcosφ+cosωxsinφ)=2sin(ωx+φ)，因?yàn)閒(x)最小正周期為π，所以ω=2πT=2選①：函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)x=π則2×π3+φ=kπ+又因?yàn)棣?lt;所以φ=?π6，即選②：函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)Pπ則2×π6+φ=kπ(k∈Z)又因?yàn)棣?lt;所以φ=?π3，即選③：函數(shù)y=f(x)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q2π則f(2π3)=2sin(所以φ=2kπ+π又因?yàn)棣?lt;所以φ=π6，即綜上所述，選①f(x)=2sin(2x?π6)；選②f(x)=2sin(2x?π（2）選①，f(x)=2sin(2x?π當(dāng)x∈π6,所以f(x)∈[1,2]，所以函數(shù)fx在π6,π2選②，f(x)=2sin(2x?π當(dāng)x∈π6,所以f(x)∈[0,2]，所以函數(shù)fx在π6,π2選③，f(x)=2sin(2x+π當(dāng)x∈π6,所以f(x)∈[?1,2]，所以函數(shù)fx在π6,π2綜上所述，選①，函數(shù)fx在π6,π2選②，函數(shù)fx在π6,π2選③，函數(shù)fx在π6,π229．已知函數(shù)fx=2sinωxcos①函數(shù)fx的圖像向左平移π3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)且②函數(shù)fx的圖像的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為π12,0(1)求函數(shù)fx(2)若關(guān)于x的方程fx+1【答案】(1)f(2)?【分析】（1）根據(jù)題意，由三角恒等變換化簡(jiǎn)，然后由條件可得ω，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件即可求得φ；（2）根據(jù)題意，將方程根問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，再結(jié)合換元法求得y=fx【詳解】（1）因?yàn)閒=2sinωxcosφ+2sinφ?2=2sinωxcosφ+2cosωxsinφ=2sinωx+φ又其圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸與相鄰對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)相差π4所以T4=π4，即T=π，所以若選①，則函數(shù)向左平移π3個(gè)單位長(zhǎng)度后為y=2sin又其為偶函數(shù)，所以2π3+φ=π又因?yàn)棣?lt;π，且f0<0，所以φ=?若選②，因?yàn)楹瘮?shù)fx的圖像的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為π則sin2×π12+φ=0又因?yàn)棣?lt;π，且fπ6>0，所以故無(wú)論選①還是選②，都有f（2）因?yàn)閒=2sin=2sin22x?π6即y=2t2則方程fx+12f2x?π330．已知函數(shù)fx=sin(1)求ω和φ；(2)當(dāng)x∈?π12,π時(shí)，記方程2ωfx+φ2=m的根為【答案】(1)ω=1，φ=(2)?【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換得fx=sin2ωx+2φ?π3，再利用相鄰對(duì)稱(chēng)軸的距離求出ω（2）由（1）得sin2x+π6=m2，利用整體換元法和三角函數(shù)圖象知【詳解】（1）f==sin2ωx+2φ?因?yàn)楹瘮?shù)fx圖象的相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸間的距離為π2，所以T=π，可得又因?yàn)楹瘮?shù)fx所以f0=sin2φ?π3=0，則由0<φ<π2得此時(shí)fx（2）由（1）知，2ωfx+φ2因?yàn)閤∈?π12結(jié)合正弦函數(shù)圖象知，m2∈0,且2x2+則x2+x故m?x31．已知函數(shù)f(x)=tan(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)若x∈0,π4【答案】(1)x(2)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0,π4【分析】（1）先列出關(guān)于x的不等式組，解之即可求得函數(shù)f(x)的定義域；（2）先化簡(jiǎn)f(x)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）tan2x?tanx≠0，即2tanx1?tan2x?tanx≠0又tan2x,tanx有意義，則x≠π2+kπ綜上可得，x≠kπ4，k∈Z，則函數(shù)f(x)（2）f(x)======sin2x2=2?12∵x∈0,π4由2x?π3∈由2x?π3∈即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0,π432．在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知3tan(1)求角B的大小；(2)求cosA+【答案】(1)B=(2)3【分析】（1）根據(jù)兩角和的正切公式和誘導(dǎo)公式即可求解，（2）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）tanA+C又A+C=π?B,所以tanA+C由于B為三角形的內(nèi)角，所以B=π（2）由于B=π3，所以故cosA+cosC=cos2π由于△ABC為銳角三角形，所以A=2π3?C∈0,π則C?π3∈故cosA+cosC的取值范圍為333．已知fx=sin(1)若函數(shù)fx圖象的兩條相鄰對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為π2，求(2)若函數(shù)fx的圖象關(guān)于π3,0對(duì)稱(chēng)，且函數(shù)fx在【答案】(1)3(2)1【分析】（1）利用輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，依題意12T=π（2）由對(duì)稱(chēng)性得到ω=3k+1，k∈Z，再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求出ω的范圍，即可得解.【詳解】（1）因?yàn)閒x因?yàn)楹瘮?shù)fx圖象的兩條相鄰對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為π所以12T=π2，則T=π，所以所以fx=2sin2x?（2）由fx=2sinωx?π3所以πω3?π3=kπ，k∈Z由x∈0,π4，ω>0又函數(shù)fx在0,π4上單調(diào)，所以πω所以當(dāng)k=0時(shí)ω=1.34．已知函數(shù)f(x)=asinxcos(1)求a的值和f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在[0,π【答案】(1)a=2，T=π(2)0,π12【分析】（1）根據(jù)fπ4=（2）由正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)閒(x)=asinxcosx+cos2x+π6所以fπ4=asin所以f(x)=2sinxcosx+cos2x+π=sin2x+3即fx=sin2x+π3（2）由?π2+2kπ≤2x+解得?5π12+kπ≤x≤所以fx=sin2x+π3當(dāng)k=0時(shí)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為?當(dāng)k=1時(shí)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為7π所以fx在[0,π]上的單調(diào)遞增區(qū)間為0,π1235．已知a(1)若c=(?3,4)且x=π4,θ∈0,π時(shí)，(2)若θ=π3，函數(shù)f【答案】(1)(?1,?2(2)12【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用向量數(shù)量積及共線(xiàn)向量的坐標(biāo)表示列式，求出cosθ范圍作答.（2）利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出函數(shù)fx【詳解】（1）當(dāng)x=π4時(shí)，a=2,2cosθ于是a?c<0，且a則a?c=?32+8cosθ<0，解得cosθ<則有?1<cosθ<328，又當(dāng)a與c共線(xiàn)時(shí)，4因此a與c不共線(xiàn)時(shí)，cosθ≠?2所以cosθ的取值范圍是(?1,?2（2）依題意，當(dāng)θ=π3=3令t=sinx+cosx=2sin(x+π于是fx=3t+t則當(dāng)t=?2時(shí)，y有最小值1所以fx的最小值為36．在△ABC中，A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c，且A,B<π2(1)求C；(2)若a=b=2，BC上有一動(dòng)點(diǎn)P（異于B、C），將△ABP沿AP折起使BP與CP夾角為π4，求AB與平面ACP【答案】(1)π(2)0,【分析】（1）方法一：邊角轉(zhuǎn)化得到sin2A+sin2B=sinC（2）方法一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量來(lái)求線(xiàn)面角；方法二：利用等體積法結(jié)合幾何體中的數(shù)據(jù)關(guān)系表示出線(xiàn)面角的正弦進(jìn)行求解.【詳解】（1）方法一：由2sinC+cos2A+cos2B=2，結(jié)合二倍角公式可得，2sinC+1?2sin即sin2若A+B<π2，則A<π根據(jù)正弦函數(shù)y=sinx在0,πsinA<sinπ2?B于是sin2這與sin2若A+B>π2，則A>π根據(jù)正弦函數(shù)y=sinx在0,πsinA>sinπ類(lèi)似的有sinB>sinπ2?A這與sin2若A+B=π2，即C=π綜上所述，C=π方法二：將A+B=π?C代入2sinC+cos2A+cos2B=2可得2sinA+B再利用兩角和的正弦公式和二倍角的余弦公式，化簡(jiǎn)即可得sin所以sinAsinA?cosB即sinAsinA?sin再由和差化積公式可得：2sinAcosA?B所以2sin不妨設(shè)A≥B，則π4所以sinA>0,sinB>0,cosA?B即sinA+B2?π4可得A+B=π2，所以（2）由題意，折疊后的幾何體如下，設(shè)CP=a，則BP=2?a(0<a<2)在△BCP中，若∠BPC=π4，由余弦定理得，下以C為原點(diǎn)，CP,CA分別為x,y軸，過(guò)C垂直于平面△APC的直線(xiàn)為z軸.設(shè)B(x,y,z)，則A(0,2,0)，P(a,0,0)，由BCBABP2由①②解得：y=1由①③解得：x=1+根據(jù)線(xiàn)面角的定義，（不妨取z是正數(shù)），則AB與平面ACP所成角正弦值為zAB記t=2+24，則x注意到2t=4(2?2又??'(2)=2(8t故(4t?2)2=2?8t根據(jù)多項(xiàng)式除法，2t2a得到2t2a根據(jù)求根公式可得，4t2a故?(a)在(0,1.27)上遞增，在(1.27,2)經(jīng)計(jì)算得到?(2)>?(0)，故?(a)=x2+故x2+(y?2)2<8，于是x于是直線(xiàn)AB與平面ACP所成角正弦值的范圍是z2在△BCP中，若∠BPC=3π4，同理可得，直線(xiàn)AB與平面ACP所成角正弦值的范圍是方法二：作BO⊥底面ACP，垂足為O，連接AO，設(shè)B到平面ACP的距離為?，A到平面BCP的距離為d，CP=2?m,BP=m，由題意知0<m<2.先說(shuō)明AC和平面BCP不可能垂直，否則由AC⊥平面BCP可得AC⊥BC，由AB=22，AC=2可得BC=2，這與CP=2?m,BP=m矛盾，于是AC是平面BCP的斜線(xiàn)，即d<AC=2由VB?ACP=VA?BCP可得，設(shè)∠BAO=θ，根據(jù)線(xiàn)面角的定義，θ即為AB與平面ACP所成角.于是sinθ=?AB=37．已知函數(shù)fx條件①：在fx圖象上相鄰的兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心的距離為π條件②：fx的一條對(duì)稱(chēng)軸為x=(1)求ω；(2)將fx的圖象向右平移π3個(gè)單位（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)gx的圖象，求函數(shù)g【答案】(1)ω=1(2)?2,1【分析】（1）由三角函數(shù)的恒等變換對(duì)f(x)進(jìn)行化簡(jiǎn)，再分別由