2025年高考數學復習大題題型歸納：專題20 隨機變量與分布列（解析）

專題20隨機變量與分布列1．溫室是以采光覆蓋材料作為全部或部分圍護結構材料，具有透光、避雨、保溫、控溫等功能，可在冬季或其他不適宜露地植物生長的季節(jié)供栽培植物的建筑，而溫室蔬菜種植技術是一種比較常見的技術，它具有較好的保溫性能，使人們在任何時間都可吃到反季節(jié)的蔬菜，深受大眾喜愛.溫室蔬菜生長和蔬菜產品衛(wèi)生質量要求的溫室內土壤、灌溉水、環(huán)境空氣等環(huán)境質量指標，其溫室蔬菜產地環(huán)境質量等級劃定如表所示.環(huán)境質量等級土壤各單項或綜合質量指數灌溉水各單項或綜合質量指數環(huán)境空氣各單項或綜合質量指數等級名稱1≤0.7≤0.5≤0.6清潔20.7～1.00.5～1.00.6～1.0尚清潔3>1.0>1.0>1.0超標各環(huán)境要素的綜合質量指數超標，灌溉水、環(huán)境空氣可認為污染，土壤則應做進一步調研，若確對其所影響的植物（生長發(fā)育、可食部分超標或用作飲料部分超標）或周圍環(huán)境（地下水、地表水、大氣等）有危害，方能確定為污染.某鄉(xiāng)政府計劃對所管轄的甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛，共8個村發(fā)展溫室蔬菜種植，對各村試驗溫室蔬菜壞境產地質量監(jiān)測得到的相關數據如下：

(1)若從這8個村中隨機抽取2個進行調查，求抽取的2個村應對土壤做進一步調研的概率；(2)現有一技術人員在這8個村中隨機選取3個進行技術指導，記ξ為技術員選中村的環(huán)境空氣等級為尚清潔的個數，求ξ的分布列和數學期望.【答案】(1)3(2)分布列見解析；數學期望E【分析】（1）根據折線圖可得應對土壤做進一步調研的村子個數，結合組合數知識可求得基本事件總數和滿足題意的基本事件個數，由古典概型概率公式可求得結果；（2）根據折線圖可得環(huán)境空氣等級為尚清潔的村子個數，由此可得ξ所有可能的取值，由超幾何分布概率公式可求得每個取值對應的概率，由此可得分布列；根據數學期望計算公式可求得期望值.【詳解】（1）由折線圖可知：應對土壤做進一步調研的村共4個，從8個村中隨機抽取2個進行調查，基本事件總數有C8其中抽取的2個村應對土壤做進一步調研的基本事件個數有C4∴所求概率p=6（2）由折線圖可知：環(huán)境空氣等級為尚清潔的村共有5個，則ξ所有可能的取值為0,1,2,3，∵Pξ=0=C33C8∴ξ的分布列為：ξ0123P115155∴數學期望Eξ2．2021年7月18日第30屆全國中學生生物學競賽在浙江省蕭山中學隆重舉行．為做好本次考試的評價工作，將本次成績轉化為百分制，現從中隨機抽取了50名學生的成績，經統計，這批學生的成績全部介于40至100之間，將數據按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求頻率分布直方圖中m的值，并估計這50名學生成績的中位數；(2)在這50名學生中用分層抽樣的方法從成績在[70,80)，[80,90)，[90,100]的三組中抽取了11人，再從這11人中隨機抽取3人，記ξ為3人中成績在[80,90)的人數，求ξ的分布列和數學期望；【答案】(1)m=0.012；68(2)分布列見解析；9【分析】（1）由頻率之和為1，可構建m的方程，求解m即可；令中位數為t，由40,t的頻率之和為0.5，可構建t的方程，求解t即可;（2）先按抽樣比算出各層樣本數，接著我們發(fā)現ξ服從超幾何分布，寫出分布列，算出期望即可.【詳解】（1）由頻率分布直方圖的性質可得，(0.004+m+0.022+0.03+0.028+0.004)×10=1，解得m=0.012，設中位數為t，0.004×10+0.022×10+(t?60)×0.03=0.5，解得t=68．（2）∵[70,80)，[80,90)，[90,100]三組的頻率之比為0.28:0.12:0.04=7:3:1，∴從[70,80)，[80,90)，[90,100]中分別抽取7人，3人，1人，則ξ可取0,1,2,3，P(ξ=0)=CP(ξ=1)=CP(ξ=2)=CP(ξ=3)=C故ξ的分布列為：ξ0123P562881故E(ξ)=0×563．2023年9月23日至2023年10月8日，第19屆亞運會將在中國杭州舉行.杭州某中學高一年級舉辦了“亞運在我心”的知識競賽，其中1班，2班，3班，4班報名人數如下：班號1234人數30402010該年級在報名的同學中按分層抽樣的方式抽取10名同學參加競賽，每位參加競賽的同學從預設的10個題目中隨機抽取4個作答，至少答對3道的同學獲得一份獎品，假設每位同學的作答情況相互獨立.(1)求各班參加競賽的人數；(2)2班的小張同學被抽中參加競賽，若該同學在預設的10個題目中恰有3個答不對，記他答對的題目數為X，求X的分布列及數學期望.【答案】(1)3,4,2,1(2)分布列見解析，2.8【分析】（1）根據分層抽樣計算可得；（2）根據超幾何分布求出概率，列出分布列求期望即可得解；【詳解】（1）各班報名人數總共100人，抽取10人，抽樣比為110故1?4班分別抽取30×110=3（人），40×110（2）由題意，X的可能取值為1,2,3,4，P(X=1)=CP(X=2)=CP(X=3)=CP(X=4)=C所以X的分布列為：X1234P1311E(X)=1×4．“英才計劃”最早開始于2013年，由中國科協、教育部共同組織實施，到2022年已經培養(yǎng)了6000多名具有創(chuàng)新潛質的優(yōu)秀中學生，為選拔培養(yǎng)對象，某高校在暑假期間從武漢市的中學里挑選優(yōu)秀學生參加數學、物理、化學、信息技術學科夏令營活動．(1)若化學組的12名學員中恰有5人來自同一中學，從這12名學員中選取3人，ξ表示選取的人中來自該中學的人數，求ξ的分布列和數學期望；(2)在夏令營開幕式的晚會上，物理組舉行了一次學科知識競答活動．規(guī)則如下：兩人一組，每一輪競答中，每人分別答兩題，若小組答對題數不小于3，則取得本輪勝利，假設每輪答題結果互不影響．已知甲、乙兩位同學組成一組，甲、乙答對每道題的概率分別為p1，p2，且【答案】(1)分布列見解析，E(ξ)=(2)11輪【分析】（1）根據超幾何分布列分布列計算數學期望即可；（2）先求每輪答題中取得勝利的概率的最大值，再應用獨立重復實驗數學期望的范圍求出最少輪數.【詳解】（1）由題意可知ξ的可能取值有0、1、2、3，P(ξ=0)=C73P(ξ=2)=C7所以，隨機變量ξ的分布列如下表所示：ξ0123P72171所以E(ξ)=0×7（2）他們在每輪答題中取得勝利的概率為Q==2p由0≤p1≤1，0≤p2則p1p2令t=p1p2∈13要使答題輪數取最小值，則每輪答題中取得勝利的概率取最大值1627設他們小組在n輪答題中取得勝利的次數為X，則X～Bn,1627由E(X)≥6，即1627n≥6，解得而n∈N?，則5．在一個不透明袋子中放入除顏色外完全相同的2個白色球和2個黑色球，從中任意取出一個球，若是黑色球，則用2個同樣的白色球替換黑色球放入袋子中，若取到的是白色球，則把該白色球放回袋子中．(1)求第4次恰好取完兩個黑色球的概率；(2)若取到兩個黑色球或者取球數達到5次就停止取球，設停止取球時取球次數為X，求X的分布列和數學期望．【答案】(1)129(2)分布列見解析，4311【分析】（1）前三次取球中有一次取到黑色球，則第4次取球恰好是第二次取到黑色球，求其概率即可；（2）X的所有可能取值為2，3，4，5，分別求出對應的概率，然后利用期望的公式求解取球次數的數學期望.【詳解】（1）由題意知，前三次取球中有一次取到黑色球，故第4次取球恰好是第二次取到黑色球的概率P=1（2）由題意可知，X的所有可能取值為2，3，4，5，PX=2=12×PX=5故X的分布列為X2345P113129641EX6．某地乒乓球協會在年55歲～65歲的乒乓球運動愛好者中，進行一次“快樂兵兵”比賽，3人一組先進行預賽，選出1名參賽人員進入正式比賽.已知甲、乙、丙在同一組，抽簽確定第一輪比賽次序為：甲對乙、甲對丙、乙對丙，先累計獲勝2場的選手，進入正式比賽.若前三場比賽甲、乙、丙各勝負一場，則根據抽簽確定由甲、乙加賽一場、勝者參加正式比賽.已知甲勝乙、甲勝丙、乙勝丙的概率分別為35(1)求甲進入正式比賽的概率；(2)若比賽進行了四場結束，記甲獲勝的場數為X，求X的分布列與數學期望.【答案】(1)99(2)分布列見解析，8【分析】（1）分類討論由乘法公式計算即可；（2）根據離散型隨機變量的分布列及期望公式計算即可.【詳解】（1）由題意，可分為兩種情況，即分甲連勝兩場和前三場甲、乙、丙各勝負一場，第4場甲勝乙：①甲連勝兩場的概率為35②前三場甲、乙、丙各勝負一場，第4場甲勝乙的概率為35則甲進入正式比賽的概率為625（2）由題意得若要比四場，則前3場甲、乙、丙必然各勝一場，此時第四場甲對乙，故X的可能取值為1，2，第四場甲輸，則PX=1=2故X的分布列為X12P23則EX7．為了“讓廣大青少年充分認識到毒品的危害性，切實提升青少年識毒防毒拒毒意識”，我市組織開展青少年禁毒知識競賽，團員小明每天自覺登錄“禁毒知識競賽APP”，參加各種學習活動，同時熱衷于參與四人賽.每局四人賽是由網絡隨機匹配四人進行比賽，每題回答正確得20分，第1個達到100分的比賽者獲得第1名，贏得該局比賽，該局比賽結束.每天的四人賽共有20局，前2局是有效局，根據得分情況獲得相應名次，從而得到相應的學習積分，第1局獲得第1名的得3分，獲得第2?3名的得2分，獲得第4名的得1分；第2局獲得第1名的得2分，獲得第2?3?4名的得1分；后18局是無效局，無論獲得什么名次，均不能獲得學習積分.經統計，小明每天在第1局四人賽中獲得3分?2分?1分的概率分別為14，12，14，在第2局四人賽中獲得2分?1分的概率分別為1(1)設小明每天獲得的得分為X，求X的分布列和數學期望；(2)若小明每天賽完20局，設小明在每局四人賽中獲得第1名從而贏得該局比賽的概率為14【答案】(1)分布列答案見解析，數學期望：13(2)在每天的20局四人賽中，小明贏得5局的比賽概率最大【分析】（1）記事件Aii=1,2,3表示第一局獲得i分，事件Bii=1,2表示第二局獲得i分，（2）設小A每天贏得的局數為Y，則Y~B20,14【詳解】（1）記事件Aii=1,2,3表示第一局獲得i分，事件Bi這些事件相互獨立，由條件知X的可能值為5，4，3，2.P(X=5)=P(AP(X=4)=P(AP(X=3)=P(AP(X=2)=P(A則其分布列為X5432P1573所以E(X)=5×1（2）設小明每天贏得的局數為Y，則易知Y~B20,于是P(Y=k)=C假設贏得k局的概率最大，則據條件得C20即20！k!?(20?k)!整理得1k?1又因為k∈Z，所以k=5，因此在每天的20局四人賽中，小明贏得5局的比賽概率最大.8．食品安全問題越來越受到人們的重視．某超市在購進某種水果之前，要求食品安檢部門對每箱水果進行三輪各項指標的綜合檢測，只有三輪檢測都合格，這種水果才能在該超市銷售．已知每箱這種水果第一輪檢測不合格的概率為14，第二輪檢測不合格的概率為15，第三輪檢測不合格的概率為(1)求每箱這種水果能在該超市銷售的概率；(2)若這種水果能在該超市銷售，則每箱可獲利300元，若不能在該超市銷售，則每箱虧損100元，現有4箱這種水果，求這4箱水果總收益X的分布列和數學期望EX【答案】(1)1(2)分布列見解析，E【分析】(1)根據題意結合對立事件和對立事件概率的乘法公式運算求解即可；(2)先確定水果總收益X的可能取值，然后由獨立重復試驗的概率公式可得分布列，再由期望公式直接計算即可.【詳解】（1）設每箱這種水果能在該超市銷售為事件A，則PA即每箱這種水果能在該超市銷售的概率為12（2）X的所有可能取值為1200，800，400，0，?400．因為PX=1200PX=800PX=400PX=0PX=?400所以X的分布列為X12008004000?400P11311所以EX9．飛行棋是一種競技游戲，玩家用棋子在圖紙上按線路行棋，通過擲骰子決定行棋步數．為增加游戲樂趣，往往在線路格子中設置一些“前進”“后退”等獎懲環(huán)節(jié)，當骰子點數大于或等于到達終點的格數時，玩家順利通關．已知甲、乙兩名玩家的棋子已經接近終點，其位置如圖所示：

(1)求甲還需拋擲2次骰子才順利通關的概率；(2)若甲、乙兩名玩家每人最多再投擲3次，且第3次無論是否通關，該玩家游戲結束．設甲、乙兩玩家再投擲骰子的次數為X,?Y，分別求出【答案】(1)13(2)分布列見解析；期望為E(X)=5936【分析】（1）由題意可知，甲拋擲的點數應小于4，所以分甲投1點，2點，或3點，分別求滿足條件的概率，即可求解；（2）根據題意可知，隨機變量X,Y=1,2,3，根據隨機變量表示的意義，分別求概率，即可求解分布列和數學期望.【詳解】（1）甲第1次拋擲未到達終點，其點數應小于4若第1次擲出的點數為1，根據游戲規(guī)則，棋子前進1步后可再前進1步，到達距離終點差2步的格子，第2次擲出的點數大于1，即可順利通關，其概率為P若第1次擲出的點數為2，棋子到達距離終點差2步的格子，第2次擲出的點數大于1，即可順利通關，其概率為P若第1次擲出的點數為3，根據游戲規(guī)則，棋子到達距離終點差1步的格子后需后退3步，又回到了原位，第2次擲出的點數大于3，可順利通關，其概率為P故甲拋擲2次骰子順利通關的概率為P=（2）依題意得P(X=1)=36=1P(Y=1)=26=1X123Y123P1135P142E(X)=1×1210．如圖，經典的推箱子是一個古老的游戲，在一個狹小的倉庫中，該游戲要求把木箱放到指定的位置，稍不小心就會出現箱子無法移動或者通道被堵住的情況，所以需要巧妙地利用有限的空間和通道，合理安排移動的次序和位置，才能順利地完成任務，某學習小組在課外活動中為了培養(yǎng)組員的邏輯思維能力，開展了推箱子的小游戲，已知組員小明在前四關中，每關通過的概率都是34，失敗的概率都是14，且每關通過與否互不影響.假定小明只有在失敗或四關全部通過時游戲才結束，(1)求小明游戲結束時至少通過三關的概率；(2)求X的分布列和數學期望EX【答案】(1)27(2)分布列見解析，期望為525【分析】（1）分小明游戲結束時通過三關或四關，利用獨立事件的乘法公式求解；（2）X的所有可能取值為0，1，2，3，4，分別求得其相應概率，列出分布列，再求期望.【詳解】（1）解：用A表示“小明游戲結束時至少通過三關”，則PA（2）X的所有可能取值為0，1，2，3，4，用Ak表示“小明通過第k則PAk=34，k=1,2,3,4，且A1，故PX=0PX=1PX=2PX=3PX=4X的分布列為X01234P1392781所以EX11．部分高校開展基礎學科招生改革試點工作（強基計劃）的?？加稍圏c高校自主命題，校考過程中達到筆試優(yōu)秀才能進入面試環(huán)節(jié).已知A,B兩所大學的筆試環(huán)節(jié)都設有三門考試科目且每門科目是否達到優(yōu)秀相互獨立.若某考生報考A大學，每門科目達到優(yōu)秀的概率均為25，若該考生報考B大學，每門科目達到優(yōu)秀的概率依次為14，25，n(1)若n=13，分別求出該考生報考(2)強基計劃規(guī)定每名考生只能報考一所試點高校，若以筆試過程中達到優(yōu)秀科目個數的期望為依據作出決策，該考生更有希望進入A大學的面試環(huán)節(jié)，求n的范圍.【答案】(1)報考A大學恰好有一門筆試科目優(yōu)秀概率為54125；報考B大學恰好有一門筆試科目優(yōu)秀概率為(2)0,【分析】（1）根據二項分布概率公式和獨立事件概率乘法公式依次求解即可；（2）根據二項分布期望公式可求得EX；結合獨立事件概率乘法公式可求得離散型隨機變量Y的分布列，進而由數學期望公式求得EY；根據EY【詳解】（1）設該考生報考A大學恰好有一門筆試科目優(yōu)秀為事件A，則PA該考生報考B大學恰好有一門筆試科目優(yōu)秀為事件B，則PB（2）該考生報考A大學達到優(yōu)秀科目的個數設為X，則X～B3,25該考生報考B大學達到優(yōu)秀科目的個數設為Y，則Y所有可能的取值為0,1,2,3，∵PY=0PY=1PY=2PY=3∴隨機變量Y的分布列：Y0123P997n+2n∴EY∵該考生更有希望進入A大學的面試環(huán)節(jié)，∴EY<EX解得：0<n<1120，∴n的范圍為12．在某個周末，甲、乙、丙、丁四名同學相約打臺球．四人約定游戲規(guī)則：①每輪游戲均將四人分成兩組，進行組內一對一對打；②第一輪甲乙對打、丙丁對打；③每輪游戲結束后，兩名優(yōu)勝者組成優(yōu)勝組在下一輪游戲中對打，同樣的，兩名失敗者組成敗者組在下一輪游戲中對打；④每輪比賽均無平局出現．已知甲勝乙、乙勝丙、丙勝丁的概率均為12，甲勝丙、乙勝丁的概率均為35，甲勝丁的概率為(1)設在前三輪比賽中，甲乙對打的次數為隨機變量X，求X的數學期望；(2)求在第10輪比賽中，甲丙對打的概率．【答案】(1)151(2)171【分析】（1）根據游戲規(guī)則得到甲乙在第一輪對打，且在第二輪不對打，第三輪有可能對打，從而得到X的可能值為1或2，其中第三輪對打為甲乙勝者組對打或甲乙敗者組對打，再結合條件即可求解；（2）設在第n輪中，甲乙對打的概率為an，甲丙對打的概率為bn，甲丁對打的概率為cn，根據題目條件求得a1，b1和c1，再分類討論甲丙在勝者組對打或甲丙在敗者組對打，從而求得bn+1【詳解】（1）由題可知，甲乙在第一輪對打，且在第二輪不對打，所以X的可取值為1，2，PX=2則PX=1所以X的數學期望EX（2）設在第n輪中，甲乙對打的概率為an，甲丙對打的概率為bn，甲丁對打的概率為易知n≥2，a1=1，且bn+1又an+b整理得bn+1則數列bn?13是以即bn?13=?故在第10輪比賽中，甲丙對打的概率為1313．電視劇《狂飆》顯示了以安欣為代表的政法人員與黑惡勢力進行斗爭的決心和信心，自播出便引起巨大反響.為了了解觀眾對其的評價，某機構隨機抽取了10位觀眾對其打分（滿分為10分），得到如下表格：觀眾序號12345678910評分7.88.98.67.48.58.59.59.98.39.1(1)求這組數據的第75百分位數；(2)將頻率視為概率，現從觀眾中隨機抽取3人對《狂飆》進行評價，記抽取的3人中評分超過9.0的人數為X，求X的分布列?數學期望與方差.【答案】(1)9.1(2)分布列答案見解析，EX=0.9，【分析】（1）先將數據從小到大排列，結合百分位數的計算公式，即可求解;（2）根據題意，求得評分超過9.0的概率，得出X的所有取值，利用獨立重復試驗的概率公式求出概率，得出分布列，進而求出期望和方差.【詳解】（1）將這組數據從小到大進行排列，7.4,7.8,8.3,8.5,8.5,8.6,8.9,9.1,9.5,9.9，因為75%×10=7.5，所以第8個數據為所求，所以這組數據的第75百分位數為9.1.（2）樣本中評分超過9.0的有3個，所以評分超過9.0的概率（頻率）為0.3，依題意，X的所有可能取值為0,1,2,3，且X～B3,0.3則PX=0PX=1PX=2PX=3所以X的分布列為X0123P0.3430.4410.1890.027所以EXDX14．某工藝品加工廠加工某工藝品需要經過a，b，c三道工序，且每道工序的加工都相互獨立，三道工序加工合格率分別為34，12，(1)求加工一件工藝品不是廢品的概率；(2)若每個工藝品為特等品可獲利300元，一等品可獲利100元，二等品將使工廠虧損20元，廢品將使工廠虧損100元，記一件工藝品經過三道工序后最終獲利X元，求X的分布列和數學期望．【答案】(1)1516(2)分布列見解析，數學期望為1752【分析】（1）三道工序都不合格為廢品，求事件的概率，利用對立事件，求不是廢品的概率；（2）由X的取值，計算相應的概率，列出分布列，由公式求數學期望.【詳解】（1）記“加工一件工藝品為廢品”為事件A，則PA則加工一件工藝品不是廢品的的概率PA（2）由題意可知隨機變量X的所有可能取值為-100，-20，100，300，PX=?100PX=?20PX=100PX=300則隨機變量X的分布列為：X-100-20100300P1573故EX15．大連市是國內知名足球城市，足球氛圍濃厚.在2022年第22屆卡塔爾足球世界杯階段，大連二十四中的同學們對世界杯某一分組內的四支球隊進行出線情況分析.已知世界杯小組賽規(guī)則如下：小組內四支球隊之間進行單循環(huán)（每只球隊均與另外三只球隊進行一場比賽）；每場比賽勝者積3分，負者0分；若出現平局，則比賽雙方各積1分.現假設組內四支球隊戰(zhàn)勝或者負于對手的概率均為0.25，出現平局的概率為0.5．(1)求某一只球隊在參加兩場比賽后積分X的分布列與數學期望；(2)小組賽結束后，求四支球隊積分相同的概率．【答案】(1)分布列見解析，5(2)11【分析】（1）球隊參加兩場比賽后積分X的取值為0，1，2，3，4，6，分別求出隨機變量對應的概率，可得分布列，進而可得數學期望；（2）求出6場比賽都出現平局的概率以及每支球隊3場比賽結果均為1勝1平1負的概率，再求和即可.【詳解】（1）球隊參加兩場比賽后積分X的取值為0，1，2，3，4，6，則P(X=0)=14×P(X=2)=12×P(X=4)=14×所以隨機變量X的分布列為：X012346P111111隨機變量X的數學期望：EX（2）由于小組賽共打6場比賽，每場比賽兩個球隊共積2分或者3分；6場比賽總積分的所有情況為12分，13分，14分，15分，16分，17分，18分共7種情況，要使四支球隊積分相同，則總積分被4整除，所以每只球隊總積分為3分或者4分.若每支球隊得3分：則6場比賽都出現平局，其概率為：P1若每支球隊得4分：則每支球隊3場比賽結果均為1勝1平1負，其概率為：P2所以四支球隊積分相同的概率為P=P16．在全國碩士研究生統一招生考試中，甲，乙，丙三名應屆本科畢業(yè)生都以優(yōu)秀的成績通過了某重點大學的初試，即將參加該重點大學組織的復試．已知甲，乙，丙三名同學通過復試的概率分別為12，12，p，復試是否通過互不影響，且甲，乙，丙三名同學都沒有通過復試的概率為(1)求p的值；(2)設甲，乙，丙三名同學中通過復試的人數為X，求隨機變量X的分布列．【答案】(1)p=(2)答案見解析【分析】（1）根據相互獨立事件的乘法公式結合對立事件的概率，列式計算，可得答案.（2）確定隨機變量X的取值，求得每個值對應的概率，即可得分布列.【詳解】（1）因為甲，乙，丙三名同學都沒有通過復試的概率為112所以1?12×（2）由題意知，隨機變量X的可能取值為0，1，2，3．PX=0PX=1=1PX=3PX=2所以隨機變量X的分布列為X0123P115117．根據社會人口學研究發(fā)現，一個家庭有X個孩子的概率模型為：X1230Paaaa（其中a>0,0<p<1）每個孩子的性別是男孩還是女孩的概率均為12，且相互獨立，事件Ai表示一個家庭有i個孩子(i=0,1,2,3)，事件(1)若p=12，求a，并根據全概率公式P(B)=i=1(2)是否存在p值，使得EX【答案】(1)a=415(2)不存在，理由見解析【分析】（1）由概率之和為1列出方程，求出a，計算出PB∣（2）假設存在p，使EX=ap+2a+3a1?p=【詳解】（1）當p=12時，則a4+2a+a+a由題意，得PB∣由全概率公式，得P(B)==又p=12,a=（2）由ap+a+a1?p假設存在p，使EX將上述兩式相乘，得1p化簡，得5p設?p=5p由?'p<0，得0<p<45則?p在0,45上單調遞減，在45,1所以不存在p0使得?p0=0.即不存在【點睛】關鍵點點睛：此題考查全概率公式的應用，考查離散型隨機變量的分布列，考查導數的應用，第（2）問解題的關鍵是根據概率和為1，和期望公式列方程，化簡后利用導數解決，考查數學計算能力，屬于較難題.18．在二十大報告中，體育?健康等關鍵詞被多次提及，促進群眾體育和競技體育全面發(fā)展，加快建設體育強國是全面建設社會主義現代化國家的一個重要目標.某校為豐富學生的課外活動，加強學生體質健康，擬舉行羽毛球團體賽，賽制采取3局2勝制，每局都是單打模式，每隊有5名隊員，比賽中每個隊員至多上場一次且是否上場是隨機的，每局比賽結果互不影響.經過小組賽后，最終甲、乙兩隊進入最后的決賽，根據前期比賽的數據統計，甲隊種子選手M對乙隊每名隊員的勝率均為34，甲隊其余4名隊員對乙隊每名隊員的勝率均為1(1)求甲隊最終2:1獲勝且種子選手M上場的概率；(2)已知甲隊2:1獲得最終勝利，求種子選手M上場的概率.【答案】(1)7(2)7【分析】（1）設事件Ai=“種子選手M第i局上場”i=1,2,3，事件B=“甲隊最終2:1獲勝且種子選手M上場”，求出PAi、（2）設事件A0=“種子選手M未上場”，事件C=“甲隊2:1獲得勝利”，計算出PC、P【詳解】（1）解：設事件Ai=“種子選手M第i局上場”事件B=“甲隊最終2:1獲勝且種子選手M上場”.由全概率公式知，P因為每名隊員上場順序隨機，故PAPBA1=3所以PB所以甲隊最終2:1獲勝且種子選手M上場的概率為740（2）解：設事件A0=“種子選手M未上場”，事件C=“甲隊PA0=A4PC因為PA由（1）知PA0C所以，已知甲隊2:1獲得最終勝利，種子選手M上場的概率為71119．某水果店的草莓每盒進價20元，售價30元，草莓保鮮度為兩天，若兩天之內未售出，以每盒10元的價格全部處理完.店長為了決策每兩天的進貨量，統計了本店過去40天草莓的日銷售量（單位：十盒），獲得如下數據：日銷售量/十盒78910天數812164假設草莓每日銷量相互獨立，且銷售量的分布規(guī)律保持不變，將頻率視為概率.(1)記每兩天中銷售草莓的總盒數為X（單位：十盒），求X的分布列和數學期望；(2)以兩天內銷售草莓獲得利潤較大為決策依據，在每兩天進16十盒，17十盒兩種方案中應選擇哪種？【答案】(1)分布列見解析，數學期望17.44(2)選擇每兩天進17十盒【分析】（1）首先計算日銷售量為7盒、8盒、9盒、10盒的概率，根據題意寫出隨機變量X的所有取值并計算概率可得分布列，進一步計算可得期望值；（2）分別計算每兩天進16十盒，17十盒兩種方案下利潤的期望值，比較即可作出決策．【詳解】（1）日銷售量為7盒、8盒、9盒、10盒的概率依次為：15根據題意可得：X的所有可能取值為14，15，16，17，18，19，20，P(X=14)=15×P(X=16)=15×P(X=18)=310×P(X=20)=1所以X的分布列為：X14151617181920P13171121所以E(X)=14×125+15×（2）當每兩天進16十盒時，利潤為(14×10?2×10)×125+(15×10?1×10)×當每兩天進17十盒時，利潤為(14×10?3×10)×125+(15×10?2×10)×157>156，所以每兩天進17十盒利潤較大，故應該選擇每兩天進17十盒．20．袋中放有形狀、大小完全相同的4個黑球和4個白球．(1)從中依次摸3個球，摸后不放回，求在前兩次摸球有黑球的條件下，第三次摸到白球的概率；(2)若每次摸一個球后，觀察其顏色，再放回袋中．①求某人摸球5次，摸中3個黑球，且三個黑球不是連續(xù)摸中的概率；②若摸到黑球加1分，摸到白球減1分，求摸球多少次時，得分為4分的概率最大．【答案】(1)6(2)①732；②【分析】（1）根據題意，記事件A為“前兩次摸球有黑球”，記事件B為“第三次摸到白球”，根據古典概型概率公式計算P(A)、P(B)的值，由條件概率公式計算可得答案；（2）①根據題意，分析可得每次摸到黑球的概率為12，分析摸中3個黑球，且三個黑球不是連續(xù)摸中，即可得答案；②設摸球n次時，得分為4分，其概率記為P(n)，求P(n)【詳解】（1）設事件A：前兩次摸球有黑球，事件B：第三次摸到白球，則P(A)=(C41C（2）①設事件C：某人摸球5次，摸中3個黑球，且三個黑球不是連續(xù)摸中，則P(C)=(C②設摸球n次時，得分為4分，其概率記為P(n)，由于得分為4分，若摸白球k次，k∈N?，則摸黑球k+4次，故摸球次數n=k+k+4=2k+4，k∈N?，則則P(n)=Cnn所以P(n+2)P(n)=C所以6≤n≤14時，P(n+2)≥P(n)，則P(n)單調遞增；當n≥16時，P(n+2)<P(n)，則P(n)單調遞減，又P(16)P(14)=(14+2)(14+1)(14+6)(14?2)=1，所以當n=1421．設X,Y是一個二維離散型隨機變量，它們的一切可能取的值為ai,bj，其中i,j∈N?，令X,Ybbb???appp???appp???appp??????????????????現有nn∈N?個球等可能的放入編號為1,2,3的三個盒子中，記落入第1號盒子中的球的個數為X(1)當n=2時，求X,Y的聯合分布列，并寫成分布表的形式；(2)設pk=m=0nP（參考公式：若X~Bn,p，則k=0【答案】(1)答案見解析(2)n【分析】（1）X的取值為0，1，2，Y的取值為0，1，2，分別計算概率即可；（2）計算得pk=C【詳解】（1）若n=2，X的取值為0，1，2，Y的取值為0，1，2，則PX=0,Y=0PX=0,Y=1PX=0,Y=2=1PX=1,Y=1=CPX=1,Y=2故X,Y的聯合分布列為X,Y012012112202100（2）當k+m>n時，PX=k,Y=m故p=所以k=0nkp22．隨著人們收入水平的提高，特色化?差異化農產品的消費需求快速增長，精品農產品獲得廣大消費者的認可.某精品水果種植大戶在水果采摘后，一般先分揀出單個重量不達標的水果，再按重量進行分類裝箱.現從同批采摘?分揀后堆積的水果堆中隨機抽取了30個水果進行稱重（為方便稱重，按5克為一級進行分級），統計對應的水果重量，得柱狀圖如下.

(1)估計該批采摘的水果的單個水果的平均重量（精確到整數位）；(2)在樣本內，從重量不低于80克的水果中，隨機選取2個，記其中選取到水果重量不低于90克的個數為X，求X的分布列和數學期望；(3)用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率.從采摘的水果堆中隨機選取n個水果，若要求其中至少有一個水果的重量不低于80克的概率不低于90%，求n【答案】(1)75克(2)分布列見解析，E(X)=(3)5【分析】（1）根據平均數的定義求解即可；（2）由題意可知X的可能取值為0，1，2，求出相應的概率，從而可求得X的分布列和數學期望；（3）先求出重量低于80克的頻率，可得重量低于80克的概率，然后根據獨立事件和對立事件的概率公式列不等式可求出n的最小值.【詳解】（1）根據柱狀圖可知該批采摘的水果的單個水果的平均重量為3×60+3×65+4×70+8×75+6×80+3×85+3×9030（2）樣本中重量不低于80克的水果有6+3+3=12個，其中重量不低于90克的有3個，所以X的可能取值為0，1，2，P(X=0)=C92C12所以X的分布列為X012P691所以E(X)=0×6（3）由題意得1?3+3+4+830n即35因為354=0.1296，3所以當35n≤所以n的最小值為5.23．某校高三1000名學生的一?？荚嚁祵W成績頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是30,50，50,70，70,90，90,110，110,130，130,150.

(1)求圖中a的值；(2)根據頻率分布直方圖，估計這1000名學生的一模考試數學成績的平均分（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值代表）；(3)從一模數學成績位于90,110，110,130的學生中采用分層抽樣抽取8人，再從這8人中隨機抽取2人，該2人中一模數學成績在區(qū)間90,110的人數記為X，求X的分布列及數學期望.【答案】(1)a=0.0050(2)91(3)分布列見解析，3【分析】（1）根據頻率分布直方圖中的頻率和為1求解即可；（2）根據頻率分布直方圖的平均數計算方法求解即可；（3）由題意可得X的所有可能取值為0，1，2，再求出對應的頻率得到分布列，再求解數學期望即可.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，0.0025+2a+0.0075+2×0.015×20=1，所以a=0.0050（2）該1000名學生的數學成績的平均分約為40×0.05+60×0.15+80×0.3+100×0.3+120×0.1+140×0.1=91.（3）由（1）知，a=0.0050，所以一模數學成績在區(qū)間90,110與110,130的人數之比為3:1，所以抽取的8人中有6人的數學成績在區(qū)間90,110內，所以X的所有可能取值為0，1，2，PX=0=C60所以X的分布列為X012P1315EX24．某知識測試的題目均為多項選擇題，每道多項選擇題有A，B，C，D這4個選項，4個選項中僅有兩個或三個為正確選項.題目得分規(guī)則為：全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.已知測試過程中隨機地從四個選項中作選擇，每個選項是否為正確選項相互獨立.若第一題正確選項為兩個的概率為13，并且規(guī)定若第ii=1,2,?,n?1題正確選項為兩個，則第i+1題正確選項為兩個的概率為13；第ii=1,2,?,n?1題正確選項為三個，則第(1)若第二題只選了“C”一個選項，求第二題得分的分布列及期望；(2)求第n題正確選項為兩個的概率；(3)若第n題只選擇B、C兩個選項，設Y表示第n題得分，求證：EY【答案】(1)分布列見解析；11(2)1(3)證明見解析【分析】（1）設事件C2表示正確選項為2個，事件C3表示正確選項為3個，PnC2表示第n題正確選項為2個的概率，PnC3表示第（2）根據（1）中由第一題到第二題正確選項數概率的計算理解，由全概率公式可以得出一般性的結論Pn+1C2=13P（3）根據（2）求出的PnC2可得PnC【詳解】（1）設事件C2表示正確選項為2個，事件C3表示正確選項為PnC2表示第n題正確選項為2個的概率，PnC設事件C表示選項“C”為第二題的一個正確選項，用隨機變量X表示第二題得分.依題得，X可能取值為0，?2.因為P2C2所以PP所以X的分布列為:X02P711所以EX（2）依題得，Pn+1所以Pn+1又因為P1所以PnC2?1所以PnC2（3）由（2）可知，PnC2依題得，Y可能取值為0，2，?5.PY=0=5PY=5所以EY【點睛】方法點睛：高中階段的馬爾科夫鏈類型的概率問題解決關鍵是利用全概率公式找到概率的遞推式，然后用數列手段去處理求解.25．某疫苗生產單位通過驗血的方式檢驗某種疫苗產生抗體情況，現有nn∈方式一：逐份檢驗，需要檢驗n次；方式二：混合檢驗，將其中k（k∈N*且k≥2）份血液樣本混合檢驗，若混合血樣無抗體，說明這k份血液樣本全無抗體，只需檢驗1次；若混合血樣有抗體，為了明確具體哪份血液樣本有抗體，需要對每份血液樣本再分別化驗一次，檢驗總次數為假設每份樣本的檢驗結果相互獨立，每份樣本有抗體的概率均為p(0<p<1)．(1)現有7份不同的血液樣本，其中只有3份血液樣本有抗體，采用逐份檢驗方式，求恰好經過4次檢驗就能把有抗體的血液樣本全部檢驗出來的概率；(2)現取其中k（k∈N*且k≥2）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為ξ1①若Eξ1=Eξ2，求P②已知p=1?e參考數據：ln2=0.693,【答案】(1)4(2)答案見解析【分析】（1）分為兩種情況，一種是前三次檢驗中，其中兩次檢驗出抗體，第四次檢驗出抗體，二是前四次均無抗體，再結合概率公式即可求解；（2）①由已知得Eξ1=k，ξ2的所有可能取值為1，k+1，求出相應的概率，再由Eξ1=Eξ2可求得P關于k的函數關系式p=f(k)；②由E【詳解】（1）設恰好經過4次檢驗就能把有抗體的血液樣本全部檢驗出來為事件A，事件A分為兩種情況，一種是前三次檢驗中，其中兩次檢驗出抗體，第四次檢驗出抗體，二是前四次均無抗體，所以P(A)=C所以恰好經過4次檢驗就能把有抗體的血液樣本全部檢驗出來的概率為435（2）①由已知得Eξ1=k，ξ所以Pξ2=1所以Eξ若Eξ1=E所以k1?pk=1所以1?p=1k1所以P關于k的函數關系式p=f(k)=1?1k1k（②由①知Eξ1=k若Eξ1>Eξ2，則k>k+1?k所以lnk?k8>0（k≥2令f(x)=lnx?x8(x≥2,x∈R)當2≤x<8時，f'(x)>0，當x>8時，所以f(x)在[2,8)上單調遞增，在(8,+∞)上單調遞減，因為f(2)=ln2?28≈0.693?0.25>0f(27)=ln27?27所以不等式Eξ1>Eξ2所以k∈[2,26]且k∈N?時，k∈[27,+∞)且k∈N?時，【點睛】關鍵點點睛：此題考查概率的綜合應用，考查隨機變量的數學期望，考查導數的應用，解題的關鍵是根據題意求出兩隨機變量的期望，再由Eξ1>E26．某地區(qū)由于農產品出現了滯銷的情況，從而農民的收入減少，很多人開始在某直播平臺銷售農產品并取得了不錯的銷售量.有統計數據顯示2022年該地利用網絡直播形式銷售農產品的銷售主播年齡等級分布如圖1所示，一周內使用直播銷售的頻率分布扇形圖如圖2所示，若將銷售主播按照年齡分為“年輕人”（20歲~39歲）和“非年輕人”（19歲及以下或者40歲及以上）兩類，將一周內使用的次數為6次或6次以上的稱為“經常使用直播銷售用戶”，使用次數為5次或不足5次的稱為“不常使用直播銷售用戶”，且“經常使用直播銷售用戶”中有34

(1)現對該地相關居民進行“經常使用網絡直播銷售與年齡關系”的調查，采用隨機抽樣的方法，抽取一個容量為200的樣本，請你根據圖表中的數據，完成2×2列聯表，依據小概率值α=0.05的χ2使用直播銷售情況與年齡列聯表年輕人非年輕人合計經常使用直播銷售用戶不常使用直播銷售用戶合計(2)某投資公司在2023年年初準備將1000萬元投資到“銷售該地區(qū)農產品”的項目上，現有兩種銷售方案供選擇：方案一：線下銷售、根據市場調研，利用傳統的線下銷售，到年底可能獲利30%，可能虧損15%，也可能不是不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為35，15，方案二：線上直播銷售，根據市場調研，利用線上直播銷售，到年底可能獲利50%，可能虧損30%，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為12，310，針對以上兩種銷售方案，請你從期望和方差的角度為投資公司選擇一個合理的方案，并說明理由.參考數據：獨立性檢驗臨界值表α0.150.100.050.0250.0100.0050.001x2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828其中χ2=n【答案】(1)列聯表見解析，能(2)從獲利角度考慮，選擇方案二；從規(guī)避風險角度考慮，選擇方案一，理由見解析【分析】（1）由題意填寫列聯表，計算χ2（2）計算方案一、方案二的期望與方差，比較即可得出結論．【詳解】（1）由圖2知，樣本中經常使用直播銷售的用戶有(30%+19%+11%)×200=120人，其中年輕人有120×34=90由圖1知，樣本中的年輕人有(45%+35%)×200=160人，不常使用直播銷售的用戶有200?120=80人，其中年輕人有160?90=70人，非年輕人10人，補充完整的2×2列聯表如下，年輕人非年輕人合計經常使用直播銷售用戶9030120不常使用直播銷售用戶701080合計16040200計算χ2依據小概率值α=0.05的χ2（2）方案一：設獲利X萬元，則X的所有可能取值為300,?150,0，E(X)=300×3D(X)=(300?150)方案二：設獲利Y萬元，則Y的所有可能取值為500,?300,0，E(Y)=500×1D(Y)=(500?160)所以E(X)<E(Y),D(X)<D(Y)，從獲利的期望上看，方案二獲得的利潤更多些，但方案二的方差比方案一的方差大得多，從穩(wěn)定性方面看方案一更穩(wěn)定，所以，從獲利角度考慮，選擇方案二；從規(guī)避風險角度考慮，選擇方案一．27．小王去自動取款機取款，發(fā)現自己忘記了6位密碼的最后一位數字，他決定從0~9中不重復地隨機選擇1個進行嘗試，直到輸對密碼，或者輸錯三次銀行卡被鎖定為止．(1)求小王的該銀行卡被鎖定的概率；(2)設小王嘗試輸入該銀行卡密碼的次數為X，求X的分布列、數學期望及方差．【答案】(1)7(2)分布列見解析，數學期望2710，方差41【分析】（1）設“小王的該銀行卡被鎖定”為事件A，利用獨立事件的概率公式計算即可；（2）由題意，X的所有可能取值為1，2，3，求出隨機變量對