數(shù)學(xué)教育概論

1、簡(jiǎn)述“新數(shù)運(yùn)動(dòng)”失敗的原因。20世紀(jì)60年代新數(shù)運(yùn)動(dòng)起因：1957年蘇聯(lián)人造衛(wèi)星早于美國(guó)上天，美國(guó)朝野震驚．1958年，美國(guó)國(guó)會(huì)通過(guò)國(guó)防教育法．以布爾巴基學(xué)派為代表的數(shù)學(xué)家發(fā)起“新數(shù)學(xué)”教育改革，又稱為“新數(shù)運(yùn)動(dòng)”．當(dāng)時(shí)的思潮是，數(shù)學(xué)教材內(nèi)容太陳舊，基本上沒(méi)有反映20世紀(jì)的數(shù)學(xué)成就，一大批新的數(shù)學(xué)教材在西方各國(guó)涌現(xiàn)，用“新數(shù)學(xué)”代替“舊數(shù)學(xué)”的改革運(yùn)動(dòng)席卷全球．新數(shù)運(yùn)動(dòng)的指導(dǎo)思想是：1.增加現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容，如集合、邏輯、群、環(huán)、域、向量和矩陣、微積分、概率論、二進(jìn)制數(shù)系等等；2.強(qiáng)調(diào)公理化方法，提倡“布爾巴基”的結(jié)構(gòu)主義；3.廢棄歐幾里德幾何；4.消減基本運(yùn)算，用計(jì)算器代替基本的運(yùn)算技能；5.提倡發(fā)現(xiàn)教學(xué)法，要求學(xué)生像數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)定理那樣去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)．經(jīng)歷了20世紀(jì)60年代和70年代，新數(shù)運(yùn)動(dòng)最終以失敗告終．原因：向?qū)W生提出了不切實(shí)際的要求，教學(xué)內(nèi)容過(guò)深過(guò)難，學(xué)生無(wú)法真正理解和接受；同時(shí)，基本知識(shí)和基本技能未能得到足夠的重視，學(xué)生的數(shù)學(xué)基本功不扎實(shí)，而高深的數(shù)學(xué)知識(shí)又難以學(xué)懂．（接著，國(guó)際數(shù)學(xué)教育界提出了“回到基礎(chǔ)”）2、如何理解“基礎(chǔ)”與“創(chuàng)新”的關(guān)系。萬(wàn)丈高樓平地起。做任何事情，基礎(chǔ)總是重要的。我國(guó)的數(shù)學(xué)教育，一向注重“雙基”的教學(xué)，即關(guān)注學(xué)生的“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)”和“數(shù)學(xué)基本技能”的培養(yǎng)。那么，打好基礎(chǔ)又是為了什么呢？當(dāng)然是為了發(fā)展和創(chuàng)造。缺乏基礎(chǔ)的創(chuàng)新是空中閣樓，沒(méi)有創(chuàng)新指導(dǎo)的打基礎(chǔ)是傻練。因此，優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)教育，必須是給學(xué)生打下扎實(shí)的基礎(chǔ)，并且能夠培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，才能獲得完美的個(gè)性發(fā)展。（基礎(chǔ)=四基：基本知識(shí)，基本技能，基本思想，基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。創(chuàng)新=技巧）3、教學(xué)設(shè)計(jì)的三要素。教案三要素——完成數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)需要考慮三方面的問(wèn)題明確教學(xué)目標(biāo)【教學(xué)目標(biāo)】形成設(shè)計(jì)意圖制定教學(xué)過(guò)程4、教學(xué)過(guò)程的基本環(huán)節(jié)有哪些？教學(xué)模式（一堂公開(kāi)課）（1）創(chuàng)設(shè)情境，引入課題；（2）合作探究，發(fā)現(xiàn)定理；（3）解決問(wèn)題，應(yīng)用定理；（4）動(dòng)手練習(xí)，自主探究；（5）梳理知識(shí)，形成系統(tǒng)；（6）分層作業(yè)，因材施教。5、如何確定課題的重點(diǎn)、難點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn)。（1）教學(xué)重點(diǎn)：一般地，在學(xué)習(xí)中那些貫穿全局、帶動(dòng)全面、應(yīng)用廣泛、對(duì)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)起核心作用、在進(jìn)一步學(xué)習(xí)中起基礎(chǔ)作用和紐帶作用的內(nèi)容。通常教材中的定義、定理、公式、法則、數(shù)學(xué)思想方法、基本技能的訓(xùn)練，知識(shí)體系所蘊(yùn)含的思想方法，解題的基本思路和要領(lǐng)等，都是教學(xué)的重點(diǎn)。教學(xué)的重點(diǎn)就是在教材中貫穿全局，在學(xué)習(xí)中對(duì)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)起決定作用，并在進(jìn)一步學(xué)習(xí)中起基礎(chǔ)作用和紐帶作用的教學(xué)內(nèi)容。例如，“勾股定理”是平面幾何的一個(gè)重點(diǎn)，在講解這一部分內(nèi)容時(shí)，又以勾股定理的得來(lái)和推導(dǎo)過(guò)程為重點(diǎn)。（2）教學(xué)難點(diǎn)：學(xué)生接受起來(lái)比較困難的知識(shí)點(diǎn)（因人而異）.往往是由于學(xué)生的認(rèn)知能力、接受水平與新老知識(shí)之間的矛盾造成的，也可能是學(xué)新知識(shí)時(shí)，所用到的舊知識(shí)不牢固造成的。一般地，知識(shí)過(guò)于抽象，知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)過(guò)于復(fù)雜，概念的本質(zhì)屬性比較隱蔽，知識(shí)由舊到新要求用新的觀點(diǎn)和方法去研究，以及各種逆運(yùn)算都是產(chǎn)生難點(diǎn)的因素。教學(xué)的難點(diǎn)主要是指學(xué)生理解、掌握或運(yùn)用上會(huì)產(chǎn)生困難的部分，難點(diǎn)內(nèi)容也是造成學(xué)習(xí)成績(jī)差距的分化點(diǎn)。例如，從高中數(shù)學(xué)教材的整個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)來(lái)看，函數(shù)概念的理解，不等式的證明，排列與組合的應(yīng)用題，與空間圖形有關(guān)的證明，數(shù)學(xué)歸納法的理解與應(yīng)用等都屬于難點(diǎn)內(nèi)容。要克服難點(diǎn)，應(yīng)注意充分利用已有的知識(shí)，通過(guò)新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，利用對(duì)比或類(lèi)比，在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上充分醞釀，逐步渡過(guò)難關(guān)。（3）教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)對(duì)掌握某一部分知識(shí)或解決某一個(gè)問(wèn)題能起決定作用的知識(shí)或思想方法，它往往也是突出重點(diǎn)、克服難點(diǎn)的突破口。掌握了這部分內(nèi)容，其余內(nèi)容就容易掌握，或者整個(gè)問(wèn)題就迎刃而解。例如，數(shù)學(xué)歸納法的理解，關(guān)鍵是在“奠基步”的基礎(chǔ)上，理解為什么可以假設(shè)以n=k成立，從而推出n=k+1成立的道理。6、課題選擇的原則課題的選擇（說(shuō)明本節(jié)課名稱，并指明屬第幾課時(shí)，必要時(shí)可指明它的特點(diǎn)和地位）；選擇課題的原則：1、選擇難度適當(dāng)；2、概念課、公式、定理、性質(zhì)的講解3、不選起始課、復(fù)習(xí)課、方法應(yīng)用可4、不選基礎(chǔ)概念課（集合、數(shù)列、函數(shù)、復(fù)數(shù)、有理數(shù)、角、三角函數(shù)起始課）7、教學(xué)目標(biāo)中的三維目標(biāo)是什么?新課標(biāo)三維目標(biāo)：知識(shí)技能目標(biāo)；方法能力(過(guò)程與方法)目標(biāo)；情感態(tài)度目標(biāo)（情感態(tài)度價(jià)值觀）8、教學(xué)方法的類(lèi)型有哪些？確定了相應(yīng)的課型之后，就要根據(jù)課型的特點(diǎn)考慮選擇切實(shí)可行的教學(xué)方法和手段。數(shù)學(xué)課常用的教學(xué)方法主要有：1．講授教學(xué)法2．發(fā)現(xiàn)教學(xué)法3．探究教學(xué)法4．自學(xué)輔導(dǎo)教學(xué)法5．討論教學(xué)法6．啟發(fā)式教學(xué)法7．生成性教學(xué)法8．問(wèn)題教學(xué)法9．?dāng)?shù)學(xué)閱讀教學(xué)法10．學(xué)案導(dǎo)學(xué)教學(xué)法11．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)法12．?dāng)?shù)學(xué)變式教學(xué)法13．“讀讀、講講、議議、練練”八字教學(xué)法14．“嘗試指導(dǎo)，效果回授”教學(xué)法9、創(chuàng)設(shè)情境的方法、類(lèi)型有哪些？（1）問(wèn)題情境所謂數(shù)學(xué)課堂的問(wèn)題情境，就是通過(guò)具體數(shù)學(xué)問(wèn)題引起的懸念或探索活動(dòng)激起學(xué)生的求知欲望，進(jìn)而形成的一種教學(xué)情境。問(wèn)題情境教學(xué)的模式為：?jiǎn)栴}情境——假設(shè)推測(cè)——探究驗(yàn)證——做出結(jié)論（2）創(chuàng)設(shè)操作活動(dòng)情境所謂操作活動(dòng)情境，就是根據(jù)所要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)或所要解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題的特點(diǎn)設(shè)計(jì)成需要學(xué)生自己主動(dòng)參與的操作性活動(dòng)，構(gòu)建成生動(dòng)活潑的現(xiàn)實(shí)活動(dòng)場(chǎng)景，使學(xué)生在活動(dòng)中掌握知識(shí)、探索問(wèn)題的答案。主動(dòng)操作活動(dòng)，可為學(xué)生架起由感性認(rèn)識(shí)到理性人認(rèn)識(shí)的橋梁，激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣，變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”的局面。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的操作活動(dòng)情境，需要教師的創(chuàng)造性設(shè)計(jì)。教師要熱情投入，細(xì)心挖掘，才能在現(xiàn)實(shí)生活中找到活動(dòng)的生長(zhǎng)點(diǎn)，進(jìn)而創(chuàng)設(shè)出有針對(duì)性、有價(jià)值的操作活動(dòng)情境。（3）創(chuàng)設(shè)游戲情境所謂游戲情境，就是結(jié)合教學(xué)內(nèi)容創(chuàng)設(shè)游戲活動(dòng)或模擬游戲活動(dòng)情境，讓學(xué)生在以不容角色參與游戲活動(dòng)時(shí)學(xué)習(xí)新知識(shí)，運(yùn)用新知識(shí)，并從游戲活動(dòng)中得到啟發(fā)，提出一些與教學(xué)內(nèi)容有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。數(shù)學(xué)游戲是對(duì)學(xué)生進(jìn)行活動(dòng)課教學(xué)的一種好形式。好的數(shù)學(xué)游戲應(yīng)能充分激發(fā)學(xué)生的好奇心理，凝聚學(xué)生的注意力，發(fā)揮學(xué)生的想象力。應(yīng)是在輕松愉快的氣氛中，學(xué)習(xí)興趣與數(shù)學(xué)知識(shí)自然而然地同步增長(zhǎng)。為此，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)游戲的思路，應(yīng)當(dāng)考慮以下幾個(gè)方面：①游戲內(nèi)容要通過(guò)豐富而新穎的形象來(lái)包裝。②游戲展開(kāi)要通過(guò)生動(dòng)活潑的戲劇性活動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)。③游戲結(jié)構(gòu)要是美的結(jié)構(gòu)形式。數(shù)學(xué)游戲美的結(jié)構(gòu)，是指美的語(yǔ)言、美的教學(xué)態(tài)度、美的板書(shū)設(shè)計(jì)及教具運(yùn)用。（4）創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)情境所謂現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)情境，就是現(xiàn)實(shí)生活密切相關(guān)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境。例如有關(guān)利息、利潤(rùn)知識(shí)的教學(xué)。可以借助現(xiàn)實(shí)生活的素材創(chuàng)設(shè)出適合學(xué)生學(xué)習(xí)的現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)情境。又如有關(guān)概率、隨機(jī)現(xiàn)象的教學(xué)，可以創(chuàng)設(shè)商場(chǎng)摸獎(jiǎng)、摸彩等現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)情境，讓學(xué)生通過(guò)親身實(shí)踐，感受概率學(xué)習(xí)的趣味性。（5）創(chuàng)設(shè)懸念情境所謂懸念情境，就是在教學(xué)過(guò)程中設(shè)置一種引起學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)習(xí)任務(wù)關(guān)注的情境，以啟發(fā)學(xué)生想象，產(chǎn)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣和動(dòng)力。通常的懸念情境主要是由疑問(wèn)構(gòu)成的，它是將教學(xué)引向高潮的重要手段。（6）創(chuàng)設(shè)猜想情境所謂數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的猜想情境，就是為學(xué)生設(shè)計(jì)環(huán)境條件、創(chuàng)造機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生在熟悉的舊知識(shí)中嘗試探索、猜測(cè)、發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的情境。（7）創(chuàng)設(shè)動(dòng)態(tài)情境所謂數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的動(dòng)態(tài)情境，就是利用電影、錄像、幻燈、圖片等多媒體教學(xué)手段創(chuàng)設(shè)特定的情境，給學(xué)生以生動(dòng)直觀的感性認(rèn)知。如：創(chuàng)設(shè)愉悅情境，引發(fā)學(xué)生主動(dòng)思維；創(chuàng)設(shè)疑問(wèn)情境，激發(fā)學(xué)生積極思維；創(chuàng)設(shè)議論情境，啟發(fā)學(xué)生深刻思維；創(chuàng)設(shè)激勵(lì)情境，促進(jìn)學(xué)生敏捷思維；創(chuàng)設(shè)應(yīng)用情境，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維，明確數(shù)學(xué)來(lái)源于生活。10、課堂教學(xué)導(dǎo)入的方式有哪些？1.生活情境導(dǎo)入2.知識(shí)遷移導(dǎo)入3.知識(shí)類(lèi)比導(dǎo)入4.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究導(dǎo)入5.故事情境導(dǎo)入6.數(shù)學(xué)史料導(dǎo)入7.游戲情境導(dǎo)入8.設(shè)置懸念（制造認(rèn)知沖突）導(dǎo)入11、概念教學(xué)的基本環(huán)節(jié)有哪些？概念的引入——借助具體事例，從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展過(guò)程或解決實(shí)際問(wèn)題的需要引入概念；概念屬性的概括——提供典型豐富的具體例證，進(jìn)行屬性的分析、比較、綜合，概括不同例證的共同特征；概念的明確與表示——下定義，給出準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述（文字的、符號(hào)的）；概念的辨析——以實(shí)例為載體分析關(guān)鍵詞的含義（恰當(dāng)使用反例）；概念的鞏固應(yīng)用——用概念作判斷的具體事例，形成用概念作判斷的具體步驟；概念的“精致”——納入概念系統(tǒng)，建立與相關(guān)概念的聯(lián)系。12、概念的內(nèi)涵和外延是什么？?jī)?nèi)涵：是說(shuō)明一個(gè)概念所反映的實(shí)物的本質(zhì)屬性。（特有性質(zhì)）外延：指適合這個(gè)概念的一切對(duì)象范圍，即符合這一概念所有對(duì)象的集合，是這個(gè)概念的延用范圍。概念的內(nèi)涵和外延是一對(duì)矛盾，共處于統(tǒng)一體的概念之中，它們相互依存，相互制約。13、同一概念、同一關(guān)系的理解？同一關(guān)系：兩個(gè)或多個(gè)概念之間外延完全相同的關(guān)系。如：“等邊三角形”和“等角三角形”。特點(diǎn)：外延相等，內(nèi)涵略有差異，前者強(qiáng)調(diào)邊相等，后者強(qiáng)調(diào)角相等，但它們所指相同。同一概念：具有同一關(guān)系的概念。如：“媽媽”和“母親”。14、費(fèi)賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育理論是什么？如何理解。弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育觀：——情境問(wèn)題是教學(xué)的平臺(tái)——數(shù)學(xué)化是數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)——學(xué)生通過(guò)自己努力得到的結(jié)論和創(chuàng)造是教育內(nèi)容的一部分——“互動(dòng)”是主要的學(xué)習(xí)方式——學(xué)科交織是數(shù)學(xué)教育內(nèi)容的呈現(xiàn)方式概括為：現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)化、再創(chuàng)造（1）何謂數(shù)學(xué)教育中的“現(xiàn)實(shí)”？數(shù)學(xué)教育中的現(xiàn)實(shí)——數(shù)學(xué)來(lái)源于現(xiàn)實(shí)，存在于現(xiàn)實(shí)，應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)，而且每個(gè)學(xué)生有各自不同的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”.弗賴登塔爾堅(jiān)持主張：數(shù)學(xué)教育體系的內(nèi)容應(yīng)該是與現(xiàn)實(shí)密切聯(lián)系的數(shù)學(xué)，能夠在實(shí)際中得到應(yīng)用的數(shù)學(xué)，即“現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)”。如果過(guò)于強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)的抽象形式，忽視了生動(dòng)的具體模型，過(guò)于集中于內(nèi)在的邏輯聯(lián)系，割斷了與外部現(xiàn)實(shí)的密切關(guān)系，那必然會(huì)給數(shù)學(xué)教育帶來(lái)極大的損害?！靶聰?shù)”運(yùn)動(dòng)的失敗就是個(gè)明證。數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)就是培養(yǎng)學(xué)生從已有的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”發(fā)展到更高層次的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”(2)什么是“數(shù)學(xué)化”？人們運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法觀察現(xiàn)實(shí)世界，分析研究各種具體現(xiàn)象，并加以整理組織，這個(gè)過(guò)程就是數(shù)學(xué)化。簡(jiǎn)單地說(shuō)，數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實(shí)世界的過(guò)程就是數(shù)學(xué)化。

數(shù)學(xué)化，是一個(gè)由淺入深，具有不同層次、不斷發(fā)展的過(guò)程。數(shù)學(xué)化的對(duì)象：水平數(shù)學(xué)化——生活數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)化垂直數(shù)學(xué)化——數(shù)學(xué)問(wèn)題的進(jìn)一步抽象水平數(shù)學(xué)化，形成數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算法則、規(guī)律、定理，以及為解決實(shí)際問(wèn)題而構(gòu)造的數(shù)學(xué)模型；垂直數(shù)學(xué)化，形成數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算法則、規(guī)律、定理，以及不同層次的公理體系和形式體系。什么是“再創(chuàng)造”？弗賴登塔爾認(rèn)為存在兩種數(shù)學(xué)，一種是現(xiàn)成的或已完成的數(shù)學(xué)，另一種是活動(dòng)的或者創(chuàng)新的數(shù)學(xué)。完成的數(shù)學(xué)在人們面前以形式演繹的面目出現(xiàn)，它完全顛倒了數(shù)學(xué)的思維過(guò)程和實(shí)際創(chuàng)造過(guò)程，給予人們的是思維的結(jié)果；活動(dòng)的數(shù)學(xué)則是數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造數(shù)學(xué)的過(guò)程的真實(shí)體現(xiàn)，它表明了數(shù)學(xué)是一種艱難曲折又生動(dòng)有趣的活動(dòng)過(guò)程。弗賴登塔爾所說(shuō)的“再創(chuàng)造”，其核心是數(shù)學(xué)過(guò)程再現(xiàn)。學(xué)生“再創(chuàng)造”學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程實(shí)際上就是一個(gè)“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程。教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生去進(jìn)行這種再創(chuàng)造的工作。也就是說(shuō)，學(xué)生通過(guò)自己的實(shí)踐活動(dòng)學(xué)會(huì)了怎樣定義一個(gè)數(shù)學(xué)的概念，對(duì)于定義的必要性與作用都會(huì)有更深的體會(huì)，通過(guò)這樣的“再創(chuàng)造”方式進(jìn)行的概念教學(xué)，顯然比將一個(gè)現(xiàn)成的定義強(qiáng)加給學(xué)生要有效得多.弗賴登塔爾將這一思想進(jìn)一步發(fā)展成為“學(xué)一個(gè)活動(dòng)的最好方法是實(shí)踐”，這樣提法的目的是將強(qiáng)調(diào)的重點(diǎn)從教轉(zhuǎn)向?qū)W，從教師的行為轉(zhuǎn)到學(xué)生的活動(dòng)，并且從感覺(jué)的效應(yīng)轉(zhuǎn)為運(yùn)動(dòng)的效應(yīng)。15、波利亞的數(shù)學(xué)教育的觀點(diǎn)是什么？如何利用解題理論解題。（1）數(shù)學(xué)教育的根本目的：教會(huì)學(xué)生思考——不只是傳授知識(shí)，更應(yīng)努力發(fā)展學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力，應(yīng)該強(qiáng)調(diào)技能、技巧、有益的思考方式和理想的思維習(xí)慣。（2）學(xué)習(xí)過(guò)程的三原則：主動(dòng)學(xué)習(xí)——盡量讓學(xué)生在現(xiàn)有條件下親自發(fā)現(xiàn)盡可能多的東西。最佳動(dòng)機(jī)——激發(fā)學(xué)生在學(xué)習(xí)中的好奇心，并尋求歡樂(lè)。循序漸進(jìn)——從行動(dòng)與感知開(kāi)始，發(fā)展到詞語(yǔ)與概念，養(yǎng)成合理的思維習(xí)慣。學(xué)習(xí)過(guò)程：探索——在直覺(jué)和啟發(fā)的水平上發(fā)展闡明——引進(jìn)術(shù)語(yǔ)、定義、證明等，提升到概念水平吸收——吸納到已有知識(shí)系統(tǒng)中，擴(kuò)大智力范圍（3）一名好的數(shù)學(xué)教師必須具備兩方面的知識(shí)數(shù)學(xué)內(nèi)容的知識(shí)一般中學(xué)數(shù)學(xué)教師最大的缺陷在于，他沒(méi)有主動(dòng)完成數(shù)學(xué)工作的經(jīng)驗(yàn).數(shù)學(xué)教學(xué)法的知識(shí)（4）給數(shù)學(xué)教師的“十條建議”1）對(duì)數(shù)學(xué)有興趣；2）熟知數(shù)學(xué)；3）懂得學(xué)習(xí)的途徑——親自獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)所學(xué)東西的奧妙；4）努力觀察學(xué)生的面部表情；5）傳授知識(shí)、技能技巧，培養(yǎng)思維方式、科學(xué)的工作習(xí)慣；6）讓學(xué)生學(xué)會(huì)猜想；7）讓學(xué)生學(xué)會(huì)證明問(wèn)題；8）揭示存在于具體情況的一般模式；9）讓學(xué)生獨(dú)立地找出盡可能多的東西；10）啟發(fā)問(wèn)題。怎樣解題表：弄清（了解）問(wèn)題（表征）、擬定計(jì)劃（模式識(shí)別、引入輔助問(wèn)題）、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、回顧（反思、優(yōu)化、拓展）這四個(gè)階段中“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”雖為主體工作，但較為容易，是思路打通之后具體實(shí)施信息資源的邏輯配置，“我們所需要的只是耐心”；“了解問(wèn)題”是認(rèn)識(shí)、并對(duì)問(wèn)題進(jìn)行表征的過(guò)程，是成功解決問(wèn)題的一個(gè)必要前提；與前兩者相比，“回顧”是最容易被忽視的階段，波利亞將其作為解題的必要環(huán)節(jié)而固定下來(lái)，是一個(gè)有遠(yuǎn)見(jiàn)的做法。在整個(gè)解題表中“擬定計(jì)劃”是關(guān)鍵環(huán)節(jié)和核心內(nèi)容?！皵M定計(jì)劃”的過(guò)程是探索解題思路的過(guò)程，波利亞建議分兩步走：第一，努力在已知與未知之間找出直接的聯(lián)系（模式識(shí)別等）；第二，如果找不出直接的聯(lián)系，就對(duì)原來(lái)的問(wèn)題作出某些必要的變更或修改，引進(jìn)輔助問(wèn)題。為此，波利亞又進(jìn)一步建議：看著未知數(shù)，回到定義去，重