1.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理-(一)

1.1分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理問題1：用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的座位編號，總共能夠編出多少種不同的號碼？分析:

給座位編號有2類方法,

第一類方法,用英文字母，有26種號碼;

第二類方法,用阿拉伯?dāng)?shù)字，有10種號碼;

所以有26+10=36

種不同號碼.請思考:

問題2：從甲地到乙地，可以乘火車，或者也可以乘汽車。一天中，火車有4班，汽車有2班。那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法?分析:

從甲地到乙地有2類方法,

第一類方法,乘火車，有4種方法;

第二類方法,乘汽車，有2種方法;

所以從甲地到乙地共有4+2=6

種方法.你能說出這兩個問請思考:問題:你能否發(fā)現(xiàn)這兩個問題有什么共同特征？1、都是要完成一件事2、用任何一類方法都能直接完成這件事3、都是采用加法運算分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有m種不同的方法,在第2類方案中有n種不同的方法.那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法。2）首先要根據(jù)具體的問題確定一個分類標準，在分類標準下進行分類，然后對每類方法計數(shù).1）各類辦法之間相互獨立,都能獨立的完成這件事，要計算方法種數(shù),只需將各類方法數(shù)相加,因此分類計數(shù)原理又稱加法原理說明例1：在填寫高考志愿表時,一名高中畢業(yè)生了解到,A,B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強項專業(yè),具體如下:A大學(xué)生物學(xué)

化學(xué)

醫(yī)學(xué)

物理學(xué)

工程學(xué)B大學(xué)數(shù)學(xué)

會計學(xué)

信息技術(shù)學(xué)

法學(xué)如果這名同學(xué)只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇呢？分析:兩大學(xué)只能選一所一專業(yè),且沒有共同的強項專業(yè)54+=9這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇共有9種變式：在填寫高考志愿表時,一名高中畢業(yè)生了解到,A,B,C三所大學(xué)各有一些自己感興趣的強項專業(yè),具體情況如下:A大學(xué)B大學(xué)生物學(xué)化學(xué)醫(yī)學(xué)物理學(xué)工程學(xué)數(shù)學(xué)會計學(xué)信息技術(shù)學(xué)法學(xué)如果這名同學(xué)只能選一個專業(yè),那么他共有多少種選擇呢?C大學(xué)機械制造建筑學(xué)廣告學(xué)漢語言文學(xué)韓語N=5+4+5=14(種)

完成一件事有三類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第3類方案中有m3種不同的方法。那么完成這件事共有______________種方法.做一件事情，完成它可以有n類方案,在第一類方案中有m1種不同的方法，在第二類方案中有m2種不同的方法，……，在第n類方案中有mn種不同的方法。那么完成這件事共有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿種不同的方法N=m1+m2+…+mn

分類加法計數(shù)原理的推廣N=m1+m2+m3

問題3：用前6個大寫英文字母和1~9個阿拉伯?dāng)?shù)字,以A1,A2,,B1,B2

的方式給教室的座位編號.總共能編出多少個不同的號碼?A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A99種B1234567899種6×9=54請思考:問題4：如圖,由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條。從A村經(jīng)B村去C村，共有多少種不同的走法?A村B村C村北南中北南分析:

從A村經(jīng)B村去C村分兩

步,

第一步,由A村去B村有3種方法,

第二步,由B村去C村有2種方法,所以從A村經(jīng)B村去C村共有3×2=6

種不同的方法你能說出這兩個問請思考:分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟,做第1步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法.2）首先要根據(jù)具體問題的特點確定一個分步的標準，然后對每步方法計數(shù).1）各個步驟相互依存,只有各個步驟都完成了,這件事才算完成,將各個步驟的方法數(shù)相乘得到完成這件事的方法總數(shù),又稱乘法原理說明例2：設(shè)某班有男生30名,女生24名.現(xiàn)要從中選出男、女各一名代表班級參加比賽,共有多少種不同的選法?分兩步進行選取男女3024×=720再根據(jù)分步乘法原理若再要從語,數(shù),英三科科任老師中選出一名代表參加比賽,那又共有多少種選法?老師3×=2160如果完成一件事需要三個步驟,做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法,做第3步有m3種不同的方法,那么完成這件事共有_________________種不同的方法.N=m1×m2×m3做一件事情，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事有_____________________種不同的方法.N=m1×m2×…×mn

分步乘法計數(shù)原理的推廣例3：書架第1層放有4本不同的計算機書,第2層放有3本不同的文藝書,第3層放有2本不同的體育書.(1)從書架中取1本書,有多少種不同取法?有3類方法，根據(jù)分類加法計數(shù)原理N=4+3+2=9(2)從書架第1,2,3層各取1本書,有多少種不同取法?分3步完成,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理N=4×3×2=24解題關(guān)鍵：從總體上看做這件事情是“分類完成”,還是“分步完成”.再根據(jù)其對應(yīng)的計數(shù)原理計算.解：需先分類再分步.（3）從書架上取2本不同種的書,有多少種不同的取法?根據(jù)兩個基本原理，不同的取法總數(shù)是

N=4×3+4×2+3×2=26第一類：從一、二層各取一本，有4×3=12種方法；第二類：從一、三層各取一本，有4×2=8種方法；第三類：從二、三層各取一本，有3×2=6種方法；答:從書架上取2本不同種的書,有26種不同的取法.例3：書架第1層放有4本不同的計算機書,第2層放有3本不同的文藝書,第3層放有2本不同的體育書.思考1．有不同的中文書9本，不同的英文書7本，不同的日文書5本．從其中取出不是同一國文字的書2本，問有多少種不同的取法？

2．集合A={1,2,-3},B={-1,-2,3,4}．從A,B中各取1個元素作為點P(x,y)的坐標．（1）可以得到多少個不同的點？（2）這些點中，位于第一象限的有幾個？練一練9×7＋9×5＋7×5＝143(1)3×4＋4×3＝24(2)2×2＋2×2＝8例4

要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，問共有多少種不同的掛法？甲乙丙解：從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個步驟完成：第一步，從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法；第二步，從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法。根據(jù)分步計數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)是：N=3×2=6.思考：還有其他解答本題的方法嗎？例4

要從甲、乙、丙、3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，問共有多少種不同的掛法？甲乙丙解：從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個步驟完成：第一步，從3幅畫中選出2幅，有3種選法；（“甲、乙”，“甲、丙”，“乙、丙”）第二步，將選出的2幅畫掛好，有2中掛法根據(jù)分步計數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)是：N=3×2=6.分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理相同點不同點用來計算“完成一件事”的方法種數(shù)每類方案中的每一種方法都能______完成這件事每步_________才算完成這件事情（每步中的每一種方法不能獨立完成這件事）類類相加步步相乘獨立依次完成分類完成分步完成思考：兩個計數(shù)原理的共同點是什么？不同點什么？例5.給程序模塊命名，需要用3個字符，其中首個字符要求用字母A~G或U~Z，后兩個要求用數(shù)字1～9，問最多可以給多少個程序命名？分析：要給一個程序模塊命名，可以分三個步驟：第一步，選首字符；第二步，先中間字符；第三步，選末位字符。解：首字符共有7+6＝13種不同的選法，答：最多可以給1053個程序命名。

中間字符和末位字符各有9種不同的選法根據(jù)分步計數(shù)原理，最多可以有13×9×9＝1053種不同的選法例6.核糖核酸（RNA）分子是在生物細胞中發(fā)現(xiàn)的化學(xué)成分，一個RNA分子是一個有著數(shù)百個甚至數(shù)千個位置的長鏈，長鏈中每一個位置上都由一種稱為堿基的化學(xué)成分所占據(jù)，總共有４個不同的堿基，分別用A，C，G，U表示，在一個RNA分子中，各種堿基能夠以任意次序出現(xiàn)，所以在任意一個位置上的堿基與其他位置上的堿基無關(guān)。假設(shè)有一類RNA分子由100個堿基組成，那么能有多少種不同的RNA分子？UUUAAACCCGGG分析:用100個位置表示由100個堿基組成的長鏈，每個位置都可以從A、C、G、U中任選一個來占據(jù)。第1位第2位第3位第100位4種4種4種4種……解：100個堿基組成的長鏈共有100個位置，在每個位置中，從A、C、G、U中任選一個來填入，每個位置有4種填充方法。根據(jù)分步計數(shù)原理，共有種不同的RNA分子.例7.電子元件很容易實現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與底等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài)。因此計算機內(nèi)部就采用了每一位只有0或1兩種數(shù)字的計數(shù)法，即二進制，為了使計算機能夠識別字符，需要對字符進行編碼，每個字符可以用一個或多個字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計算機中數(shù)據(jù)存儲的最小計量單位，每個字節(jié)由８個二進制位構(gòu)成，問（1）一個字節(jié)（8位）最多可以表示多少個不同的字符？（2）計算機漢字國標碼（GB碼）包含了6763個漢字，一個漢字為一個字符，要對這些漢字進行編碼，每個漢字至少要用多少個字節(jié)表示？第1位第2位第3位第8位2種2種2種2種……如00000000，10000000，11111111.開始子模塊118條執(zhí)行路徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑結(jié)束A例8.計算機編程人員在編寫好程序以后要對程序進行測試。程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路（即程序從開始到結(jié)束的線），以便知道需要提供多少個測試數(shù)據(jù)。一般的，一個程序模塊又許多子模塊組成，它的一個具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊。問：這個程序模塊有多少條執(zhí)行路徑？另外為了減少測試時間，程序員需要設(shè)法減少測試次數(shù)，你能幫助程序員設(shè)計一個測試方式，以減少測試次數(shù)嗎？開始子模塊118條執(zhí)行路徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑結(jié)束A分析：整個模塊的任意一條路徑都分兩步完成：第1步是從開始執(zhí)行到A點；第2步是從A點執(zhí)行到結(jié)束。而第步可由子模塊1或子模塊2或子模塊3來完成；第二步可由子模塊4或子模塊5來完成。因此，分析一條指令在整個模塊的執(zhí)行路徑需要用到兩個計數(shù)原理。開始子模塊118條執(zhí)行路徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑結(jié)束A再測試各個模塊之間的信息交流是否正常，需要測試的次數(shù)為：3*2=6。如果每個子模塊都正常工作，并且各個子模塊之間的信息交流也正常，那么整個程序模塊就正常。這樣，測試整個模塊的次數(shù)就變?yōu)?/p>

172+6=178（次）2）在實際測試中，程序員總是把每一個子模塊看成一個黑箱，即通過只考察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來測試整個模塊。這樣，他可以先分別單獨測試5個模塊，以考察每個子模塊的工作是否正常?？偣残枰臏y試次數(shù)為：18+45+28+38+43=172。例9.隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增長，汽車牌照號碼需要擴容。交通管理部門出臺了一種汽車牌照組成辦法，每一個汽車牌照都必須有３個不重復(fù)的英文字母和３個不重復(fù)的阿拉伯?dāng)?shù)字，并且３個字母必須合成一組出現(xiàn)，３個數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn)，那么這種辦法共能給多少輛汽車上牌照?練習(xí)1、

(1)

五名學(xué)生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，報名方法的種數(shù)為多少？(2)五名學(xué)生爭奪四項比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？

解：（1）5名學(xué)生中任一名均可報其中的任一項，因此每個學(xué)生都有4種報名方法，5名學(xué)生都報了項目才能算完成這一事件故報名方法種數(shù)為4×4×4×4×4=種.（2）每個項目只有一個冠軍，每一名學(xué)生都可能獲得其中的一項獲軍，因此每個項目獲冠軍的可能性有5種故有n=5×５×５×５=

種.補充練習(xí)：在所有的兩位數(shù)中,個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個？分析1:

按個位數(shù)字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8類,在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是:1個,