1.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理-(一)

1.1分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理問(wèn)題1：用一個(gè)大寫(xiě)的英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的座位編號(hào)，總共能夠編出多少種不同的號(hào)碼？分析:

給座位編號(hào)有2類方法,

第一類方法,用英文字母，有26種號(hào)碼;

第二類方法,用阿拉伯?dāng)?shù)字，有10種號(hào)碼;

所以有26+10=36

種不同號(hào)碼.請(qǐng)思考:

問(wèn)題2：從甲地到乙地，可以乘火車，或者也可以乘汽車。一天中，火車有4班，汽車有2班。那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法?分析:

從甲地到乙地有2類方法,

第一類方法,乘火車，有4種方法;

第二類方法,乘汽車，有2種方法;

所以從甲地到乙地共有4+2=6

種方法.你能說(shuō)出這兩個(gè)問(wèn)請(qǐng)思考:問(wèn)題:你能否發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)問(wèn)題有什么共同特征？1、都是要完成一件事2、用任何一類方法都能直接完成這件事3、都是采用加法運(yùn)算分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有m種不同的方法,在第2類方案中有n種不同的方法.那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法。2）首先要根據(jù)具體的問(wèn)題確定一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)，在分類標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類，然后對(duì)每類方法計(jì)數(shù).1）各類辦法之間相互獨(dú)立,都能獨(dú)立的完成這件事，要計(jì)算方法種數(shù),只需將各類方法數(shù)相加,因此分類計(jì)數(shù)原理又稱加法原理說(shuō)明例1：在填寫(xiě)高考志愿表時(shí),一名高中畢業(yè)生了解到,A,B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè),具體如下:A大學(xué)生物學(xué)

化學(xué)

醫(yī)學(xué)

物理學(xué)

工程學(xué)B大學(xué)數(shù)學(xué)

會(huì)計(jì)學(xué)

信息技術(shù)學(xué)

法學(xué)如果這名同學(xué)只能選一個(gè)專業(yè)，那么他共有多少種選擇呢？分析:兩大學(xué)只能選一所一專業(yè),且沒(méi)有共同的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)54+=9這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇共有9種變式：在填寫(xiě)高考志愿表時(shí),一名高中畢業(yè)生了解到,A,B,C三所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè),具體情況如下:A大學(xué)B大學(xué)生物學(xué)化學(xué)醫(yī)學(xué)物理學(xué)工程學(xué)數(shù)學(xué)會(huì)計(jì)學(xué)信息技術(shù)學(xué)法學(xué)如果這名同學(xué)只能選一個(gè)專業(yè),那么他共有多少種選擇呢?C大學(xué)機(jī)械制造建筑學(xué)廣告學(xué)漢語(yǔ)言文學(xué)韓語(yǔ)N=5+4+5=14(種)

完成一件事有三類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第3類方案中有m3種不同的方法。那么完成這件事共有______________種方法.做一件事情，完成它可以有n類方案,在第一類方案中有m1種不同的方法，在第二類方案中有m2種不同的方法，……，在第n類方案中有mn種不同的方法。那么完成這件事共有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿種不同的方法N=m1+m2+…+mn

分類加法計(jì)數(shù)原理的推廣N=m1+m2+m3

問(wèn)題3：用前6個(gè)大寫(xiě)英文字母和1~9個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字,以A1,A2,,B1,B2

的方式給教室的座位編號(hào).總共能編出多少個(gè)不同的號(hào)碼?A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A99種B1234567899種6×9=54請(qǐng)思考:問(wèn)題4：如圖,由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條。從A村經(jīng)B村去C村，共有多少種不同的走法?A村B村C村北南中北南分析:

從A村經(jīng)B村去C村分兩

步,

第一步,由A村去B村有3種方法,

第二步,由B村去C村有2種方法,所以從A村經(jīng)B村去C村共有3×2=6

種不同的方法你能說(shuō)出這兩個(gè)問(wèn)請(qǐng)思考:分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個(gè)步驟,做第1步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法.2）首先要根據(jù)具體問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)分步的標(biāo)準(zhǔn)，然后對(duì)每步方法計(jì)數(shù).1）各個(gè)步驟相互依存,只有各個(gè)步驟都完成了,這件事才算完成,將各個(gè)步驟的方法數(shù)相乘得到完成這件事的方法總數(shù),又稱乘法原理說(shuō)明例2：設(shè)某班有男生30名,女生24名.現(xiàn)要從中選出男、女各一名代表班級(jí)參加比賽,共有多少種不同的選法?分兩步進(jìn)行選取男女3024×=720再根據(jù)分步乘法原理若再要從語(yǔ),數(shù),英三科科任老師中選出一名代表參加比賽,那又共有多少種選法?老師3×=2160如果完成一件事需要三個(gè)步驟,做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法,做第3步有m3種不同的方法,那么完成這件事共有_________________種不同的方法.N=m1×m2×m3做一件事情，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事有_____________________種不同的方法.N=m1×m2×…×mn

分步乘法計(jì)數(shù)原理的推廣例3：書(shū)架第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書(shū),第2層放有3本不同的文藝書(shū),第3層放有2本不同的體育書(shū).(1)從書(shū)架中取1本書(shū),有多少種不同取法?有3類方法，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理N=4+3+2=9(2)從書(shū)架第1,2,3層各取1本書(shū),有多少種不同取法?分3步完成,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理N=4×3×2=24解題關(guān)鍵：從總體上看做這件事情是“分類完成”,還是“分步完成”.再根據(jù)其對(duì)應(yīng)的計(jì)數(shù)原理計(jì)算.解：需先分類再分步.（3）從書(shū)架上取2本不同種的書(shū),有多少種不同的取法?根據(jù)兩個(gè)基本原理，不同的取法總數(shù)是

N=4×3+4×2+3×2=26第一類：從一、二層各取一本，有4×3=12種方法；第二類：從一、三層各取一本，有4×2=8種方法；第三類：從二、三層各取一本，有3×2=6種方法；答:從書(shū)架上取2本不同種的書(shū),有26種不同的取法.例3：書(shū)架第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書(shū),第2層放有3本不同的文藝書(shū),第3層放有2本不同的體育書(shū).思考1．有不同的中文書(shū)9本，不同的英文書(shū)7本，不同的日文書(shū)5本．從其中取出不是同一國(guó)文字的書(shū)2本，問(wèn)有多少種不同的取法？

2．集合A={1,2,-3},B={-1,-2,3,4}．從A,B中各取1個(gè)元素作為點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)．（1）可以得到多少個(gè)不同的點(diǎn)？（2）這些點(diǎn)中，位于第一象限的有幾個(gè)？練一練9×7＋9×5＋7×5＝143(1)3×4＋4×3＝24(2)2×2＋2×2＝8例4

要從甲、乙、丙3幅不同的畫(huà)中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，問(wèn)共有多少種不同的掛法？甲乙丙解：從3幅畫(huà)中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個(gè)步驟完成：第一步，從3幅畫(huà)中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法；第二步，從剩下的2幅畫(huà)中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法。根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)是：N=3×2=6.思考：還有其他解答本題的方法嗎？例4

要從甲、乙、丙、3幅不同的畫(huà)中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，問(wèn)共有多少種不同的掛法？甲乙丙解：從3幅畫(huà)中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個(gè)步驟完成：第一步，從3幅畫(huà)中選出2幅，有3種選法；（“甲、乙”，“甲、丙”，“乙、丙”）第二步，將選出的2幅畫(huà)掛好，有2中掛法根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)是：N=3×2=6.分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)不同點(diǎn)用來(lái)計(jì)算“完成一件事”的方法種數(shù)每類方案中的每一種方法都能______完成這件事每步_________才算完成這件事情（每步中的每一種方法不能獨(dú)立完成這件事）類類相加步步相乘獨(dú)立依次完成分類完成分步完成思考：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的共同點(diǎn)是什么？不同點(diǎn)什么？例5.給程序模塊命名，需要用3個(gè)字符，其中首個(gè)字符要求用字母A~G或U~Z，后兩個(gè)要求用數(shù)字1～9，問(wèn)最多可以給多少個(gè)程序命名？分析：要給一個(gè)程序模塊命名，可以分三個(gè)步驟：第一步，選首字符；第二步，先中間字符；第三步，選末位字符。解：首字符共有7+6＝13種不同的選法，答：最多可以給1053個(gè)程序命名。

中間字符和末位字符各有9種不同的選法根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，最多可以有13×9×9＝1053種不同的選法例6.核糖核酸（RNA）分子是在生物細(xì)胞中發(fā)現(xiàn)的化學(xué)成分，一個(gè)RNA分子是一個(gè)有著數(shù)百個(gè)甚至數(shù)千個(gè)位置的長(zhǎng)鏈，長(zhǎng)鏈中每一個(gè)位置上都由一種稱為堿基的化學(xué)成分所占據(jù)，總共有４個(gè)不同的堿基，分別用A，C，G，U表示，在一個(gè)RNA分子中，各種堿基能夠以任意次序出現(xiàn)，所以在任意一個(gè)位置上的堿基與其他位置上的堿基無(wú)關(guān)。假設(shè)有一類RNA分子由100個(gè)堿基組成，那么能有多少種不同的RNA分子？UUUAAACCCGGG分析:用100個(gè)位置表示由100個(gè)堿基組成的長(zhǎng)鏈，每個(gè)位置都可以從A、C、G、U中任選一個(gè)來(lái)占據(jù)。第1位第2位第3位第100位4種4種4種4種……解：100個(gè)堿基組成的長(zhǎng)鏈共有100個(gè)位置，在每個(gè)位置中，從A、C、G、U中任選一個(gè)來(lái)填入，每個(gè)位置有4種填充方法。根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有種不同的RNA分子.例7.電子元件很容易實(shí)現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與底等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài)。因此計(jì)算機(jī)內(nèi)部就采用了每一位只有0或1兩種數(shù)字的計(jì)數(shù)法，即二進(jìn)制，為了使計(jì)算機(jī)能夠識(shí)別字符，需要對(duì)字符進(jìn)行編碼，每個(gè)字符可以用一個(gè)或多個(gè)字節(jié)來(lái)表示，其中字節(jié)是計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)存儲(chǔ)的最小計(jì)量單位，每個(gè)字節(jié)由８?jìng)€(gè)二進(jìn)制位構(gòu)成，問(wèn)（1）一個(gè)字節(jié)（8位）最多可以表示多少個(gè)不同的字符？（2）計(jì)算機(jī)漢字國(guó)標(biāo)碼（GB碼）包含了6763個(gè)漢字，一個(gè)漢字為一個(gè)字符，要對(duì)這些漢字進(jìn)行編碼，每個(gè)漢字至少要用多少個(gè)字節(jié)表示？第1位第2位第3位第8位2種2種2種2種……如00000000，10000000，11111111.開(kāi)始子模塊118條執(zhí)行路徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑結(jié)束A例8.計(jì)算機(jī)編程人員在編寫(xiě)好程序以后要對(duì)程序進(jìn)行測(cè)試。程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路（即程序從開(kāi)始到結(jié)束的線），以便知道需要提供多少個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù)。一般的，一個(gè)程序模塊又許多子模塊組成，它的一個(gè)具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊。問(wèn)：這個(gè)程序模塊有多少條執(zhí)行路徑？另外為了減少測(cè)試時(shí)間，程序員需要設(shè)法減少測(cè)試次數(shù)，你能幫助程序員設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)試方式，以減少測(cè)試次數(shù)嗎？開(kāi)始子模塊118條執(zhí)行路徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑結(jié)束A分析：整個(gè)模塊的任意一條路徑都分兩步完成：第1步是從開(kāi)始執(zhí)行到A點(diǎn)；第2步是從A點(diǎn)執(zhí)行到結(jié)束。而第步可由子模塊1或子模塊2或子模塊3來(lái)完成；第二步可由子模塊4或子模塊5來(lái)完成。因此，分析一條指令在整個(gè)模塊的執(zhí)行路徑需要用到兩個(gè)計(jì)數(shù)原理。開(kāi)始子模塊118條執(zhí)行路徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑結(jié)束A再測(cè)試各個(gè)模塊之間的信息交流是否正常，需要測(cè)試的次數(shù)為：3*2=6。如果每個(gè)子模塊都正常工作，并且各個(gè)子模塊之間的信息交流也正常，那么整個(gè)程序模塊就正常。這樣，測(cè)試整個(gè)模塊的次數(shù)就變?yōu)?/p>

172+6=178（次）2）在實(shí)際測(cè)試中，程序員總是把每一個(gè)子模塊看成一個(gè)黑箱，即通過(guò)只考察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來(lái)測(cè)試整個(gè)模塊。這樣，他可以先分別單獨(dú)測(cè)試5個(gè)模塊，以考察每個(gè)子模塊的工作是否正常?？偣残枰臏y(cè)試次數(shù)為：18+45+28+38+43=172。例9.隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增長(zhǎng)，汽車牌照號(hào)碼需要擴(kuò)容。交通管理部門(mén)出臺(tái)了一種汽車牌照組成辦法，每一個(gè)汽車牌照都必須有３個(gè)不重復(fù)的英文字母和３個(gè)不重復(fù)的阿拉伯?dāng)?shù)字，并且３個(gè)字母必須合成一組出現(xiàn)，３個(gè)數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn)，那么這種辦法共能給多少輛汽車上牌照?練習(xí)1、

(1)

五名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，報(bào)名方法的種數(shù)為多少？(2)五名學(xué)生爭(zhēng)奪四項(xiàng)比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？

解：（1）5名學(xué)生中任一名均可報(bào)其中的任一項(xiàng)，因此每個(gè)學(xué)生都有4種報(bào)名方法，5名學(xué)生都報(bào)了項(xiàng)目才能算完成這一事件故報(bào)名方法種數(shù)為4×4×4×4×4=種.（2）每個(gè)項(xiàng)目只有一個(gè)冠軍，每一名學(xué)生都可能獲得其中的一項(xiàng)獲軍，因此每個(gè)項(xiàng)目獲冠軍的可能性有5種故有n=5×５×５×５=

種.補(bǔ)充練習(xí)：在所有的兩位數(shù)中,個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個(gè)？分析1:

按個(gè)位數(shù)字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8類,在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是:1個(gè),