3.3.1幾何概型(2)講解

3.3.1

幾何概型(2)例某公共汽車站每隔15分鐘有一輛汽車到達，乘客到達車站的時刻是任意的，求一個乘客到達車站后候車時間大于10分鐘的概率？例某公共汽車站每隔15分鐘有一輛汽車到達，乘客到達車站的時刻是任意的，求一個乘客到達車站后候車時間大于10分鐘的概率？分析：把時刻抽象為點，時間抽象為線段，故可以用幾何概型求解。解：設上輛車于時刻T1到達，而下一輛車于時刻T2到達，線段T1T2的長度為15，設T是T1T2上的點，且T1T=5，T2T=10，如圖所示:·答：侯車時間大于10分鐘的概率是1/3.T1T2T記候車時間大于10分鐘為事件A，則當乘客到達車站的時刻落在線段T1T上時，事件發(fā)生，區(qū)域D的測度為15，區(qū)域d的測度為5。所以變式：1.假設題設條件不變，求候車時間不超過10分鐘的概率.T1T2T分析：2某公共汽車站每隔15分鐘有一輛汽車到達，并且出發(fā)前在車站?？?分鐘。乘客到達車站的時刻是任意的，求一個乘客到達車站后候車時間大于10分鐘的概率？分析：設上輛車于時刻T1到達，而下一輛車于時刻T0到達，T2時刻出發(fā)。線段T1T2的長度為15，設T是T1T2上的點，且T0T2=3，TT0=10，如圖所示:·記候車時間大于10分鐘為事件A，則當乘客到達車站的時刻落在線段T1T上時，事件A發(fā)生，區(qū)域D的測度為15，區(qū)域d的測度為15-3-10=2。所以T1T2TT01.某人一覺醒來,發(fā)現(xiàn)表停了,他打開收音機,想聽電臺整點報時,求他等待的時間不多于10分鐘的概率.解:設事件A={等待的時間不多于10分鐘}

事件A發(fā)生的區(qū)域為時間段[50,60]

鞏固練習2.教室后面墻壁上的時鐘掉下來,面板摔壞了,刻度5至7的部分沒了,如圖:但指針運行正常,若指針都指向有刻度的地方視為能看到準確時間,求不能看到準確時間的概率.1/6鞏固練習3.在直角坐標系內(nèi),射線OT落在60o

角的終邊上,任作一條射線OA,求射線OA落在∠XOT內(nèi)的概率。鞏固練習甲、乙二人約定在12點到5點之間在某地會面,先到者等一個小時后即離去設二人在這段時間內(nèi)的各時刻到達是等可能的,且二人互不影響.求二人能會面的概率.想一想解:以X,Y分別表示甲乙二人到達的時刻,于是

即點M落在圖中的陰影部分.所有的點構(gòu)成一個正方形,即有無窮多個結(jié)果.由于每人在任一時刻到達都是等可能的,所以落在正方形內(nèi)各點是等可能的.012345yx54321.M(X,Y)二人會面的條件是：

012345yx54321y-x=1y-x=-1我的收獲3.幾何概型的概率計算公式1.幾何概型的特征2.幾何概型的定義

每個基本事件出現(xiàn)的可能性

.幾何概型中所有可能出現(xiàn)的基本事件有

個；如果某個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的幾何度量(長度、面積或體積)成正比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型。無限相等4.解決幾何概型的關鍵是構(gòu)造隨機事件對應的幾何圖形.解題步驟記事件構(gòu)造幾何圖形計算幾何度量求概率下結(jié)論思考題：有只螞蟻在如圖的五角星區(qū)域內(nèi)自由的爬行，且它停在任意一點的可能性相等，已知圓形區(qū)域的半徑為2，螞蟻停在圓形內(nèi)的概率為0.1，求圖中五角星的面積.(計算結(jié)果保留π）隨堂練習，鞏固提高解：記“螞蟻最后停在五角星內(nèi)”為事件A,

解:以x，y分別表示兩人的到達時刻，則兩人能會面的充要條件為試一試:3.兩人相約8點到9點在某地會面,先到者等候另一人20分鐘,過時就可離去,試求這兩人能會面的概率.思考與討論假設小明家訂了一份報紙，送報人可能在早上6：30至7：30之間把報紙送到家，小明離開家去上學的時間在早上7：00至8：00之間，問小明在離開家之前能得到報紙（稱為事件A）的概率是多少？（提示：可借助直角坐標系）課堂小結(jié)1.幾何概型的特點.2.幾何概型的概率公式.3.公式的運用.本節(jié)核心內(nèi)容是幾何概型特點及概率求法，易錯點是容易找錯、求錯幾何度量。要求在做解答題時要有規(guī)范的步驟和必要的文字說明，在平時的學習中養(yǎng)成良好的學習習慣！1.古典概型與幾何概型的區(qū)別.相同：兩者基本事件的發(fā)生都是等可能的；不同：古典概型要求基本事件有有限個，幾何概型要求基本事件有無限多個.2.幾何概型的概率公式.復習回顧3.在幾何概型中，事件A的概率的求解步驟？記事件構(gòu)造幾何圖形指出概率類型計算幾何度量求概率

1.甲、乙兩船駛向一個不能同時停泊兩艘船的碼頭，這兩艘船在一晝夜內(nèi)到達該碼頭的時刻是等可能的，如果甲船停泊時間為1h，乙船停泊時間為2h，求甲、乙兩船中任意一艘船都不需要等待碼頭空出才能進港的概率.xyo122424練習解.以7點為坐標原點，小時為單位。x，y

分別表示兩人到達的時間，(

x，y

)構(gòu)成邊長為

60的正方形S，顯然這是一個幾何概率問題。

兩人相約于7時到8時在公園見面，先到者等候20分鐘就可離去，求兩人能夠見面的概率。

6060

o

x

yS2020他們能見面應滿足

|

x–

y|≤20，因此，

A

x

–

y=–20

x

–

y=20P(A)=6０２－4０２6０２＝５９練習3.在線段AD上任意取兩個點B、C,在B、C

處折斷此線段而得三折線,求此三折線能構(gòu)成三角形的概率.P=1/41在數(shù)軸上，設點x∈[-3,3]中按均勻分布出現(xiàn)，記a∈(-1,2】為事件A，則P（A）=（）A.1B.0C.1/2D.1/3C023-3-1考考你2、已知直線y=x+b,b∈[-2，3]，則直線在y軸上的截距大于1的概率是（）A、1/5B、2/5C、3/5D、4/53－21oB考考你3.如圖是一個邊長為1的正方形木板，上面畫著一個邊界不規(guī)則的地圖，板上的點是雨點打上的痕跡（雨點落在何處是等可能的），則這個地圖的面積為考考你4.國家安全機關監(jiān)聽錄音機記錄了兩個間諜的談話，發(fā)現(xiàn)30min的磁帶上，從開始30s處起，有10s長的一段內(nèi)容包含間諜犯罪的信息．后來發(fā)現(xiàn),這段談話的部分被某工作人員擦掉了，該工作人員聲稱他完全是無意中按錯了鍵，使從此后起往后的所有內(nèi)容都被擦掉了．那么由于按錯了鍵使含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉的概率有多大？解:記事件A:按錯鍵使含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉．當按錯鍵時刻在30-40s時間段部分被擦掉,當按錯鍵時刻在0-30s時間段全部被擦掉,則事件A發(fā)生就是在0-40s,即０--２／３min時間段內(nèi)按錯鍵．故P(A)=

2

330=

1

455.在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點M，求AM小于AC的概率.分析：點M隨機地落在線段AB上，故線段AB為區(qū)域D。當點M位于圖中的線段AC’上時，AM＜AC，故線段AC’即為區(qū)域d。解：在AB上截取AC’=AC，于是

P（AM＜AC）=P（AM＜AC’）則AM小于AC的概率為ABCC’考考你6.在半徑為1的圓上隨機地取兩點，連成一條線，則其長超過圓內(nèi)等邊三角形的邊長的概率是多少？BCDE.0解：記事件A={弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長}，取圓內(nèi)接等邊三角形BCD的頂點B為弦的一個端點，當另一點在劣弧CD上時，|BE|>|BC|，而弧CD的長度是圓周長的三分之一，所以可用幾何概型求解，有則“弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長”的概率為考考你

7

如圖，在三角形AOB中,已知∠AOB=60°,OA=2，OB=5，在線段OB上任取一點C，求△AOC為鈍角三角形的概率.DEABOC8.假設你家訂了一份報紙,送報人可能在早上6:30—7:30之間把報紙送到你家,你父親離開家去工作的時間在早上7:00—8:00之間,問你父親在離開家前能得到報紙(稱為事件A)的概率是多少?解:以橫坐標X表示報紙送到時間,以縱坐標Y表示父親離家時間建立平面直角坐標系,假設隨機試驗落在方形區(qū)域內(nèi)任何一點是等可能的,所以符合幾何概型的條件.根據(jù)題意,只要點落到陰影部分,就表示父親在離開家前能得到報紙,即時間A發(fā)生,所以9.某商場為了吸引顧客,設立了一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤,并規(guī)定:顧客每購買100元的商品,就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會.如果轉(zhuǎn)盤停止時,指針正好對準紅、黃或綠的區(qū)域,顧客就可以獲得100元、50元、20元的購物券(轉(zhuǎn)盤等分成20份).某顧客購物120元.問:(1)他獲得購物券的概率是多少？

(2)他得到100元、50元、20元的購物券的概率分別是多少？

解:甲顧客購物的錢數(shù)在100元到200元之間，可以獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會,轉(zhuǎn)盤一共等分了20份,