2.5-泊松方程和拉普拉斯要點(diǎn)

2.5泊松方程和拉普拉斯方程

靜電場(chǎng)的基本方程:線性、均勻、各向同性電介質(zhì)積分無(wú)旋：有散微分本構(gòu)關(guān)系：8/17/20241第二章2.5泊松方程和拉普拉斯方程：

泊松方程：∵靜電場(chǎng)為無(wú)旋場(chǎng)，故可引入一標(biāo)量電位來(lái)描述之。而將即（2-5-1）的泊松方程8/17/20242第二章2.5

拉普拉斯方程：若靜電場(chǎng)中無(wú)電荷分布時(shí)，即則泊松方程為：（2-5-2）的拉普拉斯方程

拉普拉斯算符：標(biāo)量算符8/17/20243第二章2.5

拉普拉斯算符在各坐標(biāo)系中的表示式：直角坐標(biāo)系：柱坐標(biāo)系：球坐標(biāo)系：8/17/20244第二章2.5求解泊松方程（或拉普拉斯方程）：給定電荷分布，求解其方程得若已知

8/17/20245第二章2.5例：若半徑為a的導(dǎo)體球面的電位為，球外無(wú)電荷，求空間的電位。解：顯然，導(dǎo)體球的電荷分布在球面上，且呈球?qū)ΨQ，故空間的電位也呈球?qū)ΨQ，僅是r的函數(shù)。取球坐標(biāo)系。因球外無(wú)電荷，則空間電位滿足拉普拉斯方程球坐標(biāo)系中即8/17/20246第二章2.5而8/17/20247第二章2.5兩平行板電極無(wú)限大，若其間無(wú)電荷分布，則板間電場(chǎng)強(qiáng)度均勻;而實(shí)際上板間充滿密度為的體電荷，由于體電荷只是的函數(shù)，故電場(chǎng)強(qiáng)度也只是的函數(shù)。例：兩無(wú)限大平行板電極，板間距離為，電壓為，并充滿密度為的體電荷。求板間電場(chǎng)強(qiáng)度和極板面上的電荷面密度。如圖。解：應(yīng)用高斯通量定理求解。作一柱形閉合面為S，底面積為，下底在左極板內(nèi)，上底在處，側(cè)柱面與平行。08/17/20248第二章2.5即又代入則12導(dǎo)體內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度為零08/17/20249第二章2.5作一柱形閉合面為S，底面積為，下底在左極板內(nèi)，上底在極板內(nèi)，側(cè)柱面與平行。>閉合面上、下底處的電場(chǎng)強(qiáng)度為零，側(cè)面的法向與電場(chǎng)強(qiáng)度的方向垂直。故則08/17/202410第二章2.5例：用解泊松方程的方法重求上例的電場(chǎng)強(qiáng)度。0解：泊松方程為0<<則8/17/202411第二章2.5故98/17/202412第二章2.5

運(yùn)用泊松方程和（或）拉普拉斯方程可以求解靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題。所謂“邊值問(wèn)題”，是指在一定的邊界條件下求解泊松方程或拉普拉斯方程，具體解法在第五章介紹。在某些特殊的情況下可以直接用積分的方法求解，這些特殊情況包括：１、求借電位φ呈完