2.2.1綜合法與分析法

新課導(dǎo)入

在以前的學(xué)習(xí)中，大家已經(jīng)能應(yīng)用綜合法、分析法證明數(shù)學(xué)命題，但是對(duì)這些證明方法的內(nèi)涵和特點(diǎn)，大家又了解多少呢？

本節(jié)課我們對(duì)綜合法和分析法這些證明方法進(jìn)行較系統(tǒng)的學(xué)習(xí).2.2.1綜合法和分析法

綜合法和分析法，是直接證明中最基本的兩種證明方法，也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)常用的思維方式.教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與能力】

了解直接證明的兩種基本方法——綜合法和分析法.了解綜合法和分析法的思考過(guò)程和特點(diǎn)，并歸納出操作流程框圖.運(yùn)用綜合法、分析法靈活解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.

【過(guò)程與方法】

通過(guò)豐富的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生分析這些基本證明方法的思考過(guò)程與特點(diǎn)，并歸納出操作流程圖.

【情感態(tài)度與價(jià)值觀】

1.通過(guò)這些基本證明方法的學(xué)習(xí)，使學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)和生活中，能自覺(jué)、有意識(shí)地運(yùn)用這些方法進(jìn)行數(shù)學(xué)證明，養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣.2.培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、總結(jié)的能力.教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)案例，了解直接證明的兩種基本方法——綜合法和分析法；了解綜合法、分析法的思考過(guò)程、特點(diǎn).難點(diǎn)根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，結(jié)合綜合法、分析法的思考過(guò)程、特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法或把不同的證明方法結(jié)合使用.綜合法不等式：

(a>0,b>0)的證明.

運(yùn)用以前學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)，大家自己證明試試看！回憶…動(dòng)動(dòng)腦

你能分析一下這個(gè)證明的思考過(guò)程和特點(diǎn)嗎？證明:因?yàn)?所以所以所以成立

再來(lái)分析一個(gè)例題.例:已知a>0,b>0,求證a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc提示

首先，分析待證不等式的特點(diǎn)：不等式的右端是3個(gè)數(shù)a,b,c乘積的4倍，左端為兩項(xiàng)之和，其中每一項(xiàng)都是一個(gè)數(shù)與另兩個(gè)數(shù)的平方和之積.據(jù)此，只要把兩個(gè)數(shù)的平方和轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)數(shù)的積的形式，就能使不等式左、右兩端具有相同的形式.

其次，尋找轉(zhuǎn)化的依據(jù)及證明中要用的其他知識(shí)：應(yīng)用不等式x2+y2≥2xy就能實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，不等式的基本性質(zhì)是證明的依據(jù).

最后，給出具體證明：由b2+c2≥2ab及條件a>0，得a(b2+c2)≥2abc；類(lèi)似地，得b(c2+a2)≥2abc.從而有

a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.證明:∵

b2+c2≥2bc,a>0∴a(b2+c2)≥2abc.又∵

c2+b2≥2bc,b>0∴b(c2+a2)≥2abc.∴

a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.探究思考…這些證明過(guò)程有什么相似點(diǎn)？

這些證明過(guò)程都是從已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等出發(fā)，通過(guò)推理推導(dǎo)出所要的結(jié)論.知識(shí)要點(diǎn)

一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等,經(jīng)過(guò)一系列的推理論證,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立,這種證明方法叫做綜合法.其特點(diǎn)是“由因?qū)Ч?

則綜合法可用框圖表示如下：

用P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,Q表示所要證明的結(jié)論.…

你能用框圖表示綜合法嗎？例題1

在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列，求證△ABC為等邊三角形．分析將A，B，C成等差數(shù)列，轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言就是2B=A+C；

此時(shí)，如果能把角和邊統(tǒng)一起來(lái)，那么就可以進(jìn)一步尋找角和邊之間的關(guān)系，進(jìn)而判斷三角形的形狀，余弦定理正好滿(mǎn)足要求.于是，可以用余弦定理為工具進(jìn)行證明.a，b，c成等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言就是A，B，C為△ABC的內(nèi)角，這是一個(gè)隱含條件，即A+B+C=180°；證明：由A，B，C成等差數(shù)列，有2B=A+C.①因?yàn)锳，B，C為△ＡＢC的內(nèi)角,所以Ａ+Ｂ+Ｃ=180°.②③由a，b，c成等比數(shù)列，有④由①②，得①②，得由①②，得由余弦定理及③，可得再由④，得即因此a=c.從而A=C.⑤由②③,得所以△ＡＢC為等邊三角形.注意

解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，往往要先做語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換，如把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成符號(hào)語(yǔ)言，或把符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成圖形語(yǔ)言等.還要通過(guò)細(xì)致的分析，把其中的隱含條件明確表示出來(lái).⑤分析法不等式：

(a>0,b>0)的證明.動(dòng)動(dòng)腦

大家想一想，除了綜合法，還有別的證明方法嗎？證明:要證只需證:只需證:只需證:因?yàn)?成立所以成立

類(lèi)比綜合法，你能分析一下這個(gè)證明的思考過(guò)程和特點(diǎn)嗎？

要證明結(jié)論成立，逐步尋求推證過(guò)程中，使每一步結(jié)論成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止.這類(lèi)證法的特點(diǎn)是:

這就是另一種證明方法——分析法.知識(shí)要點(diǎn)

一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求推證過(guò)程中，使每一步結(jié)論成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止，這種證明的方法叫做分析法．

特點(diǎn)：執(zhí)果索因.

類(lèi)似綜合法，我們也可以后框圖來(lái)表示分析法：得到一個(gè)明顯成立的結(jié)論…分析法的適用范圍：

當(dāng)已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接，證明中需要用哪些知識(shí)不太明確具體時(shí)，往往采用從結(jié)論出發(fā)，結(jié)合已知條件，逐步反推，尋求使當(dāng)前命題成立的充分條件的方法.注意例題2分析

從待證不等式不易發(fā)現(xiàn)證明的出發(fā)點(diǎn)，因此我們直接從待證不等式出發(fā)，分析其成立的充分條件.證明：只需證展開(kāi)得只需證因?yàn)楹投际钦龜?shù)，所以要證只需證21<25.因?yàn)?1<25成立，所以成立.反思

在本例中，如果我們從“21<25”出發(fā)，逐步倒推回去，就可以用綜合法證出結(jié)論.但由于我們很難想到從“21<25”入手，所以用綜合法比較困難.

請(qǐng)對(duì)綜合法與分析法進(jìn)行比較，說(shuō)出它們各自的特點(diǎn).回顧以往的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，說(shuō)說(shuō)你對(duì)這兩種證明方法的新認(rèn)識(shí).

綜合法就是利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等,經(jīng)過(guò)一系列的推理論證,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立.分析法最大的特點(diǎn)就是執(zhí)果索因.注意

事實(shí)上，在解決問(wèn)題時(shí)，我們把綜合法和分析法結(jié)合起來(lái)使用：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論.若由可以推出成立，就可以證明結(jié)論成立.例題3求證分析

比較已知條件和結(jié)論，發(fā)現(xiàn)結(jié)論中沒(méi)有出現(xiàn)角，因此第一步工作可以從已知條件中消去.

觀察已知條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含數(shù)量關(guān)系，于是，由(1)×(1)-2(2)得.把它與結(jié)論相比較，發(fā)現(xiàn)角相同，但函數(shù)名不同.

于是嘗試轉(zhuǎn)化結(jié)論：統(tǒng)一函數(shù)名稱(chēng)，即把正切函數(shù)化為正（余）弦函數(shù).把結(jié)論轉(zhuǎn)化為再與比較，發(fā)現(xiàn)只要把的角的余弦轉(zhuǎn)化為正弦，就能達(dá)到目的.證明：（3）由于上式與③相同，于是問(wèn)題得證.課堂小結(jié)1.綜合法的概念：

一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等,經(jīng)過(guò)一系列的推理論證,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立,這種證明方法叫做綜合法.2.分析法的概念:

一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求推證過(guò)程中，使每一步結(jié)論成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止，這種證明的方法叫做分析法．

3.分析法的適用范圍：

當(dāng)已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接，證明中需要用哪些知識(shí)不太明確具體時(shí)，往往采用從結(jié)論出發(fā)，結(jié)合已知條件，逐步反推，尋求使當(dāng)前命題成立的充分條件的方法.4.在證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，通常把綜合法和分析法結(jié)合起來(lái)使用.

高考鏈接

如圖，在直四棱柱ABCD-為等腰梯形，

AB//CD,AB=4,BC=CD=2,中，底面ABCDABCDEF2009年山東高考題第18小題第（1）題的平行線(xiàn)，這就需要借助輔助線(xiàn)，要證//平面，只需在平面內(nèi)找到解：分析（1）FABCDEFABCDE隨堂練習(xí)證明：∵a，b，c為不相等正數(shù)，且abc=1,提示此題采用綜合法.1.已知a，b，c為不相等正數(shù)，且abc=1,求證：練一練2.如圖,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,過(guò)A作SB的垂線(xiàn),垂足為E,過(guò)E