期中填選50題（提升版）-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末考試滿分全攻略（人教A版2019）解析版

期中填選精選50題（提升版）

能力提升

一、單選題

1.（2020?大連市紅旗高級中學(xué)高二期中）若直線，：丫=丘-1與圓C:（x-2y+（y-l『=2相

切，則直線/與圓。:（x-2）2+y2=3的位置關(guān)系是（）

A.相交B.相切C.相離D.不確定

【答案】A

【分析】由直線/與圓C相切可構(gòu)造方程求得心分別在k=2+6和A=2-6兩種情況下,

利用通過比較圓心到直線距離與圓的半徑之間大小關(guān)系可得位置關(guān)系.

【詳解】由圓C方程知其圓心C（2,l）,半徑為夜,

,直線/與圓C相切，~--'=,解得：k=2±5/3,

7^+1

由圓。方程知其圓心。（2,0）,半徑「=省,

|21|

圓心。到直線/距離"=

Jr+1

（3+2扃3

當k=2+g時,八，=_\-----_）__3=__±_<0,即d＜廣，

（2+GJ+18+46

此時圓。與直線/相交;

當4=2-百時，屋-/=If）_一3=＜0,即〃＜廠，

（2-^）+18-4,3

此時圓。與直線/相交；

綜上所述：圓。與直線/相交.

故選：A.

2.（2020?四川省成都市鹽道街中學(xué)高二期中）數(shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形幾

何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為

歐拉線.已知AABC的頂點A（2,0）,B（0,4）,若其歐拉線的方程為X-y+2=o,則頂點由］坐

標是（）

A.（TO）B.（0,-4）C.（4,0）D.（4,0）或（-1,0）

【答案】A

【分析】設(shè)c（，加〃）.由重心坐標公式得AA5c的重心為（丁,工一）代入歐拉線方程可得

機—〃+4=0,再求出AB邊的垂直平分線的方程與*7+2=0聯(lián)立可求出的外心坐

標，再由點A,C到外心的距離相等列出關(guān)于網(wǎng)〃的方程，然后解方程組可求得結(jié)果

【詳解】設(shè)C（，〃,〃）.山重心坐標公式得AABC的重心為（亨，平）

代入歐拉線方程得智-告+2=0,整理得m-〃+4=0①，

4-0

AB邊的中點坐標為（1,2）,kAB=^=-2,

AB邊的垂直平分線的方程為卜2=簫一1）,即x-2y+3=0.

M,xfx二-2y+23==。0，彳,“Tx日=-1

/.AABC的外心坐標為（-1,1）,則+=J（2+1）2+（0-1）2=M,

整理得M+/+2MJ-2〃=8②，聯(lián)立①②，解得，7Z=Y,"=O或m=o,〃=4.

當根=0,〃=4時，點8,C重合，舍去.

...頂點亦坐標是（T,0）.

故選：A.

3.（2021?浙江麗水?高二期中）已知圓0:f+y2=1,直線/：x+y+2=0,點p為/上一

動點，過點尸作圓。的切線R4,PB（切點為A,B）,當四邊形PA08的面積最小時，直

線A8的方程為（）

A.x-y+1=0B.x-y+及=0C.x+y+\=OD.x+y-正=0

【答案】C

【分析】設(shè)四邊形叢08的面積為S,求出四邊形的面積最小時，四邊形2405是正

方形，求出線段0尸的中點坐標為（-g,-g）,直線A3的斜率為-1,即得解.

【詳解】

y

2

S=2SAPAO=]AOHAP\=\AP\,IAP1=y]\OPf-\0A\=-1,

所以,當IOPI最小時，IAPI就最小，|0尸舄=心」°臂21=/,

所以5,m.?=|AP|“?,=內(nèi)=1.此時OPJ_/.

所以|。4|=|4月|=|出?|=|。8|=1,四邊形R4OB是正方形，

由題得直線。戶的方程為丫=》，

聯(lián)立廣fV=X今得P(-1,T),

[x+y+2=0

所以線段0尸的中點坐標為(-/-手，

由題得直線A8的斜率為-1,

所以直線AB的方程為y-(-g)=Tx-(-g)],

化簡得直線A8的方程為x+y+l=O.

故選：C

4.(2019?安徽滁州?高二期中(文))已知G：(x-l/+(y+l)2=l，圓G：(x_4y+(y-5)2=9,

點M,N分別是圓C，圓C?上的動點，尸為x軸上的動點，則1PM-|PM|的最大值是(

A.7B.3不+4C.9D.2遙+2

【答案】C

【分析】先利用圓的方程求出圓心坐標和半徑，利用對稱性和三點共線求最值的方法即可

得出結(jié)果.

【詳解】解：由題意可知，圓G的圓心G(L-l),半徑為1,

圓C2的圓心。2(4,5),半徑為3,

要使得I尸取最大值，需|PN|的值最大，1PMi的值最小.

其中|PN|的最大值為pGl+3,|加|的最小值為|PG|-1

則|叫T尸M|的最大值為QPC2I+3）-（|PG|-I）=|PG|-|PCJ+4

點C2（4,5）關(guān)于X軸的對稱點C；（4,-5）,

IPGHPGI=卜c"TPGHGC"=7（4-1）2+（-5+1）2=5,

所以網(wǎng)的最大值為5+4=9.

故選：C.

5.（2021?安徽宣城?高二期中（文））已知圓f+》2-2工一8丁+13=0的圓心至IJ直線

依+y-l=O（keZ）的距離為2夜，若+￡且。力＞0,則的最小值為（）

A.-B.-+272C.-+—D.-+V2

22222

【答案】D

【分析】本題目考察圓的一般方程的圓心坐標，以及點到直線的距離公式，通過點到直線

的距離公式可以求出參數(shù)人的值，最后是基本不等式中“1”的代入的應(yīng)用，已知分式為定

值，可以求得整式的最小值

【詳解】由題意，知圓心坐標為（1,4）,

圓心到直線依+y—l=0/eZ）的距離為20,則匕+”“二2夜,解得k=或左=1.

，公+17

因為攵wZ,所以女=1.

所以,+]=1,且。/>0,則“+o=(a+"pL+J-]=i+e+2+L.2+2jZxI=3+0,

a2b2b)2ba22\2ba2

當且僅當/=2從時取即a+匕的最小值為g+

故選：D

6.（2020?浙江金華第一中學(xué)高二期中）“點/（-3,-4）,6（1,6）到直線/：x+%），+l=0

2

的距離相等"是"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

【答案】B

2

【分析】山點1(-3,-4),6(1,6)到直線/：x+my+1=0的距離相等得到機=0或，〃=一(，

再利用充分必要條件的定義判斷得解.

【詳解】因為點4(-3,-4),8(1,6)到直線/：x+〃?y+l=0的距離相等，

「匚|_3_4,+11_11+6"?+11

*'#+版-G+m二'

2

所以，〃=0或機=-g.

因為=0或機=-：2”是“機=-2t"的必要非充分條件，

2

所以“點4(-3,-4),Z?(1,6)到直線/：x+g，+l=0的距離相等”是“機=-(”的必

要非充分條件.

故選：B

7.(2020?安徽立人中學(xué)高二期中(理))已知點P(7,3),媯圓〃：/+丫2-2*-10)，+25=0

上一點，點斑x軸上，則ISPI+IS0的最小值為()

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【分析1本題目是數(shù)形結(jié)合的題目，根據(jù)兩點之間線段最短的原則，可以將SP轉(zhuǎn)換為sR,

連接MP，找到s點的位置，從而求出線段和的最小值

【詳解】將圓方程化為標準方程為：(x-1『+()，-5)2=1,如下圖所示：

作點P(7,3)關(guān)于諭的對稱點P(7,-3),連接"P與圓相交于點。，與著由相交于點S,此時，

ISPI+ISQI的值最小,且|SP|+|SQ|=|SF|+|SQ|=P0=P'M-r,由圓的標準方程得：M點

坐標為(1,5),半徑/?=%所以產(chǎn)時=腳面=10,PM-r=9,所以I5PI+ISQI最小值為9

故選：c

8.（2019?羅平縣第二中學(xué)高二期中（文））直線x+y+2=0分別與x軸，了軸交于只。兩

點，點M在圓x2+V-4x+2=0上，則AMPQ面積的最大值為（）

A.3亞B.6C.2D.2及

【答案】B

【分析】先求出線段PQ的長，點/到直線x+y+2=0的距離為的高，因為點M在

圓/+9_4、+2=0上，所以點M到直線x+y+2=0的距離的最大值為圓心到直線的距離

加上半徑，然后根據(jù)面積公式求解即可.

【詳解】由直線x+y+2=o分別與X軸，y軸交于P,。兩點，可得尸（-2,0）,＜2（0,-2）,所

以歸。|=20,由V+y2-4x+2=0可化為（x-2『+y2=2,所以圓心為（2,0）,半徑夜，因

為點M在圓/+/_4》+2=0上，所以點M到宜線x+y+2=0的最大距離為圓心（2,0）到

x+y+2=0的距離加上半徑，即力=盥1+&=3收，所以AA"Q面積的最大值為

g|P0|〃=gx2應(yīng)x3應(yīng)=6.

故選：B

【點睛】本題主要考查圓上的點到直線的距離的最值問題，解題的關(guān)鍵是把圓上的點到直

線的距離轉(zhuǎn)化成圓心到直線的距離.屬于中檔題

9.（2020?浙江）在平面直角坐標系*以中，過點力（0,a）向圓C：（x-2）z+（＞-1）?=3引切

線，切線長為4.設(shè)點力到直線x-y+4=0的距離為曲當d+d取最小值時，a的值為（）

5/?

A.—B.3C.2D.1

2

【答案】C

【分析】先求出點A到圓心的距離，利用勾股定理求出4,可以得到4為A到定點P（l,l）的

距離，則4+4的最小值即為力到直線x-y+4=o的距離，即可根據(jù)直線方程求出a.

【詳解】由題可知圓心c（2,l）,半徑r=G，

則點＞4（0,a）到圓心C的距離AC=j4+（a-2a+5,

???切線長4=yjAC2-r2=Va2-2?+2=7（^-l）2+l，可看作A到定點尸（1,1）的距離，

由(1-2))2+(1-1)2<3,則點P(l,l)在圓C內(nèi).

則4+4的最小值即為2(1,1)到直線工7+4=0的距離，

如圖，過P作直線P”垂直于x-y+4=0,垂足為H,與>軸的交點即為點A'

\%=-1,則直線PH：y-l=-(x-l),即y=-x+2

令x=0,得丫=2,即40,2)

所以當點A與4重合時，4+出的最小值.

故選：C.

10.(2020?浙江鎮(zhèn)海中學(xué)高二期中)在四棱錐P-AB。中，叨，平面4m9,四邊形/融第

為正方形，AB=2,&為處的中點，若cos睜，碼=與,貝”￡)=()

3

A.1B.-C.3D.2

2

【答案】D

【分析】由己知以。為原點建立空間直角坐標系，設(shè)尸(0,0M,求得而，荏的坐標，由數(shù)量

積公式可得答案.

【詳解】由已知DP、DA,"兩兩垂直，所以以。為原點，建立如圖所示的坐標系，

設(shè)尸￡>=a(a>0),貝IJ1(0,0,。),4(2,0,0),

連接80取中點尸，連接EF,所以EF//PD,平面ABCD,

所以E(l,l，5),所以麗=(0,0,a),AE=(-1,1,1),

,2

由8s伊碼邛,得COS（配碼=向篇=

3'

解得a=2.

故選：D.

【點睛】本題考查了空間向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，關(guān)鍵點是建立空間直角坐標系，由數(shù)

量積公式求得。，考查了學(xué)生的空間想象力.

11.（2020?磐安縣第二中學(xué)）如圖，在正三棱柱ABC-A耳G中，若AB=6BB\,則A片與

BG所成角的大小為（）.

A.60°B.90°C.105°D.75°

【答案】B

【分析】聯(lián)結(jié)8c交BC,于￡點，?。塾蒍中點￡,聯(lián)結(jié)以；BE,ABt與BC、所成角即EF與BG所

成角；設(shè)BBi，分別求得8匹，EF,龐的長，從而求得夾角.

【詳解】聯(lián)結(jié)8c交&G于片點，取兒的中點6,聯(lián)結(jié)￡尸，BE,

則在正三棱柱ABC-A8G中，EF//AB,,

故ABX與BC所成角即EF與BC,所成角,

設(shè)Bg=a,則48=缶，BF=；BC、=^a,

EF=—AB,=a?BE=^-x>/2a=^-a,

21222

則在三角形跳7■中，滿足BF2+EF2=BE2，

故ZBFE=90,即AB1與BCt所成角為90

故選：B

12.（2021?橫峰中學(xué)高二期中（理））在三棱錐P-A8C中，PA,AB,AC兩兩垂直,

。為棱PC上一動點，PA=AC=2,鉆=3.當加>與平面P4C所成角最大時，AD與平面

PBC所成角的正弦值為（）

2而

C,亞4ViT

【答案】c

【分析】首先利用線面角的定義，可知當。為PC的中點時，AO取得最小值，此時8。與

平面R4c所成角最大，再以點A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系4-孫z,利

用向量坐標法求線面角的正弦值.

【詳解】■.■ABA-AC,ABLPA,^.PA[}AC=A,

ABJ_平面PAC,

易證AB_L平面PAC,則8。與平面PAC所成角為ZADB,

tanZ.ADB=,

ADAD

當4）取得最小值時，NM應(yīng)取得最大值

在等腰RrAPAC中，

當。為PC的中點時，AO取得最小值.

以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-沖z,

I)

///ky

X

則4(0,0,0),B(3,0,0),C(0,2,0),尸(0,0,2),0(0,1,1),

則A方=(0,1,1),PC=(0,2,-2),配=(-3,2,0)

設(shè)平面PBC的法向量為五=(x,y,z),則元=萬.而=0，

即產(chǎn)2z=。

[-3x+2y=0

令y=3,得萬=(2,3,3).

因為cos(n,AD)=廠廠=土叵，所以AD與平面PBC所成角的正弦值為"1.

V22xV21111

故選：C

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題重點考查線面角，既考查了幾何法求線面角，又考查向量法求

線面角，本題關(guān)鍵是確定點。的位置,首先利用線面角的定義確定點。的位置，再利用向

量法求線面角.

13.(2020?山西高二期中(理))如圖,正方體ABCO-A/CQ的棱長為1,0是底面A8CQ

的中心，則倒平面A8CQ的距離為(:)

g

A.￥B，4

C.旦D.7

22

【答案】A

【分析】過。作4片的平行線，交B￡于E,則。到平面A8CQ的距離即為E到平面ABCQ

的距離.作EFlBG于產(chǎn)，進而可知E/r平面A8CQ,進而根據(jù)）=：耳（7求得EF.

【詳解】解：過。作A崗的平行線，交片G于E,

則0到平面4BGR的距離即為E到平面ABCQ1的距離.

作EFLBG于尸，易證E/，平面ABCQ,

可求得印=』80=立.

44

故選：A.

14.（2021?天津市實驗中學(xué)濱海學(xué)校高二期中（理））如圖，在四棱錐P-ABCZ）中，底

面4?皿為矩形，A4_L底面ABC。，PA=AB=2,AD=4,比勻尸C的中點，則異面直線如與跖

所成角的余弦值為（）

A3R\/30「VFo口3vm

5101010

【答案】B

【分析】以A點為坐標原點建立空間直角坐標系，利用線線角的向量求法可求得結(jié)果.

【詳解】以A點為坐標原點，A8為碎亂AD為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標系，如下

圖所示：

則8（2,0,0）,￡（1,2,1）,尸（0,0,2）,￡＞（0,4,0）,.?.麗=（-1,2,1）,麗=（0,4,-2）,

\PD-BE\_6V30

設(shè)異面直線PD與BE所成角為兄則8希=阿羨|="=而.

故選：B.

【點睛】方法點睛：本題考查線線角的求法，利用空間向量求立體幾何常考查的夾角：設(shè)

直線，，小的方向向量分別為5幾平面a，夕的法向量分別為則

a-h

①兩直線/,〃?所成的角為。（0<。41）,cos。

ab

rr

a-u

②直線/與平面a所成的角為。（0"銬），sin"

耶;

w-v

③.二面角a-/-￡的大小為e（04。4乃），卜0$。|=

T-

15.（2021?浙江杭州?高二期中）在棱長為2的正方體AB8-4BCA中，點E在棱M

上，AE=3AE,點G是棱8的中點，點/滿足/:=>1而當平面EFG與平面

ABC。所成（銳）二面角的余弦值為四時;經(jīng)過E,￡G三點的截面的面積為（）

3

A.2口B.—C.V17D.—

46

【答案】B

【分析】以。為坐標原點，分別以D4，DC,DA所在的直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標

系，由空間向量結(jié)合平面EFG與平面ABC。所成二面角的余弦值為遠求出2的值，畫出截

3

面圖，求出截面五邊形的邊長，再由等腰三角形及等腰梯形的面積求和可得答案

【詳解】解：如圖，以O(shè)為坐標原點，分別以。4。心。馬所在的直線為尤,％2軸，建立空

間直角坐標系，則G(0,l,0),E(2,(),；),F(2,2,2/l),所以G盧=(2,-1,彳),6尸=(2,1,2/1),

22

設(shè)平面EFG的個法向量為正=(x,y,z),則

'--------3

m-GE=2x-y+—z=0一3丸3

"2，取z=l,貝lj機=-+，

--------824

m-GF=2x+y+24z=0

平面ABC。的一個法向量為3=(0,0,1),

mu_1_y/6]10

由題意得顓=行7------------3~：=T，解得或丸二弓(舍去)，

/眄J(;+?+(T+y+l420

延長設(shè)斯n4B=/,連接/G,交BC于K,延長/G,交AO的延長線于L，連接

EL,交DD「FH,則五邊形EFKG”為截面圖形，

由題意求得EF=6，F(xiàn)K=/+(；)=號GK=?,HG=*,EH=下,FH=2近,

截面五邊形EFKGH如圖所示，

則等腰三角形EF”底邊FH上的高為石，等腰梯形HGKF的高為也，

2

則截面面積為S」x20x6+」(灰+2亞”3=城

2224

故選：B

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查二面角的平面角及其求法，考查平面的基本性質(zhì)及推理,

考查運算能力，解題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標系，山平面EFG與平面ABCD所成（銳）

二面角的余弦值為正求出2=：,屬于中檔題

34

16.（2020?安徽淮北?高二期中（理））空間四邊形4B8各邊及對角線長均為Q,E,

F,G分別是AB,AD,DC的中點，則面.而=（）

A.；B.1C.y/2D.—

22

【答案】A

【分析】由已知條件得四邊形ABC。構(gòu)成的四面體A8CD是正四面體，

GE=-^^BC+BD]+-BA,GF=^CA,由函百^一；網(wǎng)+而-網(wǎng).希=

=-^^BCCA+BbBA-BDBC-BACA）,由數(shù)量積公式可得答案.

【詳解】空間四邊形ABC。各邊及對角線長均為公，

所以四邊形A88構(gòu)成的四面體AB8是正四面體，四個面是等邊三角形，

因為E,F,G分別是A8，AD,QC的中點，

所以AC〃尸G,-AC//FG,

2

GE=GB+BE=-^（BC+BD^+^M,

GF=-CA,所以臣.存=-5（配+麗-麗）?無=-；（而?直+而?瓦-麗?瓦）

=-^BCG4+Br＞（BA-BC）-BA-CX]

=-^（BCCA+BDBA-BDBC-BACA）

=-^（|BC|-|CA|COS120+|BD|-|BA|COS60-|BD|-|BC|COS60-|BA|-|C4|COS60）

故選：A.

17.（2021?江蘇南京市第二十九中學(xué)高二期中）平行六面體（底面是平行四邊形的棱柱）

中，ZAAB=4AO=N8AO=60。，AB=AD=\,4￡=而，則44=（）

A.1B.&C.2D.4

【答案】C

【分析】作出圖形，令A(yù)B=a>AD=BC=b>—CCt=C,由ACt—AB+AD+A4,—a+b+c>

兩邊平方，利用向量的數(shù)量積運算可解得結(jié)果.

【詳解】平行六面體（底面是平行四邊形的棱柱）AB8-A與GP中，

ZAyAB=ZAyAD=ABAD=60°,AB=AD=l,AC；=拒，作圖如下：

令A(yù)B=a,AD=BC=b>例=CC,=c,

則<1,5>=<萬,1>=<5]>=60。，冏=|5卜1,|AC，=>/TT,設(shè)AA=r,即同=r,

由離=福+亞+麗=@+石+^=ar+b2+C1+2a-b+2a-c+2b-c.

BIJ11=1+1+Z2+2xlxlx—+2xlxrx—+2xlxzx—=5>z2+2r-8=0,

222

解得：r=2或f=T（舍去），即AA=2.

故選：C.

18.（2020?安徽立人中學(xué)高二期中（理））己知正三棱柱ABC-A4G的高與底面邊長之

比為1:2,則異面直線BA與CB,所成角的余弦值為()

A.—B.-C.—D.-

3456

【答案】C

【分析】設(shè)正三棱柱A8C-ABCI的高為1,取A8的中點0,連接OC,然后以點。為坐標

原點，0C、。8所在直線分別為X、y軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得異

面直線BA,與CB,所成角的余弦值.

【詳解】設(shè)正三棱柱的高為1,則該正三棱柱的底面邊長為2,

取AB的中點。，連接。C,因為是邊長為2的等邊三角形，則0C_LAB且OC=G，

平面ABC,OCu平面ABC,故。(？_144，

QABnA4,=A,平面"蜴8,

以點。為坐標原點，oc、0B所在直線分別為X、y軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則A(0,-1,1)、8(0,1,0)、4(011)、c(6,o,o),

所以，甌=(0,-2,1),西=卜萬1,1),

■=-7-BA?CB1—11

則8'<叫，*>=^^=藥=一丁

因此，異面直線B4與C4所成角的余弦值為，

故選：C.

二、多選題

19.(2020?通城縣第二高級中學(xué)高二期中)設(shè)圓A:/+y2-2x-3=0,則下列說法正確的

是()

A.圓A的半徑為2

B.圓A與圓B:x2+y2-8x-8y+23=0相離

C.圓A上的點到直線3x-4y+12=o的最小距離為1

D.圓A截了軸所得的弦長為2石

【答案】ACD

【分析】將圓A的方程化為標準方程，可判斷A選項的正誤；判斷圓A與圓B的位置關(guān)系，

可判斷B選項的正誤；計算出圓A上的點到直線3x-4.v+12=0的最小距離，可判斷C選項的正

誤；計算出圓A截丫軸所得的弦長，可判斷D選項的正誤.

【詳解】對于A選項，圓A的標準方程為（x-iy+y2=4,圓心為A（1,O）,半徑為r=2,A選

項正確；

對于B選項，圓5的標準方程為（X—4）2+（y—=9,圓心為5（4,4）,半徑為R=3,

圓心距為|4卻=+4?=5=r+R,所以，圓A與圓B外切，B選項錯誤；

對于C選項，圓心A到直線3x-4y+12=0的距離為"=/=3,

#一+（~4）-

所以，圓A上的點到直線3x-4y+12=0的最小距離為d—r=3-2=1,C選項正確；

對于D選項，圓心A到y(tǒng)軸的距離為"'=1,

所以，圓A截y軸所得的弦長為2爐彳=2百，D選項正確.

故選：ACD.

【點睛】結(jié)論點睛：圓與圓的位置關(guān)系：設(shè)圓C與圓的半徑長分別為弓和'

（1）若則圓G與圓C2內(nèi)含；

（2）若|的=1-q,則圓C與圓內(nèi)切;

（3）若|4一目<|。。2|<4+4，則圓G與圓C?相交；

（4）若CG|=4+0則圓G與圓C2外切；

（5）若CG|>4+4，則圓G與圓C2外離.

20.（2020?大石橋市第三高級中學(xué)高二期中）下列命題正確的是（）

A.當機=3時，直線4:x+my-1=。與直線4：（m-2）x+3y+3=0平行

B.當機=-g時，直線4：x+/M），-l=0與直線4：（，"-2）x+3y+3=0垂直

C.當機=4時，曲線G：x2+V+2x=0與曲線G：Y+y2-4x-8y+m=（）外切

D.當機=4時，直線4：x+畋-1=0與直線4：（，”-2）x+3y+3=O的交點坐標是（3,-1）

【答案】AC

【分析】根據(jù)直線與直線的位置關(guān)系判斷ABD,根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系判斷C,即可得到答

案.

[詳解]對于A,當加=3時，直線4：x+3y-l=O,^=-1；直線4：x+3y+3=O,^2=-1,

?.1kt=k2,/,//12,故A正確；

對于B,當機=-!時，直線勺=2；直線/2：-[+3y+3=O,k2=^,

2226

Q4￡H-1，"與4不垂直，故B錯誤；

對于C,當初=4時，曲線G:x2+y2+2x=0o(x+l)2+y2=],圓心是(一1,0),耳=1；曲線

G：/+y2-4x-8y+4=0o(x—2『+(y_4)2=16,圓心是(2,4),4=4,圓心距

J(-l-2)2+(0-4)2=5=4+4,兩圓外切，故C正確；

f2x+3y+3=0fx=-3

對于D,當機=4時，直線4"+4y-l=0,直線，2：2x+3y+3=0,聯(lián)立｛J

[x+4y-1=0[y=l

即兩直線交點坐標是(-3,1),故D錯誤；

故選：AC

【點睛】結(jié)論點睛：本題主要考查兩直線的位置關(guān)系與斜率的關(guān)系，常用結(jié)論：在斜率存

時，

(1)/,///2k]=k2(L/〃20AlB?-A/1=0)；

(2)卬爐"—UIH2^A,-A2+B1B2=0),這類問題盡管簡單卻容易出錯，特

別是容易遺忘斜率不存在的情況，這一點一定不能掉以輕心.

21.(2020?商河縣第一中學(xué)高二期中)已知直線小依-y+l=0,/2：x+ay+l=0,aeR,

以下結(jié)論正確的是()

A.不論。為何值時，4與《都互相垂直；

B.當。變化時，4與。分別經(jīng)過定點A(0,l)和8(-1,0)

C.不論。為何值時，4與4都關(guān)于直線x+y=。對稱

D.如果4與4交于點M則|必?|的最大值是友

【答案】ABD

【分析】由兩直線垂直的判定方法可知A正確；根據(jù)直線過定點的求解方法可知B正確；設(shè)《

上一點（x,ox+l）,其關(guān)于x+y=o對稱的點不在4上，知C錯誤；聯(lián)立兩直線方程可求得M,

利用兩點間距離公式表示出|囤，根據(jù)函數(shù)最值的求法可求得|囤的最大值，知D正確.

【詳解】對于A,?.zxl+（—l）x〃=O恒成U,.Ml/?恒成立，A正確；

對于B,對于直線4，當x=0時，y=i恒成立，則人過定點（0,1）；對于直線4，當N=。時，

x=-1恒成立，則恒過定點（0,-1）,B正確；

對于C,在4上任取點（X,6+1）,關(guān)于直線x+y=o對稱的點的坐標為（-d-L-X）,

代入4方程知：（-依T，f）不在4上，C錯誤;

-a-\

二ax-y++『1=0,解,,得:+1-a-\一〃+1)

對于D,聯(lián)立,即M

一〃+1/+1'/+]J

a2+\

‘阿°1」（篇［+仔詈［=層3應(yīng)，即|MO|的最大值是夜，D正確.

故選：ABD.

【點睛】思路點睛：本題D選項考查了兩點間距離最值的求解，解題基本思路是能夠?qū)牲c

間的距離表示為關(guān)于某一變量的函數(shù)的形式，利用函數(shù)最值的求解方法求得結(jié)果.

22.（2020?遼寧高二期中）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點A,B

的距離之比為定值的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐

標系xOy中，A（-2,0）,8（4,0）,點p滿足胃=；.設(shè)點P的軌跡為C,則（）.

A.軌跡C的方程為（x+4y+y2=9

B.在x軸上存在異于A,5的兩點。，E,使得黑

附2

C.當A,B,P三點不共線時，射線P。是ZAP8的角平分線

D.在C上存在點M,使得|MO|=2|M4|

【答案】BC

【分析】根據(jù)兩點間的距離公式計算化簡，逐一判斷選項即可.

【詳解】A：在平面直角坐標系屹V中，A（-2,0）,B（4,0）,點P滿足蹤=；,

/、J（x+2）+y1

設(shè)p（x,y）,則J；"；=；,化簡得V+y2+8x=0,

即（x+4）?+y2=i6,所以A錯誤；

\PD\1

B：假設(shè)在x軸上存在異于A,B的兩點。，E,使得局=彳，

\PE\2

設(shè)￡>W，0）,E（n,o）,則J（x-〃y+y2=2/x-〃*+y2,

彳七簡得312+3y2-（8?n-2/?）x+4m2-IT=0,

由軌跡C的方程為犬+8x=0,可得8機—2〃=—24,4〃/-〃？=（）,

解得加=-6,〃=一12或機=一2,n=4（舍去），所以B正確；

,\OA\1\PA\

c：MA,B,P三點不共線時，畫=2=忸回，

可得射線PO是N4PB的角平分線，所以C正確；

D：若在C上存在點M,使得由。=2|肋4］,可設(shè)M（x,y）,

則Jx。+y」=2^（x+2）：+y2>化簡得x?+y?+?》+日=0，

與/+產(chǎn)+舐=0聯(lián)立，方程組無解，故不存在點"，所以D錯誤.

故選：BC.

23.（2021?廣東高二期中）如圖，在正方體力aZ?-48G〃中，點P在線段AC上運動，則（）

A.直線即_L平面4G，

B.三棱錐4G冰J體積為定值

C.異面直線/嗎4〃所成角的取值范用是［45°,90。］

D.直線GP與平面4G。所成角的正弦值的最大值為四

3

【答案】ABD

【分析】在A中，推導(dǎo)出4G_L能，DCdBD、,從而直線9，平面4G。；在B中，由8c〃平面

4G。，得到圖J平面4G屈勺距離為定值，再由淵面積是定值，從而三棱錐〃-4G冰J

體積為定值；在C中，異面直線加與4〃所成角的取值范用是［60°,90°］；在D中，以〃為原

點，的為x軸，比為.確，如為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線CP與平

面4G而成角的正弦值的最大值為無.

3

【詳解】解：在A中，?.3￡_1_笈4,ACLBB、,BDCBB、=B\,

；.4G_L平面比幾；.4G_L做，同理，DC\LBD\,

?；4GC〃G=G,.*.直線做_L平面4G〃，故A正確;

在"中，'：A\D"BC4Zt平面4G〃，8a平面4G〃，

.?.6C〃平面ACD,

?.?點P在線段5C上運動，...圖J平面4G冰J距離為定值，

又的面積是定值，，三棱錐〃-4G冰J體積為定值，故B正確；

在C中，異面直線加芍4〃所成角的取值范用是［60°,90°］,故C錯誤；

在D中，以。為原點，力為詢，〃彷夕軸，的為若由，建立空間直角坐標系，

設(shè)正方體〃中棱長為1,P(a,1,a),

則〃(0,0,0),4(1,0,1),G(0,1,1),西=(1,0,1),西=(0,1,1),

C,P=(a,0,a-1),

設(shè)平面4G加力法向量百=(x,y,z),

n-DAf=x+z=()

則取x=l,得〃=(1,L-1),

n-DCt=y+z=O'

直線平面所成角的正弦值為:

中河=r］一:|,

IG戶卜|”|Ji?+(a-l)，

當a=；時，直線GP與平面4G〃所成角的正弦值的最大值為亞，故D正確.

23

故選：ABD.

【點睛】求直線與平面所成的角的一般步驟：

(1)、①找直線與平面所成的角，即通過找直線在平面上的射影來完成；②計算，要把直

線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個三角形中求解；

(2)、用空間向量坐標公式求解.

24.(2020?貴溪市第四中學(xué)高二期中(理))在直三棱柱中，

A4,=AC=2,AB=3,/BAC=90,點分別是線段BC,用。上的動點(不含端點)，且

ECDC

評=正，則下列說法錯誤的是()

DjCDC

A.E￡)//平面ACG

B.四面體A-皿比的體積是定值

C.異面直線BC與A%所成角的正切值為正

2

4

D.二面角A-EC-O的余弦值為E

【答案】ACD

【分析】說明四邊形8CG片是矩形，然后證明即〃8月〃44,推出〃平面ACG，判

斷A；設(shè)ED=m,然后求解四面體的體積可判斷B；說明異面直線與。與所成角

為NBBg,然后求解三角形，判斷C；利用空間向量求解二面角A-EC-。的余弦值

【詳解】對于A,在直三棱柱48C-ABG中，四邊形BCC百是矩形，

ECDC

因為7不二正，所以ED〃8B]〃4A，

￡)!CDC

所以E。//平面ACC-所以A正確；

對于B,設(shè)EO=機，因為NBAC=90°,AAI=AC=2,A8=3,

所以BC=122+32=岳，

DEDCDEBCV13/n

因為四〃8月，所以甌二記，所以O(shè)C=-------=-----

BB、2

后歷"1

所以皿底￡1,所以％XF^XRX3=3”尹

四面體A-瓦汨的體積為gx3(l-￡)/n=〃L：M,所以四面體A-E)E的體積不是定值，所

以B錯誤;

對于C,因為所以異面直線用。與A4所成角為NBBQ,在心A^BC中,

B、B=2,BC=?所以tanN8BC=^=W，所以C正確;

對于D,如圖，以A為坐標原點，以A8,AC，M所在的直線分別為x,y,z軸，建立空間直角

坐標系,則40,0,0),8(3,0,0),C(0,2,0),4(3,0,2),

所以衣=(0,2,0),ABi=(3,0,2),

設(shè)平面A4c的一個法向量為3=(X,y,Z),則

【:售；):C，令X=2,則z=-3,所以5=(2,0,-3),

[〃.伍=3x+2z=0

同理可求得平面跖。的一個法向量為》=(2,3,0),

2x24

所以二面角A-EC-ZJ的余弦值為屈＞厲=有，所以D正確,

故選：ACD

25.(2021?黃石市有色第一中學(xué)高二期中)如圖所示，在棱長為1的正方體A3CQ-48G。

中，M八分別為棱AA，的中點，則以下四個結(jié)論正確的是()

A.BtC//MN

B.若P為直線CG上的動點，則即?而為定值

c.點4到平面GMN的距離為g

D.過MN作該正方體外接球的截面，所得截面的面積的最小值為93加

O

【答案】ABD

【分析】由平行公理可判斷A；由數(shù)量積的定義可判斷B；山等體積法可判斷C；由截面面積

最小的圓是以MN所在的弦為直徑的截面圓可判