甘肅省臨洮縣第二中學(xué)2022年高三第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z滿足(i為虛數(shù)單位),則z的虛部為()A. B. C.1 D.2.已知集合,,則()A. B. C. D.3.已知向量,且,則m=()A.?8 B.?6C.6 D.84.函數(shù)在上的圖象大致為()A. B. C. D.5.已知,函數(shù),若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn),則()A. B.C. D.6.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為,直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與雙曲線的一條漸近線垂直,直線與雙曲線的左支交于不同的兩點(diǎn),,若,則該雙曲線的離心率為().A. B. C. D.7.已知函數(shù)是上的減函數(shù),當(dāng)最小時(shí),若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.8.若不等式對(duì)恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.9.《九章算術(shù)》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.某“塹堵”的三視圖如圖,則它的外接球的表面積為()A.4π B.8π C. D.10.已知等比數(shù)列滿足,,則()A. B. C. D.11.記等差數(shù)列的公差為,前項(xiàng)和為.若,,則()A. B. C. D.12.展開項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)為A.1 B.11 C.-19 D.51二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若存在直線l與函數(shù)及的圖象都相切,則實(shí)數(shù)的最小值為___________.14.三對(duì)父子去參加親子活動(dòng),坐在如圖所示的6個(gè)位置上,有且僅有一對(duì)父子是相鄰而坐的坐法有________種(比如:B與D、B與C是相鄰的,A與D、C與D是不相鄰的).15.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球的球面上,,是邊長(zhǎng)為2的正三角形,,則球的體積為__________.16.的角所對(duì)的邊分別為,且,,若,則的值為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和和通項(xiàng)滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)已知數(shù)列中,,,求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.(12分)已知矩形中,,E,F(xiàn)分別為,的中點(diǎn).沿將矩形折起,使,如圖所示.設(shè)P、Q分別為線段,的中點(diǎn),連接.(1)求證:平面;(2)求二面角的余弦值.19.(12分)的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知,.求C;若,求,的面積20.(12分)如圖,在四棱柱中,平面,底面ABCD滿足∥BC,且(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.21.(12分)已知如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=30°,∠ABC=90°,D為AC中點(diǎn),AEBD于E,延長(zhǎng)AE交BC于F,將△ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,如圖2所示。(Ⅰ)求證:AE平面BCD;(Ⅱ)求二面角A-DC-B的余弦值;(Ⅲ)求三棱錐B-AEF與四棱錐A-FEDC的體積的比(只需寫出結(jié)果,不要求過(guò)程).22.(10分)已知函數(shù).(1)證明:函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn);(2)若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為1,求的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)z滿足,利用復(fù)數(shù)的除法求得,再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足,所以,所以z的虛部為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.2.B【解析】

求出集合,利用集合的基本運(yùn)算即可得到結(jié)論.【詳解】由,得,則集合,所以,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算,利用函數(shù)的性質(zhì)求出集合是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.3.D【解析】

由已知向量的坐標(biāo)求出的坐標(biāo),再由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算得答案.【詳解】∵,又,∴3×4+(﹣2)×(m﹣2)=0,解得m=1.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,考查向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.4.C【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)在時(shí)的符號(hào),即可求解.【詳解】由可知函數(shù)為奇函數(shù).所以函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,排除選項(xiàng)A,B;當(dāng)時(shí),,,排除選項(xiàng)D,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判定及奇偶函數(shù)圖像的對(duì)稱性,屬于中檔題.5.C【解析】

當(dāng)時(shí),最多一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性畫函數(shù)草圖,根據(jù)草圖可得.【詳解】當(dāng)時(shí),,得;最多一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),,,當(dāng),即時(shí),,在,上遞增,最多一個(gè)零點(diǎn).不合題意;當(dāng),即時(shí),令得,,函數(shù)遞增,令得,,函數(shù)遞減;函數(shù)最多有2個(gè)零點(diǎn);根據(jù)題意函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn),在,上有2個(gè)零點(diǎn),如圖:且,解得,,.故選.【點(diǎn)睛】遇到此類問(wèn)題,不少考生會(huì)一籌莫展.由于方程中涉及兩個(gè)參數(shù),故按“一元化”想法,逐步分類討論,這一過(guò)程中有可能分類不全面、不徹底.6.A【解析】

直線的方程為,令和雙曲線方程聯(lián)立,再由得到兩交點(diǎn)坐標(biāo)縱坐標(biāo)關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可知直線的方程為,不妨設(shè).則,且將代入雙曲線方程中,得到設(shè)則由,可得,故則,解得則所以雙曲線離心率故選:A【點(diǎn)睛】此題考查雙曲線和直線相交問(wèn)題,聯(lián)立直線和雙曲線方程得到兩交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系和已知條件即可求解,屬于一般性題目.7.A【解析】

首先根據(jù)為上的減函數(shù),列出不等式組,求得,所以當(dāng)最小時(shí),,之后將函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題,畫出圖形,數(shù)形結(jié)合得到結(jié)果.【詳解】由于為上的減函數(shù),則有,可得,所以當(dāng)最小時(shí),,函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程有兩個(gè)實(shí)根,等價(jià)于函數(shù)與的圖像有兩個(gè)交點(diǎn).畫出函數(shù)的簡(jiǎn)圖如下,而函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn),數(shù)形結(jié)合可得的取值范圍為.故選:A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)函數(shù)的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有分段函數(shù)在定義域上單調(diào)減求參數(shù)的取值范圍,根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍,數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于中檔題目.8.B【解析】

轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,求函數(shù)最值,即得解.【詳解】由,可知.設(shè),則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以.所以.故的取值范圍是.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在恒成立問(wèn)題中的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.9.B【解析】

由三視圖判斷出原圖,將幾何體補(bǔ)形為長(zhǎng)方體,由此計(jì)算出幾何體外接球的直徑,進(jìn)而求得球的表面積.【詳解】根據(jù)題意和三視圖知幾何體是一個(gè)底面為直角三角形的直三棱柱,底面直角三角形的斜邊為2,側(cè)棱長(zhǎng)為2且與底面垂直,因?yàn)橹比庵梢詮?fù)原成一個(gè)長(zhǎng)方體,該長(zhǎng)方體外接球就是該三棱柱的外接球,長(zhǎng)方體對(duì)角線就是外接球直徑,則,那么.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查三視圖還原原圖,考查幾何體外接球的有關(guān)計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.10.B【解析】由a1+a3+a5=21得a3+a5+a7=,選B.11.C【解析】

由,和,可求得,從而求得和,再驗(yàn)證選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?,,所以解得,所以,所以,,,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式,還考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.12.B【解析】

展開式中的每一項(xiàng)是由每個(gè)括號(hào)中各出一項(xiàng)組成的,所以可分成三種情況.【詳解】展開式中的項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),有3種情況:(1)5個(gè)括號(hào)都出1,即;(2)兩個(gè)括號(hào)出,兩個(gè)括號(hào)出,一個(gè)括號(hào)出1,即;(3)一個(gè)括號(hào)出,一個(gè)括號(hào)出,三個(gè)括號(hào)出1,即;所以展開項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)為,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理知識(shí)的生成過(guò)程,考查定理的本質(zhì),即展開式中每一項(xiàng)是由每個(gè)括號(hào)各出一項(xiàng)相乘組合而成的.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

設(shè)直線l與函數(shù)及的圖象分別相切于,,因?yàn)?,所以函?shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為,即,因?yàn)?,所以函?shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為,即,因?yàn)榇嬖谥本€l與函數(shù)及的圖象都相切,所以,所以,令,設(shè),則,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,所以,所以實(shí)數(shù)的最小值為.14.192【解析】

根據(jù)題意,分步進(jìn)行分析:①,在三對(duì)父子中任選1對(duì),安排在相鄰的位置上,②,將剩下的4人安排在剩下的4個(gè)位置,要求父子不能坐在相鄰的位置,由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意,分步進(jìn)行分析:①,在三對(duì)父子中任選1對(duì),有3種選法,由圖可得相鄰的位置有4種情況,將選出的1對(duì)父子安排在相鄰的位置,有種安排方法;②,將剩下的4人安排在剩下的4個(gè)位置,要求父子不能坐在相鄰的位置,有種安排方法,則有且僅有一對(duì)父子是相鄰而坐的坐法種;故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用,涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】

由題意可得三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,則它的外接球就是棱長(zhǎng)為的正方體的外接球,求出正方體的對(duì)角線的長(zhǎng),就是球的直徑,然后求出球的體積.【詳解】解:因?yàn)?,為正三角形,所以,因?yàn)椋匀忮F的三條側(cè)棱兩兩垂直,所以它的外接球就是棱長(zhǎng)為的正方體的外接球,因?yàn)檎襟w的對(duì)角線長(zhǎng)為,所以其外接球的半徑為,所以球的體積為故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查球的體積,幾何體的外接球,考查空間想象能力,計(jì)算能力,屬于中檔題.16.【解析】

先利用余弦定理求出,再用正弦定理求出并把轉(zhuǎn)化為與邊有關(guān)的等式,結(jié)合可求的值.【詳解】因?yàn)?,故,因?yàn)?,所?由正弦定理可得三角形外接圓的半徑滿足,所以即.因?yàn)?,解得或(舍?故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,注意結(jié)合求解目標(biāo)對(duì)所得的方程組變形整合后整體求解,本題屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1);(2)【解析】

(1)當(dāng)時(shí),利用可得,故可利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng).(2)利用分組求和法可求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,所以,當(dāng)時(shí),,①,②所以,即,又因?yàn)椋?,所以,所以是首?xiàng),公比為的等比數(shù)列,故.(2)由得:數(shù)列為等差數(shù)列,公差,,,.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和,注意數(shù)列求和關(guān)鍵看通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式,如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和,則用分組求和法;如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積,則用錯(cuò)位相減法;如果通項(xiàng)可以拆成一個(gè)數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)的差,那么用裂項(xiàng)相消法;如果通項(xiàng)的符號(hào)有規(guī)律的出現(xiàn),則用并項(xiàng)求和法.18.(1)證明見解析(2)【解析】

(1)取中點(diǎn)R,連接,,可知中,且,由Q是中點(diǎn),可得則有且,即四邊形是平行四邊形,則有,即證得平面.(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求得半平面的法向量:,然后利用空間向量的相關(guān)結(jié)論可求得二面角的余弦值.【詳解】(1)取中點(diǎn)R,連接,,則在中,,且,又Q是中點(diǎn),所以,而且,所以,所以四邊形是平行四邊形,所以,又平面,平面,所以平面.(2)在平面內(nèi)作交于點(diǎn)G,以E為原點(diǎn),,,分別為x,y,x軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則各點(diǎn)坐標(biāo)為,,,所以,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則即,取,得,又平面的一個(gè)法向量為,所以.因此,二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定,考查利用空間向量求解二面角,考查邏輯推理能力及運(yùn)算求解能力,難度一般.19.(1).(2).【解析】

由已知利用正弦定理,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求,結(jié)合范圍,可求,由已知利用二倍角的余弦函數(shù)公式可得,結(jié)合范圍,可求A,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可解得C的值.由及正弦定理可得b的值,根據(jù)兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinC的值,進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.【詳解】由已知可得,又由正弦定理,可得,即,,,,即,又,,或舍去,可得,.,,,由正弦定理,可得,,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,二倍角的余弦函數(shù)公式,三角形的內(nèi)角和定理,兩角和的正弦函數(shù)公式,三角形的面積公式等知識(shí)在解三角形中的應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.20.(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)證明,根據(jù)得到,得到證明.(Ⅱ)如圖所示,分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系,平面的法向量,,計(jì)算向量夾角得到答案.【詳解】(Ⅰ)平面,平面,故.,,故,故.,故平面.(Ⅱ)如圖所示:分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,.設(shè)平面的法向量,則,即,取得到,,設(shè)直線與平面所成角為故.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直,線面夾角,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.21.(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ);(Ⅲ)1:5【解析】

(Ⅰ)由平面ABD⊥平面BCD,交線為BD,AE⊥BD于E,能證明AE⊥平面BCD;(Ⅱ)以E為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以EF、ED、EA所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz,利用向量法求出二面角A-DC-B的余弦值;(Ⅲ)利用體積公式分別求出三棱錐B-AEF與四棱錐A-FEDC的體積,再作比寫出答案即可.【詳解】(Ⅰ)證明:∵平面ABD⊥平面BCD,交線為BD,又在△ABD中,AE⊥BD于E,AE?平面ABD,∴AE⊥平面BCD.(Ⅱ)由(1)知AE⊥平面BCD,∴AE⊥EF,由題意知EF⊥BD,又AE⊥BD,如圖,以E為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以EF、ED、EA所在直線為x軸,y軸,z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz,設(shè)AB=BD=DC=AD=2,

則BE=ED=1,∴AE=,BC=2,BF=,則E(0,0,0),D(0,1,0

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